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七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑 出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据 “狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20
米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”，可 以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20
＝1，现在求马的21份是多少路程， 就是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出 ，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完
全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程 要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了
8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车 在中点40千米处相遇，说明两车的路
程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10 -8）×（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从 同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12
分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时 出发，哥哥改为按逆时针方向跑，
则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速每 秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面
行驶，快车从后面追上来，那么，快车 从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的 车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车
头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈„„100 米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前
方100米处相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过 她前面，已知火
车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出 保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360
÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现 在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它
跑5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子 要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。由“猎
犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a
米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a ＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子
跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要
晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解

9．甲乙两车同时从 AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立即返回。第二次相遇时离B地 的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了
120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程 ，从开始到第二次相
遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次 相遇前
各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共
走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时
出发相向而 行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇 点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小 时。如果水流速度是每

小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2
乘 车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千
米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12×〔 12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）

八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请 求跟他们一起吃,于是
三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”， 可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价
值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当于 甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃
之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。

2．一种商 品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降
了5分之2，那么，今 年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高110，就是22份，利润下降
了25， 今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的2225。

3．甲乙两车分别从A. B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减
少20%,乙的速度增 加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距
多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米

4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原 来的34，则面积是原
来的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27

5．某市场运来香蕉、苹 果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共
45吨。橘子正好占总数的13分之2 。一共运来水果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨

橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份

七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现 在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据 “狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20
米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”，可 以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20
＝1，现在求马的21份是多少路程， 就是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出 ，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完
全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程 要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了
8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车 在中点40千米处相遇，说明两车的路
程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10 -8）×（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从 同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12
分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时 出发，哥哥改为按逆时针方向跑，
则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速每 秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面
行驶，快车从后面追上来，那么，快车 从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的 车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车
头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈„„100 米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前
方100米处相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过 她前面，已知火
车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出 保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360
÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现 在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它
跑5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子 要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。由“猎
犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a
米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a ＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子
跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要
晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解

9．甲乙两车同时从 AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立即返回。第二次相遇时离B地 的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了
120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程 ，从开始到第二次相
遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次 相遇前
各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共
走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时
出发相向而 行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇 点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小 时。如果水流速度是每

小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2
乘 车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千
米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12×〔 12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）

八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请 求跟他们一起吃,于是
三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”， 可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价
值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当于 甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃
之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。

2．一种商 品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降
了5分之2，那么，今 年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高110，就是22份，利润下降
了25， 今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的2225。

3．甲乙两车分别从A. B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减
少20%,乙的速度增 加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距
多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米

4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原 来的34，则面积是原
来的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27

5．某市场运来香蕉、苹 果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共
45吨。橘子正好占总数的13分之2 。一共运来水果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨

橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份