我尝到了成功的滋味-随笔日记

分数的速算与巧算
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项 归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分 数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用 运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换 元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的 复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨

一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
么有1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，那
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

1
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4

二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换
元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：

分子
纯循环小数
循环节中的数字所组成的数
混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部
分数字所组成的数的差
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中
9在0的左侧
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字
个数
··
····
abca
aabab1ab
；
0.0ab
；

，……
0.a
；

990
9999910990
·

2、单位分数的拆分：
例：
11111111
111
=====

102020

分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：

11(mn)mn
11
=



NN(m n)N(mn)N(mn)
AB
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：

11(12)1211


1010(12)10(12)10(12)3015
本题具体的解有：




例题精讲
模块一、分数裂项

111111111


1351530

【例 1】




11111


12342345345 6678978910
333
【巩固】
......
1234234517181920





【例 2】 计算：
57

123234

19

．
8910
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项 的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，…… 这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原 式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可
以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再 进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据
等差数列的性质，可知分子的通项公式为
n

2n3

n1



n
2


2
n

1


2n 3
，所以
2
与

n1



n2


n2

n


3，再将每一项的
1n2n

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前 面的方法相同．
n

n1



n2





【巩固】 计算：
1155（






【巩固】 计算：


57

234345

1719

）
891091011
345

12452 3563467

12

10111314

【例 3】




1234

223234234 5

9
23410

111
【例 4】

112123

1
12100

【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简 单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112

代入有

，，……，
1
(11 )1
1212
(12)2
23
22




【例 5】




【解析】 这 题是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab )
，
1
1
3
【例 6】
2

111
1(1)(1)
223
1
1999

111
(1)(1)(1)
231999
111111
 
.
222222
31517191111131





【例 7】
121231234

223234

12350

2350
(1n)n
n(n1)
2
【解析】 找通项
a
n



(1n)n
n(n1)2
1
2

1
2
1
2
2
21
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
 26
2
【例 8】
3

3


3
112
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
12
3
26
3
n(n1)(2n1)
12n22n1 211
6
【解析】
a
n

3
()

n
2
(n1)
2
12
3
n
3
3n(n1)3 nn1
4
222



2
2
3
2
【例 9】 计算：
2

213
2
1





n1

n1

99
2

）

2

__________(项公式：
a
n

n11n11nn2
991

221
2
2
2
【巩固】 计算：
2

1100 50002
2
2005000
99
2

2


9999005000
n
2
【解析】 本题的通项公式为
2
，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母
n100n500 0
n
2
100n50005000n

100n

5000

100n



100
100n



，可以看出如果把
n
换成
100n
的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个< br>50
2
．将项数和为100的两项相加，得
50
2
500 05000
n
2


100n

100n

n
2
2n
2
200n10000

2

2
2
，
2
2
n100n5000< br>
100n

100

100n

 5000
n100n5000n100n5000
22
所以原式
2 49199
．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式
19999）




11

111
1
24






【例 10】



2

2
2021
< br>112
2
1
2
2
2


10
2

2345
【解析】 虽然很容易看出





1
11111
＝

，＝

… …可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不
2323
45
45
象分数 裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，
于是我们又有< br>16
＝
．．减号前面括号里的式子有10项，减
1
2
22
3
2


n
2
n(n1)(2n 1)
号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15< br>3





111111
【例 12】 计算：
1
2

3

4

5

6

333333
1364
设
S1
2
3

4

5

6
则
3S 31
2

3

4

5
，
3 SS3
6
，整理可得
S1
．
333333333333729





(2
2
4
2
6
2
100
2
) (1
2
3
2
5
2
99
2
)
【例 13】 计算：
12391098321







1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5< br>2
2000
2
2001
2
【例 14】 计算：

1223344520002001






【例 15】

2007

8.58.51.51.5

10


160 0.3
．

【例 16】 计算：
(1





1111111111
)()(1)()

2424624624
三、循环小数与分数互化
【例 17】 计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．






【例 18】 某学生将
1.23
乘 以一个数
a
时，把
1.23
误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3. 则正确结果该
是多少?







2
5
2413
【例 19】 有8个数，
0.51
，,,< br>0.51
,
,
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是
3
9
4725
0.51
，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?





【例 20】 真分数
a
化 为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么
a
7
是多少?

20021
【例 21】 和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009287
【解析】 如果将
们发现






【例 22】



45< br>
20021
和转化成循环小数后再去计算第 100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我
2009287

20021
1
，而
10.9
，则第100位上的数字和为9.
2009287< br>注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.








【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。




【例 24】 若




课后练习：
练习1.
111

，其中a、b都是四位数，且a2004ab
123456


121231234123451234561234567< /p>

123
练习2.
(1)(2)(3)
234





练习3. 计算：
1
3
3
3
5
3






1
练习4. 计算：

1
< br>2

89
(8)(9)

910
99
3

___________．
1

11




2007

23< br>
1

1



1
2008

2

1

11



2008

23

1



2007






····
11

练习5. ⑴

0.150.218

0.3
； ⑵
2.2340.9811
(结果表示成循环小数)
111









月测备选
【备选1】计算：




23

3!4!

99

.
100!

1
2
 2
2
2
2
3
2
【备选2】计算：

1 223







20042
2005
2
2005
2
2006
2
< br>
2004200520052006
12
3
3
3
2006
3
【备选3】计算：
1232006





621 739458

739458378

621739458378

739458


【备选4】计算：








12635 8947

358947207

7

358947






2009

11< br>
2009

【备选5】计算

(结果表示为循环小数)



9990099990

9901

分数的速算与巧算
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂 项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分 数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用 运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换 元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的 复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨

一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
么有1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，那
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

1
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4

二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换
元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：

分子
纯循环小数
循环节中的数字所组成的数
混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部
分数字所组成的数的差
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中
9在0的左侧
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字
个数
··
····
abca
aabab1ab
；
0.0ab
；

，……
0.a
；

990
9999910990
·

2、单位分数的拆分：
例：
11111111
111
=====

102020

分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：

11(mn)mn
11
=



NN(m n)N(mn)N(mn)
AB
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：

11(12)1211


1010(12)10(12)10(12)3015
本题具体的解有：




例题精讲
模块一、分数裂项

111111111


1351530

【例 1】




11111


12342345345 6678978910
333
【巩固】
......
1234234517181920





【例 2】 计算：
57

123234

19

．
8910
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项 的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，…… 这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原 式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可
以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再 进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据
等差数列的性质，可知分子的通项公式为
n

2n3

n1



n
2


2
n

1


2n 3
，所以
2
与

n1



n2


n2

n


3，再将每一项的
1n2n

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前 面的方法相同．
n

n1



n2





【巩固】 计算：
1155（






【巩固】 计算：


57

234345

1719

）
891091011
345

12452 3563467

12

10111314

【例 3】




1234

223234234 5

9
23410

111
【例 4】

112123

1
12100

【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简 单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112

代入有

，，……，
1
(11 )1
1212
(12)2
23
22




【例 5】




【解析】 这 题是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab )
，
1
1
3
【例 6】
2

111
1(1)(1)
223
1
1999

111
(1)(1)(1)
231999
111111
 
.
222222
31517191111131





【例 7】
121231234

223234

12350

2350
(1n)n
n(n1)
2
【解析】 找通项
a
n



(1n)n
n(n1)2
1
2

1
2
1
2
2
21
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
 26
2
【例 8】
3

3


3
112
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
12
3
26
3
n(n1)(2n1)
12n22n1 211
6
【解析】
a
n

3
()

n
2
(n1)
2
12
3
n
3
3n(n1)3 nn1
4
222



2
2
3
2
【例 9】 计算：
2

213
2
1





n1

n1

99
2

）

2

__________(项公式：
a
n

n11n11nn2
991

221
2
2
2
【巩固】 计算：
2

1100 50002
2
2005000
99
2

2


9999005000
n
2
【解析】 本题的通项公式为
2
，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母
n100n500 0
n
2
100n50005000n

100n

5000

100n



100
100n



，可以看出如果把
n
换成
100n
的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个< br>50
2
．将项数和为100的两项相加，得
50
2
500 05000
n
2


100n

100n

n
2
2n
2
200n10000

2

2
2
，
2
2
n100n5000< br>
100n

100

100n

 5000
n100n5000n100n5000
22
所以原式
2 49199
．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式
19999）




11

111
1
24






【例 10】



2

2
2021
< br>112
2
1
2
2
2


10
2

2345
【解析】 虽然很容易看出





1
11111
＝

，＝

… …可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不
2323
45
45
象分数 裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，
于是我们又有< br>16
＝
．．减号前面括号里的式子有10项，减
1
2
22
3
2


n
2
n(n1)(2n 1)
号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15< br>3





111111
【例 12】 计算：
1
2

3

4

5

6

333333
1364
设
S1
2
3

4

5

6
则
3S 31
2

3

4

5
，
3 SS3
6
，整理可得
S1
．
333333333333729





(2
2
4
2
6
2
100
2
) (1
2
3
2
5
2
99
2
)
【例 13】 计算：
12391098321







1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4
2
5< br>2
2000
2
2001
2
【例 14】 计算：

1223344520002001






【例 15】

2007

8.58.51.51.5

10


160 0.3
．

【例 16】 计算：
(1





1111111111
)()(1)()

2424624624
三、循环小数与分数互化
【例 17】 计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．






【例 18】 某学生将
1.23
乘 以一个数
a
时，把
1.23
误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3. 则正确结果该
是多少?







2
5
2413
【例 19】 有8个数，
0.51
，,,< br>0.51
,
,
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是
3
9
4725
0.51
，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?





【例 20】 真分数
a
化 为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么
a
7
是多少?

20021
【例 21】 和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009287
【解析】 如果将
们发现






【例 22】



45< br>
20021
和转化成循环小数后再去计算第 100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我
2009287

20021
1
，而
10.9
，则第100位上的数字和为9.
2009287< br>注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.








【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。




【例 24】 若




课后练习：
练习1.
111

，其中a、b都是四位数，且a2004ab
123456


121231234123451234561234567< /p>

123
练习2.
(1)(2)(3)
234





练习3. 计算：
1
3
3
3
5
3






1
练习4. 计算：

1
< br>2

89
(8)(9)

910
99
3

___________．
1

11




2007

23< br>
1

1



1
2008

2

1

11



2008

23

1



2007






····
11

练习5. ⑴

0.150.218

0.3
； ⑵
2.2340.9811
(结果表示成循环小数)
111









月测备选
【备选1】计算：




23

3!4!

99

.
100!

1
2
 2
2
2
2
3
2
【备选2】计算：

1 223







20042
2005
2
2005
2
2006
2
< br>
2004200520052006
12
3
3
3
2006
3
【备选3】计算：
1232006





621 739458

739458378

621739458378

739458


【备选4】计算：








12635 8947

358947207

7

358947






2009

11< br>
2009

【备选5】计算

(结果表示为循环小数)



9990099990

9901