入学感受-雷锋事迹读后感

小学数学奥数基础教程(六年级)




本教程共30讲
棋盘的覆盖
同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象 棋的棋盘（图1），
围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）。

用某种形状 的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。
实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要 是有关覆盖若干行、若干列
的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少
种不同的覆盖方法问题。
例1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示
的图形？

分析与解：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含
的小方格数应是3的倍数，从而正方 形的边长应是3的倍数。经试验，不
可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6（见 右图），
需要用题目所示的图形
36÷3= 12（个）。

分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共< br>有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我
们将左上图黑白相间 染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格
有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能 盖住一个黑格与一个白
格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上
图。
例3 下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这
些图形拼成一 个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多
可以用上几种不同的图形？

分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的，
例如用7个（7）； 用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。
经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形 （见下图）。

能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格， 从
小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。
但事实上却拼不成 。为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见
右图），图中黑、白格各有14个。在7种图形 中，除第（2）种外，每种
图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个。第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，
因此不可能覆盖住另6种 图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。

综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形。
例4 用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个 11×11的大正方形，
最少要用1×1的正方形多少个？
分析与解：用3个2×2正方 形和2个3×3正方形可以拼成1个5×
6的长方形（见左下图）。用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形
可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）。

上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成
11×11的大正方形。那么 ，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正
方形可以拼成11×11的正方形吗？
将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将2×2
或3×3的正方形沿格线放置在任 何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以
无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是 偶数个。
但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，不
用1×1 的正方形不可能拼成11×11的正方形。

综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形。
例5 用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方
法？

分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。

如 下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两
个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 4种覆盖方法：右下图中①②③三
个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法。所以，共有7种 不
同覆盖方法。
例6 有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这 些
硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的
拼法？（通过旋转及 翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
解：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：

有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：

有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是
1 厘米纸片的有1种拼法。

共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）。
答：共有10种不同的拼法。

练习15


在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求
卡片的边缘与格线重合）



4.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连 在
一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？

5. 有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一
些拼成一个边长为4的大正方形，共有 多少种不同拼法？（只要选择的各
种小正方形的数目相同就算相同的拼法）


7.能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
答案与提示 练习15
1.3个。提示：左下图是一种放法。

2.图（2）。
提示：图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是3
的倍数但拼不成；图（ 2）的拼法见右上图。
3.不能。
提示：右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住 的黑格数是奇数，9
张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18个黑格。

4.25种。
提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种。

5.6种。
解：用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：
（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；
（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；
（5）4个2×2；（6）16个1×1。
6.5种。

提示：盖住 A有下图所示的5种方法，其中左下图所示的3种都无法
覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各 有2种放法，共有4种覆
盖方法；右下图只有1种覆盖方法。

7.不能。
提示：用1，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）。一个
1×4的矩形一次 只能覆盖1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目
不等，分别有9，10，9，8个。

小学数学奥数基础教程(六年级)




本教程共30讲
棋盘的覆盖
同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下 面是中国象棋的棋盘（图1），
围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）。

用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。
实际上，这里并不要求一定是某种 棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列
的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少
种不同的覆盖方法问题。
例1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示
的图形？

分析与解：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含
的小方格数应是3的倍数，从而正方 形的边长应是3的倍数。经试验，不
可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6（见 右图），
需要用题目所示的图形
36÷3= 12（个）。

分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共< br>有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我
们将左上图黑白相间 染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格
有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能 盖住一个黑格与一个白
格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上
图。
例3 下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这
些图形拼成一 个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多
可以用上几种不同的图形？

分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的，
例如用7个（7）； 用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。
经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形 （见下图）。

能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格， 从
小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。
但事实上却拼不成 。为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见
右图），图中黑、白格各有14个。在7种图形 中，除第（2）种外，每种
图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个。第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，
因此不可能覆盖住另6种 图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。

综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形。
例4 用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个 11×11的大正方形，
最少要用1×1的正方形多少个？
分析与解：用3个2×2正方 形和2个3×3正方形可以拼成1个5×
6的长方形（见左下图）。用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形
可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）。

上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成
11×11的大正方形。那么 ，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正
方形可以拼成11×11的正方形吗？
将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将2×2
或3×3的正方形沿格线放置在任 何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以
无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是 偶数个。
但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，不
用1×1 的正方形不可能拼成11×11的正方形。

综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形。
例5 用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方
法？

分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。

如 下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两
个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 4种覆盖方法：右下图中①②③三
个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法。所以，共有7种 不
同覆盖方法。
例6 有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这 些
硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的
拼法？（通过旋转及 翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
解：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：

有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：

有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是
1 厘米纸片的有1种拼法。

共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）。
答：共有10种不同的拼法。

练习15


在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求
卡片的边缘与格线重合）



4.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连 在
一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？

5. 有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一
些拼成一个边长为4的大正方形，共有 多少种不同拼法？（只要选择的各
种小正方形的数目相同就算相同的拼法）


7.能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
答案与提示 练习15
1.3个。提示：左下图是一种放法。

2.图（2）。
提示：图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是3
的倍数但拼不成；图（ 2）的拼法见右上图。
3.不能。
提示：右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住 的黑格数是奇数，9
张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18个黑格。

4.25种。
提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种。

5.6种。
解：用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：
（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；
（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；
（5）4个2×2；（6）16个1×1。
6.5种。

提示：盖住 A有下图所示的5种方法，其中左下图所示的3种都无法
覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各 有2种放法，共有4种覆
盖方法；右下图只有1种覆盖方法。

7.不能。
提示：用1，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）。一个
1×4的矩形一次 只能覆盖1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目
不等，分别有9，10，9，8个。