夸张句-企业制度建设的重要性

第六章 定义新运算
知识要点
加、减、乘、除四则运算是数学中 最基本的运算，它的意义、法则已被我们所熟知。所
谓“定义新运算”，是以四则运算为基础，以一种特 殊的符号来表示的特别定义(规定)的运
算。运算时要严格按照新运算的定义进行代换，再进行计算。具 体程序如下：
1.代换。即按照定义符号的运算方法，进行代换。注意此程序不能轻易改变原有的运算
顺序。
2.计算。准确地计算代换后的算式结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)对于非零自然数a和b，规定
符号

的含义是：a

b＝
3

4＝ 。
点拨 首先，应确定所定义新运算中待定的常数m，利用1

4＝2
3，求出m的值，再求
3

4的值。
mab
(m是一个确 定的整数)。如果1

4＝2

3，那么
2ab
ma b

2ab
m14m4
所以1

4＝＝
2148
m232m3
2

3＝＝
22312
解 因为a

b＝
又已知 1

4＝2

3
m42m3
＝
812
3m124m6
即 ＝
2424
所以
于是 3m＋12＝4m＋6
解得 m＝6
从而 3

4＝
6342211
＝＝
2342412
说明 要准确理解新运算

的含义，将特定的

转化为普通的加、乘、除运算。
例2 定义运算“*”，对于任意数a和b，有a*b＝a×b－(a＋b)。
计算：(1)7*8；(2)12*4；(3)(3*5)*7；(4)4*(9*10).
点拨 (1)、(2)根据题意可知“a*b＝a×b－(a＋b)”，两个数按定义的运算步骤是两个数
的积 减去这两个数的和。
(3)先计算出括号中3*5的值，得3*5＝3×5－(3＋5 )＝15－8＝7。求出括号内的值
是7，原式(3*5)*7可化简为7*7，再计算出它的值即可。
(4)先计算9*10的值，9*10＝9×10－(9＋10)＝90－19＝71。 进而求4*(9*10)，即
4*71的值。
解 (1)7*8
＝7×8－(7＋8)

＝56－15
＝41
(2)12*4
＝12×4－(12＋4)
＝48－16
＝32
(3)(3*5)*7
＝[3×5－(3＋5)]*7
＝7*7
＝7×7－(7＋7)
＝35
(4)4*(9*10)
＝4*[9×10－(9＋10)]
＝4*71
－4×71－(4＋71)
－209
说明 (1)由此题可以看出，在定义运算“a*b＝a×b－(a＋b)” 中，a，b所代表的是规定范
围内的任何数，而定义的新运算的步骤、方法是不变的，所以a和b已确定 是多少时，其最
终结果也就可以求出来。
(2)运算时，有括号的先求括号内的值 ，再求括号外的值；在运算时一定要按照运算顺
序计算，不能把交换律、结合律套用到定义新运算上。
例3 有一个数学运算符号“*”，使下列算式成立：4*8＝16；10*6＝26；6*10＝2 2；18*14
＝50。求7*13的值。
点拨 这道题中没有直接给“*”的运算是如何 定义的，这要靠给出的四组数据进行合理的
猜想、验证来发现规律，从而明确这一符号所新定义的运算方 法。由前四组可以发现：
4×2＋8＝16 ，10×2＋6＝26，6×2＋10＝22 ，18×2＋14＝50。由此可知，定义的规
则是“a*b＝a×2＋b”，据此可以算出7*13的 值。
解 因为4×2＋8＝16，10×2＋6＝26，6×2＋10＝22，18×2＋14 ＝50，所以新定义规
则是a*b＝a×2＋b。
所以7*13＝7×2＋13＝27。
例4 对正整数a，b定义一种新运算
▽
○，a
▽
○b等于由a开始的连续b个正整数之和。如2
▽
○
3＝2 ＋3＋4＝9，5
▽
○4＝5＋6＋7＋8＝26。
(1)试计算1
▽
○[9
▽
○(9
▽
○5)]的值；
(2)若1
▽
○x＝15，求x；
(3)若x
▽
○3＝12，求x。
点拨 首先准确理解新运算
▽
○的含义，将特定的
▽
○转化为普通的运算。
解 (1)9
▽
○5＝9＋10＋11＋12＋13＝55
9
▽
○(9
▽
○6)＝9
▽
○55＝9＋10＋11＋„＋ (55＋9－1)

＝9＋10＋11＋„＋63＝
∴ 1
▽
○[9
▽
○(9
▽
○5)]
(963)55
＝1980
2
＝1
▽
○1980＝1＋2＋3＋„＋1980
＝(1＋1980)×1980÷2＝1961190
(2)由1
▽
○x＝15，得1＋2＋3＋„＋x＝15，
解得x＝5。
(3)由x
▽
○3＝12，得x＋(x＋1)＋(x＋2)＝12
即3x＋3＝12
则 x＝3
说明 要准确理解新运算
▽
○ 的含义，2
▽
○3＝2＋3＋4＝9，而3
▽
○2＝3＋4＝7。所以一般地 来讲，
a
▽
○b的这种新运算不满足交换律。
＋
2＝例5 如果3○
11
＋
3＝，8○，
348910
1
。
120
＋
2－5○
＋
3的值； (1)求6○
＋
4＝ (2)解方程x○
点拨 本题的含义是：以第一个数为分 母的起始数，第二个数是几，就再在分母后连乘几个
连续的自然数，即第二个数表示连续相乘的数的个数 ，分子为1。
11
－
67567
51
＝－
567567
4
＝
567
2
＝
105
1
＋
4＝ (2)x○
120
＋
2－5○
＋
3＝解 (1)6○

1
1
＝
x(x1)(x2)(x3)
120
x×(x＋1)×(x＋2)×(x＋3)＝120
因为 120＝2×3×4×5
所以 x＝2
baba13
－，a□b＝＋，那么1.3△(2□4)＋的值是多少？
abab
25
4213
点拨 首先化简小括号里面的，2□4＝＋＝2.5，所以原算式等于1.3△2.5＋。
24
25
13
解 1.3△(2□4)＋
25
例6 若规定a△b＝

4213
＋)＋
24
25
13
＝1.3△2.5＋
25
2.51.313
＝－＋
1.32.5
25
25
＝
13
12
＝1
13
＝1.3△(
例7 对于任意自然数p和q，规定：
1


3pq(pq为偶数)，

pq


2


pq100(pq为奇数 )。
＋
12)＋(11○
＋
12)。 求：(10○
点拨 本题的含义是规定了两种运算，即两数的和为偶数采用第一种方法，两数的和为奇数
时采用第二种方法。
＋
12)＋(11○
＋
12) 解 (10○
＝3×10＋
1
×12＋11×12＋100
2
＝30＋6＋132＋100
＝268
例8 对于任意的两个自然数a和b，规 定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a＋2)„(a＋b－1)。
如果(x*3)*2＝3660 ，那么x等于多少？
点拨 根据题中所定义的“*”的运算可知，x*3表示的是从x开始的三个连 续自然数的乘
积，即x*3＝x×(x＋1)×(x＋2)，而(x*3)*2则等于[x×(x＋1) ×(x＋2)]×[x×(x＋1)×(x
＋2)＋1]，而(x*3)*2＝3660。
解 [x×(x＋1)×x＋2)]×[x×(x＋1)×(x＋2)＋1]＝3660
[x×(x＋1)×x＋2)]×[x×(x＋1)×(x＋2)＋1]＝60×61
x×(x＋1)×(x＋2)＝60
x×(x＋1)×(x＋2)＝3×4×5
x＝3
例9 两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如52＝1，7
25＝4，618＝0。
已知(19x)19＝5，而x小于50，求x。
点拨 用y来表示19x，不管19作除数还是被除数，19x都比19小，所以y应小于19。
解 设y＝19x，则方程y19＝5，说明y与19相除(大数除以小数)余数是5。所以∥是
14或7(其他的数超过了19)。
(1)当y＝7时，19x＝7有两种情况：
①
①①
①①
①①
①
①①①

第一种情况：x小于19，而19除以x余7，则x能被19－7＝12整除，由于x不小
于8，所以x ＝12。
第二种情况：x大于19，此时19除x余7，x是19的倍数加7，由于x小 于50，所
以x＝19＋7＝26或x＝19×2＋7＝45。
(2)当y＝14时，可知19x＝14有两种情况：
第一种情况：x小于19，这时1 9除以x余14，x整除19－14＝5，但、x要大于14，
这是不可能的。
第二种情况：x大于19，此时19除x余14，这就表明x是19的倍数再加上14。又
因为x小于5 0，所以x＝19＋14＝33。
所以，方程(19x)19＝5有四个解：
x＝12，x＝26，x＝33或x＝45。
例10 x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△ ”如下：x*y＝mx＋ny，x△y＝kxy，其中
m，n，k均为自然数，“＋”和“×”为普通的 加法和乘法。已知1*2＝5，(2*3)△4＝64，
求(1△2)*3的值。
点拨 由“*”的运算规则可得1*2＝m＋2n＝5。
而m，n为自然数，所以可能存在下面 两种情况：m＝1，n＝2或m＝3，n＝1。这样可
得x*y＝x＋2y或x*y＝3x＋y。
则2*3＝2＋2×3＝8或2*3＝3×2＋3＝9。
再由“△ ”的运算法则可得：若(2*3)△4＝8△4＝32k＝64。则k＝2，所以x△y＝2xy；
若( 2*3)△4＝9△4＝36k＝64，这时k的值不是自然数，则x*y＝3x＋y与题中条件不符，舍
去。
解 由x*y＝mx＋ny
得1*2＝m＋2n＝5
故可得m*1，n*2或m*3，n＝1
即x*y＝x＋2y或x*y＝3x＋y
所以 2*3＝2＋2×3*8或2*3*3×2＋3＝9
所以有两种情况：
(1)(2*3)△4＝8△4
＝32k
＝64
k＝2，即x*y＝2xy
(2)(2*3)△4＝9△4＝36k＝64
此时是非自然值，所以x*y＝3x＋y舍去。
所以(1△2)*3＝(2×1×2)*3＝4*3＝4＋2×3＝10.
解题技巧
定义新运算问题首先要清楚所定义的运算规则，只有清楚了规则，才能按照规则进行代
换，而这一代换的 过程是否准确关键是按照规则进行转换。这种转换在将来的有关代数知识
．．
的学习中会经常用 到，所以它对将来的学习也是很有益处的。其次是按照代换后的算式，化
①①
①

简并算出其结果。

竞赛能级训练
A 级
1.若a△b ＝abx，a▽b＝
ab
，且(1△3)▽73＝1△(3▽3)，求(1△3)▽3的值。
2
2.给出一个自然数N，N的约数的个数用记号A(N)表示，N的约数的和用记号B(N) 表示。例
如，N＝8时，因为8的约数有1，2，4，8四个，所以A(8)＝4，B(8)＝15。
(1)求A(42)，B(42)的值。
(2)使A(N)＝8的最小自然数N是多少？
3.规定x△y＝
1
11
＋，而且1△1＝1，求998△999的值。
3
xyy(Ax)
△
”如下：对两个自然数a和b ，它们的最小公倍数与 最大公约数的差记为4.定义运算“○
△
b。例如：10和14的最小公倍数为70，最大公约 数为2，则10○
△
14＝70－2＝68。已知a○
△
x＝27，求x的值 。 6○
×
y＝A×x×y，
＋
y＝5.规定x○x○
xy
×
3)○
＋
3＝1○
＋
(3○
×
3)，
×
3)○
＋
3值为多少？ ，且(1○则(1○
2
6.规定a△b＝ a＋(a＋1)＋(a＋2)＋„＋(a＋b－1)(a，b均为自然数，且b＞a)。如果x△10
＝ 65，那么x的值为多少？
7.对于自然数a，b，a△b＝
的值。

B 级
1.如果a*b表示3a－2b，例如4*5＝3×4－2×5＝2，那么当x*5比5*x大5时 ，x等于几？
2.有A、B、C、D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A:将 输入的数
加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3。 这
些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3。
(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？
(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？
(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？
3.运算“▽”定义如下：对任何数a和 自然数n，a＋1求倒数(第一次)，再加1求倒数(第
二次)，直至加上1求第n次倒数，最后得到这 个数记作a▽n。例如：a▽1＝
＝
6ab
(其中m是一个确定的数)。如果1△ 2＝2，求2△9
ma2b
1
，a▽2
1a
1
1
1
1a
。求：
1
▽4。
2
11
1＋，且1*1＝1。求
ab
b(ka)
3
4.a，b是任意自然数，k 是固定不变的数，规定：a*b＝

1998*1999的值。
5.设a*b＝5a＋4b，当x*9＝91时，求
11
*(x*)的值。
54
6.定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为
a△b。例如：4△6＝(4，6)＋[4，6]＝2＋12＝14。根据上面定义的运算，求(8△12)的 值。

能力测试
(每题10分，共100分)
1.令“*”表示下列＝切非零自然数定义的运算符号，对任意两个非零自然数a和b ，有a÷b
＝2ab。请判断下列三个论断的真伪：
(1)a*b＝b*a；
(2)(a*b)*c＝a*(b*c)；
11
*a＝a*＝a。
22
k ab
＋
b＝
＋
6＝6○
＋
5，求(6○
＋
4)×(2○
＋
15)的值。 2.规定a○，且5○
ab
(3)
3.令x△y＝
3x
，求(1△6)＋(4△8)。
4y
4 .规定运算“*”如下：3*5＝3＋4＋5＋6＋7＝25，7*4＝7＋8＋9＋10＝34„(1)若51 *x＝
210，求x；(2)若x*5＝200，求x。
5.“”表示一种运算，“
A,B
”的含义是A与B中较大数与较小数
的差。例如：
23，23
＝
5,6
＝6－5＝1。那么
3,5， 3
＝ 。
6.“*”表示一种运算，它的含义是：x*y＝
＝ 。
1
11
＋。如果3*2＝，那么A
4
xy(x1)(yA)7.规定符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“○”为选择两数中较小的数的运算，例
如，3 △5＝5，3○5＝3。请计算[(7○3)△5]×[5○(3△7)]。
8.对于任意的两个自然 数a和b，规定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a＋2)(a＋3)„(a＋b－
1)。如果( x*3)*2＝3660，那么x等于几？
9.设P*Q＝5P＋3Q，当x*9＝37时，求
11
*(x*)的值。
53
10.规定x*y＝

axy
，且5*6＝6*5，求(3*2)×(1*10)的值。
xy

第六章 定义新运算
知识要点
加、减、乘 、除四则运算是数学中最基本的运算，它的意义、法则已被我们所熟知。所
谓“定义新运算”，是以四则 运算为基础，以一种特殊的符号来表示的特别定义(规定)的运
算。运算时要严格按照新运算的定义进行 代换，再进行计算。具体程序如下：
1.代换。即按照定义符号的运算方法，进行代换。注意此程序不能轻易改变原有的运算
顺序。
2.计算。准确地计算代换后的算式结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)对于非零自然数a和b，规定
符号

的含义是：a

b＝
3

4＝ 。
点拨 首先，应确定所定义新运算中待定的常数m，利用1

4＝2
3，求出m的值，再求
3

4的值。
mab
(m是一个确 定的整数)。如果1

4＝2

3，那么
2ab
ma b

2ab
m14m4
所以1

4＝＝
2148
m232m3
2

3＝＝
22312
解 因为a

b＝
又已知 1

4＝2

3
m42m3
＝
812
3m124m6
即 ＝
2424
所以
于是 3m＋12＝4m＋6
解得 m＝6
从而 3

4＝
6342211
＝＝
2342412
说明 要准确理解新运算

的含义，将特定的

转化为普通的加、乘、除运算。
例2 定义运算“*”，对于任意数a和b，有a*b＝a×b－(a＋b)。
计算：(1)7*8；(2)12*4；(3)(3*5)*7；(4)4*(9*10).
点拨 (1)、(2)根据题意可知“a*b＝a×b－(a＋b)”，两个数按定义的运算步骤是两个数
的积 减去这两个数的和。
(3)先计算出括号中3*5的值，得3*5＝3×5－(3＋5 )＝15－8＝7。求出括号内的值
是7，原式(3*5)*7可化简为7*7，再计算出它的值即可。
(4)先计算9*10的值，9*10＝9×10－(9＋10)＝90－19＝71。 进而求4*(9*10)，即
4*71的值。
解 (1)7*8
＝7×8－(7＋8)

＝56－15
＝41
(2)12*4
＝12×4－(12＋4)
＝48－16
＝32
(3)(3*5)*7
＝[3×5－(3＋5)]*7
＝7*7
＝7×7－(7＋7)
＝35
(4)4*(9*10)
＝4*[9×10－(9＋10)]
＝4*71
－4×71－(4＋71)
－209
说明 (1)由此题可以看出，在定义运算“a*b＝a×b－(a＋b)” 中，a，b所代表的是规定范
围内的任何数，而定义的新运算的步骤、方法是不变的，所以a和b已确定 是多少时，其最
终结果也就可以求出来。
(2)运算时，有括号的先求括号内的值 ，再求括号外的值；在运算时一定要按照运算顺
序计算，不能把交换律、结合律套用到定义新运算上。
例3 有一个数学运算符号“*”，使下列算式成立：4*8＝16；10*6＝26；6*10＝2 2；18*14
＝50。求7*13的值。
点拨 这道题中没有直接给“*”的运算是如何 定义的，这要靠给出的四组数据进行合理的
猜想、验证来发现规律，从而明确这一符号所新定义的运算方 法。由前四组可以发现：
4×2＋8＝16 ，10×2＋6＝26，6×2＋10＝22 ，18×2＋14＝50。由此可知，定义的规
则是“a*b＝a×2＋b”，据此可以算出7*13的 值。
解 因为4×2＋8＝16，10×2＋6＝26，6×2＋10＝22，18×2＋14 ＝50，所以新定义规
则是a*b＝a×2＋b。
所以7*13＝7×2＋13＝27。
例4 对正整数a，b定义一种新运算
▽
○，a
▽
○b等于由a开始的连续b个正整数之和。如2
▽
○
3＝2 ＋3＋4＝9，5
▽
○4＝5＋6＋7＋8＝26。
(1)试计算1
▽
○[9
▽
○(9
▽
○5)]的值；
(2)若1
▽
○x＝15，求x；
(3)若x
▽
○3＝12，求x。
点拨 首先准确理解新运算
▽
○的含义，将特定的
▽
○转化为普通的运算。
解 (1)9
▽
○5＝9＋10＋11＋12＋13＝55
9
▽
○(9
▽
○6)＝9
▽
○55＝9＋10＋11＋„＋ (55＋9－1)

＝9＋10＋11＋„＋63＝
∴ 1
▽
○[9
▽
○(9
▽
○5)]
(963)55
＝1980
2
＝1
▽
○1980＝1＋2＋3＋„＋1980
＝(1＋1980)×1980÷2＝1961190
(2)由1
▽
○x＝15，得1＋2＋3＋„＋x＝15，
解得x＝5。
(3)由x
▽
○3＝12，得x＋(x＋1)＋(x＋2)＝12
即3x＋3＝12
则 x＝3
说明 要准确理解新运算
▽
○ 的含义，2
▽
○3＝2＋3＋4＝9，而3
▽
○2＝3＋4＝7。所以一般地 来讲，
a
▽
○b的这种新运算不满足交换律。
＋
2＝例5 如果3○
11
＋
3＝，8○，
348910
1
。
120
＋
2－5○
＋
3的值； (1)求6○
＋
4＝ (2)解方程x○
点拨 本题的含义是：以第一个数为分 母的起始数，第二个数是几，就再在分母后连乘几个
连续的自然数，即第二个数表示连续相乘的数的个数 ，分子为1。
11
－
67567
51
＝－
567567
4
＝
567
2
＝
105
1
＋
4＝ (2)x○
120
＋
2－5○
＋
3＝解 (1)6○

1
1
＝
x(x1)(x2)(x3)
120
x×(x＋1)×(x＋2)×(x＋3)＝120
因为 120＝2×3×4×5
所以 x＝2
baba13
－，a□b＝＋，那么1.3△(2□4)＋的值是多少？
abab
25
4213
点拨 首先化简小括号里面的，2□4＝＋＝2.5，所以原算式等于1.3△2.5＋。
24
25
13
解 1.3△(2□4)＋
25
例6 若规定a△b＝

4213
＋)＋
24
25
13
＝1.3△2.5＋
25
2.51.313
＝－＋
1.32.5
25
25
＝
13
12
＝1
13
＝1.3△(
例7 对于任意自然数p和q，规定：
1


3pq(pq为偶数)，

pq


2


pq100(pq为奇数 )。
＋
12)＋(11○
＋
12)。 求：(10○
点拨 本题的含义是规定了两种运算，即两数的和为偶数采用第一种方法，两数的和为奇数
时采用第二种方法。
＋
12)＋(11○
＋
12) 解 (10○
＝3×10＋
1
×12＋11×12＋100
2
＝30＋6＋132＋100
＝268
例8 对于任意的两个自然数a和b，规 定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a＋2)„(a＋b－1)。
如果(x*3)*2＝3660 ，那么x等于多少？
点拨 根据题中所定义的“*”的运算可知，x*3表示的是从x开始的三个连 续自然数的乘
积，即x*3＝x×(x＋1)×(x＋2)，而(x*3)*2则等于[x×(x＋1) ×(x＋2)]×[x×(x＋1)×(x
＋2)＋1]，而(x*3)*2＝3660。
解 [x×(x＋1)×x＋2)]×[x×(x＋1)×(x＋2)＋1]＝3660
[x×(x＋1)×x＋2)]×[x×(x＋1)×(x＋2)＋1]＝60×61
x×(x＋1)×(x＋2)＝60
x×(x＋1)×(x＋2)＝3×4×5
x＝3
例9 两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如52＝1，7
25＝4，618＝0。
已知(19x)19＝5，而x小于50，求x。
点拨 用y来表示19x，不管19作除数还是被除数，19x都比19小，所以y应小于19。
解 设y＝19x，则方程y19＝5，说明y与19相除(大数除以小数)余数是5。所以∥是
14或7(其他的数超过了19)。
(1)当y＝7时，19x＝7有两种情况：
①
①①
①①
①①
①
①①①

第一种情况：x小于19，而19除以x余7，则x能被19－7＝12整除，由于x不小
于8，所以x ＝12。
第二种情况：x大于19，此时19除x余7，x是19的倍数加7，由于x小 于50，所
以x＝19＋7＝26或x＝19×2＋7＝45。
(2)当y＝14时，可知19x＝14有两种情况：
第一种情况：x小于19，这时1 9除以x余14，x整除19－14＝5，但、x要大于14，
这是不可能的。
第二种情况：x大于19，此时19除x余14，这就表明x是19的倍数再加上14。又
因为x小于5 0，所以x＝19＋14＝33。
所以，方程(19x)19＝5有四个解：
x＝12，x＝26，x＝33或x＝45。
例10 x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△ ”如下：x*y＝mx＋ny，x△y＝kxy，其中
m，n，k均为自然数，“＋”和“×”为普通的 加法和乘法。已知1*2＝5，(2*3)△4＝64，
求(1△2)*3的值。
点拨 由“*”的运算规则可得1*2＝m＋2n＝5。
而m，n为自然数，所以可能存在下面 两种情况：m＝1，n＝2或m＝3，n＝1。这样可
得x*y＝x＋2y或x*y＝3x＋y。
则2*3＝2＋2×3＝8或2*3＝3×2＋3＝9。
再由“△ ”的运算法则可得：若(2*3)△4＝8△4＝32k＝64。则k＝2，所以x△y＝2xy；
若( 2*3)△4＝9△4＝36k＝64，这时k的值不是自然数，则x*y＝3x＋y与题中条件不符，舍
去。
解 由x*y＝mx＋ny
得1*2＝m＋2n＝5
故可得m*1，n*2或m*3，n＝1
即x*y＝x＋2y或x*y＝3x＋y
所以 2*3＝2＋2×3*8或2*3*3×2＋3＝9
所以有两种情况：
(1)(2*3)△4＝8△4
＝32k
＝64
k＝2，即x*y＝2xy
(2)(2*3)△4＝9△4＝36k＝64
此时是非自然值，所以x*y＝3x＋y舍去。
所以(1△2)*3＝(2×1×2)*3＝4*3＝4＋2×3＝10.
解题技巧
定义新运算问题首先要清楚所定义的运算规则，只有清楚了规则，才能按照规则进行代
换，而这一代换的 过程是否准确关键是按照规则进行转换。这种转换在将来的有关代数知识
．．
的学习中会经常用 到，所以它对将来的学习也是很有益处的。其次是按照代换后的算式，化
①①
①

简并算出其结果。

竞赛能级训练
A 级
1.若a△b ＝abx，a▽b＝
ab
，且(1△3)▽73＝1△(3▽3)，求(1△3)▽3的值。
2
2.给出一个自然数N，N的约数的个数用记号A(N)表示，N的约数的和用记号B(N) 表示。例
如，N＝8时，因为8的约数有1，2，4，8四个，所以A(8)＝4，B(8)＝15。
(1)求A(42)，B(42)的值。
(2)使A(N)＝8的最小自然数N是多少？
3.规定x△y＝
1
11
＋，而且1△1＝1，求998△999的值。
3
xyy(Ax)
△
”如下：对两个自然数a和b ，它们的最小公倍数与 最大公约数的差记为4.定义运算“○
△
b。例如：10和14的最小公倍数为70，最大公约 数为2，则10○
△
14＝70－2＝68。已知a○
△
x＝27，求x的值 。 6○
×
y＝A×x×y，
＋
y＝5.规定x○x○
xy
×
3)○
＋
3＝1○
＋
(3○
×
3)，
×
3)○
＋
3值为多少？ ，且(1○则(1○
2
6.规定a△b＝ a＋(a＋1)＋(a＋2)＋„＋(a＋b－1)(a，b均为自然数，且b＞a)。如果x△10
＝ 65，那么x的值为多少？
7.对于自然数a，b，a△b＝
的值。

B 级
1.如果a*b表示3a－2b，例如4*5＝3×4－2×5＝2，那么当x*5比5*x大5时 ，x等于几？
2.有A、B、C、D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A:将 输入的数
加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3。 这
些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3。
(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？
(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？
(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？
3.运算“▽”定义如下：对任何数a和 自然数n，a＋1求倒数(第一次)，再加1求倒数(第
二次)，直至加上1求第n次倒数，最后得到这 个数记作a▽n。例如：a▽1＝
＝
6ab
(其中m是一个确定的数)。如果1△ 2＝2，求2△9
ma2b
1
，a▽2
1a
1
1
1
1a
。求：
1
▽4。
2
11
1＋，且1*1＝1。求
ab
b(ka)
3
4.a，b是任意自然数，k 是固定不变的数，规定：a*b＝

1998*1999的值。
5.设a*b＝5a＋4b，当x*9＝91时，求
11
*(x*)的值。
54
6.定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为
a△b。例如：4△6＝(4，6)＋[4，6]＝2＋12＝14。根据上面定义的运算，求(8△12)的 值。

能力测试
(每题10分，共100分)
1.令“*”表示下列＝切非零自然数定义的运算符号，对任意两个非零自然数a和b ，有a÷b
＝2ab。请判断下列三个论断的真伪：
(1)a*b＝b*a；
(2)(a*b)*c＝a*(b*c)；
11
*a＝a*＝a。
22
k ab
＋
b＝
＋
6＝6○
＋
5，求(6○
＋
4)×(2○
＋
15)的值。 2.规定a○，且5○
ab
(3)
3.令x△y＝
3x
，求(1△6)＋(4△8)。
4y
4 .规定运算“*”如下：3*5＝3＋4＋5＋6＋7＝25，7*4＝7＋8＋9＋10＝34„(1)若51 *x＝
210，求x；(2)若x*5＝200，求x。
5.“”表示一种运算，“
A,B
”的含义是A与B中较大数与较小数
的差。例如：
23，23
＝
5,6
＝6－5＝1。那么
3,5， 3
＝ 。
6.“*”表示一种运算，它的含义是：x*y＝
＝ 。
1
11
＋。如果3*2＝，那么A
4
xy(x1)(yA)7.规定符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“○”为选择两数中较小的数的运算，例
如，3 △5＝5，3○5＝3。请计算[(7○3)△5]×[5○(3△7)]。
8.对于任意的两个自然 数a和b，规定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a＋2)(a＋3)„(a＋b－
1)。如果( x*3)*2＝3660，那么x等于几？
9.设P*Q＝5P＋3Q，当x*9＝37时，求
11
*(x*)的值。
53
10.规定x*y＝

axy
，且5*6＝6*5，求(3*2)×(1*10)的值。
xy