小学生写物作文-志愿者心得

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第十六周 用“组合法”解工程问题

第十六周 用“组合法”解工程问题

专题简析：
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件 孤立、分散、静止地看，则难以找到明确
的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰 当组合，使之成为一个新的
基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

例题1。
7
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的 ，
30
乙队单独完成全部工程需要几天？
1
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 ，只要求出甲队货乙队的工作效率，15
则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独
做3天， 组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出
711
甲队2天的工作量 － ×3＝ ，从而求出甲队的工作效率。所以
301530
171
1÷【 －（ － ×3）÷（5－3）】＝20（天）
153015
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1
1、 师、徒二人合做一批零件，12天可 以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着
3
做1天，共完成任务的 。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？
20




5
2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的 。如果这项工程由甲队独做2天，再
24
13
由乙队独做3天，能完成全部工程的 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
24




3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，
8
还剩这项工程的 。甲、乙两队独做各需几天完成？
15

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第十六周 用“组合法”解工程问题

例题2。
一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成 这
1
项工程的 。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相
2
等。求两段一共用了几天？
111
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ － ×3）÷2＝ ；再由条件“ 做完
2128
后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的
111
（ － ×3）÷2＝
2128
（2） 两段时间一共是
11
1÷（ ×2+ ）×2＝6（天）
812
答：两段时间一共是6天。
练习2
8
1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的 。
15
现 由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段
时间一共是几天？



2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙 独做，完成任务时发现
乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？



3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做
了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2
倍。终于完成了这 一工作。问总共用了多少天？

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第十六周 用“组合法”解工程问题

例题3。
移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人 合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由
11
弟弟栽了1小时，还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要
16
移栽西红柿苗多少棵？
【 思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，
哥哥又独做了 2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
1113
（1－ － ×1）÷（3－1）＝
16832
一共要移栽的西红柿苗多少棵
313
7÷【 －（ － ）】＝112（棵）
32832
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3
1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可 以完成。先由师傅加工8小时，接着再由徒
3
弟加工6小时，共加工了这批零件的 。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批
5
零件共有多少个？



2、 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还< br>3
剩这条公路的 没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？
10




3、 修一段公路，甲队独修要40天，乙队 独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在
距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？

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第十六周 用“组合法”解工程问题

例题4。
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、 丙合做2
2
小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工
3
2
作的 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
3
2
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 ”组合
3
2
成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的 ”，则求出
3
甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
211
（ － ×2）÷（6－2）＝
3612
丙每小时完成这项工程的几分之几
211
（ － ×3）÷（6－3）＝
3618
甲、 丙合做需完成的时间为：
111
1÷（ + ）＝7 （小时）
12185
1
答：甲、丙合做完成需要7 小时。
5
练习4
1、 一项工作，甲、乙、丙三人合 做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2
13
小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成
18
11
这项工作的 。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
18


2、 一项工程，甲 、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、
丙合做3天后，余下的乙再做6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？



3、 一项工程 ，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三
1
队合做4天后， 余下的工程由乙队独做5 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可
2
以完成？


4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小< br>时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？

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第十六周 用“组合法”解工程问题

例题5。
一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合 修4
天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几
天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成” 组
合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”
就可以 求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
111
【1－（ + ）】×（4+7）＝
243040
三队合修完成时间为
111
1÷（ + + ）＝10（天）
243040
答：10天可以完成。
练习5
1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4 小时后，乙又用6小时才完成。
这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？




2、 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8 天，剩下的
由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？




3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完 成。如果甲、丙合做3
天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完 成？




4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队 单独做24天后，乙队加入，两队又合做
了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队 独做这项工程需要多少
天？

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第十六周 用“组合法”解工程问题

答案：
练1
1、 1÷【（
31
－ ）÷（3－1）】＝30天
2012
135
2、 乙：1÷【（ － ×2）÷（3－2）】＝8天
2424
131
甲：1÷（ － ）＝12天
248
3、 乙：1÷【（1－
81
－ ×8）÷（12－8）】＝60天
1520
11
甲：1÷（ － ）＝30天
2060
练2
811
1、 乙队的工作效率：（ － ×5）÷4＝
151520
11
总共的天数：1÷（ + ×2）×2＝12天
1520
1
2、 1÷【（1－ ×6）÷3】＝12天
8
111
3、 甲做的天数：1÷（ + ×3+ ×3×2）＝2天
121824
总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天
练3
311
1、 师傅每小时做这批零件的（ － ×6）÷（8－6）＝
51220
111
这批零件共有10÷【 －（ － ）】＝600个
201220
2、 甲队每天修这条公路的（1－
311
－ ×3）÷（5－3）＝
10610
111
这条公路全长多少米 20÷【 －（ － ）】＝600米
10610
3、 甲、乙两队工作效率的比是：
11
： ＝3：5
4024
13
这段公路的全长 750÷（ － ）＝6000米
23+5
或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米
练4
1311
1、 甲队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝
1849
1111
丙队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝
18418
11
甲、丙合做需要的时间1÷（ + ）＝6小时
918

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第十六周 用“组合法”解工程问题

111
2、 乙队每天能做全工程的【1－（ ×3－ ×3）】÷（6－3）＝
61015
1
乙队独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天
15
1111
3． 乙队每天能做全工程的【1－（ ×4－ ×4）】÷（5 －4）＝
108215
1
乙队单独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天
15
111
4、 乙队的工作效率【1－（ ×2+ ×2）】÷（6－2－2）＝
4520
乙独做这件工作需要的时间1÷
练5
1、 乙每小时做这件工程的（1－
11
×4）÷（6+4）＝
1215
1
＝20小时
20
112
甲、乙合做完成需要的时间1÷（ + ）＝6 小时
12153
112
2、 甲、乙两队完成的工作量（ + ）×（8+2）＝
120403
2
丙队单独挖需要的时间1÷【（1－ ）÷12】＝36天
3
111
3． 乙的工作效率【1－（ ×3+ ×3）】÷（9－3－3）＝
61015
111
丙的工作效率 － ＝
101530
11
三人合做需要的时间1÷（ + ）＝5天
610
11
4、 甲队的工作效率【1－ ×（12+15）】÷（24－15）＝
3090
甲队单独做需要的时间1÷
1
＝90天
90

[选取日期]
第十六周 用“组合法”解工程问题

第十六周 用“组合法”解工程问题

专题简析：
在解答工程问题时， 如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确
的解题途径，若用“组合法”把具有相依 关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的
基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺 利找到解题途径。

例题1。
7
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的 ，
30
乙队单独完成全部工程需要几天？
1
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 ，只要求出甲队货乙队的工作效率，15
则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独
做3天， 组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出
711
甲队2天的工作量 － ×3＝ ，从而求出甲队的工作效率。所以
301530
171
1÷【 －（ － ×3）÷（5－3）】＝20（天）
153015
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1
1、 师、徒二人合做一批零件，12天可 以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着
3
做1天，共完成任务的 。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？
20




5
2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的 。如果这项工程由甲队独做2天，再
24
13
由乙队独做3天，能完成全部工程的 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
24




3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，
8
还剩这项工程的 。甲、乙两队独做各需几天完成？
15

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第十六周 用“组合法”解工程问题

例题2。
一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成 这
1
项工程的 。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相
2
等。求两段一共用了几天？
111
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ － ×3）÷2＝ ；再由条件“ 做完
2128
后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1） 乙队每天完成这项工程的
111
（ － ×3）÷2＝
2128
（2） 两段时间一共是
11
1÷（ ×2+ ）×2＝6（天）
812
答：两段时间一共是6天。
练习2
8
1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的 。
15
现 由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段
时间一共是几天？



2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙 独做，完成任务时发现
乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？



3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做
了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2
倍。终于完成了这 一工作。问总共用了多少天？

[选取日期]
第十六周 用“组合法”解工程问题

例题3。
移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人 合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由
11
弟弟栽了1小时，还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要
16
移栽西红柿苗多少棵？
【 思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，
哥哥又独做了 2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
1113
（1－ － ×1）÷（3－1）＝
16832
一共要移栽的西红柿苗多少棵
313
7÷【 －（ － ）】＝112（棵）
32832
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3
1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可 以完成。先由师傅加工8小时，接着再由徒
3
弟加工6小时，共加工了这批零件的 。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批
5
零件共有多少个？



2、 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还< br>3
剩这条公路的 没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？
10




3、 修一段公路，甲队独修要40天，乙队 独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在
距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？

[选取日期]
第十六周 用“组合法”解工程问题

例题4。
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、 丙合做2
2
小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工
3
2
作的 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？
3
2
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 ”组合
3
2
成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的 ”，则求出
3
甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
211
（ － ×2）÷（6－2）＝
3612
丙每小时完成这项工程的几分之几
211
（ － ×3）÷（6－3）＝
3618
甲、 丙合做需完成的时间为：
111
1÷（ + ）＝7 （小时）
12185
1
答：甲、丙合做完成需要7 小时。
5
练习4
1、 一项工作，甲、乙、丙三人合 做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2
13
小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成
18
11
这项工作的 。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
18


2、 一项工程，甲 、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、
丙合做3天后，余下的乙再做6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？



3、 一项工程 ，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三
1
队合做4天后， 余下的工程由乙队独做5 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可
2
以完成？


4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小< br>时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？

[选取日期]
第十六周 用“组合法”解工程问题

例题5。
一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合 修4
天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几
天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成” 组
合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”
就可以 求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
111
【1－（ + ）】×（4+7）＝
243040
三队合修完成时间为
111
1÷（ + + ）＝10（天）
243040
答：10天可以完成。
练习5
1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4 小时后，乙又用6小时才完成。
这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？




2、 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8 天，剩下的
由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？




3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完 成。如果甲、丙合做3
天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完 成？




4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队 单独做24天后，乙队加入，两队又合做
了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队 独做这项工程需要多少
天？

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第十六周 用“组合法”解工程问题

答案：
练1
1、 1÷【（
31
－ ）÷（3－1）】＝30天
2012
135
2、 乙：1÷【（ － ×2）÷（3－2）】＝8天
2424
131
甲：1÷（ － ）＝12天
248
3、 乙：1÷【（1－
81
－ ×8）÷（12－8）】＝60天
1520
11
甲：1÷（ － ）＝30天
2060
练2
811
1、 乙队的工作效率：（ － ×5）÷4＝
151520
11
总共的天数：1÷（ + ×2）×2＝12天
1520
1
2、 1÷【（1－ ×6）÷3】＝12天
8
111
3、 甲做的天数：1÷（ + ×3+ ×3×2）＝2天
121824
总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天
练3
311
1、 师傅每小时做这批零件的（ － ×6）÷（8－6）＝
51220
111
这批零件共有10÷【 －（ － ）】＝600个
201220
2、 甲队每天修这条公路的（1－
311
－ ×3）÷（5－3）＝
10610
111
这条公路全长多少米 20÷【 －（ － ）】＝600米
10610
3、 甲、乙两队工作效率的比是：
11
： ＝3：5
4024
13
这段公路的全长 750÷（ － ）＝6000米
23+5
或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米
练4
1311
1、 甲队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝
1849
1111
丙队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝
18418
11
甲、丙合做需要的时间1÷（ + ）＝6小时
918

[选取日期]
第十六周 用“组合法”解工程问题

111
2、 乙队每天能做全工程的【1－（ ×3－ ×3）】÷（6－3）＝
61015
1
乙队独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天
15
1111
3． 乙队每天能做全工程的【1－（ ×4－ ×4）】÷（5 －4）＝
108215
1
乙队单独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天
15
111
4、 乙队的工作效率【1－（ ×2+ ×2）】÷（6－2－2）＝
4520
乙独做这件工作需要的时间1÷
练5
1、 乙每小时做这件工程的（1－
11
×4）÷（6+4）＝
1215
1
＝20小时
20
112
甲、乙合做完成需要的时间1÷（ + ）＝6 小时
12153
112
2、 甲、乙两队完成的工作量（ + ）×（8+2）＝
120403
2
丙队单独挖需要的时间1÷【（1－ ）÷12】＝36天
3
111
3． 乙的工作效率【1－（ ×3+ ×3）】÷（9－3－3）＝
61015
111
丙的工作效率 － ＝
101530
11
三人合做需要的时间1÷（ + ）＝5天
610
11
4、 甲队的工作效率【1－ ×（12+15）】÷（24－15）＝
3090
甲队单独做需要的时间1÷
1
＝90天
90