湖南环境生物职业技术学院-炫舞印象

小学六年级中高难度奥数题及答案解析（1）

“奥数”是奥林匹克数学竞赛的 简称。学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的。学习奥数
的年龄根据学生自身特点而定。小学频道在这里 精选了一些典型的小学六年级中高难度的奥
数试题，并附有答案解析，大家来做做看吧！

题1：（中等难度）

做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形 队列）时，还多10人，如
果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？
【答案解析】

当扩大方阵时，需补充10+15人，这25人应站在扩充的方 阵的两条邻边处，形成一层人构
成的直角拐角.补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2 =13人.因此扩大方阵共有13
×13=169人，去掉15人，就是原来的人数
169-15=154人.

题2：（中等难度）

桌上有9只杯子 ，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这
样的“翻转”，都不能使9只 杯子全部口朝下。

【答案解析】

要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次翻 转要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数
之和次翻转即翻转的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转 6只杯子，无论经过多少次
翻转，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次翻转，都不能使9只 杯子全部
口朝下。∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。

题3：（高等难度）

在圆周 上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、
一次蓝.最后统计 有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

【答案解析】

假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同 色.设第一次染m个
珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。
∵2m≠1987（偶数≠奇数）
∴假设不成立。
∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。

题4：（高等难度）

一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

【答案解析】

这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：今有物不知其数，三三 数之剩二，五五数之
剩三，七七数之剩二，问物几何？
关于这道题的解法，在明朝就流传着一首 解题之歌：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知.意思是，用除以3的 余数乘以70，用除以5的余数乘
以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数 的和大于105，那么就减
去 105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：
方法1：2×70+3×21+2×15=233
233-105×2=23
符合条件的最小自然数是23。

题5：（高等难度）

有4个不同 的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，
其中第一个是一个完 全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：
_______．

【答案解析】

题6：（高等难度）

如下图，甲从A出发，不断往返于AB之间行走。乙从C出发， 沿C—E—F—D—C围绕矩形
不断行走。甲的速度是5米秒，乙的速度是4米秒，甲从背后第一次追上 乙的地点离D
点____________米。



【答案解析】

题7：（高等难度）

如 图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点。以C为圆心、
半径 为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧
交EF于H点 ，



【答案解析】

题8：（高等难度）

如图，长方形ABCD中，E为的AD中点，AF与BE、BD 分别交于G、H，OE垂直AD于E，交
AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG．



【答案解析】


题9：（高等难度）

如图，长方形ABCD中，E为的AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂 直AD于E，交
AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG．



【答案解析】


题10：（高等难度）

直角三角形AB C的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC、BC为边向形外分别作正方形ACDE与
BCFG ，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T．问：图中阴
影部分( 与梯形BTFG)的总面积等于多少？

【答案解析】

小学六年级中高难度奥数题及答案解析（2）

“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。 学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的。学习奥数
的年龄根据学生自身特点而定。小学频道在这里精选了 一些典型的小学六年级中高难度的奥
数试题，并附有答案解析，大家来做做看吧！

题1：（中等难度）
计算：
【答案解析】


本题的重点在于计算括号内的算式： ．这个算
式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项 的分子依次成等差数列，而非常见的分子
相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当 的变形，使之转化成我们
熟悉的形式．
法一：
观察可知5=2+3，7=3+4，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法 ．由于分子成等差数列，而等差数
列的通项公式为a+nd，其中为公差d．如果能把分子变成这样的形 式，再将a与nd分开，
每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．


（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：

题2：（中等难度）

一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位 上各数字之和的差是11的倍数，那么
这个自然数是11的倍数，例如1001，因为1+0=0+1， 所以它是11的倍数；又如1234，因
为4+2-（3＋1）=2不是11的倍数，所以1234不是 11的倍数.问：用0、1、2、3、4、5
这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11 的倍数？

【答案解析】

用１．２．３．４．５组成不含重复数字的六位数，
设a1+a3+a5≥a2+a4+a6，则对某一整数k≥0，有：
a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*）
也就是：
a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6）
15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**）
由此看出k只能是奇数
由（*）式看出，0≤k<2 ，又因为k为奇数，所以只可能k=1，但是当k=1时，由（**）式
看出a2+a4+a6=2.
但是在0、1、2、3、4、5中任何三个数之和也不等于2，可见k≠1.因此（*）不成立. 对于a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5的情形，也可类似地证明（a2＋a4＋a6）-（a1＋a3＋ a5）不
，它能被11整除，并

是11的倍数.
根据上述分析知：用 0、1、2、3、4、5不能组成不包含重复数字的能被11整除的六位数.

题3：（中等难度）

某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分 .第一、二、三名的成绩是88、
85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每 个学生的分数都是自然数.
问：至少有几个学生的得分不低于60分？

【答案解析】

除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之间，其他 人共得分：8250-
（88＋85＋80）=7997（分）.
为使不低于60分的人数尽 量少，就要使低于60分的人数尽量多，即得分在30～59分中的
人数尽量多，在这些分数上最多有3 ×（30＋31＋…＋59）= 4005分（总分），因此，得
60～79分的人至多总共得7997-4005=3992分.
如果得60分至79分的有60人，共占分数3×（60+61+ …+ 79）= 4170，比这些人至多得
分7997-4005= 3992分还多178分，所以要从不低于60分 的人中去掉尽量多的人.但显然最
多只能去掉两个不低于60分的（另加一个低于60分的，例如，17 8=60＋60＋58）.因此，
加上前三名，不低于60分的人数至少为61人.

题4：（中等难度）

某个四位数有如下特点：①这个数加1之后是15的倍数；②这 个数减去3是38的倍数；③
把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这 个四位数.
【答案解析】

因为该数加1之后是15的倍数，也是5的倍数，所以d=4或
d=9.
因为该数减去3是38的倍数，可见原数是奇数，因此d≠4，只能是d=9.


这表明m=27、37、47；32、42、52.（因为38m的尾数为6）
又因为38m＋3=15k-1（m、k是正整数）所以38m+4=15k.

由于38m的个位数是6，所以5|（38m＋4），
因此38m+4=15k等价于3|（38m＋4），即3除m余1，因此可知m=37，m=52.
所求的四位数是1409，1979.

题5：（中等难度）

王强 骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车，发现每隔12分钟有一辆汽车
从后面超过他， 每隔4分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时
间也相同，那么调度员每隔几 分钟发一辆车？

【答案解析】

汽车间隔距离是相等的，列出等式为：（汽车速度- 自行车速度）×12=（汽车速度+自行车
速度）×4

得出：汽车速度=自行车速度的2倍. 汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=（2
倍自行车速度- 自行车速度）×12÷2倍自行车速度=6（分钟）.

题6：（高等难度）

李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的
卖给商店， 卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西
两院养 鸡总数的50％.原来东、西两院一共养鸡多少只?

【答案解析】

题7：（高等难度）

在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1) 某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出
一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二 题的人数是解出第三题的人数的2
倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1 人;(4)只解出一道题的
学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )

【答案解析】
根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类 ：只答第1题，只答第2
题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2 、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：

当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a1 23＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件
均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

题8：（高等难度）

有 甲、乙、丙三辆汽车,各以一定的速度从A地开往B地,乙比丙晚出发10分钟,出发后40
分钟追上丙 ；甲比乙又晚出发20分钟,出发后1小时40分钟追上丙,那么甲出发后需多少分
钟才能追上乙。
【答案解析】
由已知条件可知，乙用40分钟所走的路程与丙用50分钟所走的路程 相等；甲用100分钟所
走的路程与丙用130分钟所走的路程相等。故丙用130分钟所走的路程，乙 用了40×（130
÷50）=104 (分钟)，即甲用100分钟走的路程，乙用104分钟走完。 多用4分钟，由于甲
比乙晚出发20分钟，所以甲出发500分钟才能追上乙。

题9：（中等难度）

如果多位数
【答案解析】
能被7整除，那么О内的数字是几？

2009÷3=669…2，从最后一位开始三位三位一 段，则奇数段减去偶数段的差为：999-О
99+222-22=200+О×100。结果要能被7 整除，可得О=5

题10：（中等难度）

狗跑5步的时间马跑3步，马跑 4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？

【答案解析】
据马跑4步的距离狗跑7步，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据狗跑5步 的时间马跑3步，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20x
米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20

根据现在狗已跑出3 0米，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20
＝1，现在求马的21份是多 少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米