广东省科学技术职业学院-天津市大学排名

第三章 抽屉原理
知识要点
1.抽屉原理的一般表述
(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述
为：
第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物
体。
(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：
第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物
体。
2.构造抽屉的方法
常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、
剩余类等等。
例1 ( 第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题)自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红
桃、红方、黑桃、黑 梅，每种牌都有1点，2点，„„，13点牌各一张)，洗好后背面朝上
放。一次至少抽取张牌，才能保 证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽
出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计 颜色)，那么至少要取 张牌。
点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～1 3点各一张，此时再抽一张，这张
牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。
点拨 对 于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，
此时再取一 张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相
邻。
解 (1)13×2＋1＝27(张)
(2)9×4＋1＝37(张)
例2 证明 ：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6
人属相相同，那 么人的总数应在什么范围内？
点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。
解 (1)因为37÷12＝3„„1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。
(2)要保证有5人的属相相同的最少人数为
4×12＋1＝49(人)
不保证有6人属相相同的最多人数为
5×12＝60(人)
所以，总人数应在49人到60人的范围内。
例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才 能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)
四种花色都有？
点拨 首先我们要弄清楚一副 扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原
则先取出2张为王牌，再取4张均不同 花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保
证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2 )仍需按最不利原则去取牌，先是2张王

牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3 ，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。
解 (1)2＋4×3＋1＝15(张)
答：至少摸15张牌才能保证其中有4张牌花色相同。
(2)2＋13×3＋1＝42(张)
答：至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。
例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定 每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那
么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜 色完全相同？
点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：

把以上6种借球情况看做6个“抽屉”，只要借球人数超过6，就可以知道他们中间 至
少有两人借的球的情况完全相同。比6大的最小整数是7。
解 借球有6种情况，看做6 个抽屉，所以至少要来7名学生借球，才能保证有两名学生借
的球的颜色完全相同。
例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中
较大的数是较小数的 倍数？
点拨 把1～30这30个自然数分成下面15组：{1，2，4，8，16}，{3，6， 12，24}，{5，
10，20}，{7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13， 26}，{15，30}，{1 7}，{19}，{21}，
{23}，{25)，{27}，{29 }，在这15组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这
15组看做15个抽屉，至少要取出 16个数才能达到题目的要求。
解 由于1～30这30个自然数可分成15组：{1，2，4 ，8，16}，{3，6，12，24}，{5，
10，20}，{7，14，28}，{9，18}， {1，22}，{13，26}，{15，30}，{17}，{19}，„，{29}。
看成15个抽 屉，因此至少要取16个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大数是
较小数的倍数。
例6 边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少
有 4个点，以此4点为顶点的四边形面积不超过
1
。
4
1
，13＝4×3＋1，故
4
点拨 把正方形分成四个相同的小正方形，如下图，可作为四个抽屉。
解 把正方形平均分成四个相同的小 正方形，每个正方形的面积为
13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的四边形的面积 不超过小正方形
的面积，即不超过原正方形面积的
1
。
4

例7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明
由 这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色。

点拨 连彩线的方法很多，如果一一画图证结论，不可取，故用抽屉原理解决。
解 因为有六个点，每 个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少
有三条线段同色，不妨设是红色(如右 图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时三角形
a
2
a
3
a4
会出现两种颜色情况。

(1)若a
2
a
3
，a
3
a
4
，a
2
a
4
中有任意一条线 段为红的，那么这条红线段与它的两个端点与a
1
引出的两条线段组成一个红三角形。
(2)若a
2
a
3
，a
3
a
4< br>，a
2
a
4
中没有一条线段是红色的，则a
2
a3
a
4
为一个蓝色三角形。
综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。
说明 若把两种颜色连线换成人与人之间的相 识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果
可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。

解题技巧
利用抽屉原理解决实际问题时，要按以下三个步骤思考：
1.确定把什么当做“抽屉”；
2.确定把什么当做“物体”；
3.如果条件满足“抽屉少、物体多”就能根据抽屉原理得出结论。
要学会构造抽屉。有时在 不同的题目中，相同的对象，有时当做“抽屉”，有时当做“物
体”，到底谁当做抽屉，要因题而异，灵 活应用。
构造抽屉的方法有：数的分组，染色分类，图形分割，剩余类等等。

竞赛能级训练
A 级
1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米？
2.幼儿园买来不少小熊、小兔、小狗玩具，每位小朋友都分到其中一、二或三种。某班有
40人，他们 当中至少有几人拥有的玩具相同？
3.在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至 少有两个点之间的距离不
超过
1
。
3
4.用黑、红两种颜色将一个 长9、宽3的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，试证必有
两列涂色情况一样。
5.从整 数1，2，3，„，199，200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个
数，其中 的一个是另一个的倍数。

6.在10×10方格纸的每个方格中，任意填入1，2，3 ，4四个数之一。然后分别对每个2×2
方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？
7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。
8.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。
9.从3，6，9， „，81，84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90，
试说明之。
10.任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说明之。
11 .能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上1，2，3这三个数，使大正方形的每
行、每列及 两条对角线的各个数字和互不相同？
12.能否把1～7这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等 于2或3？如果能，请排出来；
如果不能，请说明理由。
13.有一个矩形，它由三行若干列 小格组成。对于这个矩形的小方格用两种颜色涂色，至少
有多少列才能保证其中必有两列的涂色方法完全 相同？
14.平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接< br>起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。
15.库房里有一批篮球、排 球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保
证有5人搬运的球完全一样？
16.在一个3×4平方米的长方形盘子中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最小的两个豆的最
大距离是 几米？(这时盘子的对角线长为5米)
17.某中学1999名学生去游故宫、景山和北海三地，规定 每人至少去一处，至多去两地游览，
那么至少有多少人游的地方相同？
18.一个3行7列的 21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：
不论如何涂色，一定能找到一个 由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的
颜色。

B 级
1.某店有126箱苹果，每箱至少有120个苹果，最多有144个苹果。现将苹果个数相同的箱子作为一组。如果其中箱子数最多的一组有n个箱子，那么押的最小值是多少？
2.在{1，2， „，n}中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于
求n的最大值。
3.把1，2 ，3，„，1993，1994，1995置于一个圆周上，请设计一种方法，使其相邻数之间
的差不超 过2。
4.从1，2，3，„，1988，1989这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数 的差不等
于4?
5.四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明 ：四个人中至少
有两对，每对是互赠过礼品的。
6.一排长椅共有90个座位，其中一些座位 已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这
排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就 座的某个人相邻。原来至少有几人
23
，且不大于。
32

已经 就座？
7.把1，2，3，„，8，9，10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。 试说
明其中至少有一个和数不小于17。
8.已知线段AB的长是1米，在AB上共有11个 点，那么其中必有两点之间的距离≤
1
米。
10
9.从1到1994这些自 然数中，任取998个不同的数。试证：其中必有两个数，它们的差是
997。
10.世界中 学生数学竞赛满分是42分，有450名选手参加。(1)比赛结束后是否一定能找到
12人，这12人 所得的分数相同？(2)比赛结束后是否一定能找到11人，这11人所得的分
数相同？为什么？ 11.某人步行10小时，走了45千米。已知他第一小时走了5千米，最后一小时走了3千米，
其 余每小时都走了整数千米。证明在中间8小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要
走10千米。
12.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个自然数中，任意选取8个不 同的数，
其中必有两对数，每对数的差是1。

能力测试
一、选择题(每题6分，共30分)
1.一副扑克牌有54张，至少抽取( )张，才能保证其中必有一张“A”。
A.49 B.50 C.51 D.52
2.有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球，其
中至少有( )个小球的颜色是相同的。
A.3 B.2 C.8
3.某班的小图书库中有诗歌、童话、小人书三类课外读物，规定每位同学最多可以借阅两
种不同类型的 书。至少有( )位同学来借阅图书，才一定有两位同学借阅的书的类型相同。
A.10 B.8 C.7
4.第三十一届国际中学生数学奥林匹克竞赛 于1990年7月在北京举行，全世界52个国家
的308名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家 的选手不得超过6名，至少有( )
个国家派6名选手参赛。
A.50
他们彼此认识。
A.6 B.4 C.5
二、填空题(每题6分，共30分)
1.袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸出的结果是一样的，
至少要摸( )次。
2.从1，2，3，„，1994这些数中最多可以选出( )个数，使其中每两个数的差不等于
4。
3.某班有27名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9个
B.48 C.45
5.某中学有10位老师，每位至少与另外9位中的7位认识，我们必可从中找出( )位，

横排中，至多有( )排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。
4.任意给定四个自然数：a＜b＜c＜d，在b－a，c－a，d－a，c－b，d－b，d－c这六个
差中，可保证有( )个是3的倍数。
5.一副扑克牌共54张(其中2张王牌)，至少从中抽出( )张牌才能保证至少有4张牌
是红桃。
三、解答题(每题10分，共40分)
1.在平面内有1994条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于
180
度 。
1994
2.设自然数n具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中 必有两个数的差是5。
这样的n中最大是几？
3.在1～100这100个数中，最多取多少个数，使一个数是另一个数的2倍？
4.如右图，A、 B、C、D四个小盘拼成一个环形，每个小盘中放若干糖果，每次可取出1
个、2个或4个盘中的全部糖 果，也可取出2个相邻盘中的全部糖果，这样取出的糖果数最
多有几种？

第三章 抽屉原理
知识要点
1.抽屉原理的一般表述
(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述
为：
第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物
体。
(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：
第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物
体。
2.构造抽屉的方法
常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、
剩余类等等。
例1 ( 第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题)自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红
桃、红方、黑桃、黑 梅，每种牌都有1点，2点，„„，13点牌各一张)，洗好后背面朝上
放。一次至少抽取张牌，才能保 证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽
出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计 颜色)，那么至少要取 张牌。
点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～1 3点各一张，此时再抽一张，这张
牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。
点拨 对 于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，
此时再取一 张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相
邻。
解 (1)13×2＋1＝27(张)
(2)9×4＋1＝37(张)
例2 证明 ：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6
人属相相同，那 么人的总数应在什么范围内？
点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。
解 (1)因为37÷12＝3„„1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。
(2)要保证有5人的属相相同的最少人数为
4×12＋1＝49(人)
不保证有6人属相相同的最多人数为
5×12＝60(人)
所以，总人数应在49人到60人的范围内。
例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才 能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)
四种花色都有？
点拨 首先我们要弄清楚一副 扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原
则先取出2张为王牌，再取4张均不同 花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保
证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2 )仍需按最不利原则去取牌，先是2张王

牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3 ，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。
解 (1)2＋4×3＋1＝15(张)
答：至少摸15张牌才能保证其中有4张牌花色相同。
(2)2＋13×3＋1＝42(张)
答：至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。
例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定 每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那
么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜 色完全相同？
点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：

把以上6种借球情况看做6个“抽屉”，只要借球人数超过6，就可以知道他们中间 至
少有两人借的球的情况完全相同。比6大的最小整数是7。
解 借球有6种情况，看做6 个抽屉，所以至少要来7名学生借球，才能保证有两名学生借
的球的颜色完全相同。
例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中
较大的数是较小数的 倍数？
点拨 把1～30这30个自然数分成下面15组：{1，2，4，8，16}，{3，6， 12，24}，{5，
10，20}，{7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13， 26}，{15，30}，{1 7}，{19}，{21}，
{23}，{25)，{27}，{29 }，在这15组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这
15组看做15个抽屉，至少要取出 16个数才能达到题目的要求。
解 由于1～30这30个自然数可分成15组：{1，2，4 ，8，16}，{3，6，12，24}，{5，
10，20}，{7，14，28}，{9，18}， {1，22}，{13，26}，{15，30}，{17}，{19}，„，{29}。
看成15个抽 屉，因此至少要取16个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大数是
较小数的倍数。
例6 边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少
有 4个点，以此4点为顶点的四边形面积不超过
1
。
4
1
，13＝4×3＋1，故
4
点拨 把正方形分成四个相同的小正方形，如下图，可作为四个抽屉。
解 把正方形平均分成四个相同的小 正方形，每个正方形的面积为
13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的四边形的面积 不超过小正方形
的面积，即不超过原正方形面积的
1
。
4

例7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明
由 这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色。

点拨 连彩线的方法很多，如果一一画图证结论，不可取，故用抽屉原理解决。
解 因为有六个点，每 个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少
有三条线段同色，不妨设是红色(如右 图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时三角形
a
2
a
3
a4
会出现两种颜色情况。

(1)若a
2
a
3
，a
3
a
4
，a
2
a
4
中有任意一条线 段为红的，那么这条红线段与它的两个端点与a
1
引出的两条线段组成一个红三角形。
(2)若a
2
a
3
，a
3
a
4< br>，a
2
a
4
中没有一条线段是红色的，则a
2
a3
a
4
为一个蓝色三角形。
综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。
说明 若把两种颜色连线换成人与人之间的相 识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果
可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。

解题技巧
利用抽屉原理解决实际问题时，要按以下三个步骤思考：
1.确定把什么当做“抽屉”；
2.确定把什么当做“物体”；
3.如果条件满足“抽屉少、物体多”就能根据抽屉原理得出结论。
要学会构造抽屉。有时在 不同的题目中，相同的对象，有时当做“抽屉”，有时当做“物
体”，到底谁当做抽屉，要因题而异，灵 活应用。
构造抽屉的方法有：数的分组，染色分类，图形分割，剩余类等等。

竞赛能级训练
A 级
1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米？
2.幼儿园买来不少小熊、小兔、小狗玩具，每位小朋友都分到其中一、二或三种。某班有
40人，他们 当中至少有几人拥有的玩具相同？
3.在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至 少有两个点之间的距离不
超过
1
。
3
4.用黑、红两种颜色将一个 长9、宽3的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，试证必有
两列涂色情况一样。
5.从整 数1，2，3，„，199，200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个
数，其中 的一个是另一个的倍数。

6.在10×10方格纸的每个方格中，任意填入1，2，3 ，4四个数之一。然后分别对每个2×2
方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？
7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。
8.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。
9.从3，6，9， „，81，84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90，
试说明之。
10.任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说明之。
11 .能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上1，2，3这三个数，使大正方形的每
行、每列及 两条对角线的各个数字和互不相同？
12.能否把1～7这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等 于2或3？如果能，请排出来；
如果不能，请说明理由。
13.有一个矩形，它由三行若干列 小格组成。对于这个矩形的小方格用两种颜色涂色，至少
有多少列才能保证其中必有两列的涂色方法完全 相同？
14.平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接< br>起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。
15.库房里有一批篮球、排 球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保
证有5人搬运的球完全一样？
16.在一个3×4平方米的长方形盘子中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最小的两个豆的最
大距离是 几米？(这时盘子的对角线长为5米)
17.某中学1999名学生去游故宫、景山和北海三地，规定 每人至少去一处，至多去两地游览，
那么至少有多少人游的地方相同？
18.一个3行7列的 21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：
不论如何涂色，一定能找到一个 由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的
颜色。

B 级
1.某店有126箱苹果，每箱至少有120个苹果，最多有144个苹果。现将苹果个数相同的箱子作为一组。如果其中箱子数最多的一组有n个箱子，那么押的最小值是多少？
2.在{1，2， „，n}中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于
求n的最大值。
3.把1，2 ，3，„，1993，1994，1995置于一个圆周上，请设计一种方法，使其相邻数之间
的差不超 过2。
4.从1，2，3，„，1988，1989这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数 的差不等
于4?
5.四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明 ：四个人中至少
有两对，每对是互赠过礼品的。
6.一排长椅共有90个座位，其中一些座位 已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这
排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就 座的某个人相邻。原来至少有几人
23
，且不大于。
32

已经 就座？
7.把1，2，3，„，8，9，10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。 试说
明其中至少有一个和数不小于17。
8.已知线段AB的长是1米，在AB上共有11个 点，那么其中必有两点之间的距离≤
1
米。
10
9.从1到1994这些自 然数中，任取998个不同的数。试证：其中必有两个数，它们的差是
997。
10.世界中 学生数学竞赛满分是42分，有450名选手参加。(1)比赛结束后是否一定能找到
12人，这12人 所得的分数相同？(2)比赛结束后是否一定能找到11人，这11人所得的分
数相同？为什么？ 11.某人步行10小时，走了45千米。已知他第一小时走了5千米，最后一小时走了3千米，
其 余每小时都走了整数千米。证明在中间8小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要
走10千米。
12.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个自然数中，任意选取8个不 同的数，
其中必有两对数，每对数的差是1。

能力测试
一、选择题(每题6分，共30分)
1.一副扑克牌有54张，至少抽取( )张，才能保证其中必有一张“A”。
A.49 B.50 C.51 D.52
2.有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球，其
中至少有( )个小球的颜色是相同的。
A.3 B.2 C.8
3.某班的小图书库中有诗歌、童话、小人书三类课外读物，规定每位同学最多可以借阅两
种不同类型的 书。至少有( )位同学来借阅图书，才一定有两位同学借阅的书的类型相同。
A.10 B.8 C.7
4.第三十一届国际中学生数学奥林匹克竞赛 于1990年7月在北京举行，全世界52个国家
的308名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家 的选手不得超过6名，至少有( )
个国家派6名选手参赛。
A.50
他们彼此认识。
A.6 B.4 C.5
二、填空题(每题6分，共30分)
1.袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸出的结果是一样的，
至少要摸( )次。
2.从1，2，3，„，1994这些数中最多可以选出( )个数，使其中每两个数的差不等于
4。
3.某班有27名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9个
B.48 C.45
5.某中学有10位老师，每位至少与另外9位中的7位认识，我们必可从中找出( )位，

横排中，至多有( )排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。
4.任意给定四个自然数：a＜b＜c＜d，在b－a，c－a，d－a，c－b，d－b，d－c这六个
差中，可保证有( )个是3的倍数。
5.一副扑克牌共54张(其中2张王牌)，至少从中抽出( )张牌才能保证至少有4张牌
是红桃。
三、解答题(每题10分，共40分)
1.在平面内有1994条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于
180
度 。
1994
2.设自然数n具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中 必有两个数的差是5。
这样的n中最大是几？
3.在1～100这100个数中，最多取多少个数，使一个数是另一个数的2倍？
4.如右图，A、 B、C、D四个小盘拼成一个环形，每个小盘中放若干糖果，每次可取出1
个、2个或4个盘中的全部糖 果，也可取出2个相邻盘中的全部糖果，这样取出的糖果数最
多有几种？