参考文献标注格式-社会实践个人小结

小学六年级奥数教案—21枚举法




本教程共30讲
枚举法
我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式， 然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它
们的算 式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的
对象能够被一一列举出来，或能被分类 列举出来，那么问题就可以通过枚
举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不 重
复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
例1 小明和小红玩掷骰子的游戏 ，共有两枚骰子，一起掷出。若两
枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他 们
两人谁获胜的可能性大。
分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列 举出来，
就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子
的点数是b的 情况。
出现7的情况共有6种，它们是：
1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：
2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现
8的情况有2＋6 ，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一
样大”，那就错了。
例2 数一数，右图中有多少个三角形。

分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位 置也很凌乱，不好
数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号

（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的„„再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4个：
（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2个：
（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1个：
（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。
例3 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
分析与解：上珠一个表示5，下珠一个表示1。分三类枚举：
（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；
（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；
（3）一颗 上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，
1500，6000 七个数。
一共可以表示 3＋4＋7=14（个）四位数。
由例1～3看出，当可 能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结
果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举， 分类枚举是我
们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不
遗漏，并 且类与类之间不重叠，这样才能不重复。

例4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，
共有多少种不同的展开图？
分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来
分类，可以分为三类：
最长一行有4个正方形的有2种，见图（1）（2）；
最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）～（7）；
最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。

不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。
例5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准 备每天做一门，
且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，
这五 天作业他共有多少种不同的安排？
分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不 同安
排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法
原理与加法原理来 计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。
但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能 的选择画出一个树枝状的
图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。

由上图可知，共有6种不同的安排。

例6 一 次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分
钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师 写出一个新题时，如果原有
题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同
顺序共有多少种可能？
分析与解：与例5类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，
因此可以通过画枚举 树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。

由上图可知，共有5种不同的顺序。
说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，
表示在第一个5分钟内 做完了第1题，在第二个5分钟内没做完第2题，
这时老师写出第3题，只好转做第3题，做完后再转做 第2题。
例7 是否存在自然数n，使得n
2
＋n＋2能被3整除？
分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对
象是所有自然数，自然数有无限多个 ，那么能否用枚举法呢？我们将自然
数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类 一一
枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n
2
，n都能被3整除，所以
（n
2
＋n＋2）÷3余2；
当n除以3余1时，因为n
2
，n除以3都余1，所以
（n
2
＋n＋2）÷3余1；
当n除以 3余 2时，因为n
2
÷3余1，n÷3余2，所以
（n
2
＋n＋2）÷3余2。
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的 自然数n，（n
2
＋n
＋2）都不能被3整除。
练习21
1.10种。

解：6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋ 4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2
＝1+1+1+1+2=1+1+1+ 1+1+1。
2.9种。
解：一天吃完有1种：（10）；两天吃完有5种：（3 ，7），（4，6），
（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3种：（3，3，4），（3 ，
4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。
3.8种。
解 ：如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放
的有4种，5个小矩形都竖放的有1种 。共3＋4＋1=8（种）。

4.6个。
解：15个球分成数量不同的 四堆的所有分法有下面6种：（1，2，3，
9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1， 3，4，7），（1，3，5，
6），（2，3，4，6）。
可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。
5.10个。
提示：由一块 、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1
个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
6.6种。
提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：

7.14种。
提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：


练习21
1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？
2.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少
种不同的吃法？
3.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种
不同盖法？

4.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？
5.数数右图中共有多少个三角形？

6.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第 一盘，并最终获胜。
问：各盘的胜负情况有多少种可能？
7.经理有4封信先后交给打字 员，要求打字员总是先打最近接到的
信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打 完，

那么就应先打第2封信而不能打第1封信。打字员打完这4封信的先后顺
序有多少种可能？
答案与提示 练习21
1.10种。
解：6=1＋5=2＋4=3＋3= 1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2
＝1+1+1+1+2=1+ 1+1+1+1+1。
2.9种。
解：一天吃完有1种：（10）；两天吃完有5 种：（3，7），（4，6），
（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3种：（3，3，4 ），（3，
4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。
3.8种。
解：如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放
的有4种，5个小矩形 都竖放的有1种。共3＋4＋1=8（种）。

4.6个。
解：15个球 分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种：（1，2，3，
9），（1，2，4，8，）（1，2，5 ，7），（1，3，4，7），（1，3，5，
6），（2，3，4，6）。
可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。
5.10个。
提示：由一块 、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1
个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
6.6种。
提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：

7.14种。
提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：

小学六年级奥数教案—21枚举法




本教程共30讲
枚举法
我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式， 然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它
们的算 式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的
对象能够被一一列举出来，或能被分类 列举出来，那么问题就可以通过枚
举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不 重
复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
例1 小明和小红玩掷骰子的游戏 ，共有两枚骰子，一起掷出。若两
枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他 们
两人谁获胜的可能性大。
分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列 举出来，
就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子
的点数是b的 情况。
出现7的情况共有6种，它们是：
1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：
2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现
8的情况有2＋6 ，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一
样大”，那就错了。
例2 数一数，右图中有多少个三角形。

分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位 置也很凌乱，不好
数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号

（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的„„再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4个：
（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2个：
（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1个：
（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。
例3 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
分析与解：上珠一个表示5，下珠一个表示1。分三类枚举：
（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；
（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；
（3）一颗 上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，
1500，6000 七个数。
一共可以表示 3＋4＋7=14（个）四位数。
由例1～3看出，当可 能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结
果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举， 分类枚举是我
们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不
遗漏，并 且类与类之间不重叠，这样才能不重复。

例4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，
共有多少种不同的展开图？
分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来
分类，可以分为三类：
最长一行有4个正方形的有2种，见图（1）（2）；
最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）～（7）；
最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。

不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。
例5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准 备每天做一门，
且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，
这五 天作业他共有多少种不同的安排？
分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不 同安
排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法
原理与加法原理来 计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。
但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能 的选择画出一个树枝状的
图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。

由上图可知，共有6种不同的安排。

例6 一 次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分
钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师 写出一个新题时，如果原有
题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同
顺序共有多少种可能？
分析与解：与例5类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，
因此可以通过画枚举 树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。

由上图可知，共有5种不同的顺序。
说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，
表示在第一个5分钟内 做完了第1题，在第二个5分钟内没做完第2题，
这时老师写出第3题，只好转做第3题，做完后再转做 第2题。
例7 是否存在自然数n，使得n
2
＋n＋2能被3整除？
分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对
象是所有自然数，自然数有无限多个 ，那么能否用枚举法呢？我们将自然
数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类 一一
枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n
2
，n都能被3整除，所以
（n
2
＋n＋2）÷3余2；
当n除以3余1时，因为n
2
，n除以3都余1，所以
（n
2
＋n＋2）÷3余1；
当n除以 3余 2时，因为n
2
÷3余1，n÷3余2，所以
（n
2
＋n＋2）÷3余2。
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的 自然数n，（n
2
＋n
＋2）都不能被3整除。
练习21
1.10种。

解：6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋ 4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2
＝1+1+1+1+2=1+1+1+ 1+1+1。
2.9种。
解：一天吃完有1种：（10）；两天吃完有5种：（3 ，7），（4，6），
（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3种：（3，3，4），（3 ，
4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。
3.8种。
解 ：如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放
的有4种，5个小矩形都竖放的有1种 。共3＋4＋1=8（种）。

4.6个。
解：15个球分成数量不同的 四堆的所有分法有下面6种：（1，2，3，
9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1， 3，4，7），（1，3，5，
6），（2，3，4，6）。
可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。
5.10个。
提示：由一块 、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1
个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
6.6种。
提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：

7.14种。
提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：


练习21
1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？
2.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少
种不同的吃法？
3.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种
不同盖法？

4.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？
5.数数右图中共有多少个三角形？

6.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第 一盘，并最终获胜。
问：各盘的胜负情况有多少种可能？
7.经理有4封信先后交给打字 员，要求打字员总是先打最近接到的
信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打 完，

那么就应先打第2封信而不能打第1封信。打字员打完这4封信的先后顺
序有多少种可能？
答案与提示 练习21
1.10种。
解：6=1＋5=2＋4=3＋3= 1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2
＝1+1+1+1+2=1+ 1+1+1+1+1。
2.9种。
解：一天吃完有1种：（10）；两天吃完有5 种：（3，7），（4，6），
（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3种：（3，3，4 ），（3，
4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。
3.8种。
解：如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放
的有4种，5个小矩形 都竖放的有1种。共3＋4＋1=8（种）。

4.6个。
解：15个球 分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种：（1，2，3，
9），（1，2，4，8，）（1，2，5 ，7），（1，3，4，7），（1，3，5，
6），（2，3，4，6）。
可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。
5.10个。
提示：由一块 、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1
个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
6.6种。
提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：

7.14种。
提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：