十大鬼镇-教师资格证网上报名

第十一讲 数论综合（二）
教学目标：

1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；
2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想

例题精讲：
板块一 质数合数

【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3， 从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，
可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其 中的质数都写出来．
【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数1 2，13，21，23，31，32；抽三
张卡片，可写出三位数123，132，213，231，3 12，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整
除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2 ，3，13，23，31．

【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
，满足
abc11(abc)
，则 可知
a
、
b
、
c
中必有一个为11，不妨
记为a
，那么
bc11bc
，整理得(
b1
)(
c 1
)
12
，又
121122634
，对应的
b2
、
c13
或
b3
、
c7
或
b4
、
c5
(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．

【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都 要用到并且只能用一次，那
么这9个数字最多能组成多少个质数？
【解析】 要使质数个数最 多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、
8、9这5个 不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数
67．所以 这9个数字最多可以组成6个质数．

【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相 同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位
数．求这两个整数分别是多少？
【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个 数都
可以表示成两个整数相加的形式，例如
3313223133016 17
，共有16种形式，
如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相 同的三位数，显然太繁琐了．可
以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、 444、555、666、777、888、999，每
个数都是111的倍数，而
1113 73
，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位
数相乘时，必有一个因数是 37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数
了．
把九个三位 数分解：
111373
、
222376743
、
333 379
、
4443712746
、
5553715
、
6663718749
、
7773721
、
888 37247412
、
9993727
．
把两个因数相加，只有(
743
)
77
和(
3718
)
55
的两位数字相同．所以满足题意的答案是74
和3，37和18．

板块二 余数问题

【例 5】 (
2003
年全国小学数学奥林匹克试题)有两个 自然数相除，商是
17
，余数是
13
，已知被除数、除数、
商与余数 之和为
2113
，则被除数是多少？
【解析】 被除数

除数
商

余数

被除数

除数+17+13=2 113，所以被除数

除数=2083，由于被除数是除数
的17倍还多13，则由“ 和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=196 8．

【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【解析】 本 题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998
的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，
3< br>19982337
，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2 ，3，6，9是比10小的约数，
所以符合题目条件的自然数共有11个．

【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．
【解析】 (法1) 39336
，
1473144
，
(36,144)12
，12的约数是
1,2,3,4,6,12
，因为余数为3要小于除

数，这个数是
4,6,12
；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除 这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任
意两数差的公约数．
513912
，
14739108
，
(12,108)12
，所以这个数是
4 ,6,12
．

【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数 ，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和
是50，那么这个整数是______．
【解析】
(70110160)50290
，
50316.. ....2
，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是
29和58，
1 10581......52
，
5250
，所以除数不是58．
70 292......12
，
110293......23
，
160 295......15
，
12231550
，所以除数是
29< br>

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91， 129得到的三个余数之和为25，那
么n=________．
【解析】 n能整除
639112925258
．因为
2538...1
，所以n是258 大于8的约数．显然，n不
能大于63．符合条件的只有43．

【例 9】 一个 大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，
则 这个自然数是多少？
【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去 除
90164254
后所得的余数，
所以254和220除以这个自然数后所得的 余数相同，因此这个自然数是
25422034
的约数，又大
于10，这个自然数 只能是17或者是34．
如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是2 2、28、16，不符合题目条件；
如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数 分别是5、11、16，符合题目条件，所以
这个自然数是17．

【例 10】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数
A
除甲数所得余数是
A
除乙数所得余数的2倍，
A
除
乙数所得余数是
A
除丙数所得余数的2 倍．求
A
等于多少？
【解析】 根据题意，这三个数除以
A
都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603AK
1
r
1

939AK
2
r
2

393AK
3
r
3

由于
r
1< br>2r
2
，
r
2
2r
3
，要消去余数r
1
，
r
2
，
r
3
，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．
这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．
于是我们可以得到下面的式子：
603AK
1
r
1


9392

A2K
2
2r
2


3934

A2K
3
4r
3

这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被
A
整除．
9 3926031275
，
3934603969
，

1 275,969

51317
．
51的约数有1、3、17、51， 其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以
A
等于17．

【例 11】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题)
2
2003
与
2003
2
的和除以7的余数是________．
【解析】 找规律． 用7除2，
2
2
，
2
3
，
2
4
，
2
5
，
2
6
，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2 ，4，1，…，2
的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数 为2；2的个
数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为
2
2003
2
36672
，所以
2
2003
除以7余4．又两个数的积
除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以
2003
2
除以7余1．故
2003
2
2
与
2003
的和 除以7的余数是
415
．

20082
22008
除以7的余数是多少？ 【巩固】
200836 69＋13669
3
2(2)2
，其除以7的余数为：【解析】
2 8
除以7的余数为1，
200836691
，所以
2
1
669
22
2
2008
；2008除以7的余数为6，则
20 08
2
除以7的余数等于
6
2
除以7的余数，为1；所以
2
2008
除以7的余数为：
213
．

【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，„„，从第三个数起，每个数都是 前两
个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余 数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，
0，1 ，1，2，3，0，……

可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中 ，每5个数中第五个数是5的倍数．
由于
200954014
，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21„„这串数列 当中第2008个数除以3
所得的余数为多少？
【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三 个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定
理将裴波那契数列转换为被3除所得余数 的数列：
1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个 是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除
的余数每8个一个周期循环出现 ，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数
为第8项被3除所得的余数，为 0．

【例 13】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将
111213. .....
依次写到第1997个数字，组成一个
1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．
【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和． 1～9
共有9个数字，
10～99
共有90个两位数，共有数字：
90 2180
(个)，
100～999
共900个
三位数，共有数字：90032700
(个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，
(19979180)3602......2
，即有60 2个三位数，第603个三位数只写了它
的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第 603个三位数是9，其中2未写出来．因为
连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然 数也能被9整除，702个数能分成的组
702978
(组)，数是：依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为
9-27
．

【例 14】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031， 第一个数各个位的数字之和是10，第
二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．
【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数 字之
和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，< br>所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的
余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，
即
31031311001143217

所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360

【例 15】 设
2009
2009
的各位数字之和为
A
，
A
的各 位数字之和为
B
，
B
的各位数字之和为
C
，
C的各位数字
之和为
D
，那么
D
？
【解析】 由于一 个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以
2009
2009
与< br>A
、
B
、
C
、
D
除
以9都同余， 而2009除以9的余数为2，则
2009
2009
除以9的余数与
2
2009
除以9的余数相同，而
2
6
64
除以9的余数为1，所 以
2
2009
2
63345


2
6

334
2
5
除以9的余数为
2
5
除 以9的余数，即为5．
另一方面，由于
2009
2009
100002009
10
8036
，所以
2009
2009
的位 数不超过8036位，那么它的各位数字
之和不超过
9803672324
，即< br>A72324
；那么
A
的各位数字之和
B9545
，
B
的各位数字之
C
小于18且除以9的余数为5，
C
的各位 数字之和为5，和
C9218
，那么
C
为5或14，即
D5
．

板块三 完全平方数

【例 16】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而
722
3
3
2< br>266
，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于
231 3119222008232322048
，所以
21
2
、
22
2
、……、
231
2
都满足题意，即
所求 的满足条件的数共有31个．

【例 17】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【解析】 设这个数减 去
63
为
A
2
，减去
100
为
B
2
，则
A
2
B
2


AB
 
AB

1006337371
，
可知
A B37
，且
AB1
，所以
A19
，
B18
，这样这个数为
18
2
100424
．

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【解析】 假设能找到 ，设这两个完全平方数分别为
A
2
、
B
2
，那么这两个完全 平方数的差为
54

AB

AB

，由 于

AB

和

AB

的奇偶性质相 同，所以

AB

AB

不是4的倍数，
就 是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以
54
不可能等于两个平方数的差，那 么
题中所说的数是找不到的．

【例 18】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最
小值为 ．
【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候 有技巧：
一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
设中间数是x，则它们的和为
5x
， 中间三数的和为
3x
．
5x
是平方数，设
5x5
2
a
2
，则
x5 a
2
，
22
22
3x15a35a
是立方数，所以
a
至少含有3和5的质因数各2个， 即
a
至少是225，中间的
数 至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．


板块四 位值原理

【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加 以交换，得到一个新的两位数．如
果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数 中最大的是多少？
【解析】 设原来的两位数为
ab
，交换后的新的两位数为
ba
，根据题意，
ab5
abba(10ab)(10ba)9(ab)45
，
b 4
，原两位数最大时，十位数字至多为9，即
a9
，
，原来的两位数中最 大的是94．

【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数 也叫原数的反序数)，新数比原数
大8802．求原来的四位数．
【解析】 设原数为
abcd
，则新数为
dcba
，
．
根据题意， 有
999(da)90(cb)8802
，
111(da)10(c b)97888890
．
推知
da8
，
cb9< br>，得到
d9
，
a1
，
c9
，
b0< br>，原数为1099．

【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字， 用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数
的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
【解析】 设这六个不同的三位数为
abc,acb,bac,bca,cab,cba
，
因为
abc100a10bc
，
acb100a10cb
，……，它 们的和是：
222(abc)1554
，所以
abc1554222 7
，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少
为1，2，而< br>7(12)4
，所以最大的数最大为4；又
12367
，所以最 大的数大于
3
，所以
最大的数为4，其他两数分别是1，2．

【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有 这样的6个
三位数中最小的三位数．
【解析】 设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
abcacbbacbcac abcba2(abc)1002(abc)102(abc)222(ab c)
dcbaabcd(1000d100c10ba)(1000a100b10c d)999(da)90(cb)

所以
abc28 8622213
，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位
数与个 位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为
13193
，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为
139
．

【巩固】 a， b，c分别是
09
中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之 和是
2234，那么另一个三位数是几？
【解析】 由
a
，
b，
c
组成的六个数的和是
222(abc)
．因为
223 422210
，所以
abc10
．
若
abc11
，则所求数为
222112234208
，但
2081011
，不合题意．
若
abc12
，则所求数为
222122 234430
，但
430712
，不合题意．
若
ab c13
，则所求数为
222132234652
，
6521 3
，符合题意．

若
abc14
，则所求数为
222142234874
，但
8741914
，不合题意．
若
abc15
，则所求数
2221522341096
，但 所求数为三位数，不合题意．
所以，只有
abc13
时符合题意，所求的三位数为652．

板块五 进制问题

【例 21】 在几进制中有
413100
？
【解析】 利用尾数分析来解决这个问题： 由于
(4)
10
(3)
10
(12)
10
，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．
所以说进位制
n
为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．
但是式子中出现了4，所以
n
要比4大，不可能是4，3，2进制．
另外， 由于
(4)
10
(13)
10
(52)
10
， 因为
52100
，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知
道
n10
，那么
n
不能是12．
所以，
n
只能是6．

【巩固】 算式
15342543214
是几进制数的乘法？
【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为
4520
，但是 现在为4，说明进走
20416
，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有
15342538350 43214
，所以在
原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

【例 22】 在6进制中有三位数
abc
，化为9进制为
cba
，求这个三位数在十进制中为多少？
【解析】 (abc)6 =a×62＋b×6+c= 36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c +9b+a；
于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必 须是5的倍数，又(3，5)=1．所
以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，
不可 以有一个数字为16．
②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后 ，3+2c≡0．所以c=2或者2+7k(k为整数)．因
为有6进制，所以不可能有9或者9以上的 数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc)6 =(552)6
=5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．


课后练习：

练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
，满足
abc7(abc)
，则可 知
a
、
b
、
c
中必有一个为7，不妨记
为
a
，那么
bc7bc
，整理得
(b1)(c1)8
，又
81824
，对应的
b

2、
c

9(舍去)或
b

3、
c

5，所以这三个质数可能是3 ，5，7

练习 2． 有一个大于1的整数，除
45,59,101
所得的余数相同，求这个数．
【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同
余定理 ，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差
10145 56
，
594514
，
14
的约数有
1,2,7,1 4
，的公约数．所以这个数可能为
2,7,14
．
(56,14)14
，

练习 3． 将1至2008这2008个自然数 ，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：
111213

20072008，试 求这个多位数除以9的余数．
【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于< br>
19992000

被9除的余数，但是
由于199 9与

1999

被9除的余数相同，2000与

2000

被9除的余数相同，所以19992000
就与

19992000

被9除的余数相同．
由此可得，从1开始的自然数11121 3

20072008被9除的余数与前2008个自然数之和
除以9的余数相同．
根据等差数列求和公式，这个和为：

12008

2008< br>2
2017036
，它被9除的余数为1．

另外还可以利用 连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，
161718，…… ，7，2008等数，可见它被9除
的余数与2008被9除的余数相同．
因此，此数被9除的余数为1．

练习 4． 在7进制中有三位数
abc
，化为9进制为
cba
，求这个三位数在十进制中为多少？
【解析】 首先 还原为十进制：
(abc)
7
a7
2
b7c49a7 bc
；
(cba)
9
c9
2
b9a81c 9ba
．
于是
49a7bc81c9ba
；得到
48 a80c2b
，即
24a40cb
．
因为
24a
是8的倍数，
40c
也是8的倍数，所以
b
也应该是8的倍数，于是
b0
或8．
但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是
b0
，
24a40c
，则
3a5c
．
所以
a
为5的倍数，
c
为3的倍数．
所以，
a 0
或5，但是，首位不可以是0，于是
a5
，
c3
；
所以
(abc)
7
(503)
7
5493248
．
于是，这个三位数在十进制中为248．


月测备选：

【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．
【解析】 有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．

【备 选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和
等于415，则被除数是_______．
（415488）（41）79
，【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍， 所以根据和倍问题可知，除数为
所以，被除数为
7948324
．

【备选3】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【解析】 先将1016分解质因数：
10162
3
127
，由 于
1016a
是一个完全平方数，所以至少为
2
4
127
2
，故
a最小为
2127254
．

【备选4】在几进制中有
12512516324
？
【解析】 注意< br>(125)
10
(125)
10
(15625)
10，因为
1562516324
，所以一定是不到10就已经进位，才能得到
16 324，所以
n10
．
再注意尾数分析，
(5)
10
 (5)
10
(25)
10
，而16324的末位为4，于是
25 421
进到上一位．
所以说进位制
n
为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．
因为出现了6，所以
n
只能是7．

第十一讲 数论综合（二）
教学目标：

1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；
2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想

例题精讲：
板块一 质数合数

【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3， 从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，
可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其 中的质数都写出来．
【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数1 2，13，21，23，31，32；抽三
张卡片，可写出三位数123，132，213，231，3 12，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整
除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2 ，3，13，23，31．

【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
，满足
abc11(abc)
，则 可知
a
、
b
、
c
中必有一个为11，不妨
记为a
，那么
bc11bc
，整理得(
b1
)(
c 1
)
12
，又
121122634
，对应的
b2
、
c13
或
b3
、
c7
或
b4
、
c5
(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．

【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都 要用到并且只能用一次，那
么这9个数字最多能组成多少个质数？
【解析】 要使质数个数最 多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、
8、9这5个 不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数
67．所以 这9个数字最多可以组成6个质数．

【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相 同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位
数．求这两个整数分别是多少？
【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个 数都
可以表示成两个整数相加的形式，例如
3313223133016 17
，共有16种形式，
如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相 同的三位数，显然太繁琐了．可
以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、 444、555、666、777、888、999，每
个数都是111的倍数，而
1113 73
，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位
数相乘时，必有一个因数是 37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数
了．
把九个三位 数分解：
111373
、
222376743
、
333 379
、
4443712746
、
5553715
、
6663718749
、
7773721
、
888 37247412
、
9993727
．
把两个因数相加，只有(
743
)
77
和(
3718
)
55
的两位数字相同．所以满足题意的答案是74
和3，37和18．

板块二 余数问题

【例 5】 (
2003
年全国小学数学奥林匹克试题)有两个 自然数相除，商是
17
，余数是
13
，已知被除数、除数、
商与余数 之和为
2113
，则被除数是多少？
【解析】 被除数

除数
商

余数

被除数

除数+17+13=2 113，所以被除数

除数=2083，由于被除数是除数
的17倍还多13，则由“ 和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=196 8．

【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【解析】 本 题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998
的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，
3< br>19982337
，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2 ，3，6，9是比10小的约数，
所以符合题目条件的自然数共有11个．

【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．
【解析】 (法1) 39336
，
1473144
，
(36,144)12
，12的约数是
1,2,3,4,6,12
，因为余数为3要小于除

数，这个数是
4,6,12
；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除 这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任
意两数差的公约数．
513912
，
14739108
，
(12,108)12
，所以这个数是
4 ,6,12
．

【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数 ，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和
是50，那么这个整数是______．
【解析】
(70110160)50290
，
50316.. ....2
，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是
29和58，
1 10581......52
，
5250
，所以除数不是58．
70 292......12
，
110293......23
，
160 295......15
，
12231550
，所以除数是
29< br>

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91， 129得到的三个余数之和为25，那
么n=________．
【解析】 n能整除
639112925258
．因为
2538...1
，所以n是258 大于8的约数．显然，n不
能大于63．符合条件的只有43．

【例 9】 一个 大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，
则 这个自然数是多少？
【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去 除
90164254
后所得的余数，
所以254和220除以这个自然数后所得的 余数相同，因此这个自然数是
25422034
的约数，又大
于10，这个自然数 只能是17或者是34．
如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是2 2、28、16，不符合题目条件；
如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数 分别是5、11、16，符合题目条件，所以
这个自然数是17．

【例 10】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数
A
除甲数所得余数是
A
除乙数所得余数的2倍，
A
除
乙数所得余数是
A
除丙数所得余数的2 倍．求
A
等于多少？
【解析】 根据题意，这三个数除以
A
都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603AK
1
r
1

939AK
2
r
2

393AK
3
r
3

由于
r
1< br>2r
2
，
r
2
2r
3
，要消去余数r
1
，
r
2
，
r
3
，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．
这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．
于是我们可以得到下面的式子：
603AK
1
r
1


9392

A2K
2
2r
2


3934

A2K
3
4r
3

这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被
A
整除．
9 3926031275
，
3934603969
，

1 275,969

51317
．
51的约数有1、3、17、51， 其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以
A
等于17．

【例 11】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题)
2
2003
与
2003
2
的和除以7的余数是________．
【解析】 找规律． 用7除2，
2
2
，
2
3
，
2
4
，
2
5
，
2
6
，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2 ，4，1，…，2
的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数 为2；2的个
数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为
2
2003
2
36672
，所以
2
2003
除以7余4．又两个数的积
除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以
2003
2
除以7余1．故
2003
2
2
与
2003
的和 除以7的余数是
415
．

20082
22008
除以7的余数是多少？ 【巩固】
200836 69＋13669
3
2(2)2
，其除以7的余数为：【解析】
2 8
除以7的余数为1，
200836691
，所以
2
1
669
22
2
2008
；2008除以7的余数为6，则
20 08
2
除以7的余数等于
6
2
除以7的余数，为1；所以
2
2008
除以7的余数为：
213
．

【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，„„，从第三个数起，每个数都是 前两
个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余 数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，
0，1 ，1，2，3，0，……

可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中 ，每5个数中第五个数是5的倍数．
由于
200954014
，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21„„这串数列 当中第2008个数除以3
所得的余数为多少？
【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三 个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定
理将裴波那契数列转换为被3除所得余数 的数列：
1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个 是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除
的余数每8个一个周期循环出现 ，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数
为第8项被3除所得的余数，为 0．

【例 13】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将
111213. .....
依次写到第1997个数字，组成一个
1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．
【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和． 1～9
共有9个数字，
10～99
共有90个两位数，共有数字：
90 2180
(个)，
100～999
共900个
三位数，共有数字：90032700
(个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，
(19979180)3602......2
，即有60 2个三位数，第603个三位数只写了它
的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第 603个三位数是9，其中2未写出来．因为
连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然 数也能被9整除，702个数能分成的组
702978
(组)，数是：依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为
9-27
．

【例 14】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031， 第一个数各个位的数字之和是10，第
二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．
【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数 字之
和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，< br>所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的
余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，
即
31031311001143217

所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360

【例 15】 设
2009
2009
的各位数字之和为
A
，
A
的各 位数字之和为
B
，
B
的各位数字之和为
C
，
C的各位数字
之和为
D
，那么
D
？
【解析】 由于一 个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以
2009
2009
与< br>A
、
B
、
C
、
D
除
以9都同余， 而2009除以9的余数为2，则
2009
2009
除以9的余数与
2
2009
除以9的余数相同，而
2
6
64
除以9的余数为1，所 以
2
2009
2
63345


2
6

334
2
5
除以9的余数为
2
5
除 以9的余数，即为5．
另一方面，由于
2009
2009
100002009
10
8036
，所以
2009
2009
的位 数不超过8036位，那么它的各位数字
之和不超过
9803672324
，即< br>A72324
；那么
A
的各位数字之和
B9545
，
B
的各位数字之
C
小于18且除以9的余数为5，
C
的各位 数字之和为5，和
C9218
，那么
C
为5或14，即
D5
．

板块三 完全平方数

【例 16】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而
722
3
3
2< br>266
，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于
231 3119222008232322048
，所以
21
2
、
22
2
、……、
231
2
都满足题意，即
所求 的满足条件的数共有31个．

【例 17】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【解析】 设这个数减 去
63
为
A
2
，减去
100
为
B
2
，则
A
2
B
2


AB
 
AB

1006337371
，
可知
A B37
，且
AB1
，所以
A19
，
B18
，这样这个数为
18
2
100424
．

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【解析】 假设能找到 ，设这两个完全平方数分别为
A
2
、
B
2
，那么这两个完全 平方数的差为
54

AB

AB

，由 于

AB

和

AB

的奇偶性质相 同，所以

AB

AB

不是4的倍数，
就 是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以
54
不可能等于两个平方数的差，那 么
题中所说的数是找不到的．

【例 18】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最
小值为 ．
【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候 有技巧：
一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
设中间数是x，则它们的和为
5x
， 中间三数的和为
3x
．
5x
是平方数，设
5x5
2
a
2
，则
x5 a
2
，
22
22
3x15a35a
是立方数，所以
a
至少含有3和5的质因数各2个， 即
a
至少是225，中间的
数 至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．


板块四 位值原理

【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加 以交换，得到一个新的两位数．如
果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数 中最大的是多少？
【解析】 设原来的两位数为
ab
，交换后的新的两位数为
ba
，根据题意，
ab5
abba(10ab)(10ba)9(ab)45
，
b 4
，原两位数最大时，十位数字至多为9，即
a9
，
，原来的两位数中最 大的是94．

【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数 也叫原数的反序数)，新数比原数
大8802．求原来的四位数．
【解析】 设原数为
abcd
，则新数为
dcba
，
．
根据题意， 有
999(da)90(cb)8802
，
111(da)10(c b)97888890
．
推知
da8
，
cb9< br>，得到
d9
，
a1
，
c9
，
b0< br>，原数为1099．

【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字， 用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数
的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
【解析】 设这六个不同的三位数为
abc,acb,bac,bca,cab,cba
，
因为
abc100a10bc
，
acb100a10cb
，……，它 们的和是：
222(abc)1554
，所以
abc1554222 7
，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少
为1，2，而< br>7(12)4
，所以最大的数最大为4；又
12367
，所以最 大的数大于
3
，所以
最大的数为4，其他两数分别是1，2．

【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有 这样的6个
三位数中最小的三位数．
【解析】 设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
abcacbbacbcac abcba2(abc)1002(abc)102(abc)222(ab c)
dcbaabcd(1000d100c10ba)(1000a100b10c d)999(da)90(cb)

所以
abc28 8622213
，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位
数与个 位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为
13193
，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为
139
．

【巩固】 a， b，c分别是
09
中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之 和是
2234，那么另一个三位数是几？
【解析】 由
a
，
b，
c
组成的六个数的和是
222(abc)
．因为
223 422210
，所以
abc10
．
若
abc11
，则所求数为
222112234208
，但
2081011
，不合题意．
若
abc12
，则所求数为
222122 234430
，但
430712
，不合题意．
若
ab c13
，则所求数为
222132234652
，
6521 3
，符合题意．

若
abc14
，则所求数为
222142234874
，但
8741914
，不合题意．
若
abc15
，则所求数
2221522341096
，但 所求数为三位数，不合题意．
所以，只有
abc13
时符合题意，所求的三位数为652．

板块五 进制问题

【例 21】 在几进制中有
413100
？
【解析】 利用尾数分析来解决这个问题： 由于
(4)
10
(3)
10
(12)
10
，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．
所以说进位制
n
为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．
但是式子中出现了4，所以
n
要比4大，不可能是4，3，2进制．
另外， 由于
(4)
10
(13)
10
(52)
10
， 因为
52100
，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知
道
n10
，那么
n
不能是12．
所以，
n
只能是6．

【巩固】 算式
15342543214
是几进制数的乘法？
【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为
4520
，但是 现在为4，说明进走
20416
，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有
15342538350 43214
，所以在
原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

【例 22】 在6进制中有三位数
abc
，化为9进制为
cba
，求这个三位数在十进制中为多少？
【解析】 (abc)6 =a×62＋b×6+c= 36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c +9b+a；
于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必 须是5的倍数，又(3，5)=1．所
以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，
不可 以有一个数字为16．
②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后 ，3+2c≡0．所以c=2或者2+7k(k为整数)．因
为有6进制，所以不可能有9或者9以上的 数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc)6 =(552)6
=5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．


课后练习：

练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
，满足
abc7(abc)
，则可 知
a
、
b
、
c
中必有一个为7，不妨记
为
a
，那么
bc7bc
，整理得
(b1)(c1)8
，又
81824
，对应的
b

2、
c

9(舍去)或
b

3、
c

5，所以这三个质数可能是3 ，5，7

练习 2． 有一个大于1的整数，除
45,59,101
所得的余数相同，求这个数．
【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同
余定理 ，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差
10145 56
，
594514
，
14
的约数有
1,2,7,1 4
，的公约数．所以这个数可能为
2,7,14
．
(56,14)14
，

练习 3． 将1至2008这2008个自然数 ，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：
111213

20072008，试 求这个多位数除以9的余数．
【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于< br>
19992000

被9除的余数，但是
由于199 9与

1999

被9除的余数相同，2000与

2000

被9除的余数相同，所以19992000
就与

19992000

被9除的余数相同．
由此可得，从1开始的自然数11121 3

20072008被9除的余数与前2008个自然数之和
除以9的余数相同．
根据等差数列求和公式，这个和为：

12008

2008< br>2
2017036
，它被9除的余数为1．

另外还可以利用 连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，
161718，…… ，7，2008等数，可见它被9除
的余数与2008被9除的余数相同．
因此，此数被9除的余数为1．

练习 4． 在7进制中有三位数
abc
，化为9进制为
cba
，求这个三位数在十进制中为多少？
【解析】 首先 还原为十进制：
(abc)
7
a7
2
b7c49a7 bc
；
(cba)
9
c9
2
b9a81c 9ba
．
于是
49a7bc81c9ba
；得到
48 a80c2b
，即
24a40cb
．
因为
24a
是8的倍数，
40c
也是8的倍数，所以
b
也应该是8的倍数，于是
b0
或8．
但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是
b0
，
24a40c
，则
3a5c
．
所以
a
为5的倍数，
c
为3的倍数．
所以，
a 0
或5，但是，首位不可以是0，于是
a5
，
c3
；
所以
(abc)
7
(503)
7
5493248
．
于是，这个三位数在十进制中为248．


月测备选：

【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．
【解析】 有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．

【备 选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和
等于415，则被除数是_______．
（415488）（41）79
，【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍， 所以根据和倍问题可知，除数为
所以，被除数为
7948324
．

【备选3】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【解析】 先将1016分解质因数：
10162
3
127
，由 于
1016a
是一个完全平方数，所以至少为
2
4
127
2
，故
a最小为
2127254
．

【备选4】在几进制中有
12512516324
？
【解析】 注意< br>(125)
10
(125)
10
(15625)
10，因为
1562516324
，所以一定是不到10就已经进位，才能得到
16 324，所以
n10
．
再注意尾数分析，
(5)
10
 (5)
10
(25)
10
，而16324的末位为4，于是
25 421
进到上一位．
所以说进位制
n
为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．
因为出现了6，所以
n
只能是7．