相当于合做1小时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2
小时，余下部分问题就 好解决了．
解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？
1÷（
111
＋）=
7
（小时）
12185
②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？
1－7×（
③余下的

11
1
＋）=
1218
36
1
由甲单独做需要多少小时？
36
1
1
1
÷=（小时）
12
3
36
④共用了多少小时？
7×2＋=
14
（小时）
答：共用了
14
小时。
1
3
1
3
1
3

习题一
1 ，一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，
余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完． 问若甲单独做6天，余
下工作乙要做几天？
2，一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合 挖12天后，剩
下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天
3，客车 与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟
相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客 车从甲站到乙站行4
小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？
4，水箱上装有甲、乙两 个注水管．单开甲管20分钟可以注满
全箱。现在两管同时注水2.5分钟，注满水箱的
需要多 少分钟注满水箱？
5，一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做
若干天后 ，乙接着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．
6，一项工程，甲、乙两队合作6天能完成。 已知单独做，甲
完成与乙完成所需时间相等。问单独做甲、乙各需多少天？
7，做一批儿童玩 具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙
组每天可生产64件．如果让甲、乙两组合作4 天，则还有256件没完成．现
在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？

1< br>3
1
2
5
。如果单开乙管
24
5
6

第一讲 工程问题
工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率
（单位时间内完成的工作量）．
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，
工作总量÷工作效率＝工作时间．
为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．
例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完 成，乙丙两队合作需
15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需
几天完 成？
分析 设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为
丙合作的工效为
1，乙、
12
11
，甲、丙合作的工效为。因此甲、乙、丙三队
1520< br>111
合作的工效的2倍为＋＋，所以甲、乙、丙三队合作的工效
121520
1111
为（＋＋）÷2=。因此三队合作完成这项工程的时间为1
12152010
1
÷=10（天）
10
解：1÷[（
111
＋＋）÷2]=10（天）
121520

答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．
说明：我们通 常把工量“一项工程”看成一个单位，这样，工效
就用工时的倒数来表示。如例1中甲、乙两队合作的工 时为12天，
那么工效就为
11
，它表示甲、乙两队一天完成全部工程的。
1212
例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先
做5天后，因 事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的
各需几天？
分析 设一批零件为单位“１”，其中 ６天完成任务，用表示
师徒的工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，
关键 在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3
天，师傅再做2天．
解：师傅工效：（
1
6
711
－×３）÷２＝；
10610
11
＝；
1015
1
＝10（天）
10
7
批零件
10
1
6
徒弟工效：－
师傅单独做需几天：１÷
徒弟单独做需几天：1÷
1
＝15（天）。
15
答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．
例3 一项工程，甲单独完成 需12天，乙单独完成需9天．若
甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？

分析 解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以
根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。
解：设甲做了x天．那么，
甲完成工作量的
1
x
，乙做的天数10－
x
，
12
1
9
乙完成工作量（10－
x
）×，
因此
11
x
＋（10－
x
）×
=1，
129
两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36
x＝4．
答：甲做了4天．
例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；
甲先做8 小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时
后由乙接着做，还需要多少小时完成？
分析 设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12
小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都 可完成，用图表
示它们的关系如下：

由 图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时
工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解 问题．
解：若由乙单独做共需几小时：
6×3＋12＝30（小时）．
若由甲单独做需几小时：
8＋6÷3＝10（小时）．
甲先做3小时后乙接着做还需几小时：
（10－3）× 3＝21（小时）．
答：乙还需21小时完成．
例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成
全部工程的。如果想提前6天完工，还需增加多少人？
分析 由18人修12天完成了全部 工程的，可通过18×12
求出用一天完成工作量共需要的总人数，也可通过18×12求出用
一人完成工作量共需要的总天数。所以由÷（18×12）求出1
人1天完成全部工程的几分之几（即一 人的工效）。
解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：
÷（1 8×2）=
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1

648

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：
（1－）÷[< br>=÷
2
3
1
3
1
×（30－12－6）]
648
12

648
=36（人）
③需增加几人：
36－18＝18（人）．
答：还要增加18人．
例6 蓄水池有一条进水管和一 条排水管．要灌满一池水，单开
进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有
半池水，如果按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：
多长时间后水池的水刚好排完 ？（精确到分钟）
分析与解答 ①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，
一个出水 管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝
1÷（进水管工效－出水管工效）。
排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．
②这道应用题是分析推理与计算相结合的 题目．根据已知条件推
出水池中的水每小时减少－=
1
3
1
5
21
。水池中有半池水即，经过6
152

21
×（6÷2） =。如果按进水、排水的顺序进行，
1510
113
1
则又应进水1小时，这 时水池内共有水＋=。如果按每小时的
10510
3
39
1
9
流速排出需要÷=（小时），共用的时间为6＋1＋=7.9（小
1010
3
10< br>小时后还剩－
1
2
时）=7小时54分刚好排完。
例7 一件工作 ，甲5小时先完成了，乙6小时又完成了剩下
任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时 间才能完
成？
分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分
别求出 甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总
工作量）的几分之几？
解：甲工作效率：÷5=
1
4
1
4
1
；
20
1
2
1
4
乙工作效率：（1－）×÷6=
1
；
16
余下部分甲、乙合作需要几小时：
（1－）×（1－）÷（
1
3
1
4
1
2
111
＋）=
3
（小时）
20163
答：还需要
3
小时才能完成任务。
例8 甲 、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多
1
，如果二人一起干，完成任务时乙比甲 多植树36棵，这批树一共
3
多少棵？

分析 求这批树一共多少棵， 必须找出与36棵所对应的甲、乙
工效差。乙知甲比乙所用的时间多，可以求出甲与乙所用的时间比为4：3。当工作总量一定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙
的工时比为：1=4：3，所以 甲与乙的工效比是3：4。这个间接条
件一旦揭示出来，问题就得到解决了。
解：设乙所用时 间为“1”，甲的时间是乙的1＋=
1
（倍），则
甲与乙的时间比是4：3。
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工
效比是时间比的反比，为3∶4。
共植树多少棵：36÷（－）=252（棵）
答：这批树一共252棵．
例9 加 工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做
16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的 没有完成。乙知甲每
天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个？
分析 欲求这批零件共多 少个，由题中条件只需知道甲、乙二人
每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多 少
天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即
可．由条件知甲做16天， 乙做12天共完成工程的，也即相当于
甲、乙二人合做12天，另外加上甲又做4天共完成这批零件的；
3
5
3
5
2
5
4
7
3
7
1
3
1
3
4
3
1
3

又知道甲、乙二人合做24天可以完成，因此甲单独做所用天数可求
出，那么乙单独做所用天数也就迎 刃而解。
解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？

1
1
×12=
24
2
甲1天能完成全工程的几分之几？
（－）÷（16－12）=
3
5
1
2
1

40
乙1天可完成全工程的几分之几？
11
1
－=
2440
60
这批零件共多少个？
3÷（
1
1
－）=360（个）
40
60
答：这批零件共360个．
例10 一项工程，甲单独做要12小 时完成，乙单独做要18小
时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙
做 1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？
分析 要求共用多少小时？可以设 想把这些小时重新分配：甲做
1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，