矿业大学-社团活动总结

小学六年级奥数题“分数的计算”
引用知识点：
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计 算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？
原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为
首项，最后一项称为 末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与
前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。

其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；
（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2
。
例 1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项 是1，末项是1999，共有1999个数。由等差
数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析 与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21 （项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时 ，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、
公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1
，
末项=首项+公差×（项数-1）
。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
知识点一：
例一：计算
2009(3.4693.5)

3.5693.4
3.4693.5

(3.40.1)69 3.4
分析：可以清楚地看到分子的括号部分可以通过乘法意义转化成与分母相同的一个算式使计算简便 。
解 原式=
2009
3.4693.5

3.4696.93.4
3.4693.5
=
2009

3.4693.5
=
2009
=2009

随堂练习：
（1）







22.390.131

2.3920.131

139

131313
例二：计算124
1.22.44.8248
131313
1.23.6 10.82618
分析：通过观察，找到分子、分母的共同点，变形以后，计算过程就简单了 。
1
1.2
3
1392
3
139()< br>3
139
13
1
解 原式=
1.23
1242
3
124()
3
124
13


1
1.2
3
2
3
()
3
139
13

12 4
1.2
3
2
3
(
1
)
3
=
13


=
3

随堂练习：
（1）











3

8
123246100200300
< br>234468200300400
135

17171 7
124
（2）
1.12.24.4248


171717
1.13.35.52610

例三：计算
13
1
2
111111111

5791113151719
4865121024

分析： 先分别把整数部分的数、分数部分的数合并，然后把整数部分的和加上分数部分的和。

解： 原式=
(135791113151719)(

=

=
100

=
100

随堂练习：
（1）
1992













（2）
(









1
2
11111111
)

48121024
100(1
1
)
1024

1023

1024
1023

1024
11111111
123451990-1991

23232323
2469835799
)()

343343343343686686686686

例四：计算
(1)(2)(3 )(4)(5)(6)(7)(8)(9

分析： 把每个括号里 的结果计算出来，解这道题的方法可能就产生了，第一个括号的差是
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
)

10
1
，第二个括号
的差是
4
3
，第三个括号的差是
9
4
，……
解： 原式=
1
2

4
3

9
4
16
5

25
6

36
7

49
8

64
9

81
10


=
12
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
2

3

4

5

6

7

8

9

10


=
346789

=36288

随堂练习：
（1）
(1
1
2
)(1
12
)(1
1
3
)(1
1
3
)( 1
11
99
)(1-
99
)













（2）
(1
7
33
)(1
7
33
 2)(1
777
33
3)(1
33
10)(1
33
11)

2

小学六年级奥数题“分数的计算”
引用知识点：
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计 算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？
原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为
首项，最后一项称为 末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与
前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。

其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；
（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2
。
例 1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项 是1，末项是1999，共有1999个数。由等差
数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析 与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21 （项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时 ，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、
公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1
，
末项=首项+公差×（项数-1）
。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
知识点一：
例一：计算
2009(3.4693.5)

3.5693.4
3.4693.5

(3.40.1)69 3.4
分析：可以清楚地看到分子的括号部分可以通过乘法意义转化成与分母相同的一个算式使计算简便 。
解 原式=
2009
3.4693.5

3.4696.93.4
3.4693.5
=
2009

3.4693.5
=
2009
=2009

随堂练习：
（1）







22.390.131

2.3920.131

139

131313
例二：计算124
1.22.44.8248
131313
1.23.6 10.82618
分析：通过观察，找到分子、分母的共同点，变形以后，计算过程就简单了 。
1
1.2
3
1392
3
139()< br>3
139
13
1
解 原式=
1.23
1242
3
124()
3
124
13


1
1.2
3
2
3
()
3
139
13

12 4
1.2
3
2
3
(
1
)
3
=
13


=
3

随堂练习：
（1）











3

8
123246100200300
< br>234468200300400
135

17171 7
124
（2）
1.12.24.4248


171717
1.13.35.52610

例三：计算
13
1
2
111111111

5791113151719
4865121024

分析： 先分别把整数部分的数、分数部分的数合并，然后把整数部分的和加上分数部分的和。

解： 原式=
(135791113151719)(

=

=
100

=
100

随堂练习：
（1）
1992













（2）
(









1
2
11111111
)

48121024
100(1
1
)
1024

1023

1024
1023

1024
11111111
123451990-1991

23232323
2469835799
)()

343343343343686686686686

例四：计算
(1)(2)(3 )(4)(5)(6)(7)(8)(9

分析： 把每个括号里 的结果计算出来，解这道题的方法可能就产生了，第一个括号的差是
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
)

10
1
，第二个括号
的差是
4
3
，第三个括号的差是
9
4
，……
解： 原式=
1
2

4
3

9
4
16
5

25
6

36
7

49
8

64
9

81
10


=
12
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
2

3

4

5

6

7

8

9

10


=
346789

=36288

随堂练习：
（1）
(1
1
2
)(1
12
)(1
1
3
)(1
1
3
)( 1
11
99
)(1-
99
)













（2）
(1
7
33
)(1
7
33
 2)(1
777
33
3)(1
33
10)(1
33
11)

2