北京邮电大学分数线-九月天

竞赛试卷
六年级奥数题
1．凑整法
与整数运算中的“凑整法”相 同，在分数运算中，充分利用四则运
算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、 积、
商成为整数、整十数……从而使运算得到简化．
12317
例1 (3＋6＋1＋8)×(2－)．
434320

13217
解：原式＝[( 3＋1)＋(6＋8)]×(2－)
443320
7
)
20
7
＝20×2－20×

20
＝40－7＝33．
＝(5＋15)×(2－
14
例2 4× 25＋32÷4＋0.25×124．
57
14
解：原式＝4×25＋×25＋32÷ 4+÷4＋0.25×4×31

57
11
＝100＋5＋8＋＋31＝144．
77
2．约分法
例3
1×2×32×4×67×14×21
．
1×3×52×6× 107×21×35
1×2×32×(1×2×3)7×(1×2×3)
1×3×52
3
×(1×3×5)7
3
×(1×3×5)
33

解：原式＝
(1×2×3)×(12
3
7
3
)
(1×3×5)×(12
3
7
3
)
1×2×32

．
1×3×55
1111
例4 99×(1－)×(1－)×(1－)× …×(1－)．
23499
12398
解：原式＝99××××…×＝1．

23499
3．裂项法

根据
d11
＝－(其中n，d是自然数)，在计算若干个分
n×(nd)nnd
数之和时，若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算．
111111
例5 ＋＋＋＋＋．
2612203042

111111
解：原式＝＋＋＋＋＋．
1×22×33×44×55×66×7

竞赛试卷

＝1－＋－＋－＋－
22334455667

16
＝1－＝．
77
1111
例6 ＋＋＋…＋．
1×33×55×797×99

12222
解：原式＝×(＋＋＋ … ＋)
21×33×55×797×99
11111111
＝×(1－＋－＋－＋ … ＋－)
2335579799

1119849
＝×(1－)＝×＝．
29929999
例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数
的和等于1．
分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不
111
同的分数的和等于1，似乎无从下手．但是如果巧用“－＝”

nn1n(n1)
来做，就非常简单了．
11111111
因为1＝1－＋－＋－＋－＋－ …，所以可根据

22334455
题中所求，添上括号．此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成： < br>111111111
1＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)
22334455 6

111111111
＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋
677889 91010
11111
＝＋＋＋＋＋
1×22×33×44×55×6
111 11


6×77×88×99×1010
1111111111＝．
261220
所求的10个数是2，6，12，20，30，42 ，56，72，90，10．
1111
本题的解不是唯一的，例如由＋＝＋推知，用9和45

1030945
替换答案中的10和30，仍是符合题意的解．
4．代数法
1111111
例8 (1＋＋＋)×(＋＋＋)－
2342345
1111111
(1＋＋＋＋)×(＋＋)．
2345234
分析与解：通分计算 太麻烦，不可取．注意到每个括号中都有

竞赛试卷
111111
＋＋，不妨设＋＋＝A，则

234234
11
原式＝(1＋A)×(A＋)－(1＋A＋)×A
55
1111
＝A＋＋A
2
＋A－A－A
2
－A＝．
5555

例2 计算：

分析与解 题中的每一项的分子都是1，分母不是连续相邻两个自然数之
积，而是连 续三个自然数的乘积.下面我们试着从前几项开始拆分，探讨
解这类问题的一般方法.因为




这里n是任意一个自然数.

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果.

竞赛试卷


例3 计算：


分析与解 仿上面例1、例2的解题思路，我们也先通过几个简单的特例
试图找出其规律，再用裂项法求解.


这几个分数的分子都是2，分母是两个自然数的积，其中较小的那 个
自然数正好等于分母中自然数的个数，另一个自然数比这个自然数大3.
把这个想法推广到一 般就得到下面的等式：


连续使用上面两个等式，便可求出结果来.

竞赛试卷


因为第一个小括号内所有分数的 分子都是1，分母依次为2，3，4，…，
199，所以共有198个分数.第二个小括号内所有分数的 分子也都是1，分
母依次为5，6，7，…，202，所以也一共有198个分数.这样分母分别为5，6，7，…，199的分数正好抵消，



例4 求下列所有分数的和：


分析与解这是分数求和题，如按异分母分数加法法则 算，必须先求1，
2，3，…，1991这1991个数的最小公倍数，单是这一点就已十分麻烦，为此我们只好另找其他的方法.先计算分母分别为1，2，3，4的所有分数
和各等于多少.

竞赛试卷

这四个结果说明，分母分别为1，2，3，4的 上述所有分数和分别为
1，2，3，4.如果这一结论具有一般性，上面所有分数的求和问题便能很快解决.下面我们来讨论一般的情况.
假定分数的分母是某一自然数k，那么分母为k的按题目要求的所有
分


这说明，此题中分母为k的所有分数的和为k，利用这一结论，便可
得到下面的解答.



例5 自然数m至n之间所有分母为P的最简分数和是多少（这里m＜n，P
是奇质数）？

竞赛试卷
分析与解 先写出这些分数来，因为P是奇质数，所以与P互质且比 P小
的数有1，2，3，…，P-1，共（P-1）个.换句话说，每相邻的两个自然
数之间， 以P为分母的最简分数都有（P-1）个，故

下面来求这些分数的和：



因为m至（n-1）之间自然数的个数为：（n-1）-m+1=n-m，所以上面
结果
故上面结果又可改写为：



由以上例题可知，认真观察，发现题目中的规律，然后利用规律去解
题，是我们解题的一大法宝.