迎接新生-股东协议书范本

六年级奥数——第六讲 不定方程

第六讲 不定方程
【知识要点】
1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。要想获得未知数的唯一解，能独立
列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的个数，则
称之为不定方程 或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定
的。但如果结合具体问题，增加一些对解 的限制条件，如只求自然数解等，这样
的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。必须注意，限制条件 中，有些是明
显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利 用整除特征，尝试找出第
一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】
例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；
（2）11x+3y=89.
【思路点拨】
5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－
1 1x2
，11x－2能被3整除且x＜9。
3




模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。




AB57
（2）设A和B都是自然数，且满足+=，求A+B的值。
11777




1
例2：某单位职工到郊外植树，其中的职工各带了一个孩子参加，男职工每人3
种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那
么其 中有女职工多少人？
【思路点拨】
xy
设有女职工x人，男职工y人，那么有孩子人，这个条件说明3|x+y。
3


1

六年级奥数——第六讲 不定方程
模仿练习： 某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。每间大宿舍能住8
人，每间中宿舍能住7人，每间小宿 舍能住5人。问中、小宿舍共有多少间？





< br>例3：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400.A除以B商5余5；A除
以C商6 余6；A除以D商7余7，这四个自然数的和是多少？
【思路点拨】
A=5B+5=6C+6=7D+7，A一定是5,6,7的公倍数。






模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三 张牌洗好
后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记
数。这 样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌
的数字是多少？







5x7y9z52(1)例4：求解不定方程组

的正整数解。

3x5y7z36(2)
【思路点拨】
消元，使方程组变成一个不定方程。







3x6y2z22
模仿练习：求下列不定方程组的自然数解：


5x8y6z28



2

六年级奥数——第六讲 不定方程

例5：王虎用100元买油菜籽、西红柿种 子和萝卜籽共100包。油菜籽每包3元，
西红柿种子每包4元，胡萝卜籽1元钱7包，他每种各买了多 少包？
【思路点拨】
设买油菜籽x包，西红柿种子y包，则胡萝卜籽（100 －x－y）包。
100－（xy）
3x+4y+=100。
7







模仿练习：阳光小学在校园里新栽了樟树、梨树 和桃树，每种树的棵树都是质数。
如果将三种树的总棵树加4后除以10，则比樟树的10倍减去梨树的 棵树后还少
4棵。问阳光小学新栽的樟树、梨树和桃树各多少棵？






【思路点拨】
1：小明2008年的年龄恰好等于他出生年的四个数字之和，则小明2008年有多
大？








2：一次数学 竞赛后用31只铅笔给一、二、三等奖的学生发奖品，如果给一等奖
每人6只，二等奖每人3只，三等奖 每人2只，则正好发完；如果一等奖每人5
只，二等奖每人4只，三等奖每人3只，则差6支。那么获一 、二、三等奖的学
生各有多少人？






3

六年级奥数——第六讲 不定方程
3：ab2 1是一个四位数，有四个阿拉伯数字a、b、1、2组成的其他23个四位数
的和等于90669，求a 和b的值。







4：张老师 用一张1万元支票为学校添置A、B两种物品，A、B物品的单价分别
为590元和670元。已知购买 的B物品件数多于A物品件数，结果找回了几张
100元和几张10元（10元的不超过9张）。有趣的 是，若把购买的A种物品和B
种物品的件数互换，则找回100元和10元的钞票张数也恰好互换。问购 买的A、
B两种物品各有多少件？






5：动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了10箱香蕉分给它
们。每只猩猩 比每只狒狒多分1根，每只猴子比每只猩猩多分1根。分完后，只
剩2根香蕉。如果每箱香蕉数量相同， 都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，
猩猩只有16只。那么，动物园里有多少只猴子？







【课后作业】
1：求不定方程3x+4y=20的自然数解。






AB23
2：若自然数A、B满足+=,那么A+B等于多少？
13426



4

六年级奥数——第六讲 不定方程


5x7y3z25
3：求不定方程组

的正整数解。

3xy6z2







4：若干学生搬一堆砖。若每人搬k块，且k为质数，则剩下20块未搬走；若每
人 搬9块，则最后一个学生只搬了5块，那么这堆砖共有多少块？








5：王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与 后四位数组成的数相
加得9063；将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529，王老师家的电 话
号码是多少？








257
6：有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a，b，c。已知a、b 、
368
c都小于10，a、b、c依次为几？




5

六年级奥数——第六讲 不定方程

第六讲 不定方程
【知识要点】
1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。 要想获得未知数的唯一解，能独立
列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的 个数，则
称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定
的。但 如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样
的不定方程的解就只有有限个或 唯一一个了。必须注意，限制条件中，有些是明
显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自 然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第
一解；对于其他的所有解，可通过解的规律， 逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】
例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；
（2）11x+3y=89.
【思路点拨】
5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－
1 1x2
，11x－2能被3整除且x＜9。
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模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。




AB57
（2）设A和B都是自然数，且满足+=，求A+B的值。
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例2：某单位职工到郊外植树，其中的职工各带了一个孩子参加，男职工每人3
种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那
么其 中有女职工多少人？
【思路点拨】
xy
设有女职工x人，男职工y人，那么有孩子人，这个条件说明3|x+y。
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六年级奥数——第六讲 不定方程
模仿练习： 某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。每间大宿舍能住8
人，每间中宿舍能住7人，每间小宿 舍能住5人。问中、小宿舍共有多少间？





< br>例3：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400.A除以B商5余5；A除
以C商6 余6；A除以D商7余7，这四个自然数的和是多少？
【思路点拨】
A=5B+5=6C+6=7D+7，A一定是5,6,7的公倍数。






模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三 张牌洗好
后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记
数。这 样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌
的数字是多少？







5x7y9z52(1)例4：求解不定方程组

的正整数解。

3x5y7z36(2)
【思路点拨】
消元，使方程组变成一个不定方程。







3x6y2z22
模仿练习：求下列不定方程组的自然数解：


5x8y6z28



2

六年级奥数——第六讲 不定方程

例5：王虎用100元买油菜籽、西红柿种 子和萝卜籽共100包。油菜籽每包3元，
西红柿种子每包4元，胡萝卜籽1元钱7包，他每种各买了多 少包？
【思路点拨】
设买油菜籽x包，西红柿种子y包，则胡萝卜籽（100 －x－y）包。
100－（xy）
3x+4y+=100。
7







模仿练习：阳光小学在校园里新栽了樟树、梨树 和桃树，每种树的棵树都是质数。
如果将三种树的总棵树加4后除以10，则比樟树的10倍减去梨树的 棵树后还少
4棵。问阳光小学新栽的樟树、梨树和桃树各多少棵？






【思路点拨】
1：小明2008年的年龄恰好等于他出生年的四个数字之和，则小明2008年有多
大？








2：一次数学 竞赛后用31只铅笔给一、二、三等奖的学生发奖品，如果给一等奖
每人6只，二等奖每人3只，三等奖 每人2只，则正好发完；如果一等奖每人5
只，二等奖每人4只，三等奖每人3只，则差6支。那么获一 、二、三等奖的学
生各有多少人？






3

六年级奥数——第六讲 不定方程
3：ab2 1是一个四位数，有四个阿拉伯数字a、b、1、2组成的其他23个四位数
的和等于90669，求a 和b的值。







4：张老师 用一张1万元支票为学校添置A、B两种物品，A、B物品的单价分别
为590元和670元。已知购买 的B物品件数多于A物品件数，结果找回了几张
100元和几张10元（10元的不超过9张）。有趣的 是，若把购买的A种物品和B
种物品的件数互换，则找回100元和10元的钞票张数也恰好互换。问购 买的A、
B两种物品各有多少件？






5：动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了10箱香蕉分给它
们。每只猩猩 比每只狒狒多分1根，每只猴子比每只猩猩多分1根。分完后，只
剩2根香蕉。如果每箱香蕉数量相同， 都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，
猩猩只有16只。那么，动物园里有多少只猴子？







【课后作业】
1：求不定方程3x+4y=20的自然数解。






AB23
2：若自然数A、B满足+=,那么A+B等于多少？
13426



4

六年级奥数——第六讲 不定方程


5x7y3z25
3：求不定方程组

的正整数解。

3xy6z2







4：若干学生搬一堆砖。若每人搬k块，且k为质数，则剩下20块未搬走；若每
人 搬9块，则最后一个学生只搬了5块，那么这堆砖共有多少块？








5：王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与 后四位数组成的数相
加得9063；将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529，王老师家的电 话
号码是多少？








257
6：有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a，b，c。已知a、b 、
368
c都小于10，a、b、c依次为几？




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