上海外国语大学研究生部-后羿射日读后感

精 品
抽屉原理

知识框架

一、 知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来 并用来证
明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许
多看起来 相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．
二、 抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放 一个，
有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少
放两个苹果。
（2）定义
一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其 中必定至少有一个抽屉里
至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝
x

1x

n1


， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题

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将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限
思想 “任我意”方法、特殊值方法．

重难点

抽屉原理是一种特殊的思维方 法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时
能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的 主要教学目标是：
（1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法；
（2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程；
（3） 能够构造抽屉进行解题；
（4） 利用最不利原则进行解题；
（5） 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
例题精讲

（一）、直接利用公式进行解题
（1）求结论
【例 1】
6
只 鸽子要飞进
5
个笼子，每个笼子里都必须有
1
只，一定有一个笼子里有
2
只鸽
子．对吗？

【巩固】 年级一班学雷锋小组有
13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有
2
个人在
同一月过生日．”你知道 张老师为什么这样说吗？

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【例 2】 人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少
有 人的头发的根数相同。

图8


【巩固】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？


【例 3】 五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友， 请你说明：
至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．
【巩固】 “六一”儿童节，很多小 朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试
说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇 到的熟人数目相等．

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【例 4】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被
3
整除？

【巩固】 四个连续的自然数分别被
3
除后，必有两个余数相同，请说明理由．


【例 5】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

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【巩固】 求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得< br>(ab)(cd)(ef)
是105的倍数．


（2）求抽屉
【例 6】 某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经 过几个月，才
能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?


【巩固】 100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于
12个.

（3）求苹果
【例 7】 一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，
答错扣 1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参
加竞赛？

【巩固】 一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不
完 全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，
才能保证至少有3人 得得分相同．

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（二）、构造抽屉利用公式进行解题
【例 8】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个 ，小聪明和其他六个小朋友一起做游
戏，每人可以从口袋中随意取出
2
个球，那么不管 怎样挑选，总有两个小朋友取
出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？
【巩固】 幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同
样的，问：至少有多少 个小 朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？



【例 9】 从< br>2
、
4
、
6
、
8
、
个数的和是52
？
、
50
这
25
个偶数中至少任意取出多少个 数，才能保证有
2

【巩固】 请证明：在1，4，7，10，…，100中任选20 个数，其中至少有不同的两组数其和
都等于104.

【例 10】 从1，2，3……，2010，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中
每两个数的 差不等于4？

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【巩固】 从1至201 3这2013个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不
连续且差不等于4？

【例 11】 从
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
、
11
和
12
中至多选出 个数，
使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的
2
倍．

【巩固】
从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．

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【例 12】 有苹果和桔子若干个，任 意分成
5
堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子
的总数都是偶数？

【巩固】 v在
20
米长的水泥阳台上放
12
盆花，随便怎样摆放， 请你说明至少有两盆花它们
之间的距离小于
2
米．


【例 13】 时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做
n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从
这任做的n 个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最
小值．
11
1 0
9
8
7
6
5
12
1
2
3
4

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【巩固】 如图，在时钟 的表盘上任意作
9
个
120°
的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖
4
个数，
且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到
3
个扇形，恰好 覆盖整个表
盘上的数．并举一个反例说明，作
8
个扇形将不能保证上述结论成立． < br>11
10
9
8
7
6
5
12
1
2
3
4




【例 14】 从1，2，3， ……，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被7整除，则最多能取出多 少个数？

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（三）、最不利原则
【例 15】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年 级
12
道题，并且至少有
8
道
题与其他各年级都不同．如果每道题出 现在不同年级，最多只能出现
3
次．本届
活动至少要准备 道决赛试题．

【巩固】 一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100 粒。如果你闭上眼
睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？



【例 16】 有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球 8
个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？

【巩固】 在
100
张卡片上不重复地编写上
1
~
100
，请问至少要随意抽出几张卡片才能保 证所
抽出卡片上的数相乘后之乘积可被
4
整除？

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【例 17】 一个口袋里分别有红、黄 、黑球4，7，8个，为保证取出的球中有6个同色，则
至少要取小球______个。

【巩固】 一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点
数？


【综合题】从1，2，3，4，5，……，99，100这100个数中任意选出51个数，证明：



（1）在这51个数中，一定有两个数互质；
（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；
（3）在这51个数中，一定存在9个数，他们的最大公约数大于1.

课堂检测

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【随练1】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以
上金鱼．

【随练2】 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．

【随练3】 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的
小兔？

家庭作业

【作业1】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂
色相同．

【作业2】 证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

【作业3】 袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从

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中摸出1个小球，至少有______个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜
色一样．

【作业4】 班上有
50
名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友， 才能保证至少有一个
小朋友能得到不少于两本书？

【作业5】 11名学生到老师 家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名
学生最多可借两本不同类的书，最少借一 本．试说明：必有两个学生所借的书的
类型相同.

【作业6】 有红、黄、白三种颜色的小球各
10
个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出
个，才能保证有
5
个小球是同色的？

【作业7】 班上有
28
名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个
小朋友能得到不少 于两本书？

【作业8】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋 友都从中任意
拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同
的？

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【作业9】 黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有
一双是相同颜色的筷子？


教学反馈

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构造与论证


知识框架

（1） 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.
（2） 利用基本染色去解决相关图论问题．
重难点

各种探讨给定要求能否实现，在论证 中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情
形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问 题，这里的最佳通常指某个量达到最
大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案 的最优性进行论证．论
证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．
组合证明题 ，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体
把握。若干点及连接它们的一 些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接
它们的一些线段组成图，与此相关的题目称 为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分
析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基 本的染色方式有相间染色与条形染
色．
例题精讲

一、 最佳安排和选择方案
【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变 为反序排列，
即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

四、

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在2009张卡片上分别写着数字1 、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，
让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、 2、3、4、……、2009．然后将每一张
卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘， 所得的积能否确定是奇数
还是偶数？

【例 2】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛 上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采
用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场． 为公平起见，用以下方法
记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，
每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，
业余选手每负 一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分
比某位专业选手高?

五、 n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定
胜一场 得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有
各队的积分都不相同，问：
（1）n=4是否可能？
（2）n=5是否可能？

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【例 3】 如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数 分别填入图中的10个
圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的< br>最小值并完成你的填图.

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六、 如图，在时钟的表盘上任意作
9
个
120°
的 扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖
4
个数，
且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一 定可以找到
3
个扇形，恰好覆盖整个表
盘上的数．并举一个反例说明，作
8< br>个扇形将不能保证上述结论成立．
11
10
9
8
7
6
5
12
1
2
3
4


【例 4】 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，
与它同一 行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮
变为亮．如果原来每盏灯都是不亮 的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯
全部变亮?

【例 5】 1998名 运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员
参加仪仗队，使得剩下的运动 员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘
积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?