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第十三章 进位制
知识要点


在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知 的十进制中，常有O，1，2，…，9共十
个数字，相加时满十就要进一。类似地，在二进制中有“满二 进一”，在八进制中有“满八进一”
等等。进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便 地反映某类客观事物的数量
关系，人们就会采用哪种进位制。例如：1小时等于60分钟是六十进制，一 年等于十二个月是
十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：
1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个 K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的
位数(从右往左数) 少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：
十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…
二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…
把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次 所得的余数，按自下而上
的顺序写出来。例如，把(13)10化成二进制：




把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算
出来。例如：
0123

2)＋0×2＋1×1 (1101)＝(1×2＋×2 1)(8 ＝＋4＋ (13) ＝把问题转化到最合适的
1021010
进位制中就要善于把进位制知识灵活地运用， 学习进位制知识， 解决问题。例如计算机就
是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。 例1 把十进制数(3568)写成数码与计算单
位乘积的和的形式。一个十进制整数的位数从右边第一位数起 依次为个、十、百、千、万…”.
10
计数单位点拨
210

， ，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(10，10)，10，，是1，10100，100010000 ，10…。
43
012310
10 ＋8×10＋6×10 (3568)解＝3×10＋5×10 说明像此题这样，利用数码和它的排列位置
就可以写出任意大的整数。
写成数码与计数单位乘积的和的形式。(101011)2 例把二进制的数它按照“满二进一”都可
2
以用“0”和“1”两个数码来表示。任何一个二进制的数，点拨
读作“一零”。为了 加以区的原则记数。十进制数“10”表示十，二进制数“10”表示二，分别
表示这两种不同进位制中 的数。对于二进制的整数，从右向左分，我们用，(10)(10)
210．

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0123


…，2计数单位分别是1(2)，2，2
235
054321
＋1×2＋0×2＋1×2＋1×2解 (101011)＝1×2＋0
×21
＋＝ 2＋2＋2也可以用各位上的数码与所在数位上的计数单位的乘二进制的数
和十进制的数一样，说明
而二进制的计数单位都十进制的计数单位都是“10”的形式，积的和来表示。所不同的是， 是
“2”的形式。 例3 把(37)改写成二进制数。，即将这个十进制数写成若干点拨 把一个 十
10
进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”写出这个二进制数；也可以根据二进制“满 二进一”
的原则，个2的次幂形式，再根据例2这种办法通常连续除十进制数，然后将每次所得的余数按
自下而上的顺序依次写出来，用2 除十进制数自下而上依次取余数。2叫“二除取余法”，即用
1
＋324＋解法一 (37)＝
10021543
＋0×2＋1×2＋1×2 ＝1×2＋0×2＋0×2 ＝
(100101) 解法二
2



(37)＝(100101) “解，那么用0来代替。写成2的次幂形式中没有2，2，237说明 “解
210134
法 一”中要注意，这样做是为了使所得二进制数各数位上的数全部用“余0余1商法二”中最后
一步1÷2 数”表示，来达到“二除取余法”的要求；另外，注意最后把余数自下而上写出来。
把二进制数(110 011)改写成十进位制数。例4 其中幂指数比相应数字所在2的幂的乘积的和，
2
因为一个二进制的数就是各位数字与点拨
1。所以先把这个二进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，然后计算即可。的位数少
1×2解 (110011)＝1×2＋1×2＋0×2＋0×2＋1×21 22＝＋2＋＋
2145
012345
＋
1 16＋＋2＝ 32＋ ＝(51) ，我们在熟练掌握方法后，转化为十
10
进位制数，从左数第三、四位都是说明 (110011)0 。10×20×2可以不必写出和；另外，要
223
注意幂指数比相应数字所在的位数少 5 例把写成八进制数。(394)可以采用“方幂 把十进制
10
数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，点拨 法”和“八除取余法”。 ＋1
012
×8＝6×8 (394)解法一＋2×8 ＝(612)
108．



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解法二

(394)＝(612) 说明 把一个十进制数改写成N进制数，可根据N进制数“满N进一”
81 0
的原则，用N连续除十进制数，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序依次写出来，就是所
求的N进制数。
例6 把(354)改写成十进制数。 点拨 把六进制数改写成十进制数和 把二进制数改写成十进
6
制数的方法类似。先把这个六进制数写成数码与计数单位乘积的和的形 式，然后计算即可。
012610

＋5×6＋4×6解 (354)＝3×64 30＋ ＝108＋ ＝(142) 进制数改
写成十进制数，若把一个N说明 对于任意一个N进制数与十进制数的换算规律是： N的幂的
乘积，然后再相加，就可以写成十进制数。只要把N进制数改写成不同数位的数与 化为八进制
的数。例7 把三进制数201012再将此十进制首先将三进制的数化为十进制的数，点拨 要想
把三进制数化为八进制的数， 的数化为八进制的数。
3
012345
解 (201012)＋2×3＋0×3＋1×3＝
2×3＋0×3＋1×32 ＋＋3＝486＋27
＝(518)
100123
＋6×8＝1×8 (518)＋0×8＋0×8 (1006) ＝
108
例8 在什么进位制里，十进位制数71记为47？ x，列方程求解。点拨 设这种进位制的基数
为 ，则有 设这种进位制的基数为x解7 4x＋＝4×x (47)＋7×x＝71 7 于是有 4x
0x1
＋＝16
＝解得 x 47记为。 答：在十六进制里，十进位制数71 ＋9 例计算：
(1)(110101)(11101)； 。(1011110) (2)(1101101)－“借十进制是“满十进一”，
2222
减法十分相似，点拨 二进制加、减法与十进制加、区别在于， 一当十”，二进制是“满二进一”，
“借一当二” ＝(11101)＋解 (1)(110101)(1010010)
222


－＝ (2)(1101101)(1011110)(1111)
222．

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说明 二进制的加减法要注意“满二进一”、“借一当二”，也可以扩展到其他进位制的加、减法。
例10 计算：(1)(101110)×(101)； (2)(110011)÷(1001)。 点拨 二进制乘、
2222
除法与十进制乘、除 法十分相似，试商时不够商1要商O，不够减时注意“借一当二”。
解 (1)(101110)×(101)＝(11100110)
222

(2)(1100111)÷(1001)＝(1011)余(100)
2222



例11 一个自然数的七进位制表达式是一个三 位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个
三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。求这个 自然数。
点拨 一个自然数的七进制数和九进制数的表达式都是三位数并且数码顺序相反，因此可 设未知
数，列方程分析解答。


9722
bcaabc
)。)＝解 设这个自然数n＝ ((a ＋＝c×9＋9b则有a×7＋7b＋c
5c)
整理得b＝8×(3a－
0 －5c＝b＝0，即3a7 由于0≤b＜，因此3
c＝此时a＝5，
。＝(503)(305)＝(248) 所以
1079
。 答：这个自然数为248 。54，，631ca说明 解这
道题时要注意，b，出现在七进制中，故 它们只能取O，，2，，人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘
汰制。为了尽量减少比赛场次，规定只有22 9例12 有 在某一论参赛选手为奇数时，才安排一
人轮空。此次安排比赛有几人轮空？看每次的余 数，2的正整数次幂，一定有人轮空。如果用 229
人不是2229依次除以点拨人就不会有人轮空 。若有余数即为轮空，这样较麻烦。我们可以这样
分析，如果有256(28)名假选手，每轮比赛尽可 能安排真对真，只有在真选手剩一人时，才安排
真假27假设补上假选手碰真选手的人数和真选手轮空的 这样，当然真选手必胜，如同轮空一样。
选手对阵，

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人数是一样的。下面我们来计算假选手碰真选手的人数。
解 假设补上27名假选手。
27÷2＝13……1(1人碰真选手)
13÷2＝6……1(又1人碰真选手)
6÷2＝3
3÷2＝1……1(又1人碰真选手)
1÷2＝0……1(又1人碰真选手)
因此，共有4人碰真选手，即有4人轮空。


说明 上面计算假选手碰真选手 的过程，与把27表示成二进制数的过程完全相同，而碰真选手
人数就是27的二进制数(11011) 中所含1的个数。所以我们可以得出：用不小于选手人数的最
2

小的2的正整数 次幂减去选手人数，差的二进制记数法中的1的个数，就是比赛中轮空的人次数。

解题技巧
在进位制这章内容中，同学们要熟练掌握十进制和二进制之间的转化方法，这是学 习其他进位制
的基础。同时，需理解并掌握以下几点：
1.N进位制与十进位制的 换算方法：若把一个N进位制数改写成十进制数，只要把N进制
数改写成不同数位的数与N的幂的乘积， 然后再相加，就可以写成十进制数。
2.十进制数改写成N进制数，可根据N进制数“满N 进一”的原则，用N连续除十进制
数，然后将每次除得的余数，按自下而上的顺序写出来，就是所求的N 进制数。在此基础上要
善于把进位制知识灵活加以运用，把问题转化到最合适的进位制中解决。

竞赛能级训练
A 级
1.把下列十进制数化为二进制数。
(1)(261) (2)(3568) (3)(2078)
101010
2.把下列各数化为十进制数。
222
(1)(1110101) (2)(22011) (3)(11202) 3.计算：(1)(110)×(1011)－(11011)
423
(2)(11111)－(1101001)÷(111) 4.把三进制的20102化为八进制的数。
222
5.把(237)＋(332)化为十进位制数。 6.在什么进位制里，十进制数120记为787
48
7.(54)表示N进制数。若(54)＝(64)，求N。 8.若(62)是(14)的4倍，那么(38)化为十进制
10NN
数是多少？ 9.若5×6＝26，则6×6＝?
NNN
10.一次乒乓球赛实行淘汰制，为了尽量减少 场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时， 名选
手参赛，将有多少人次轮空？243才安排一人轮空。现有．

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那么此自然数用十进制表示法写出是多少？


11.一个自 然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，
12.250个鸡 蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都可
以用几只盒子凑齐， 而不必再打开盒子？
abc)。(求
10


2101abcabcabc)(c代表数码，它的二进制表达式是(，)，其中a，b13.一个十进位制三位数 ，
B 级
1.把三进制的12101212化为八进制的数。

2.某一个从“长寿”村来的少年自称现年101岁，小聪明断定“长寿村”的101岁不是十进制的。
小聪明出了几道算术题给这个少年做：1＋1＝？1＋1＋1＝？1＋1＋1＋1＝？少年解答如下：1
＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝10。小聪明立即算出了少年的十进制数的年龄，你能算出吗？
3.某部队武器仓库保管员将1000发子弹分放在10个盒子里，一旦需要，只需告诉他1000以内
所需的子弹个数，他都可以拿出若干盒子，凑出所需的子弹个数，而不必打开盒子去数子弹。试
问：十个盒子里各放多少发子弹？
4.一个旅游者到某阿拉伯国家旅游，那里的度量衡并非十进制， 但一两的重量和国际上是一样的。
这个人买了8两一份的蜜枣共8份，计当地的5斤4两。后来，他又买 了当地折算为8斤4两的
蜜枣，这些蜜枣折合我们十进制应是多少？

aabadcade是由，个互不相同的数字，如果，，b，c，d，e分别代表五进制中55 .用a
515

cde)
所表示的整数化成十进制应是多少？(小到大排列好的连续自然数，那么 7整除。 2－1能被
6.求证：每个数只是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和(81，243，1 ，3，927，
7.设如果把它们从小到大依次排列起来63个新数。，可以得到一个新数，这样共得到 能取一次)
个数是多少？12，…，那么第394，9，10，是1，3，
能力测试) 分分，共64一、填空题(每题8 。＝( ) 1.(325) ( )。 2.(3051)－(2127)
108
＝ 。＝ 3.(2102)×(1202)( ) 。AA进制后得(1200)，则＝(101101) 4.若化为
888333A2

001n11m 。nm 5.若(＝)(，则)＋＝
35



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代表不同的数字，且，这个算式是 ，D进制下的加法算 6.已知A，B，C
一次排球赛实行淘汰赛，共23个队参赛，共有 个队轮空。
不同的重量。
二、解答题(每题9分，共36分)
1.在m进制下有乘法算式：123×302＝111012。在m进制下，求11×22的值。
2.已知(25)表示K进制的数。如果(25)是(52)的一半，那么求(123)在十进制中表示
n－1
KKKK

式。 7.



8.现有砝码质量为1克、2克、4克、8克、16克、32克的各一枚，在天平上能称 种
的数。

能被7整除，若 3.2n的取值范围是什么？
4. 500个鸡蛋分别装在若干个盒子里，要保证让顾客买500个以内的鸡蛋数都可以用若干个盒
子凑齐而 不必打开盒子，该怎么装？装几盒？

第十四章 统筹问题