什么的启示作文-专业实习报告

繁分数的运算


繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先 算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其
上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需
将带分数化为假分 数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲 循环小数与分数]．


711
4
26
2
7
1．计算：
18
135
8
133
3416
71
23

723 17
【分析与解】原式=
46
2
12


4
14
88128
1312
33


2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有
1 9
到改变运算顺序，如果分子与分母在
19
5
．于是，我们想
95
后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数
9
第 1 页 共 8 页 < /p>

的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被
除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
59
19(35.22)
19930.41.6
91 0
原式=
()

527
19950.51995
19 (65.22)
950
5
191.32
19930.440.4 0.5
=
9
()

5
191.32
1995 0.419950.5
9
0.4
1199320.4
)
=< br>1
=
1(
=
1

0.5
419950.5


3．计算：
1
1< br>1
1
1
1
1987

【分析与解】原式=
1
19861987
1
=
1
=
1987
39733973
1
1986


4． 计算：已知=
1
1+
2+
1
1
x+
1
4< br>
8
，则x等于多少?
11
【分析与解】方法一：
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

1
1
1
2
4
4x1

18x68


4x1
12x711
1
8x6
交叉相乘有88x+66=9 6x+56，x=1．25．
方法二：有
1
1
2
1
x 
1
4

13
113
182
1
，所以
22
；所以
x
，那么
1
3
42
88
3
x
4
第 2 页 共 8 页

x
1.25．


5．求
4,43,443,...,44...43
这10个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：

4+43+443...44...43

9个4
=
4(441)(4441)...(44...41)

10个4
=
444444...44...49
=
10个4
4
(999999...999...9)9

9
10个9
=
4
[(101)(1001)(10 001)...(1000...01)]9

9
10个0
4
111.1009=4938271591
.
9
9个1
=

方法二：先计算这10个数的个位数字和为
39+4=31
；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为
36339
；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为
32335
；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为
28331
；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为
24327
；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为
20222
；
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为
16 218
；
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的 1，为
12113
；
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为
819
；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为
4
．
所以，这10个数的和为4938271591．

第 3 页 共 8 页

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之
和是多少?

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

3(

1
3
17
0.60.875) 1+0.75+1.8+2.625=6.175=6

440

7 .我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○
3.5=3. 5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计
23155
)(0.4)
33384
算：
1235
(0.3) (2.25)
3104
(0.625
【分析与解】原式
0.625
155
384

5

155
2
7
< br>25

1
838412256
2.25
3

8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10× 11，…．如果
111

(16)(17)(17)
【分析与解】

，那么方框内应填的数是多少?
(
1617181
111(17)
1
.
) 1
=
1516175
(16)(17)(17)(16)

第 4 页 共 8 页

9．从和式
等于1?
1 11111

中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和
246810 12
111
1
1
1111

，所以,,,的和为l，因此 应去掉与.
246
12
8
106124
【分析与解】 因为


10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成 许多个整数部分是一位
的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是 多少?

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大 ，于是最大的
为
9.291892915
．


11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有
114111111

，

，


6110
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
注意到
11ca11ca1

，当
acb
时，有．
abcbabcabcbabcac
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质 数的和等于另一个质数，必定有一个质
数为2，不妨设a为2，那么有
2cb
，显 然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：


12．计算：
(1
【分析与解】
111

，c与c+2均为质数即可.
2(c2）c(c2)2 c
111
）（1）...(1)

22331010
第 5 页 共 8 页

原式=
( 21)(21)(31)(31)(101)(101)
...
< br>22331010
13243546576879810 911
=
223344...1010
12334 455...991011
=
223344...991 010
121011
11
==.
221010
20


13．已知
a=
11 661267136814691570
100
.问a的整数部分是多< br>11651266136714681569
少？
【分析与解】
11661267136814691570
100

11651266136714681569
11(651)12(66 1)13(671)14(681)15（691）
100
=
11651266136714681569
1112131415（1）100
=
11651266136714681569< br>1112131415
100
. =
100
1165+ 1266136714681569
1112
100
因为< br>1165+1266136714681569
1112131415 100
100

（11121314+15）6565
10035
101
. 所以
a
＜
100+
6565
1112
100
同时
11651266136714681569
11121314 15100
100

（11121314+15）6969
10031
＝101
. 所以 a＞
100
6969
3135
综上有
101
＜a＜
101
．所以a的整数部分为101．
6965
a=

＜
13
＞
13

14．问
1357991
...
与相比，哪个更大，为什么?
246810010
第 6 页 共 8 页

00
 ...＝A
，
...＝B
，
24681003579101< br>001
...＝
有
AB＝...
.
24681
【分析与解】方法一：令
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是 B＞A，
111
1111
）
＝
，所以有A×A＜
，那么A＜． ＜
1011010
100101010
13579911
即
...
与相比，更大．
24681001010
135797 99

方法二：设
A＝...
，
246898100< br>1133559999
2

则
A＝...
< br>224466100100
1335577...979799991
=，
2244668...969898100100
1 335579799991
2
显然、、、…、、都是小于1的，所以有A＜，于是A< br>2244669898100100
1
＜.
10
（＝
有A×A＜4×B

15．下面是两个1989位整数相乘 ：
111...11111...11
．问：乘积的各位数字之和是多少?
198 9个11989个1
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为
111... 11
能被9整除，所以将
1989个1
一个
111...11
乘以9 ，另一个除以9，使原算式变成：
1989个1
999......9912345679 0......012345679

1989个9共1988位数
=
（10 00......001）123456790......012345679

198 9个0共1988位数
=
123456790............001234567 90......012345679

共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790......456789876543209......98765432< br>
共1988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123 456790”和“987654320”及一个“12345678”和一
个“987654321” ，所以各位数之和为：
（12345679）220（987654 32）220

（12345678）（9876543 21）17901
+
评注：111111111÷9=12345679；
M×
999...9
的数字和为9×k．(其中M≤
999...9
)．可以 利用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9

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繁分数的运算


繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先 算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其
上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需
将带分数化为假分 数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲 循环小数与分数]．


711
4
26
2
7
1．计算：
18
135
8
133
3416
71
23

723 17
【分析与解】原式=
46
2
12


4
14
88128
1312
33


2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有
1 9
到改变运算顺序，如果分子与分母在
19
5
．于是，我们想
95
后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数
9
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的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被
除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
59
19(35.22)
19930.41.6
91 0
原式=
()

527
19950.51995
19 (65.22)
950
5
191.32
19930.440.4 0.5
=
9
()

5
191.32
1995 0.419950.5
9
0.4
1199320.4
)
=< br>1
=
1(
=
1

0.5
419950.5


3．计算：
1
1< br>1
1
1
1
1987

【分析与解】原式=
1
19861987
1
=
1
=
1987
39733973
1
1986


4． 计算：已知=
1
1+
2+
1
1
x+
1
4< br>
8
，则x等于多少?
11
【分析与解】方法一：
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

1
1
1
2
4
4x1

18x68


4x1
12x711
1
8x6
交叉相乘有88x+66=9 6x+56，x=1．25．
方法二：有
1
1
2
1
x 
1
4

13
113
182
1
，所以
22
；所以
x
，那么
1
3
42
88
3
x
4
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x
1.25．


5．求
4,43,443,...,44...43
这10个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：

4+43+443...44...43

9个4
=
4(441)(4441)...(44...41)

10个4
=
444444...44...49
=
10个4
4
(999999...999...9)9

9
10个9
=
4
[(101)(1001)(10 001)...(1000...01)]9

9
10个0
4
111.1009=4938271591
.
9
9个1
=

方法二：先计算这10个数的个位数字和为
39+4=31
；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为
36339
；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为
32335
；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为
28331
；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为
24327
；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为
20222
；
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为
16 218
；
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的 1，为
12113
；
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为
819
；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为
4
．
所以，这10个数的和为4938271591．

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6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之
和是多少?

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

3(

1
3
17
0.60.875) 1+0.75+1.8+2.625=6.175=6

440

7 .我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○
3.5=3. 5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计
23155
)(0.4)
33384
算：
1235
(0.3) (2.25)
3104
(0.625
【分析与解】原式
0.625
155
384

5

155
2
7
< br>25

1
838412256
2.25
3

8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10× 11，…．如果
111

(16)(17)(17)
【分析与解】

，那么方框内应填的数是多少?
(
1617181
111(17)
1
.
) 1
=
1516175
(16)(17)(17)(16)

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9．从和式
等于1?
1 11111

中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和
246810 12
111
1
1
1111

，所以,,,的和为l，因此 应去掉与.
246
12
8
106124
【分析与解】 因为


10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成 许多个整数部分是一位
的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是 多少?

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大 ，于是最大的
为
9.291892915
．


11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有
114111111

，

，


6110
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
注意到
11ca11ca1

，当
acb
时，有．
abcbabcabcbabcac
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质 数的和等于另一个质数，必定有一个质
数为2，不妨设a为2，那么有
2cb
，显 然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：


12．计算：
(1
【分析与解】
111

，c与c+2均为质数即可.
2(c2）c(c2)2 c
111
）（1）...(1)

22331010
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原式=
( 21)(21)(31)(31)(101)(101)
...
< br>22331010
13243546576879810 911
=
223344...1010
12334 455...991011
=
223344...991 010
121011
11
==.
221010
20


13．已知
a=
11 661267136814691570
100
.问a的整数部分是多< br>11651266136714681569
少？
【分析与解】
11661267136814691570
100

11651266136714681569
11(651)12(66 1)13(671)14(681)15（691）
100
=
11651266136714681569
1112131415（1）100
=
11651266136714681569< br>1112131415
100
. =
100
1165+ 1266136714681569
1112
100
因为< br>1165+1266136714681569
1112131415 100
100

（11121314+15）6565
10035
101
. 所以
a
＜
100+
6565
1112
100
同时
11651266136714681569
11121314 15100
100

（11121314+15）6969
10031
＝101
. 所以 a＞
100
6969
3135
综上有
101
＜a＜
101
．所以a的整数部分为101．
6965
a=

＜
13
＞
13

14．问
1357991
...
与相比，哪个更大，为什么?
246810010
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00
 ...＝A
，
...＝B
，
24681003579101< br>001
...＝
有
AB＝...
.
24681
【分析与解】方法一：令
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是 B＞A，
111
1111
）
＝
，所以有A×A＜
，那么A＜． ＜
1011010
100101010
13579911
即
...
与相比，更大．
24681001010
135797 99

方法二：设
A＝...
，
246898100< br>1133559999
2

则
A＝...
< br>224466100100
1335577...979799991
=，
2244668...969898100100
1 335579799991
2
显然、、、…、、都是小于1的，所以有A＜，于是A< br>2244669898100100
1
＜.
10
（＝
有A×A＜4×B

15．下面是两个1989位整数相乘 ：
111...11111...11
．问：乘积的各位数字之和是多少?
198 9个11989个1
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为
111... 11
能被9整除，所以将
1989个1
一个
111...11
乘以9 ，另一个除以9，使原算式变成：
1989个1
999......9912345679 0......012345679

1989个9共1988位数
=
（10 00......001）123456790......012345679

198 9个0共1988位数
=
123456790............001234567 90......012345679

共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790......456789876543209......98765432< br>
共1988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123 456790”和“987654320”及一个“12345678”和一
个“987654321” ，所以各位数之和为：
（12345679）220（987654 32）220

（12345678）（9876543 21）17901
+
评注：111111111÷9=12345679；
M×
999...9
的数字和为9×k．(其中M≤
999...9
)．可以 利用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9

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