四级答题技巧-党的十八届六中全会精神

抽屉原理

知识要点

1.抽屉原理的一般表述
< br>(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的
一般表述为：< br>
第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有
(m＋ 1)个物体。

(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：

第 二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有
(m－1)个物体。

2.构造抽屉的方法

常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。

例1自 制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种
牌都有1点，2点，……13点 牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取
张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜 色都相同。如果要求一次抽出的
牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取 张牌。

点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。

点拨 对于第二问，最不利 的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，
13各4张，此时再取一张，这张牌的点数 是3，6，9，12中的一张，在
已抽取的牌中必有3张的点数相邻。

解 (1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)

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例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保 证有5人属相相同，但
不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？

点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。

解 (1)因为37÷ 12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)
属相相同。

(2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人)

不保证有6 人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在
49人到60人的范围内。

例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花
色相同？( 2)四种花色都有？

点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13 张。(1)
按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4
张也均不同 花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可达到要
求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是 2张王牌，接着依次把三种花色
的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。

解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张)

例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学 生最多可以借两种不同颜
色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完< br>全相同？

点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：

解 借球有6种情况，看做6个抽屉，

所以至少要来7名学生借球，才能保证。

例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个
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数，其中较大的数是较小数的倍数？

点拨 把 1～30这30个自然数分成下面15组：{1，2，4，8，16}，{3，6，12，
24}，{5 ，10，20}，

{7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13，26}，{15，30}，{1 7} ，{19}，
{21}，{23}，{25)，{27}，{29}，在这15组中，每组中的任意两个 数都存
在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要取出16个数才能达到
题目的要求 。

例6 边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明
其中至少有4个点，以此4点为顶点的四边形面积不超过四分之一。

解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。

13=4×3+1，13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的

四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。

例7 平 面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起
来，试说明由这些线段围成的三角 形中，至少有一个三角形，它的三条边同色.

解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段， 据抽屉原理，任意一点引五条线
段中至少有三条线段同色，不妨设是红色(如图红色线段为实线，蓝色线 段为虚
线)，这时三角形a2a3a4会出现两种颜色情况

(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与

它的两个端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。

(2)若a2a3，a3a4，a2a4中没有一条线段是红色的，则a2a3a4为一个

蓝色三角形。综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。

说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决

实际问题：结果可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。

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1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几 盆之间的距离不
超过2米？

解：两盆 30÷2=15段，30米中每两米为一段 的有15段，16盆花至少有两
盆花在一段，至少两盆之间的距离不超过2米。

3. 在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至少有两个点之
间的距离不超过13。
解：把边长为一的正三角形平分成9粉，由每个三角的边长为13，

必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于13。

4.用黑、红两种颜色将一个长 9、宽3的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，
试证必有两列涂色情况一样。

因 为涂色出现八种情况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红，
蓝，红），（蓝，红，红 ），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝，
蓝），所以九列中一定有两列是相同的。

5.从整数1，2，3，……，199，200中任选101个数，求证在选出的这些自然
数中 至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数。

分数组{1,2,4,8，16，……128} ，{3,6,12,24,48^192}，{5,10,20,40^200}，
{7,14,28, 56,112}，{9,18,36,72,144}，{11,22,44,88,176}，{13,26, 52,104}，
{15,30,60,120,}……{99,198}，{101}，{103}， ……{199}共100个抽屉，任
选101个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍 数。

6.在10×10方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、4四个数之一。然后分< br>别对每个2×2方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？

1、2、 3、4填入后，四个数的和最小为4，最大为16。4-16之间有13个不
同的和，2×2的方格在< br>
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10×10的方格中可推出81个和，8 1÷13=6^3，故至少有6+1=7个和。

7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。

这八个连续自然数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，分为四组{ a+4，
a}，{a+5，a+1}，

{a+6，a+2}，{a+7，a+3}，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为4

8.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。

七个数 中必有三对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。
在k 1，k2，k2三个数中又至少有两个奇偶性相同，不妨设k1，k2奇偶性相
同，所以k1+k2=2 m，即a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m，所以其中必有四个数，
它们的和是4的倍数。

9.从3，6 ，9……81，84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和
等于90，试说明之。

分数组{6,84}，{9,81}，{12,78}，……{42,48}，{3}，{4 5}，共15个抽屉，
故取16个数必有两个数在一个抽屉中，即和为90。

10. 任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说
明之。

按 余数是2或5或两个余数和为10来构造6个抽屉：{0}，{5}，{1,9}，{2,8}，
{3, 7}，{4,6}这样7个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10或
余数相同，从而他们本 身的和或差为10的倍数。

11.能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上1，2 ，3这三个数，使大
正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同？

10个数的和最小为10，最大为30,10-30中有21个数。10行10列加上两条
对角线共22 个和，则必有两条线上的和相同。所以不能。

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12.能否把1～7这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2或3？

在这7个数中，1,2,6,7都不能相邻，要把它们隔开需要4个数，而现在只剩
下3,4 ,5三个数，所以不能。

13.平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条 红色线段或蓝
色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。
< br>14.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人
搬运才能保证有 5人搬运的球完全一样？

每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、
足手10种情况。

4×10+1=41人

15.在一个3×4平方米的长方形盘子中，任意撒入5 个豆，5个豆中距离最小的
两个豆的最大距离是几米？(这时盘子的对角线长为5米)

将长方形分成四份，如放5豆，必有2个豆在一个小长方形内，一个小正方
形

内最大的距离是2.5米（如AE），故距离最小的两个点的距离最大值是2.5
米。

16.一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色
涂色。证明：不论如 何涂色，一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四
个角上的小方格具有相同的颜色。

第一行有7个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了
4个或4个以 上的方格。

设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，
如果有两个红色，那么结

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论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3个黄方格下面的3个
方格中，至少有两个方格
涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第
二行组成 符合条件的长方形。

17.在{1，2，……，n}中，任意取10个数，使得其中有两个数 的比值不小于，
且不大于。求n的最大值。

由于任取10个数中有两个数在同一个抽 屉里，显然最多构造9个抽屉．这9
个抽屉中的每一个抽屉

都含有1，2，3，，n 中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都
在和之间，这9个抽屉，是：

{ 1}；{2，3}；{4，5，6}；{7，8，9，10}；{11，12，，16}；{17，18，，24，25}；{26，27，，38，

39}；{40，41，，59，60}；{61，62，，90，91}． 因此，n的最大值是91．

18.从1，2，3，„，1988，1989这些自然数中，最 多可取多少个数，其中每两
个数的差不等于4?

把1,2,……,1989这些数分成四组公差是4的等差的数列；
1,5,9,……,1989共498个数;

2,6,10,……1986共497个数; 3,7,11……1987共497个数;
4,8,12……1988共497个数;

我们发现:1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可
能是4;

2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差
为4的话,两数将被归为一

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2
3
3
2

行,这显然与事实矛盾;故选符合规定的数只要在每组里每隔
一个数选一个,每行最多可

选249 个数;最终249×4=996（个）

19.四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：
四个人中至少有两对 ，每对是互赠过礼品的。

将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两 点之间连一条
线。由于每人送出2件礼

品，共有4×2=8条线，由于每人礼 品都分赠给2个人，所以每两点之间至
多有1+1=2条线。四点间，

每两点 连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条
线，还有另外两点(有一点

可以与前面的点相同)之间也连了2条线。即为所证结论。

20.一排长椅共 有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一
个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无 论坐在哪个座位上都与已经就座的某
个人相邻。原来至少有几人已经就座？

由于,他 无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻,求至少有多少人,
则有人的位置如图

所示,(“●”表示已经就座的人,“◯”表示空位):◯●◯◯●◯◯●◯….
即有人的位置占全部 人数

的13，90÷3=30人。即原来至少有30人已经就座。

21. 把1，2，3，……，8，9，10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成
一个和数。试说明其中 至少有一个和数不小于17。

（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17即小于等于16。则10组之和
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应小于等于16×10=160；

10组之和即把10个数分别加了3次，又因为：3
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）= 165>160

所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。

22.某人步行10小时，走 了45千米。已知他第一小时走了5千米，最后一小时
走了3千米，其余每小时都走了整数千米。证明在 中间8小时当中，一定存在
连续的两小时，这人至少要走10千米。

这个人在中间的 8小时内走了45−5−3=37(km)假设在中间的8个小时内他相
邻2个小时内都走9km，
8个小时内一共有7组相邻，其中除去这8个小时内的前后两个小时，其他
6个小时都有 2次相邻，

这8个小时内的路程可得：7×9−6÷2×9=36km<37km一 定存在连续的两小
时，这人至少走了10千米。

23.在1，2，3，4，5，6， 7，8，9，10，11，12这12个自然数中，任意选取
8个不同的数，其中必有两对数，每对数的 差是1。

构造6个抽屉{1,2}{3,4}{5,6}{7,8}{9,10}{11,1 2}将八个不同的数放入六
个抽屉，必有两对数，每

对的差是1。

24.有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出8
个小球，其中至少有 几个小球的颜色是相同的。

把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里 ，8÷4=2，
其中至少有2个小球颜

色相同。

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25.数学奥林匹克竞赛，全世界52个国家的308名选手参加 了竞赛。按组委会
规定，每个国家的选手不得超过6名，至少有几个国家派6名选手参赛。

每个国家最多派出的运动员不超过6人，假设52个国家每个国家都派了5
名，则剩下

308-52×5=48（名）运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6名，所以
只好把4 8名运动员平均

分到48个国家中去，也就是说，至少有48个国家派满了6名运动员。

26.某中 学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出
几位，他们彼此认识。
用a(1),a(2),...,a(10)表示10个人；a(1)不认识的至多2人,认识的人不
少 于7个,不妨假定a(1)

认识a(2)；a(1)、a(2)中至少有一个人不认识的人至 多4人，不妨假定a(1)、
a(2)都认识a(3)；

a(1)、a(2)、a( 3)至少有一个人不认识人的至多6人,不妨假定a(1)、a(2)、
a(3)都认识a(4)；
则a(1)、a(2)、a(3)、a(4)互相认识；我们必可从中找出4位，他们彼此认识。

27.袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸出的结
果是一样的，至少要摸几次。

把1种不同的结果看成1个抽屉，至少要摸出9×10+1=91（次)

28.某班有27名 同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳
帽。在9个横排中，至多有几排同学所戴的 帽子的颜色顺序不同。

每排三人，每排戴帽子的可能有8种 ，所以27人排成九个横排，必有两个
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横排所戴帽子顺序相同，

帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排

29.在平面内有1994条互不平行的直线 。求证：一定有两条直线它们的夹角不
大于
180
度。

1994< br>如果平面内有3条互不平行的线，那么，要将最小的两条线的夹角为最大，
就必须先让两条互相垂 直，

夹角为90°，然后再让另外一条线过交点，平分夹角，角度为45°，45°
<
180
度，

30
所以我们就说：平面里有3条互不平行 的直线,求证一定有两条直线的夹角
不大于
180
度，

30
同理，可得平面里有1994条互不平行的直线，求证一定有两条直线的夹角不大于
180
度。

1994
30.设自然数n具有以下性质： 从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数
的差是5。这样的n中最大是几？

设计20个抽屉，且抽屉中两个数字之差为5：{1,6}{2,7}{3,8}……{35,40}，
n的最大值为40。

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