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小学数学奥数基础教程(六年级)

本教程共30讲 第12讲
立体图形（一）
我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。
例1 左下图中共有多少个面？多少条棱？

分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向
看这个立体图形。
前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有
2个面，下面看有1个面。所以共有
1＋1+1+2＋2＋1= 8（个）面。
前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6 条，上下方向的棱也有6
条，所以共有棱6＋6＋6=18（条）。
例2 右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

第
1
页

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分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得 到答案，但太麻烦，
而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、
前 面与后面的面积分别相等。

如上图所示，可求得表面积为
（9＋7＋8）×2=48（厘米
2
）。
例3 右图是由22个小正方体组成的 立体图形，其中共有多少个大大
小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？

分析与解：正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。
所以共有正方体 22＋4=26（个）。
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前
后位有14个，共有13 ＋13＋14=40（个）。
第
2
页

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例4 有一个棱长为5厘米的正方体 木块，从它的每个面看都有一个
穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。

分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将
这个立体图 形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的
立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长 为2厘米的正方体分别在8
个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正< br>方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积
4厘米
2
，所以总的表面积为
（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米
2
）。
例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其
表面涂成红色，那么其中一面、 二面三面被涂成红色的小立方体各有多少
块？

分析与解：一个长方体有8个角 、12条棱、6个面，角上的8个小立
方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色， 在面上
第
3
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而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红
色。
根据上面的分析得到：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体 ，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有
［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）；
一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方
体，故有
［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2
＝ 52（块）。
一般地，当a，b，c都不小于2时，对于a×b×c的立方体：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体的块数是：
［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；
一面涂有红色的小立方体的块数是：
［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；
没有被涂上红色的小立方体的块数是：
（a-2）×（b-2）×（c-2）。
例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，
每种颜色涂两个面，共有多少种不 同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各
种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。）
第
4
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分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。
（1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。
（2）两个红色面相邻。此时， 除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，
当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。
所以共有6种不同涂法。


练习12

1.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？

2.有30个边长为1米的正方体，在地 面上摆成右上图的形式，然后
把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。
3.有一 个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中，有
一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这 种顶点最多有几个？最少有几
个？
4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米
3
的小正
方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。求原来长方体的体积。
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5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红 色，再将其分割成1×1
×1的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全
部是红色的长方体。那么，可组成的长方体的体积最大是多少？
6.在边长为3分米的立方体木 块的每个面的中心打一个直穿木块的
洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）。求挖洞后木块的体 积及
表面积。

7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（右上图） 。用红、
黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，
那么，用红 色染的正方形最多有多少个？

答案与提示 练习12
1.9个面，21条棱。
2.56米
2
。
解：4×4+（1+2+3+4）×4=56（米
2
）。
3.8个；2个。
提示：颜色相同的面两两相对时有8个；
颜色相同的面两两相邻时有2个。
4.45厘米
3
。
第
6
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解：由3块小立方体构成的长方体体积为1×1×3厘米
3
，故原来长方体的
体积为
（1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米
3
）。
5.96。
解：至少有一个面是红色的小立方体有5
3
-3
3
=98（个），其中三面红的8个，
两面红的36个，一面红的54个。可以组成4×4×6的表面全是 红色的长方体，
体积是4×4×6=96。
6.20分米
3
；72分米
3
。
7.22个。
解：一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）。因为染有5个红色方
格的面不能相邻，可以相对， 所以至多有两个面可以染成5个红色方格。

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不 能再染成红色，至多能染4个红
色方格（见上中图）。因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对 ，所以
至多有两个面可以染成4个红色方格。
最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）。
所以，红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）。
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立体图形（一）
我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。
例1 左下图中共有多少个面？多少条棱？

分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向
看这个立体图形。
前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有
2个面，下面看有1个面。所以共有
1＋1+1+2＋2＋1= 8（个）面。
前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6 条，上下方向的棱也有6
条，所以共有棱6＋6＋6=18（条）。
例2 右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

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分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得 到答案，但太麻烦，
而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、
前 面与后面的面积分别相等。

如上图所示，可求得表面积为
（9＋7＋8）×2=48（厘米
2
）。
例3 右图是由22个小正方体组成的 立体图形，其中共有多少个大大
小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？

分析与解：正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。
所以共有正方体 22＋4=26（个）。
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前
后位有14个，共有13 ＋13＋14=40（个）。
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例4 有一个棱长为5厘米的正方体 木块，从它的每个面看都有一个
穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。

分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将
这个立体图 形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的
立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长 为2厘米的正方体分别在8
个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正< br>方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积
4厘米
2
，所以总的表面积为
（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米
2
）。
例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其
表面涂成红色，那么其中一面、 二面三面被涂成红色的小立方体各有多少
块？

分析与解：一个长方体有8个角 、12条棱、6个面，角上的8个小立
方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色， 在面上
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而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红
色。
根据上面的分析得到：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体 ，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有
［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）；
一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方
体，故有
［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2
＝ 52（块）。
一般地，当a，b，c都不小于2时，对于a×b×c的立方体：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体的块数是：
［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；
一面涂有红色的小立方体的块数是：
［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；
没有被涂上红色的小立方体的块数是：
（a-2）×（b-2）×（c-2）。
例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，
每种颜色涂两个面，共有多少种不 同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各
种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。）
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分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。
（1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。
（2）两个红色面相邻。此时， 除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，
当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。
所以共有6种不同涂法。


练习12

1.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？

2.有30个边长为1米的正方体，在地 面上摆成右上图的形式，然后
把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。
3.有一 个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中，有
一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这 种顶点最多有几个？最少有几
个？
4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米
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方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。求原来长方体的体积。
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5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红 色，再将其分割成1×1
×1的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全
部是红色的长方体。那么，可组成的长方体的体积最大是多少？
6.在边长为3分米的立方体木 块的每个面的中心打一个直穿木块的
洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）。求挖洞后木块的体 积及
表面积。

7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（右上图） 。用红、
黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，
那么，用红 色染的正方形最多有多少个？

答案与提示 练习12
1.9个面，21条棱。
2.56米
2
。
解：4×4+（1+2+3+4）×4=56（米
2
）。
3.8个；2个。
提示：颜色相同的面两两相对时有8个；
颜色相同的面两两相邻时有2个。
4.45厘米
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解：由3块小立方体构成的长方体体积为1×1×3厘米
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，故原来长方体的
体积为
（1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米
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5.96。
解：至少有一个面是红色的小立方体有5
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=98（个），其中三面红的8个，
两面红的36个，一面红的54个。可以组成4×4×6的表面全是 红色的长方体，
体积是4×4×6=96。
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7.22个。
解：一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）。因为染有5个红色方
格的面不能相邻，可以相对， 所以至多有两个面可以染成5个红色方格。

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不 能再染成红色，至多能染4个红
色方格（见上中图）。因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对 ，所以
至多有两个面可以染成4个红色方格。
最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）。
所以，红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）。
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