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求函数值域的常用方法
在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛< br>的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出
现，占有一定的地位，若方法运 用适当，就能起到简化运算过程，
避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 求函数y = 3 -
x
的值域。
解：


x


0

-
x

0 3-
x

3
故函数的值域是：（ -∞，3 ]
2 、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2 、求函数y=
x
2
-2x+5，x

[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）
2
+4，

x

[-1，2]， 由二次函数的性质可知：
当x = 1时，y
min
= 4
当x = - 1，时
y
max
= 8
故函数的值域是：[ 4 ，8 ]
3 、判别式法
2
1xx
2
例3 求函数y = 的值域。
1x
2
解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1 ）
x
2
-x+（y - 1 ）= 0
（1）当y≠1时， x

R ,△ = (-1)
2
-4(y-1)(y-1)

0

解得：
13

y


22
13
, ]
22
（2）当y=1，时，x = 0,而1

[
13
故函数的值域为[，]
22
例4求函数y=x+
x(2x)
的值域。
解：两边平方整理得：2
x
2
-2（y+1）x+y
2
=0 （1）


x

R，

△=4（y+1）2
-8y

0
解得：1-
2

y

1+
2

但此时的函数的定义域由x（2-x）

0，得：0

x

2。
由△

0，仅保证关于x的方程：2
x
2
-2（y+1）x+y
2
=0在 实数集R有实根，而不能确保其实根
在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△

0求出的范围可能比y的实际范围大，
13
故不能确定此函数的值域为[，]。可 以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
22


0
x

2，

y=x+
x(2x)


0，
222
4
2222
4
2

y
=0，y=1+
2
代入方程（1）

[0，2]，即当
x
1
=，解得：
x
1
=时，
min
22< br>原函数的值域为：[0，1+
2
]。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若 原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，
将扩大的部分剔除。
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4
例5 求函数y=值域。
5x6
解：由原函数式可得：x =
则其反函数为：y =
46y

5x3
46y

5y3
3
其定义域为：x ≠
5

3
故所求函数的值域为：（- ∞，）
5
5 、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e
x
1
例6 求函数y =
x
的值域。
e1
解：由原函数式可得：
e
x
=
y1

y1



e
x
>0，

y1
>0
y1
解得：- 1 故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .
6 、函数单调性法
例7 求函数y =
2
解：令y
1
=
2
x5
x5< br>
log
3
x1
（2

x

10）的值域
x1
，则 y
1
，
y
2
在[ 2， 10 ]上都是增函数。 ，
y
2
=
log
3
所以y= y
1
+
y
2
在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y
min
=
2
3
+
log
3
1
21
= ，
8
3
当x = 10 时，
y
max
=
2
5
+
log
9
=33。
1
故所求函数的值域为：[ ，33]。
8
例8 求函数y=
x1
-
x1
的值域。
解：原函数可化为： y=
2
x1x1

令y
1
=
x1
，
y
2
=
x1
，显然y
1
，
y
2
在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y
1
+
y
2
在[1，+∞）上也为无上界的增函数。 所以当x = 1时，y=
y
1
+
y
2
有最小值
2
，原函数有最大值
2
2
=
2
。
显然y>0，故原函数的值域为( 0 ,
2
]。
7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含 有根式或三角函数
公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用 。
例9 求函数y = x +
x1
的值域。
解：令x-1=t，（t

0）则x=
t
2
+1
13
∵y=
t
2
+t+1=
(t)
2< br>+，又t

0，由二次函数的性质可知
24
当t=0时，y
min
= 1， 当t →0时，y →+∞。
故函数的值域为[ 1 ，+∞）
8 数形结合法
其题 型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目
若运用数形结合法 ，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例10 求函数y=
(x2)
2
+
(x8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x ）到定点A（2 ），B（- 8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞]
例11 求函数y=
x
2
6x13
+
2
x
2
4x5
的值域
2
解：原函数可变形为：y=

(x3)

(02)
+(x2)

(01)
22

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
y
min
=∣AB∣=
(32)
2

(21)
=
43
，
2
故所求函数的值域为[
43
，+∞]。
例12 求函数y=
x
2
6x13
-
x
2
2
4x5
的值域
2
解：将函数变形为：y=
(x3)

(02)
-
(x2)< br>2

(01)

2

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之
差。即：y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根
据 三角形两边之差小于第三边，
有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣<∣AB∣=
(32)
2

(21)
=
26

2
即：-
26
26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时， 有
∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣=
26
。
综上所述，可知函数的值域为：（-
26
，-
26
）。 注：
由例11，例12可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，
而求两距离之差时，则要使两点A ，B在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x轴的同侧；
例18的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x轴的同侧。
总之，在具 体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择
恰当的方法，一般优先考虑直接 法，函数单调性法然后才考虑用其他各种特殊方法。

求函数值域的常用方法
在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感 到头痛
的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出
现，占有一定的地位， 若方法运用适当，就能起到简化运算过程，
避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 求函数y = 3 -
x
的值域。
解：


x


0

-
x

0 3-
x

3
故函数的值域是：（ -∞，3 ]
2 、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2 、求函数y=
x
2
-2x+5，x

[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）
2
+4，

x

[-1，2]， 由二次函数的性质可知：
当x = 1时，y
min
= 4
当x = - 1，时
y
max
= 8
故函数的值域是：[ 4 ，8 ]
3 、判别式法
2
1xx
2
例3 求函数y = 的值域。
1x
2
解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1 ）
x
2
-x+（y - 1 ）= 0
（1）当y≠1时， x

R ,△ = (-1)
2
-4(y-1)(y-1)

0

解得：
13

y


22
13
, ]
22
（2）当y=1，时，x = 0,而1

[
13
故函数的值域为[，]
22
例4求函数y=x+
x(2x)
的值域。
解：两边平方整理得：2
x
2
-2（y+1）x+y
2
=0 （1）


x

R，

△=4（y+1）2
-8y

0
解得：1-
2

y

1+
2

但此时的函数的定义域由x（2-x）

0，得：0

x

2。
由△

0，仅保证关于x的方程：2
x
2
-2（y+1）x+y
2
=0在 实数集R有实根，而不能确保其实根
在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△

0求出的范围可能比y的实际范围大，
13
故不能确定此函数的值域为[，]。可 以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
22


0
x

2，

y=x+
x(2x)


0，
222
4
2222
4
2

y
=0，y=1+
2
代入方程（1）

[0，2]，即当
x
1
=，解得：
x
1
=时，
min
22< br>原函数的值域为：[0，1+
2
]。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若 原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，
将扩大的部分剔除。
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4
例5 求函数y=值域。
5x6
解：由原函数式可得：x =
则其反函数为：y =
46y

5x3
46y

5y3
3
其定义域为：x ≠
5

3
故所求函数的值域为：（- ∞，）
5
5 、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e
x
1
例6 求函数y =
x
的值域。
e1
解：由原函数式可得：
e
x
=
y1

y1



e
x
>0，

y1
>0
y1
解得：- 1 故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .
6 、函数单调性法
例7 求函数y =
2
解：令y
1
=
2
x5
x5< br>
log
3
x1
（2

x

10）的值域
x1
，则 y
1
，
y
2
在[ 2， 10 ]上都是增函数。 ，
y
2
=
log
3
所以y= y
1
+
y
2
在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y
min
=
2
3
+
log
3
1
21
= ，
8
3
当x = 10 时，
y
max
=
2
5
+
log
9
=33。
1
故所求函数的值域为：[ ，33]。
8
例8 求函数y=
x1
-
x1
的值域。
解：原函数可化为： y=
2
x1x1

令y
1
=
x1
，
y
2
=
x1
，显然y
1
，
y
2
在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y
1
+
y
2
在[1，+∞）上也为无上界的增函数。 所以当x = 1时，y=
y
1
+
y
2
有最小值
2
，原函数有最大值
2
2
=
2
。
显然y>0，故原函数的值域为( 0 ,
2
]。
7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含 有根式或三角函数
公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用 。
例9 求函数y = x +
x1
的值域。
解：令x-1=t，（t

0）则x=
t
2
+1
13
∵y=
t
2
+t+1=
(t)
2< br>+，又t

0，由二次函数的性质可知
24
当t=0时，y
min
= 1， 当t →0时，y →+∞。
故函数的值域为[ 1 ，+∞）
8 数形结合法
其题 型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目
若运用数形结合法 ，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例10 求函数y=
(x2)
2
+
(x8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x ）到定点A（2 ），B（- 8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞]
例11 求函数y=
x
2
6x13
+
2
x
2
4x5
的值域
2
解：原函数可变形为：y=

(x3)

(02)
+(x2)

(01)
22

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
y
min
=∣AB∣=
(32)
2

(21)
=
43
，
2
故所求函数的值域为[
43
，+∞]。
例12 求函数y=
x
2
6x13
-
x
2
2
4x5
的值域
2
解：将函数变形为：y=
(x3)

(02)
-
(x2)< br>2

(01)

2

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之
差。即：y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根
据 三角形两边之差小于第三边，
有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣<∣AB∣=
(32)
2

(21)
=
26

2
即：-
26
26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时， 有
∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣=
26
。
综上所述，可知函数的值域为：（-
26
，-
26
）。 注：
由例11，例12可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，
而求两距离之差时，则要使两点A ，B在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x轴的同侧；
例18的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x轴的同侧。
总之，在具 体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择
恰当的方法，一般优先考虑直接 法，函数单调性法然后才考虑用其他各种特殊方法。