下面，我们讲讲如何利用对称的思想来分析解决问题。
例6 甲、乙两人轮流往一个 圆桌面上放同样大小的硬币。规则是：
每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对 方再也
无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？

分析与 解：这道题初看太抽象，既不知道圆桌的大小，又不知道硬币
的大小，谁知道该怎样放呀！我们用对称的 思想来分析一下。圆是关于圆
心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）。所以，圆内除圆心外，任意
一点都有一个（关于圆 心的）对称点。由此可以想到，只要甲把第一枚硬
币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处， 甲一定能找到与之
对称的点放置硬币。也就是说，只要乙能放，甲就一定能放。最后无处可
放硬 币的必是乙。
甲的获胜策略是：把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上
次放的硬币的对称点放置硬币。
这种利用对称思想的获胜策略体现出了一种机智，而这种机智来源于
数学思想。同学们经常 进行这种锻炼，就会变得越来越聪明。比如，有两
堆火柴，第一堆20根，第二堆25根，甲、乙二人轮 流从中取火柴，每次
可以从任一堆中取走任意数量的火柴，取走最后一根火柴者胜。甲先取，
怎 样才能保证获胜？利用对称的思想分析，只要甲先从第二堆中取走5
根，此时两堆火柴的数量相等（也是 一种对称），以后无论乙从哪一堆取
多少根火柴，甲都对称地从另一堆取相同数量的火柴，只要乙能取， 甲就
能取，所以最后一根必被甲取走，甲胜。
例7 十个相同的圆摆成左下图所示的形状 ，过其中两个圆的圆心A
和B作直线，求直线右上方圆内总面积与直线左下方圆内总面积的比。

分析与解：我们把直线AB以及AB经过的四个圆单独画成右上图，此< br>图关于C点对称，所以这四个圆正好被平均分成两部分，即直线两侧的面
积各为2个圆面积。所以 在左上图中，直线右上侧圆内面积总和是4个圆
面积，直线左下侧圆内面积总和是6个是圆面积，两者的 面积比是
46=23。

练习30
1.甲、乙玩猜数游戏。甲在 心中想好一个1000以内的数，乙只许问
“比某数小吗？”甲只回答“是”或“不是”。那么乙最少问 几次就一定
能猜中这个数？
2.现有700粒相同的珍珠和1粒外形相同、重量略轻的假 珍珠，用一
台天平至少称几次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？
3.某校开运动会，学校 给同学们买来50箱汽水，每箱24瓶。由于商
店规定每6个空瓶可换到一瓶汽水，所以同学们每喝完6 瓶汽水就去换一
瓶，这样他们共能多喝多少瓶汽水？
4.一块铝锭可铸成20个机器零件 毛坯，每4个毛坯车成零件后的铝
屑又能铸成一个毛坯。那么7块这样的铝锭最多能车成多少个机器零件 ？
5.某校开运动会，打算发给1000位学生每人一瓶汽水，由于商店规
定每6个空瓶 可换到一瓶汽水，所以学校不必买1000瓶汽水，那么最少
要买多少瓶汽水？
6.有一 艘轮船停在港口里，轮船的外舷有一软梯，软梯的第一级正好
挨着海面，往上每隔20厘米有一级。这时 海水正在涨潮，每小时上涨30
厘米。问：经过多长时间，海水涨到软梯的第四级？
7. 红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，
搅拌后，再从蓝墨水中吸一滴同样体积 的墨水滴到红墨水中。这时红墨水
中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多？
答案与提示 练习30
1.10次。
提示：2
10
=1024＞1000，与例1类似，利用对分法，10次必能猜中。
2.6次。
解：3
6
=729＞701，与例2类似，利用三分法，6次必能挑出来。

3.240瓶。解：24×50÷（6-1）=240（瓶）。


6.因为“水涨船高”，所以永远涨不到。
7.一样多。

提示：变化后两瓶墨水的体积都没变，所以红墨水中进来多少蓝墨水，
必然有相同体积的红 墨水进入蓝黑水，即红墨水中的蓝墨水与蓝黑水中的
红墨水一样多。

小学六年级奥数教案—30趣题巧解




本教程共30讲
趣题巧解
生活中的许多事都蕴含着数学思想，我们先看一个猜 数游戏。甲心中
想一个32以内的数，乙只许问“比某数大吗？”甲只回答“是”或“不”，
那 么乙最多5次必可猜中。比如甲想的是23，下面是5次提问与回答：
（1）“比16大吗？”，“是”；（2）“比24大吗？”，“不”；
（3）“比20大吗？”，“是”；（4）“比22大吗？”，“是”；
（5）“比23大吗？”，“不”。于是乙猜中甲想的23。
这里乙用的是对分法。32的一半是16，第1次问话后，乙知道甲想
的数在17～32之间； 17～ 32中间的数是24，第二次问话后，乙知道甲
想的数在17～24之间。依此类推，因为32=25
，经5次对分，必猜中。
对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。
例1有1000箱外形完全相同的产品，其中999箱重量相同，有1箱
次品重量较轻。现 有一个称（一次可称量500箱），怎样才能尽快找出这
箱次品？
分析与解：因为称量一 次只有两种结果：等于规定重量或轻于规定重
量，所以可用对分法。先取500箱称，若等于规定重量， 则次品在另500
箱中；若轻于规定重量，则次品在这500箱中。然后对有次品的500箱再
对分，取其中的250箱称……因为1000＜1024=2
10
，所以经过10次称必
可查出次品。
若一次试验可以有三种不同的结果，则可用三分法。
例2 现有8 0粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量
较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这 粒假珍珠挑出来？
分析与解：因为天平称重有三种结果；①两边一样重，②左边重，③
右边重，所以可以用三分法。
先将81粒珍珠三等分，在天平两边各放27粒珍珠，天平下还有27
粒。若两边一样重， 则假珍珠在天平下的27粒中；若左边重，则假珍珠
在天平右边的27粒中；若右边重，则假珍珠在天平 左边的27粒中。

然后再将有假珍珠的一堆三等份，继续上面的做法。因为81= 3
4
，所
以只需要称4次就可将假珍珠挑出来。
我们再看看“空瓶换酒问题”。
例3某商店出售啤酒，规定每5个空啤酒瓶能换1瓶啤酒。张叔叔 家
买了80瓶啤酒，喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后
共能喝到多少瓶啤酒 ？
分析与解：我们按照实际换酒过程分析：
喝掉80瓶啤酒，用80个空瓶换回16瓶啤酒；
喝掉16瓶啤酒，用16个空瓶换回3瓶啤酒余1个空瓶；
喝掉3瓶啤酒，连上次余下的1个空瓶 还剩4个空瓶。此时，再借1
个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶啤酒，喝完后将空瓶还了。
所以，他们家前后共喝到啤酒80+16+3+1=100（瓶）。
解例3的关键是 ：正确运用“5个空瓶可换1瓶啤酒”这个条件，特
别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏 了”！但如果一开始
酒的瓶数很多，那么这个换酒的过程就会很长。有没有简便的算法呢？注
意 到“每5个空瓶可换一瓶啤酒”（连酒带瓶）这个条件，可知每4个空
瓶就能换到一瓶啤酒（不带瓶）， 那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶啤
酒，所以张叔叔家前后共能喝到80+20=100（瓶）啤酒 。综合式是80+80
÷（5-1）=100（瓶）。




有了上面的简捷思路，求解类似的问题就简单多了。
例4一块钢锭可以铸成25个机 器零件的毛坯，每加工5个机器零件
的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭 10
块，最多可以加工多少个机器零件？
分析与解：这类“铸坯加工零件”问题显然也属 于“空瓶换酒”问题。
由“每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛