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第十五讲 比例模型







一、比和比例的性质


二、主要比例转化实例


三、按比例分配与和差关系


四、比例题目常用解题方式和思路



1.掌握比例的性质，学会比例间的互化。
2.掌握比例题目中常见的解题方法和思路。

1
1
例1:已知甲、乙、 丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等
2
3
5
于甲 、乙两数和的，求
甲:乙:丙
.
7


22
例2 :已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的
2
倍也等于丙的，那么甲的、乙的
2倍、
33
丙的一半这三个数的比为多少？


4
例3 :如下图所示，圆
B
与圆
C
的面积之和等于圆
A
面积的，且 圆
A
中的阴影部分面积占
5
1
1
圆
A
面积 的，圆
B
的阴影部分面积占圆
B
面积的，圆
C
的阴影部分面 积占圆
C
面积的
6
5
1
．求圆
A
、圆B
、圆
C
的面积之比．
3
A
B
C



例4:某俱乐部男、女会员的人数之比是
3:2
，分为甲、乙、 丙三组．已知甲、乙、丙三组
的人数比是
10:8:7
，甲组中男、女会员的人数之比 是
3:1
，乙组中男、女会员的人数之比
是
5:3
．求丙组中男、女 会员人数之比．


例5:一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到
16
个，而甲、乙两班的人数
比为
13:11
，求一共有多少个苹果 ？


例6:一班和二班的人数之比是
8:7
，如果将一班的8
名同学调到二班去，则一班和二班的
人数比变为
4:5
．求原来两班的 人数．


例7:幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数 与女生数的比为
5:3
，
中班男生数与女生数的比为
2:1
，那么大 班有女生多少名？

例8:有一个长方体，长和宽的比是
2:1
，宽与高的 比是
3:2
．表面积为
72cm
2
，求这个长
方体的体积.


例9:某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是
4:3
． 结果录取91人，其中男生与

女生人数之比是
8:5
．未被录取的学生 中，男生与女生人数之比是
3:4
． 问报考的共有多
少人？


A
1.一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相
同多的一段时间后，分别剩下
60%
、
40%
的任务没有完成，已知 两个工程队的工作效率(建
设速度)之比
3:1
，求这两个工程队原先承包的修建公路 长度之比.


2.某团体有
100
名会员，男女会员人数之比是
14:11
，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两
组人数之和一样多，各组男女会员人 数之比依次为
12:13
、
5:3
、
2:1
，那么丙组有多 少名
男会员？

3.
A
、
B
、
C三项工程的工作量之比为
1:2:3
，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队
同 时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量
是丙未完成的工作 量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙
队的工作效率的比是多少？

4.某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获< br>一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为
5:6
；③甲、乙两 校
获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的
20%
；④甲校获三等奖的人数占该校获 奖人数
的
50%
；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的
4.5
倍．那么，乙校获一等奖的人数
占该校获奖总人数的百分数等于多少？

5.①某 校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的
女生总数多1；③四、 五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那
么该校毕业生中男、女生人数比是 多少？

B
6.小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为
3:4:6
，三人一共藏书
52
本，求他们三人
各自的藏书数量.

7.在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所
捐资的和 与乙、丙所捐资的和之比是
10:7
，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐
元．

1
1
8.有
120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多
2
3
少皮球？

9.参加植树的同学共有
720
人，已知六年级与五年级人数的 比是
3:2
，六年级比四年级多
80
人，三个年级参加植树的各有多少人?

10.圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠 笔的单

价是每支多少元?

11.甲、乙两只蚂蚁同时从
A
点出发，沿长方形的边爬去，结果在距
B
点
甲
2
厘米的C
点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的
1.2
倍，求这个长方形的周
A长．

12.甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度< br>乙
比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当
甲到达B 地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？


C
1 3.师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完
成任务时， 师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

14.师徒二人共 加工零件
400
个，师傅加工一个零件用
9
分钟，徒弟加工一个零件用
15
分
钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

15.
A
、
B
、
C
三个水桶的总容积是
1440
公升， 如果
A
、
B
两桶装满水，
C
桶是空的；若
11将
A
桶水的全部和
B
桶水的，或将
B
桶水的全部和A
桶水的倒入
C
桶，
C
桶都恰好装
53
满．求
A
、
B
、
C
三个水桶容积各是多少公升？
< br>12
16.优胜教育四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等< br>25
3
于四年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？
7
4
17.一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去
21
厘米，长边截去
3 5%
以后，得到一块正
5
方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米?

18.一个正方形的一边减少
20%
，另一边增加
2
米，得到一个长 方形，这个长方形的面积与
原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米?

19. 一把小刀售价
3
元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是
2:5
；
如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为
8:13
．小明原来 有多少钱？

20.甲、乙两人原有的钱数之比为
6:5
，后来甲又得到1 80元，乙又得到30元，这时甲、
乙钱数之比为
18:11
，求原来两人的钱数之和 为多少？

21.一项机械加工作业，用4台
A
型机床，5天可以完成；用 4台
A
型机床和2台
B
型机床
3天可以完成；用3台
B型机床和9台
C
型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作
5天后，剩下< br>A
、
C
型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．

22.动物园门票大人
20
元，小孩
10
元．六一儿童节那天，儿童 免票，结果与前一天相比，
大人增加了
60%
，儿童增加了
90%
， 共增加了
2100
人，但门票收入与前一天相同．六一儿
童节这天共有多少人入园？


C
B

1.甲、乙、丙三个数，已知
甲:

乙丙

4:3
，
乙:丙2:7
，求
甲:乙:丙
。

2.有一堆糖果，其 中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖
果中有奶糖多少块?

1
1
3.甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲 、乙的速度比
11
5
是 ．

4.一堆围棋子有黑 白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为
2:1
；再拿
走45枚黑 棋子后，黑子与白子的个数比为
1:5
，求开始时黑棋子与白棋子各有多
少枚？

5.加工某种零件，甲
3
分钟加工
1
个，乙
3. 5
分钟加工
1
个，丙
4
分钟加工
1
个．现在三人在
同样的时间内一共加工
3650
个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?








1.右图是一个园林的规划图，其中，正方形的
地450平方米． 问：水池占多少平方米?
36
是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占
47

2.乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的
1
1
等于乙班种的棵数的， 且乙班比甲班
4
5
多种树
24
棵，甲、乙两个班各种树多少棵?

3
5
3.甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲 节余240元，乙
4
8
节余480元．甲本月收入多少元？

4. 甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时相向开出，甲车速度是
50
千米／小时，乙车速度是
40
1
千米／小时，当甲车驶过
A
、B
距离的多
50
千米时与乙车相遇，
A
、
B
两 地相距
3
千米．

5.一个周长是
56
厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图
⑴中小长方形面积的比是
A:B1:2
，
B:C1:2
．而在图⑵中相应的比例是
A':B' 1:3
，
B':C'1:3
.又知长方形
D'
的宽减去
D
的宽所得到的差与
D'
的长减去
D
的长所得到差之
比为1:3
．求大长方形的面积．
A
C
A'C'
BD
B'
D'
（1） ⑵

6.北京中学生运动会男女运动员比例为
19:12
，组委会决定增加女子 艺术体操项目，这样男
女运动员比例变为
20:13
；后来又决定增加男子象棋项目， 男女比例变为
30:19
,已知男子
象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多
15
人，则总运动员人数为多少？

7.袋子里红球与白球的数量之比是
1 9:13
．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为
5:3
；
再放入若干 只白球后，红球与白球数量之比变为
13:11
．已知放入的红球比白球少
80
只．那
么原来袋子里共有 只球．

8.有若干个突击队参加某工地 会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人
7
数是该队的男队员的，以后上级从 第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，
18
8
于是工地上的全体女队员 的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加
17
会战？

小学数学文化知识
圆田术
刘 徽(大约1700年前)是我国魏晋时期的数学家，他在《九章算
术》方田章“圆田术”注中提出把割圆 术作为计算圆的周长、面积以
及圆周率的基础。刘徽从圆内接六边形开始，将倍数逐次加倍，得到
的圆内接正多边形就逐步逼近圆。