小学六年级奥数教案—11圆与扇形
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小学六年级奥数教案—11圆与扇形
本教程共30讲
圆与扇形
五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成
的
组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。
圆的面积=πr
2
，
圆的周长=2πr，
本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。
例1 如下图所示，200米赛跑的起点和终点
都在直跑道上，中间的弯
道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯
道比内道的弯道长，
要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等
于
外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两
条弯道的中心线的半径之差等于一
条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道
的长度之差为
πR-πr＝π（R-r）
＝3.14×1.22≈3.83（米）。
即外道的起点在内道起点前面3.83米。
例2 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆
（如左下图），此时橡皮筋的长度是
多少厘米？
分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是
360°，所以BC弧所对
的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆
的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长
=5×6＋5×3.14＝45.7
（厘米）。
例3
左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：直接套用公式，正
方形中间的阴影部分的面积不太好计算。
容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级
学过的割
补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个
正方形与4个
半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）
2
＋πr
2
×2=10
2
＋
3.14×50≈257（厘米
2
）。
例4 草场上有一
个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一
角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：
这只羊能够活动的范
围有多大？
分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，
所以羊活动的范围是
例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米
2
，求扇形的半径。
分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。
所以，扇形的半径是4厘米。
例6
右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面
积。
分析与解：解此题的基本思路是：
从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分S
1
的面积，就必须想
办法求出S
2
和S
3
的面积。
S
3
的面积又要用下图的基本思路求：
现在就可以求出S
3
的面积，进而求出阴影部分的面积了。
S
3
=S
4
-S
5
=50π-
100（厘米
2
），
S
1
=S
2
-S
3
=50π-（50π-100）=100（厘米
2
）。
练习11
1.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此
时B，C点分别到达B1
，C
1
点；再绕B
1
点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C
1
点分别到达A
2
，C
2
点。求C点经C
1
到C
2
走过的路径的长。
2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘
米？
3
.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右
上图），绳长是4米，求狗所能到的
地方的总面积。
5.右上图是一个400米的跑道，两头是
两个半圆，每一半圆的弧长是
100米，中间是一个长方形，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑
道
所围成的面积之比。
6.左下图中，正方形周长是圆环周长的2倍，当
圆环绕正方形无滑动
地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？
7.右上图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π厘米
2
，
求图中三角形的面积。
答案与提示 练习11
1.68厘米。
2.62.8厘米。
解：大圆直径是6厘米，小圆直径是2厘米。阴影部分周长是6π+2
π×7=62.8（厘米）。
3.43.96米
2
。
解：如下页右上图所示，可分为半径为4米
、圆心角为300°的扇形
与两个半径为1米、圆心角为120°的扇形。面积为
4.60°。
解：设∠CAB为n度，半圆ADB的半径为r。由题意有
解得n=60。
5.1∶3。
6.3圈。
7.8厘米
2
。
解：圆的面积是4
2
π=16π（厘米
2
），空白扇形面积占圆面积的1-
的等腰直角三角形，面积为4×4÷2=8（厘米
2
）。
小学六年级奥数教案—11圆与扇形
本教程共30讲
圆与扇形
五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形
以及由它们形成
的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。
圆的面积=πr
2
，
圆的周长=2πr，
本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。
例1 如下图所示，200米赛跑
的起点和终点都在直跑道上，中间的弯
道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内
道起点前
面多少米？（精确到0.01米）
分析与解：半径越大，周长越长，
所以外道的弯道比内道的弯道长，
要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离
等
于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两
条弯道的中心线的半
径之差等于一条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道
的长度之差为
πR-πr＝π（R-r）
＝3.14×1.22≈3.83（米）。
即外道的起点在内道起点前面3.83米。
例2 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆
（如左下图），此时橡皮筋的长度是
多少厘米？
分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是
360°，所以BC弧所对
的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆
的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长
=5×6＋5×3.14＝45.7
（厘米）。
例3
左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：直接套用公式，正
方形中间的阴影部分的面积不太好计算。
容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级
学过的割
补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个
正方形与4个
半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）
2
＋πr
2
×2=10
2
＋
3.14×50≈257（厘米
2
）。
例4 草场上有一
个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一
角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：
这只羊能够活动的范
围有多大？
分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，
所以羊活动的范围是
例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米
2
，求扇形的半径。
分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。
所以，扇形的半径是4厘米。
例6
右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面
积。
分析与解：解此题的基本思路是：
从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分S
1
的面积，就必须想
办法求出S
2
和S
3
的面积。
S
3
的面积又要用下图的基本思路求：
现在就可以求出S
3
的面积，进而求出阴影部分的面积了。
S
3
=S
4
-S
5
=50π-
100（厘米
2
），
S
1
=S
2
-S
3
=50π-（50π-100）=100（厘米
2
）。
练习11
1.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此
时B，C点分别到达B1
，C
1
点；再绕B
1
点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C
1
点分别到达A
2
，C
2
点。求C点经C
1
到C
2
走过的路径的长。
2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘
米？
3
.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右
上图），绳长是4米，求狗所能到的
地方的总面积。
5.右上图是一个400米的跑道，两头是
两个半圆，每一半圆的弧长是
100米，中间是一个长方形，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑
道
所围成的面积之比。
6.左下图中，正方形周长是圆环周长的2倍，当
圆环绕正方形无滑动
地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？
7.右上图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π厘米
2
，
求图中三角形的面积。
答案与提示 练习11
1.68厘米。
2.62.8厘米。
解：大圆直径是6厘米，小圆直径是2厘米。阴影部分周长是6π+2
π×7=62.8（厘米）。
3.43.96米
2
。
解：如下页右上图所示，可分为半径为4米
、圆心角为300°的扇形
与两个半径为1米、圆心角为120°的扇形。面积为
4.60°。
解：设∠CAB为n度，半圆ADB的半径为r。由题意有
解得n=60。
5.1∶3。
6.3圈。
7.8厘米
2
。
解：圆的面积是4
2
π=16π（厘米
2
），空白扇形面积占圆面积的1-
的等腰直角三角形，面积为4×4÷2=8（厘米
2
）。