广轻工-技术中心工作总结

抽屉原理
知识要点
1.抽屉原理的一般表述
(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为：
第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。
(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：
第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。
2.构造抽屉的方法
常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
例1自制的一副 玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，……13
点牌各一张 )，洗好后背面朝上放。一次至少抽取 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都
相同 。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取 张牌。
点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已 抽取
的某张牌的颜色与点数都相同。
点拨 对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2 ，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，
这张牌的点数是3，6，9，12中的一 张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。
解 (1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)
例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有 5人属相相同，但不保证有6人属相相同，
那么人的总数应在什么范围内？
点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。
解 (1)因为37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。
(2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人)
不保证有6人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。
例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？
点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出 2张
为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，
再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全< br>部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。
解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张)
例4 学校买来红、 黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几
名学生借球，就能保 证必有两名学生借的球的颜色完全相同？
点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：
解 借球有6种情况，看做6个抽屉，
所以至少要来7名学生借球，才能保证。
例5 从前面3 0个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小
数的倍数？

点拨 把1～30这30个自然数分成下面15组：{1，2，4，8，16}，{3， 6，12，24}，{5，10，20}，
{7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13，26}，{15，30}，{1 7} ，{19}，{21}，{23}，{25)，{27}，
{29}，在这15组中，每组中的任意两个 数都存在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要
取出16个数才能达到题目的要求。
例6 边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4个点，以 此
4点为顶点的四边形面积不超过四分之一。
解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。
13=4×3+1，13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的
四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。
例7 平面上给定 六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围
成的三角形中，至 少有一个三角形，它的三条边同色.
解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意 一点引五条线段中至少有三条线段同色，
不妨设是红色(如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时 三角形a2a3a4会出现两种颜色情况
(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与
它的两个端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。
(2)若a2a3，a3a4，a2a4中没有一条线段是红色的，则a2a3a4为一个
蓝色三角形。综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。
说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决
实际问题：结果可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。

1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米？
解：两盆 30÷2=15段，30米中每两米为一段的有15段，16盆花至少有两盆花在一段，至 少两盆之
间的距离不超过2米。
3.在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过13。
解：把边长为一的正三角形平分成9粉，由每个三角的边长为13，
必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于13。
4.用黑、红两种颜色将一个长9、宽3 的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色情况
一样。
因为涂色出现八种情 况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，
红），（蓝，蓝，红 ），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中一定有两列是相同的。
5.从整数1，2，3，… …，199，200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的
一个是另一个 的倍数。
分数组{1,2,4,8，16，……128}，{3,6,12,24,48^192}， {5,10,20,40^200}，{7,14,28,56,112}，
{9,18,36,72, 144}，{11,22,44,88,176}，{13,26,52,104}，{15,30,60,12 0,}……{99,198}，{101}，
{103}，……{199}共100个抽屉，任选101 个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。

6.在10 ×10方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、4四个数之一。然后分别对每个2×2方格中的四
个 数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？
1、2、3、4填入后，四个数的和最小为4，最大为 16。4-16之间有13个不同的和，2×2的方格在
10×10的方格中可推出81个和，81÷13=6^3，故至少有6+1=7个和。
7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。
这八个连续自然数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，分为四组{ a+4，a}，{a+5，a+1}，
{a+6，a+2}，{a+7，a+3}，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为4
8.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。
七个数中必有三 对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k
1
,a3+a4=2k
2
，a5+a 6=2k
3
。在k
1，
k
2，
k
2
三个数 中又至少
有两个奇偶性相同，不妨设k
1，
k
2
奇偶性相同，所以k
1
+k
2
=2m，即a1+a2+a3+a4=4m, 2k
1+2k
2
=4m，所以
其中必有四个数，它们的和是4的倍数。
9.从 3，6，9……81，84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。
分数组{6,84}，{9,81}，{12,78}，……{42,48}，{3}，{45} ，共15个抽屉，故取16个数必有两个数
在一个抽屉中，即和为90。
10.任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说明之。
按余 数是2或5或两个余数和为10来构造6个抽屉：{0}，{5}，{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4 ,6}这样7
个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10或余数相同，从而他们本身的和或差 为10的倍数。
11.能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上1，2，3这三个数，使大 正方形的每行、每列及两
条对角线的各个数字和互不相同？
10个数的和最小为10， 最大为30,10-30中有21个数。10行10列加上两条对角线共22个和，则必有
两条线上的和 相同。所以不能。
12.能否把1～7这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2或3？
在这7个数中，1,2,6,7都不能相邻，要把它们隔开需要4个数，而现在只剩下3,4,5三个 数，所以不能。
13.平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线 段连接起来。试说明
这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。



14.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保 证有5人搬运
的球完全一样？
每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10种情况。
4×10+1=41人
15.在一个3×4平方米的长方形盘子中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最 小的两个豆的最大距离是几米？
(这时盘子的对角线长为5米)
将长方形分成四份，如放5豆，必有2个豆在一个小长方形内，一个小正方形
内最大的距离是2.5米（如AE），故距离最小的两个点的距离最大值是2.5米。

16.一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色，< br>一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。
第一行有7个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4个或4个以上的方格。
设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，如果有两个红色，那么结
论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3个黄方格下面的3个方格中，至少有两个方格
涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。
17.在{1，2，……，n}中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于
大值。
由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9个抽屉．这9个抽屉中的每一个抽屉 < br>都含有1，2，3，，n中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间，这9个抽屉，是：
{1}；{2，3}；{4，5，6}；{7，8，9，10}；{11，12，，16}； {17，18，，24，25}；{26，27，，38，
39}；{40，41，，59，60}；{61，62，，90，91}． 因此，n的最大值是91．
18.从1，2，3，„，1988，1989这些自然数中，最多可取多 少个数，其中每两个数的差不等于4?
把1,2,……,1989这些数分成四组公差是4的等差的数列； 1,5,9,……,1989共498个数;
2,6,10,……1986共497个数; 3,7,11……1987共497个数; 4,8,12……1988共497个数;
我们发现:1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可能是4;
2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差为4的话,两数将被归为一
行,这显然与事实矛盾;故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个,每行最多可
选249 个数;最终249×4=996（个）
19.四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其 余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每
对是互赠过礼品的。
将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出2件礼
品，共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线。四点间，
每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点
可以与前面的点相同)之间也连了2条线。即为所证结论。
20.一排长椅共有90个座位，其中一些 座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有
趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已 经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？
由于,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻,求至少有多少人,则有人的位置如图
所示,(“●”表示已经就座的人,“◯”表示空位):◯●◯◯●◯◯●◯….即有人的位置占全部人数
的13，90÷3=30人。即原来至少有30人已经就座。
21.把1，2，3，……，8 ，9，10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至
少有一个和数不小于1 7。
（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17即小于等于16。则10组之和应小于等于16× 10=160；
10组之和即把10个数分别加了3次，又因为：3（1+2+3+ 4+5+6+7+8+9+10）=165>160
所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。
22.某人步行10小时，走了45千 米。已知他第一小时走了5千米，最后一小时走了3千米，其余每小时
都走了整数千米。证明在中间8小 时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10千米。
23
，且不大于。求n的最
32

这个人在中间的8小时内走了45−5−3=37(km)假设在中间的8个小时 内他相邻2个小时内都走9km，
8个小时内一共有7组相邻，其中除去这8个小时内的前后两个小时，其他6个小时都有2次相邻，
这8个小时内的路程可得：7×9−6÷2×9=36km<37km一定存在连续的两小时， 这人至少走了10千米。
23.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个 自然数中，任意选取8个不同的数，其中必有两
对数，每对数的差是1。
构造6个抽屉{1, 2}{3,4}{5,6}{7,8}{9,10}{11,12}将八个不同的数放入六个抽屉，必有两对数， 每
对的差是1。
24.有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次 摸出8个小球，其中至少有几个小
球的颜色是相同的。
把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，8÷4=2，其中至少有2个小球颜
色相同。
25.数学奥林匹克竞赛，全世界52个国家的308名选手参加了竞赛。按组委会 规定，每个国家的选手不得
超过6名，至少有几个国家派6名选手参赛。
每个国家最多派出的运动员不超过6人，假设52个国家每个国家都派了5名，则剩下
308 -52×5=48（名）运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6名，所以只好把48名运动员平均
分到48个国家中去，也就是说，至少有48个国家派满了6名运动员。
26.某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。
用a(1),a(2),...,a(10)表示10个人；a(1)不认识的至多2人,认识 的人不少于7个,不妨假定a(1)
认识a(2)；a(1)、a(2)中至少有一个人不认识的人至 多4人，不妨假定a(1)、a(2)都认识a(3)；
a(1)、a(2)、a(3)至少有一个人 不认识人的至多6人,不妨假定a(1)、a(2)、a(3)都认识a(4)；
则a(1)、a(2)、a(3)、a(4)互相认识；我们必可从中找出4位，他们彼此认识。
27 .袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸出的结果是一样的，至少要摸几次。
把1种不同的结果看成1个抽屉，至少要摸出9×10+1=91（次)
28. 某班有27名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9个横排中，至多有
几 排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。
每排三人，每排戴帽子的可能有8种 ，所以27人排成九个横排，必有两个横排所戴帽子顺序相同，
帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排
29.在平面内有1994条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于
180
度。
1994
如果平面内有3条互不平行的线，那么，要将最小的两条线的夹角为最 大，就必须先让两条互相垂直，
180
度，
30
180
所以我们就说：平面里有3条互不平行的直线,求证一定有两条直线的夹角不大于度，
30
180
同理，可得平面里有1994条互不平行的直线，求证一定有两条直线的夹角不大于度。
1994夹角为90°，然后再让另外一条线过交点，平分夹角，角度为45°，45°<
30.设自然数n 具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。这样的n中最大
是几？

设计20个抽屉，且抽屉中两个数字之差为5：{1,6}{2,7}{3,8 }……{35,40}，n的最大值为40。

抽屉原理
知识要点
1.抽屉原理的一般表述
(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为：
第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。
(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：
第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。
2.构造抽屉的方法
常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
例1自制的一副 玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，……13
点牌各一张 )，洗好后背面朝上放。一次至少抽取 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都
相同 。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取 张牌。
点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已 抽取
的某张牌的颜色与点数都相同。
点拨 对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2 ，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，
这张牌的点数是3，6，9，12中的一 张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。
解 (1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)
例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有 5人属相相同，但不保证有6人属相相同，
那么人的总数应在什么范围内？
点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。
解 (1)因为37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。
(2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人)
不保证有6人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。
例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？
点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出 2张
为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，
再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全< br>部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。
解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张)
例4 学校买来红、 黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几
名学生借球，就能保 证必有两名学生借的球的颜色完全相同？
点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：
解 借球有6种情况，看做6个抽屉，
所以至少要来7名学生借球，才能保证。
例5 从前面3 0个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小
数的倍数？

点拨 把1～30这30个自然数分成下面15组：{1，2，4，8，16}，{3， 6，12，24}，{5，10，20}，
{7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13，26}，{15，30}，{1 7} ，{19}，{21}，{23}，{25)，{27}，
{29}，在这15组中，每组中的任意两个 数都存在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要
取出16个数才能达到题目的要求。
例6 边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4个点，以 此
4点为顶点的四边形面积不超过四分之一。
解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。
13=4×3+1，13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的
四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。
例7 平面上给定 六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围
成的三角形中，至 少有一个三角形，它的三条边同色.
解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意 一点引五条线段中至少有三条线段同色，
不妨设是红色(如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时 三角形a2a3a4会出现两种颜色情况
(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与
它的两个端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。
(2)若a2a3，a3a4，a2a4中没有一条线段是红色的，则a2a3a4为一个
蓝色三角形。综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。
说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决
实际问题：结果可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。

1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米？
解：两盆 30÷2=15段，30米中每两米为一段的有15段，16盆花至少有两盆花在一段，至 少两盆之
间的距离不超过2米。
3.在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过13。
解：把边长为一的正三角形平分成9粉，由每个三角的边长为13，
必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于13。
4.用黑、红两种颜色将一个长9、宽3 的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色情况
一样。
因为涂色出现八种情 况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，
红），（蓝，蓝，红 ），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中一定有两列是相同的。
5.从整数1，2，3，… …，199，200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的
一个是另一个 的倍数。
分数组{1,2,4,8，16，……128}，{3,6,12,24,48^192}， {5,10,20,40^200}，{7,14,28,56,112}，
{9,18,36,72, 144}，{11,22,44,88,176}，{13,26,52,104}，{15,30,60,12 0,}……{99,198}，{101}，
{103}，……{199}共100个抽屉，任选101 个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。

6.在10 ×10方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、4四个数之一。然后分别对每个2×2方格中的四
个 数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？
1、2、3、4填入后，四个数的和最小为4，最大为 16。4-16之间有13个不同的和，2×2的方格在
10×10的方格中可推出81个和，81÷13=6^3，故至少有6+1=7个和。
7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。
这八个连续自然数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，分为四组{ a+4，a}，{a+5，a+1}，
{a+6，a+2}，{a+7，a+3}，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为4
8.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。
七个数中必有三 对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k
1
,a3+a4=2k
2
，a5+a 6=2k
3
。在k
1，
k
2，
k
2
三个数 中又至少
有两个奇偶性相同，不妨设k
1，
k
2
奇偶性相同，所以k
1
+k
2
=2m，即a1+a2+a3+a4=4m, 2k
1+2k
2
=4m，所以
其中必有四个数，它们的和是4的倍数。
9.从 3，6，9……81，84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。
分数组{6,84}，{9,81}，{12,78}，……{42,48}，{3}，{45} ，共15个抽屉，故取16个数必有两个数
在一个抽屉中，即和为90。
10.任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说明之。
按余 数是2或5或两个余数和为10来构造6个抽屉：{0}，{5}，{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4 ,6}这样7
个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10或余数相同，从而他们本身的和或差 为10的倍数。
11.能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上1，2，3这三个数，使大 正方形的每行、每列及两
条对角线的各个数字和互不相同？
10个数的和最小为10， 最大为30,10-30中有21个数。10行10列加上两条对角线共22个和，则必有
两条线上的和 相同。所以不能。
12.能否把1～7这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2或3？
在这7个数中，1,2,6,7都不能相邻，要把它们隔开需要4个数，而现在只剩下3,4,5三个 数，所以不能。
13.平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线 段连接起来。试说明
这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。



14.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保 证有5人搬运
的球完全一样？
每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10种情况。
4×10+1=41人
15.在一个3×4平方米的长方形盘子中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最 小的两个豆的最大距离是几米？
(这时盘子的对角线长为5米)
将长方形分成四份，如放5豆，必有2个豆在一个小长方形内，一个小正方形
内最大的距离是2.5米（如AE），故距离最小的两个点的距离最大值是2.5米。

16.一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色，< br>一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。
第一行有7个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4个或4个以上的方格。
设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，如果有两个红色，那么结
论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3个黄方格下面的3个方格中，至少有两个方格
涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。
17.在{1，2，……，n}中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于
大值。
由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9个抽屉．这9个抽屉中的每一个抽屉 < br>都含有1，2，3，，n中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间，这9个抽屉，是：
{1}；{2，3}；{4，5，6}；{7，8，9，10}；{11，12，，16}； {17，18，，24，25}；{26，27，，38，
39}；{40，41，，59，60}；{61，62，，90，91}． 因此，n的最大值是91．
18.从1，2，3，„，1988，1989这些自然数中，最多可取多 少个数，其中每两个数的差不等于4?
把1,2,……,1989这些数分成四组公差是4的等差的数列； 1,5,9,……,1989共498个数;
2,6,10,……1986共497个数; 3,7,11……1987共497个数; 4,8,12……1988共497个数;
我们发现:1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可能是4;
2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差为4的话,两数将被归为一
行,这显然与事实矛盾;故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个,每行最多可
选249 个数;最终249×4=996（个）
19.四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其 余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每
对是互赠过礼品的。
将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出2件礼
品，共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线。四点间，
每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点
可以与前面的点相同)之间也连了2条线。即为所证结论。
20.一排长椅共有90个座位，其中一些 座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有
趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已 经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？
由于,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻,求至少有多少人,则有人的位置如图
所示,(“●”表示已经就座的人,“◯”表示空位):◯●◯◯●◯◯●◯….即有人的位置占全部人数
的13，90÷3=30人。即原来至少有30人已经就座。
21.把1，2，3，……，8 ，9，10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至
少有一个和数不小于1 7。
（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17即小于等于16。则10组之和应小于等于16× 10=160；
10组之和即把10个数分别加了3次，又因为：3（1+2+3+ 4+5+6+7+8+9+10）=165>160
所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。
22.某人步行10小时，走了45千 米。已知他第一小时走了5千米，最后一小时走了3千米，其余每小时
都走了整数千米。证明在中间8小 时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10千米。
23
，且不大于。求n的最
32

这个人在中间的8小时内走了45−5−3=37(km)假设在中间的8个小时 内他相邻2个小时内都走9km，
8个小时内一共有7组相邻，其中除去这8个小时内的前后两个小时，其他6个小时都有2次相邻，
这8个小时内的路程可得：7×9−6÷2×9=36km<37km一定存在连续的两小时， 这人至少走了10千米。
23.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个 自然数中，任意选取8个不同的数，其中必有两
对数，每对数的差是1。
构造6个抽屉{1, 2}{3,4}{5,6}{7,8}{9,10}{11,12}将八个不同的数放入六个抽屉，必有两对数， 每
对的差是1。
24.有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次 摸出8个小球，其中至少有几个小
球的颜色是相同的。
把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，8÷4=2，其中至少有2个小球颜
色相同。
25.数学奥林匹克竞赛，全世界52个国家的308名选手参加了竞赛。按组委会 规定，每个国家的选手不得
超过6名，至少有几个国家派6名选手参赛。
每个国家最多派出的运动员不超过6人，假设52个国家每个国家都派了5名，则剩下
308 -52×5=48（名）运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6名，所以只好把48名运动员平均
分到48个国家中去，也就是说，至少有48个国家派满了6名运动员。
26.某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。
用a(1),a(2),...,a(10)表示10个人；a(1)不认识的至多2人,认识 的人不少于7个,不妨假定a(1)
认识a(2)；a(1)、a(2)中至少有一个人不认识的人至 多4人，不妨假定a(1)、a(2)都认识a(3)；
a(1)、a(2)、a(3)至少有一个人 不认识人的至多6人,不妨假定a(1)、a(2)、a(3)都认识a(4)；
则a(1)、a(2)、a(3)、a(4)互相认识；我们必可从中找出4位，他们彼此认识。
27 .袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸出的结果是一样的，至少要摸几次。
把1种不同的结果看成1个抽屉，至少要摸出9×10+1=91（次)
28. 某班有27名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9个横排中，至多有
几 排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。
每排三人，每排戴帽子的可能有8种 ，所以27人排成九个横排，必有两个横排所戴帽子顺序相同，
帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排
29.在平面内有1994条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于
180
度。
1994
如果平面内有3条互不平行的线，那么，要将最小的两条线的夹角为最 大，就必须先让两条互相垂直，
180
度，
30
180
所以我们就说：平面里有3条互不平行的直线,求证一定有两条直线的夹角不大于度，
30
180
同理，可得平面里有1994条互不平行的直线，求证一定有两条直线的夹角不大于度。
1994夹角为90°，然后再让另外一条线过交点，平分夹角，角度为45°，45°<
30.设自然数n 具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。这样的n中最大
是几？

设计20个抽屉，且抽屉中两个数字之差为5：{1,6}{2,7}{3,8 }……{35,40}，n的最大值为40。