党的十八届六中全会-泉州教育信息网

第二讲 比和比例
教学目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
知识点拨：
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活 中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考
试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容 有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、主要比例转化实例
xaab
ybxy
①





；

；

；
ybxy
xaab
xamxaxma
②



(其中
m0
)；

；

ybmybymb
xaxaxyab
xyab
③



； ； ；
L


ybxyabxyab
xa
xa
ycxac
④

，





；
x:y:zac:bc:bd
；
yb
zdzbd
cd
adbc
⑤
x
的等于y
的，则
x
是
y
的，
y
是
x
的．
ab
bcad
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例 如：将
x
个物体按照
a:b
的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两 个人各自分配到的物体数量与
x
axbx
的比分别为
a:

ab

和
b:

ab

，所以甲分配到个，乙 分配到个.
abab
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
ax
例如：两个类别
A
、
B
，元素的数量比为
a:b(这里
ab
)，数量差为
x
，那么
A
的元素数量为，
B
的
ab
bx
元素数量为，所以解题的关键是求出
ab

与
a
或
b
的比值．
ab
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位 “l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，
将不同的单位“1”，转化成统一的单 位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题
时，要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质 解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成
反比例。找出这些具体数量 相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧
的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题
例题精讲：
模块一、比例转化
1
1
【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙 两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两
2
3
精选

5
，求
甲:乙:丙
.
7
1111
1
【解析】 由甲等于乙、丙两数和的
，得到甲等于三个 数和的同样的乙等于甲、丙两数和的

，

，
3+142+133
55115
同样的丙等于甲、乙两个数和的

，所以
甲:乙:丙::3:4:5
．
75124312
22
【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2
倍也等于丙的，那么甲的、乙的
2
倍、丙的一半
33
这三个数 的比为多少？
2
【解析】 甲的一半、乙的
2
倍、丙的
这三个数的 比为
1:1:1
，所以甲、乙、丙这三个数的比为
3
132

1

2

即，化简为，那么甲的、乙的
2
倍、丙的一半 这三个数的比
1:12:1
4:1:3
2::

< br>223

2

3

2

3

1

8
为

4

:
< br>12

:

3

即
:2:
，化 简为
16:12:9
.
3

2

2

3
4
【例 3】 如下图所示，圆
B
与圆
C
的面积之和等于圆
A
面积的，且圆
A
中的阴影部分面积占圆
A
面积的
5
1
11
，圆
B
的阴影部分面积占圆
B
面积的，圆
C
的阴影部分面 积占圆
C
面积的．求圆
A
、圆
B
、
6
53
圆
C
的面积之比．
数和的
A
B
C

【解析】 设
A
与
B
的共同部分的面积为
x
，A
与
C
的共同部分的面积为
y
，则根据题意有
5BC< br>
5BC

BC

6

xy

，
x
，
y
，于是得到

BC
< br>6




，这条式子可化简为
4
453

53

5
B15C
，所以
A
BC

20C
.最后得到
A:B:C20:15:1
.
4
【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是
3:2
，分为甲、乙、丙三 组．已知甲、乙、丙三组的人数比是
10:8:7
，
甲组中男、女会员的人数之比是< br>3:1
，乙组中男、女会员的人数之比是
5:3
．求丙组中男、女会员人
数之比．
1033311
【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为
，女会员 为

，乙组男会员为

1087311010310
3< br>
31

1
851133





；丙组男会员为，女会员为

，女会员为

3+2< br>
105

10
10875355525
A
2

13

9
19




；所以，丙组中男、女会员人数之比为
:5:9
．
3+2

1025

50
1050
【巩固】 一项 公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的
一段时间后，分 别剩下
60%
、
40%
的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速 度)之比
3:1
，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.
【解析】 (法一 )甲工程队以
3
倍乙工程队建设速度，仅完成了
40%
的承包任务，而乙工程 队完成了
60%
，所
以甲工程队承包任务的
40%
等于乙工程队承包 任务的
60%3180%
，所以甲工程队的承包的任务
是乙工程队承包任务的180%40%450%
，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为
450%:1 9:2
．
(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于
3:1
，而他们分别完成了各自
任务的
40%
和
60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为

340%

:

160%

9:2
．

【例 5】 某团体有100
名会员，男女会员人数之比是
14:11
，会员分成三组，甲组人数与乙、 丙两组人数之
和一样多，各组男女会员人数之比依次为
12:13
、
5:3< br>、
2:1
，那么丙组有多少名男会员？
【解析】 会员总人数
100
人，男女比例为
14:11
，则可知男、女会员人数分别为
56
人、
44
人；又已知甲组人
精选

数与乙、丙两组人数之 和一样多，则可知甲组人数为
50
人，乙、丙人数之和为
50
人，可设丙组人 数
为
x
人，则乙组人数为

50x

人，又已知 甲组男、女会员比为
12:13
，则甲组男、女会员人数分别
52
为
24
人、
26
人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：
24(50 x)x56
，解得
x18
．即
83
2
丙组会员人数 为
18
人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为
1812
人．
3
【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)
A
、
B
、由 甲、乙、丙三队分别承担．三
C
三项工程的工作量之比为
1:2:3
，
个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量
是丙 未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作
效率的比是 多少？
【解析】 根据题意，如果把
A
工程的工作量看作
1
，则< br>B
工程的工作量就是
2
，
C
工程的工作量就是
3．
设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为
x
、
y、
z
.经过
k
天，则：

2kx2kyLL



3ky3kzLL

kz1kxLL

将⑶代入⑵，得
ky

1


2



3

2kx
LL

4

，
3
2kx4
将⑷代入⑴，得
2kx2
，
x
，
37k
463
将
x
代入⑴，得
y
．代入⑶ ，得
z
．
7k7k7k
463
甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是
::4:6:3
．
7k7k7k
【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数 相等；②甲校获一等奖
的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为
5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数
总和占两校获奖人数总和的
20%
；④甲校获三等 奖的人数占该校获奖人数的
50%
；⑤甲校获二等奖
的人数是乙校获二等奖人数的4.5
倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于
多少？
【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为
6:5
，不妨设甲校有60人获 奖，则乙校有50人获奖．由
③知两校获二等奖的共有
(6050)20%22
人；由⑤知甲校获二等奖的有
22(4.51)4.518
人；
由④知甲校获 一等奖的有
606050%1812
人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百 分
数为
1250100%24%
．
【例 7】 ①某校毕业生共有9 个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数
多1；③四、五、六班三个班 的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中
男、女生人数比是多少？
【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的 男生
总数比四、五、六班总人数少1．
一班男生 比 二、三班女生 多1人

加上


加上

二、三班男生
一、二、三班男生
七、八、九班男生
四、五、六班男生
四、五、六、七、八、九班男生

比
比

比
二、三班男生
二、三班总人数
四、五、六班女生
四、五、六班男生
四、五、六班总人数

多1人
少1人

少1人 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数< br>等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是
5:4
．
模块二、按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
【例 8】 一些苹果平均分给甲 、乙两班的学生，甲班比乙班多分到
16
个，而甲、乙两班的人数比为
13:11，
求一共有多少个苹果？
【解析】 一共有
16

131 1



1311

192
个苹果.
精选

【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为
3:4:6
，三人一共藏书
52
本，求他们三人各自的
藏书数量.
346
【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的
、、 ，所
346346346
34
以小新拥有的藏书数量为
52 12
本，小志拥有的藏书数量为
5216
本，小刚拥
34634 6
6
有的藏书数量为
5224
本.
346
【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐 18元，甲、乙所捐资
的和与乙、丙所捐资的和之比是
10:7
，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．
【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲 、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的
和为：乙、丙所捐资的和为
601842
元．所以，甲捐了
804238
(元)，
18(10 7)1060
(元)，
乙捐了
603822
(元)，丙捐了
381820
(元)．
1
1
【巩固】 有
120
个 皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮
2
3
球 ？
113
【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比
:3:2
，所 以一班分到皮球
12072
个，二班分到
2332
皮球
120 7248
个．
【例 9】 一班和二班的人数之比是
8:7
，如果将一 班的
8
名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为
4:5
．求原来两班的 人数．
8844
【解析】 原来一班的人数为两班总人数的

，调班后一班 的人数是两班人数的

，调班前后一
8715459
84
班人数 的比值为
:6:5
，所以一班原来的人数为
8

65

648
人，二班原来的人数为
159
488742
人.
【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为
5:3
，中班男生数
与女生数的比为
2:1
，那么大班有女生多少名？
【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生 全部是
大班，则大班男生数：女生数
5:330:18
，即男生应有30人，实际 上男生有32人，相差2个人；
又中班男生数：女生数
2:16:3
，以3个中班 女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，
所以需要换2组；所以，大班女生有
183 212
(名)．
【巩固】 参加植树的同学共有
720
人，已知六年级 与五年级人数的比是
3:2
，六年级比四年级多
80
人，
三个年级参 加植树的各有多少人?
【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有
7 2080800
人，四、五、六三个年级的
人数比为
3:2:3
，知道三 个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的
32
人数．六年级：< br>800

300
人；五年级：
800200
人；四年 级：
30080220
人．
323323
【巩固】 圆珠笔和铅 笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每
支多少元?
【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4 +21×
3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是
O
.5×4=2(元)．
【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从
A
点出发 ，沿长方形的边爬去，结果在
甲
距
B
点
2
厘米的
C
点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的
1.2
倍，求
A
这个长方形的周长 ．
【解析】 两只蚂蚁在距
B
点
2
厘米的
C
点相 遇，说明乙比甲一共多走了
224
(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的
1.2
倍，相同时
间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，
所以 甲爬的路程是
4

65

520
(厘米)，乙爬的 路程是
20424
(厘
C
B
乙
米)，长方形的周长为< br>202444
(厘米)．
【例 12】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相 向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速
度减少20％，乙的速度增加20％，这样 ，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两
精选

地相距多少千米？
【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比 是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8
54
和。设全程x千米， 剩下的部分甲行的长度和乙行的
99
48
长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长 的49，所以乙行驶了全长的
56
，所以乙
915
4844441一共行了全长

，还剩1-＝，没有走所以A、B全长为450千米.

915454545
＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的
【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？
11
【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是
:5:3
，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅 与
915
53
53
徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了
1 00()400
个零件
5353
5353
【巩固】 师徒二 人共加工零件
400
个，师傅加工一个零件用
9
分钟，徒弟加工一个零件用< br>15
分钟．完成
任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
11
【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是
:5:3
，而工作时间相同， 则工作量与工作效率成正比，所以师
915
3

53

5< br>傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件
400


< br>100
个．
5353

5353

【例 14】
A
、
B
、
C
三个水桶的总容积是
1440
公升，如果
A
、
B
两桶装满水，
C
桶是空的；若将
A
桶水的
11
全部和
B
桶水的，或将
B
桶 水的全部和
A
桶水的倒入
C
桶，
C
桶都恰好装满．求
A
、
B
、
C
三
53
个水桶容积各是多少公升？
2
11
【解析】 根据题意可知，
所以
A
桶水的等
A
桶水的全部加上
B
桶水的
等于
B
桶水的全部加上
A
桶水的，
3
53
4426617
于
B
桶水的，那 么
A
桶水的全部等于
B
桶水的

，
C
桶 水为
B
桶水的

．所以
A
、
553555567
B
、
C
三个水桶的容积之比是
:1:6:5:7
．又
A
、
B
、
C
三个水桶的总容积是
1440公升，所以
55
65
480
公升，
B
桶的容积是480400
公升，
C
桶的容积是
A
桶的容积是
1 440
6576
7
480560
公升．
6
12
【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于 五年级学生的，等于四
25
3
年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？
7
123
【解析】 将六年级学生的
，等于五年级学生的，等于四年级学生的 ，看作一个单位，那么六年级学生
257
7
人数等于2个单位，五年级学生等于2.5 个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、
3
5712
四年级学生人数的比 为
2：：12：
=180人，五年级
15：14
，所以六年级学生人数为< br>615
23121514
1514
学生人数为
615225
人，四年级学生人数为
615210
人
121514121514
4
【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的．从 宽边截去
21
厘米，长边截去
35%
以后，得到一块正方形铁板．问
5
原来长方形铁板的长是多少厘米?
【解析】 如果只将长边截去
35%
， 宽、长之比为
4:


5

135%



16:13
，所以宽边的长度为
4
21(1613) 16112
厘米，所以原来铁板的长为
112140
厘米．
5
精选

【巩固】 一个正方形的一边减少
20%< br>，另一边增加
2
米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方
形面积相等． 原正方形的边长是多少米?
4551
【解析】 要保证面积不变，一边减少
20%< br>，即是原来的
，另一边要变成原来的，即增加
1
，所以
5444< br>1
原正方形的边长为
28
(米).
4
【例 16】 一 把小刀售价
3
元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是
2:5< br>；如果小强买
了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为
8:13
．小明原来有 多少钱？
55
【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的

，小明的钱相当于小明、小强买
257
8885
刀后钱数和的
< br>，所以小明、小强的钱数的比值为
:8:15
，而小明买刀后小明、小强
8+ 1321217
的钱数之比为
2:56:15
，所以小明买刀前后的钱数之比为8:64:3
，所以小刀的售价等于小明原
4311
来钱数的
，所以小明的钱数为
312
元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为
4 44
28
:3:4
，小明的钱数为
4


3

43



12
（元）
721
【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为
6:5
，后来甲又得到180 元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之
比为
18:11
，求原来两人的钱数之和为多 少？
【解析】 两人原有钱数之比为
6:5
，如果甲得到180元，乙得到150元 ，那么两人的钱数之比仍为
6:5
，现
在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少 得到了120元，现在两人钱数之比为
18:11
，可以理解
为：两人的钱数分别增加 180元和150元之后，钱数之比为
18:15
，然后乙的钱数减少120元，两人
的钱数之比变为
18:11
，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为
30(1815)990
元，所以原来两人的总钱数之和为
9901801 50660
元．
【例 17】 一项机械加工作业，用4台
A
型机床，5 天可以完成；用4台
A
型机床和2台
B
型机床3天可以完
成；用3台
B
型机床和9台
C
型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后， 剩下
A
、
C
型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．
【解析】 由于用4台
A
型机床5天可以完成；用4台
A
型机床和2 台
B
型机床3天可以完成，所以2台
B
型
机床3天完成的量等于4台
A
型机床2天完成的量，则
A
、
B
两种机床每天完成的量的 比为

23

:

42

3:4< br>，即
A
型机床每天完成的量为3，
B
型机床每天完成的量为4，该项作 业总量为
34560
，那么
C
型机床每天完成的量为

60243

92
，3种机床各取一台工作5天后，
剩下的工作 量为
60

342

515
，
A
、
C
型机床还需继续工作
15

32

3
天．
【例 18】 动物园门票大人
20
元，小孩
10
元 ．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了
60%
，儿童增加了
9 0%
，共增加了
2100
人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？
【解析】 前一天大人与小孩的人数比为
1:(60%2)5:6
，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为
5

560%

:< br>
690%

5:9
， 大人增加的人数为
2100 750
人，小孩增加的人数为
14
21007501350
人，大人的总 数为
75060%7502000
人，小孩的总人数为
135090%13 502850
人，总人数为
200028504850
人．
【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是
1:2
，第一天售出苹果的
2 0%
，售出桃子的吨数与
所剩桃子的吨数的比是
1:3
；第二天售出苹果18
吨，桃子
12
吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩
4
桃子 吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？
15
x(120%)184

，解得
x37
．所以原有
【解析】 法一：设原来苹果有
x
吨， 则原来桃子有
2x
吨，得：
3
15
2x12
13苹果37吨，原有桃子
37274
(吨)．
法二：原来苹果和桃子的吨数的 比是
1:2
，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第
433
一天后剩下的苹果是
1(120%)
，剩下的桃子是
2
，所以此时 剩下的苹果和桃子的重
5132
43
量比是
:8:15
．现在再 售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是
4:15
．这就
52精选

相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是
8:15，先售出桃子12吨，苹果
12
剩下的苹果和桃子的重量比还是
8:15
，再售出
18
832

吨，此时
155
3258
吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为

55
58581587
吨，那么 第一天后剩下的桃子
4:15
，所以这相当于
844
份，最后剩下的桃子 有

5542
871111113
有
12
吨，原有桃 子
74
吨，原有苹果
74237
吨．
22213
（二）利用不变量统一份数
【例 20】 有一个长方体，长和宽的比 是
2:1
，宽与高的比是
3:2
．表面积为
72cm
2，求这个长方体的体积.
【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比
6:3:2
，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为

63

:

62

:

32

18:12:63: 2:1
，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，
1312
长方体的上 面的面积为
7218cm
2
，前面的面积为
7212cm
2
，左面的面
23212321
11
积为
7206 cm
2
，而
18126129636
2
，所以
36
即是长、宽、高的乘积，所以这个
2321
长方体的体积为
36cm3
．
【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是
2:1
，宽与高的比是< br>3:2
．已知这个长方体的全部棱长之和是
220
厘米，求这个长方体的体积．
22
【解析】 由条件宽与高的比为
3:21:
，所以这个长方体的长、宽 、高的比为
2:1:
即
6:3:2
，由于长方体
33
16< br>的所有棱中，长、宽、高各有
4
条，所以长方体的长为
22030
厘米，宽为
4632
1312
22015
厘米，高为
2 2010
厘米，所以这个长方形的体积为
46324632
3015 104500
立方厘米.
【例 21】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某 高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车
30
元，中型车
15
元，小 型车
10
元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是
5:6
，中型 车与
小型车之比是
4:11
，小型车的通行费总数比大型车多
270
元．（1）这天通过收费站的大型车、中型
车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？
【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将
5:6
中的6
与
4:11
中的
4
统一成

4,6

12
，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由
5:610:12
和
4:1112:33
，得到
大型车:中型车:小型车10:12:33
．以
10
辆大型车、
12
辆中型车、
33
辆小型车为一组 ．因为每组
中收取小型车的通行费比大型车多
1033301030
(元)， 所以这天通过的车辆共有
270309
(组)．所以这天通过大型车有
109 90
(辆)，中型车有
129108
(辆)，小型车有
339297
(辆)．
（2）这天收取的总费用为：
30901510829710 7290
元．
【例 22】
6
枚壹分硬币摞在一起与
5
枚贰分硬币摞在一起一样高，
4
枚壹分硬币摞在一起与
3
枚伍分硬币摞
在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了
124< br>枚
硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的 数量比为
6:5
，壹分硬币和伍分硬币的数量比为
4:36:4.5
，所< br>以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为
6:5:4.5
，即
12:10 :9
，因此壹分硬币的数量为
1210
12448
枚，贰分硬币的数量为
12440
枚，伍分硬币的数量为
1210912109
912436
枚，这些硬币一共有
481402365308
分， 即币值为
3.08
元．
12109
【例 23】 某工地用
3
种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为
10:7:6
，速度比 为
6:8:9
，运送土方的路程之比为
15:14:14
，三种车的辆数之比 为
10:5:7
．工程开始时，乙、丙两种
车全部投入运输，但甲种车只有一半投入， 直到
10
天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了
25
天
完成任务 ．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的 路程之比为
15∶14∶14
，速度之比为
6∶∶89
，所以它们运送
1
次

精选

49
∶∶∶∶
，相同时间内 它们运送的次数比为：
∶∶
．在前
10
天，
6892495714< br>甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为
5
由于三种卡车载重量之比为10∶∶57
．
∶∶76
，
所以三种卡车的总载重量之比为
50 ∶35∶42
．那么三种卡车在前
10
天内的工作量之比为：
2

4

9

50∶35∶4220∶27
．在后< br>15
天，由于甲车全部投入使用，所以在后
15
天里的
< br>20∶
5

7

14

工作量之比 为
40∶20∶27
．所以在这
25
天内，甲的工作量与总工作量之比为：< br>2010401532

．
(202027)10(402027)1579
【例 24】 将一堆糖果全 部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
5:4:3
．实
际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
7:6:5
，其中有一位小朋友比原计划多得了15
块糖果．那
么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．
543
【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的
，，；实际 甲、乙、丙三人所得
121212
765
糖果数分别占总数的，，，只有丙占总数的比 例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数
181818
5

53

为
15



540
(块)，丙实际所得的 糖果数为
540150
(块)．
18

1812

方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为
所需的时间之比为
原计分配为 5 ： 4 : 3 12份
实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份
化通比为 15 ： 12 ： 9 36份
14 ： 12 ： 10 36份
对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙
所以15÷（10—9）×10＝150（块）
1
5
【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的，
15
年后，儿子的年龄是父亲年龄的．今年儿子多少岁？
4
11
11
【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的

，
15
年后儿子的年龄相当于父子年龄差的
413
555111

，所以
15
年相当于父子年龄差的

，年龄差为
1530
岁.今年儿子
30310
岁.
115663221
方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的，所以儿子：父亲＝1：4；
15
年后， 儿子的年龄是父亲年
4
5
龄的，所以儿子：父亲＝5：11。因为在年龄问题中年龄差 不变所以列表分析为：
11
儿子 父亲 年龄差
1 ： 4 3
5 ： 11 6
根据不变量化通比为 2 ： 8 6
5 ： 11 6
对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁）
【例 25】 一个周长是
56
厘 米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长
方形面积的比是
A:B1:2
，
B:C1:2
．而在图⑵中相应的比例是
A':B'1 :3
，
B':C'1:3
.又知
长方形
D'
的宽减去D
的宽所得到的差与
D'
的长减去
D
的长所得到差之比为
1:3
．求大长方形的面
积．
精选

A
C
A'C'
BD
B'
D'
（1） ⑵
【详解】因为
A:B1:2
，
B:C1:2
，所以
A:C1:4
；
因为
A':B'1:3
，
B':C'1:3
，所以
A':C'1:9
，
32
aa
3

1
．
设长方形 的宽为
a
,长为
b
,得：
4
94
bb
3
105
得
a:b2:5
．又
ab56228
， 所以
a8
，
b20
．
所以长方形面积
208160
．
【例 26】 北京中学生运动会男 女运动员比例为
19:12
，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员
比例 变为
20:13
；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为
30:19
, 已知男子象棋项目运动员比
女子艺术体操运动员多
15
人，则总运动员人数为多少？
191912
【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“
1
”，那么男运动 员人数为

，女运动员人数为，而
19123131
1919247
增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是，所以这时女运动员人数为
2013
，
3131620
247
增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是，所以 男运动员人数增加为
620
2473924712739191
，男子象棋项目的人数 为
1930
．女子艺术体操项目人数为

，
62231 62
1733
男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多

，原来总运动员 人数为
153100
62620620620
17
人，男子象棋项目运 动员有
310050
人，女子艺术体操运动员有
310035
人，所 以现在
62620
的总运动员人数为
310050353185
人．
【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是
19:13
．放入若干只红球后，红球与白 球数量之比变为
5:3
；再
放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为
13 :11
．已知放入的红球比白球少
80
只．那么原来袋
子里共有 只球．
【解析】 根据第一次操作白球的数量不变，把
19:13
改写成
5 7:39
，
5:3
改写成
65:39
．第二次操作相对于第
一次操作红球数量不变，把
13:11
改写成
65:55
，这时我们可以看出 ，经过两次操作后，红球共增加
了
65578
份，白球增加了
5539 16
份．原来红球有
80

168

57570
个，白球有
80

168

39390
个 ．两种球共
570390960
个．
【例 27】 有若干个突击队参加某工地 会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队
7
的男队员的，以后上级从 第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全
18
8
体女队员 的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？
17
77
【解析】 由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的
，所以原来 全体女队员的人数是全体男队员的，
1818
7
即原来女队员的人数占所有队员人数的 ，调走第一突击队的一半队员后，女队员的人数占剩下的
25
8
队员总数的，由于调走 的全是男队员，女队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前
25
2525
1
的队员总数之比为
:7:8
，即调走的队员人数占原来队员总人数的，而调走的队 员为第一
87
8
11
突击队的一半，且每个突击队人数相同，
4
，故开始共有4支突击队参加会战．
28
（三）利用等量关系列方程解比例
精选

【例 28】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是
4:3
． 结果录取91人，其中男生与女生人 数之比
是
8:5
．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是
3:4
． 问报考的共有多少人？
8
【解析】 (法1)录取的学生中男生有
91
女生有
915635
(人)，先将未录取的人数之比
3:4
变
56
人，
58
4
43

成
4:4
，又有
5642
(人)，所以每份人数是

4235



43

3
(人)，那么未录取的男
3
34

4
生有
4312
(人)，未录取的女生有
4 316
(人)．所以报考总人数是
3

5612



3516

119
(人)．
(法2)设未被录取 的男生人数为
3x
人，那么未被录取的女生人数为
4x
人，由于录取的学生中 男生有
8
9156
人，女生有
915635
(人)，则
563x

:

354x

4:3< br>，解得
x4
．所以未被录取
58
的男生有12人，女生有16人． 报考总人数是

5612



3516

119
(人)．
【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重
6
千克，乙块重
4
千克，现在从甲、乙两块合金上各切下
重量相等的一部分， 将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与
甲块的剩余的部分一起熔炼 ，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．
【解析】 设切下的部分重量 为
x
千克，则甲切下的
x
千克与乙剩下的
(4－x)
千克混 合．由于得到的两块新合金
的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原 来的两块新合金的含
铜率相同，而这一大块合金是由
6
千克甲块合金与
4千克乙块合金混合而成的，所以
x
千克甲块合金
与
(4－x)
千 克乙块合金混合后的含铜率与
6
千克甲块合金与
4
千克乙块合金混合后的含铜 率相同，而
x6
甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同， 即

，所以：
4－x4
，解得
x2.4
．
4x6（4－x）
课后练习：
36
练习1. 右图是一个园林的规划图， 其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450平方
47
米． 问：水池占多少平方米?
【解析】 正方形的
36
是草地，那如果水池占1份，草 地的面积便是3份；圆的是竹林，水池占1份，竹林
47
的面积是6份。从而竹林比草地多出的 面积是（6-3=）3份。3份的面积是450平方米，可见1份

面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。
1
1
练习2. 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，且 乙班比甲班多种树
24
棵，
4
5
甲、乙两个班各种树多少棵?
11
【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为：
:4:5
，甲班种树棵数为：
24

54

496
(棵)，乙班种树棵
54
数为：
24

54

5120
(棵) ．
3
5
练习3. 甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲 节余240元，乙节余480元．甲
4
8
本月收入多少元？
【解析】 甲、 乙本月收入的比是
5:8
，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是
3:4< br>．如果乙节余480
元，甲节余
48085300
元，那么两人支出的钱 数之比也是
5:8
，现在甲只节余240元，多支出
了60元，结果支出的钱数之比从
5:8
变成了
6:8
(即
3:4
)，所以这60元就对应< br>651
份，那么甲
支出了
606360
元，所以甲本月收入为
360240600
元．
练习4. 甲、乙两车分别从
A
、< br>B
两地同时相向开出，甲车速度是
50
千米／小时，乙车速度是
40< br>千米／小
1
时，当甲车驶过
A
、
B
距离的多
50
千米时与乙车相遇，
A
、
B
两地相距 千米．
3
精选

【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于 两车的速度之比，由于两车的速度之比等于
50:405:4
，
55
1那么
A
、
B
距离的多
50
千米即是
A
、
B
距离的

，所以
50
千米的距离相当于全程的
459
3
2

51

2
，全程的距离为

50225
(千米)．

9

93

9
月测备选
【备选1】 甲、乙、丙三个数，已知
甲:

乙丙

4:3
，
乙:丙2:7
，求
甲:乙:丙
。
【解析】 由
乙:丙2:7
可得到
乙:

乙丙

2:9
，
丙:< br>
乙丙

7:9
，而
甲:

乙丙
4:3
，
427
::12:2:7
．
399
【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果 中有奶
糖多少块?
459251
【解析】 方法一：原来奶糖占
， 后来占

，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果
10020100499
多16粒，从而原来的糖果是16+(
4
1)=20块.其中奶糖有20×
=9块．
2020
方法二：原来奶糖与其他糖(包 含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有9份，其他糖(包
所以：
甲: 乙:丙
含水果糖)有11份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27, 奶糖的份数不变，其
他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l
份即1块．奶糖占9份，
就是9块奶糖．
1
1
【备选3】甲 、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是 ．
11
5
611
【解析】 甲走的路程是乙走的路程的
，甲用的时间是 乙用的时间的，所以甲的速度是乙的速度的
510
61112

，即甲、乙 的速度比是
12:11
．
51011
【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色 ，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为
2:1
；再拿走45枚黑
棋子后，黑 子与白子的个数比为
1:5
，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？
【解析】 第二 次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由
2:1

10:5

变为
1:5
，而其中白棋的数目是不变的，
所以黑棋由原来的10份变成现在的1份， 减少了9份，这样原来黑棋的个数为
4591050
(枚)，
白棋的个数为45951540
(枚)．
【备选5】加工某种零件，甲
3
分 钟加工
1
个，乙
3.5
分钟加工
1
个，丙
4
分钟加工
1
个．现在三人在同样的时
间内一共加工
3650
个零件 ．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?
111
【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工 作效率之比为
::28:24:21
，那么在相同的时间内，三人完
33.5428
成的工作量之比也是
28:24:21
，所以甲加工了
3650 1400
个零件，乙加工了
282421
2421
36501200
个零件，丙加工了
36501050
个零件。
282421282421

精选

第二讲 比和比例
教学目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
知识点拨：
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活 中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考
试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容 有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、主要比例转化实例
xaab
ybxy
①





；

；

；
ybxy
xaab
xamxaxma
②



(其中
m0
)；

；

ybmybymb
xaxaxyab
xyab
③



； ； ；
L


ybxyabxyab
xa
xa
ycxac
④

，





；
x:y:zac:bc:bd
；
yb
zdzbd
cd
adbc
⑤
x
的等于y
的，则
x
是
y
的，
y
是
x
的．
ab
bcad
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例 如：将
x
个物体按照
a:b
的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两 个人各自分配到的物体数量与
x
axbx
的比分别为
a:

ab

和
b:

ab

，所以甲分配到个，乙 分配到个.
abab
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
ax
例如：两个类别
A
、
B
，元素的数量比为
a:b(这里
ab
)，数量差为
x
，那么
A
的元素数量为，
B
的
ab
bx
元素数量为，所以解题的关键是求出
ab

与
a
或
b
的比值．
ab
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位 “l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，
将不同的单位“1”，转化成统一的单 位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题
时，要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质 解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成
反比例。找出这些具体数量 相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧
的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题
例题精讲：
模块一、比例转化
1
1
【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙 两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两
2
3
精选

5
，求
甲:乙:丙
.
7
1111
1
【解析】 由甲等于乙、丙两数和的
，得到甲等于三个 数和的同样的乙等于甲、丙两数和的

，

，
3+142+133
55115
同样的丙等于甲、乙两个数和的

，所以
甲:乙:丙::3:4:5
．
75124312
22
【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2
倍也等于丙的，那么甲的、乙的
2
倍、丙的一半
33
这三个数 的比为多少？
2
【解析】 甲的一半、乙的
2
倍、丙的
这三个数的 比为
1:1:1
，所以甲、乙、丙这三个数的比为
3
132

1

2

即，化简为，那么甲的、乙的
2
倍、丙的一半 这三个数的比
1:12:1
4:1:3
2::

< br>223

2

3

2

3

1

8
为

4

:
< br>12

:

3

即
:2:
，化 简为
16:12:9
.
3

2

2

3
4
【例 3】 如下图所示，圆
B
与圆
C
的面积之和等于圆
A
面积的，且圆
A
中的阴影部分面积占圆
A
面积的
5
1
11
，圆
B
的阴影部分面积占圆
B
面积的，圆
C
的阴影部分面 积占圆
C
面积的．求圆
A
、圆
B
、
6
53
圆
C
的面积之比．
数和的
A
B
C

【解析】 设
A
与
B
的共同部分的面积为
x
，A
与
C
的共同部分的面积为
y
，则根据题意有
5BC< br>
5BC

BC

6

xy

，
x
，
y
，于是得到

BC
< br>6




，这条式子可化简为
4
453

53

5
B15C
，所以
A
BC

20C
.最后得到
A:B:C20:15:1
.
4
【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是
3:2
，分为甲、乙、丙三 组．已知甲、乙、丙三组的人数比是
10:8:7
，
甲组中男、女会员的人数之比是< br>3:1
，乙组中男、女会员的人数之比是
5:3
．求丙组中男、女会员人
数之比．
1033311
【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为
，女会员 为

，乙组男会员为

1087311010310
3< br>
31

1
851133





；丙组男会员为，女会员为

，女会员为

3+2< br>
105

10
10875355525
A
2

13

9
19




；所以，丙组中男、女会员人数之比为
:5:9
．
3+2

1025

50
1050
【巩固】 一项 公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的
一段时间后，分 别剩下
60%
、
40%
的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速 度)之比
3:1
，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.
【解析】 (法一 )甲工程队以
3
倍乙工程队建设速度，仅完成了
40%
的承包任务，而乙工程 队完成了
60%
，所
以甲工程队承包任务的
40%
等于乙工程队承包 任务的
60%3180%
，所以甲工程队的承包的任务
是乙工程队承包任务的180%40%450%
，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为
450%:1 9:2
．
(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于
3:1
，而他们分别完成了各自
任务的
40%
和
60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为

340%

:

160%

9:2
．

【例 5】 某团体有100
名会员，男女会员人数之比是
14:11
，会员分成三组，甲组人数与乙、 丙两组人数之
和一样多，各组男女会员人数之比依次为
12:13
、
5:3< br>、
2:1
，那么丙组有多少名男会员？
【解析】 会员总人数
100
人，男女比例为
14:11
，则可知男、女会员人数分别为
56
人、
44
人；又已知甲组人
精选

数与乙、丙两组人数之 和一样多，则可知甲组人数为
50
人，乙、丙人数之和为
50
人，可设丙组人 数
为
x
人，则乙组人数为

50x

人，又已知 甲组男、女会员比为
12:13
，则甲组男、女会员人数分别
52
为
24
人、
26
人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：
24(50 x)x56
，解得
x18
．即
83
2
丙组会员人数 为
18
人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为
1812
人．
3
【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)
A
、
B
、由 甲、乙、丙三队分别承担．三
C
三项工程的工作量之比为
1:2:3
，
个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量
是丙 未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作
效率的比是 多少？
【解析】 根据题意，如果把
A
工程的工作量看作
1
，则< br>B
工程的工作量就是
2
，
C
工程的工作量就是
3．
设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为
x
、
y、
z
.经过
k
天，则：

2kx2kyLL



3ky3kzLL

kz1kxLL

将⑶代入⑵，得
ky

1


2



3

2kx
LL

4

，
3
2kx4
将⑷代入⑴，得
2kx2
，
x
，
37k
463
将
x
代入⑴，得
y
．代入⑶ ，得
z
．
7k7k7k
463
甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是
::4:6:3
．
7k7k7k
【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数 相等；②甲校获一等奖
的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为
5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数
总和占两校获奖人数总和的
20%
；④甲校获三等 奖的人数占该校获奖人数的
50%
；⑤甲校获二等奖
的人数是乙校获二等奖人数的4.5
倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于
多少？
【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为
6:5
，不妨设甲校有60人获 奖，则乙校有50人获奖．由
③知两校获二等奖的共有
(6050)20%22
人；由⑤知甲校获二等奖的有
22(4.51)4.518
人；
由④知甲校获 一等奖的有
606050%1812
人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百 分
数为
1250100%24%
．
【例 7】 ①某校毕业生共有9 个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数
多1；③四、五、六班三个班 的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中
男、女生人数比是多少？
【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的 男生
总数比四、五、六班总人数少1．
一班男生 比 二、三班女生 多1人

加上


加上

二、三班男生
一、二、三班男生
七、八、九班男生
四、五、六班男生
四、五、六、七、八、九班男生

比
比

比
二、三班男生
二、三班总人数
四、五、六班女生
四、五、六班男生
四、五、六班总人数

多1人
少1人

少1人 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数< br>等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是
5:4
．
模块二、按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
【例 8】 一些苹果平均分给甲 、乙两班的学生，甲班比乙班多分到
16
个，而甲、乙两班的人数比为
13:11，
求一共有多少个苹果？
【解析】 一共有
16

131 1



1311

192
个苹果.
精选

【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为
3:4:6
，三人一共藏书
52
本，求他们三人各自的
藏书数量.
346
【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的
、、 ，所
346346346
34
以小新拥有的藏书数量为
52 12
本，小志拥有的藏书数量为
5216
本，小刚拥
34634 6
6
有的藏书数量为
5224
本.
346
【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐 18元，甲、乙所捐资
的和与乙、丙所捐资的和之比是
10:7
，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．
【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲 、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的
和为：乙、丙所捐资的和为
601842
元．所以，甲捐了
804238
(元)，
18(10 7)1060
(元)，
乙捐了
603822
(元)，丙捐了
381820
(元)．
1
1
【巩固】 有
120
个 皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮
2
3
球 ？
113
【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比
:3:2
，所 以一班分到皮球
12072
个，二班分到
2332
皮球
120 7248
个．
【例 9】 一班和二班的人数之比是
8:7
，如果将一 班的
8
名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为
4:5
．求原来两班的 人数．
8844
【解析】 原来一班的人数为两班总人数的

，调班后一班 的人数是两班人数的

，调班前后一
8715459
84
班人数 的比值为
:6:5
，所以一班原来的人数为
8

65

648
人，二班原来的人数为
159
488742
人.
【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为
5:3
，中班男生数
与女生数的比为
2:1
，那么大班有女生多少名？
【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生 全部是
大班，则大班男生数：女生数
5:330:18
，即男生应有30人，实际 上男生有32人，相差2个人；
又中班男生数：女生数
2:16:3
，以3个中班 女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，
所以需要换2组；所以，大班女生有
183 212
(名)．
【巩固】 参加植树的同学共有
720
人，已知六年级 与五年级人数的比是
3:2
，六年级比四年级多
80
人，
三个年级参 加植树的各有多少人?
【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有
7 2080800
人，四、五、六三个年级的
人数比为
3:2:3
，知道三 个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的
32
人数．六年级：< br>800

300
人；五年级：
800200
人；四年 级：
30080220
人．
323323
【巩固】 圆珠笔和铅 笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每
支多少元?
【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4 +21×
3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是
O
.5×4=2(元)．
【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从
A
点出发 ，沿长方形的边爬去，结果在
甲
距
B
点
2
厘米的
C
点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的
1.2
倍，求
A
这个长方形的周长 ．
【解析】 两只蚂蚁在距
B
点
2
厘米的
C
点相 遇，说明乙比甲一共多走了
224
(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的
1.2
倍，相同时
间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，
所以 甲爬的路程是
4

65

520
(厘米)，乙爬的 路程是
20424
(厘
C
B
乙
米)，长方形的周长为< br>202444
(厘米)．
【例 12】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相 向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速
度减少20％，乙的速度增加20％，这样 ，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两
精选

地相距多少千米？
【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比 是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8
54
和。设全程x千米， 剩下的部分甲行的长度和乙行的
99
48
长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长 的49，所以乙行驶了全长的
56
，所以乙
915
4844441一共行了全长

，还剩1-＝，没有走所以A、B全长为450千米.

915454545
＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的
【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？
11
【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是
:5:3
，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅 与
915
53
53
徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了
1 00()400
个零件
5353
5353
【巩固】 师徒二 人共加工零件
400
个，师傅加工一个零件用
9
分钟，徒弟加工一个零件用< br>15
分钟．完成
任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
11
【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是
:5:3
，而工作时间相同， 则工作量与工作效率成正比，所以师
915
3

53

5< br>傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件
400


< br>100
个．
5353

5353

【例 14】
A
、
B
、
C
三个水桶的总容积是
1440
公升，如果
A
、
B
两桶装满水，
C
桶是空的；若将
A
桶水的
11
全部和
B
桶水的，或将
B
桶 水的全部和
A
桶水的倒入
C
桶，
C
桶都恰好装满．求
A
、
B
、
C
三
53
个水桶容积各是多少公升？
2
11
【解析】 根据题意可知，
所以
A
桶水的等
A
桶水的全部加上
B
桶水的
等于
B
桶水的全部加上
A
桶水的，
3
53
4426617
于
B
桶水的，那 么
A
桶水的全部等于
B
桶水的

，
C
桶 水为
B
桶水的

．所以
A
、
553555567
B
、
C
三个水桶的容积之比是
:1:6:5:7
．又
A
、
B
、
C
三个水桶的总容积是
1440公升，所以
55
65
480
公升，
B
桶的容积是480400
公升，
C
桶的容积是
A
桶的容积是
1 440
6576
7
480560
公升．
6
12
【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于 五年级学生的，等于四
25
3
年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？
7
123
【解析】 将六年级学生的
，等于五年级学生的，等于四年级学生的 ，看作一个单位，那么六年级学生
257
7
人数等于2个单位，五年级学生等于2.5 个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、
3
5712
四年级学生人数的比 为
2：：12：
=180人，五年级
15：14
，所以六年级学生人数为< br>615
23121514
1514
学生人数为
615225
人，四年级学生人数为
615210
人
121514121514
4
【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的．从 宽边截去
21
厘米，长边截去
35%
以后，得到一块正方形铁板．问
5
原来长方形铁板的长是多少厘米?
【解析】 如果只将长边截去
35%
， 宽、长之比为
4:


5

135%



16:13
，所以宽边的长度为
4
21(1613) 16112
厘米，所以原来铁板的长为
112140
厘米．
5
精选

【巩固】 一个正方形的一边减少
20%< br>，另一边增加
2
米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方
形面积相等． 原正方形的边长是多少米?
4551
【解析】 要保证面积不变，一边减少
20%< br>，即是原来的
，另一边要变成原来的，即增加
1
，所以
5444< br>1
原正方形的边长为
28
(米).
4
【例 16】 一 把小刀售价
3
元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是
2:5< br>；如果小强买
了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为
8:13
．小明原来有 多少钱？
55
【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的

，小明的钱相当于小明、小强买
257
8885
刀后钱数和的
< br>，所以小明、小强的钱数的比值为
:8:15
，而小明买刀后小明、小强
8+ 1321217
的钱数之比为
2:56:15
，所以小明买刀前后的钱数之比为8:64:3
，所以小刀的售价等于小明原
4311
来钱数的
，所以小明的钱数为
312
元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为
4 44
28
:3:4
，小明的钱数为
4


3

43



12
（元）
721
【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为
6:5
，后来甲又得到180 元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之
比为
18:11
，求原来两人的钱数之和为多 少？
【解析】 两人原有钱数之比为
6:5
，如果甲得到180元，乙得到150元 ，那么两人的钱数之比仍为
6:5
，现
在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少 得到了120元，现在两人钱数之比为
18:11
，可以理解
为：两人的钱数分别增加 180元和150元之后，钱数之比为
18:15
，然后乙的钱数减少120元，两人
的钱数之比变为
18:11
，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为
30(1815)990
元，所以原来两人的总钱数之和为
9901801 50660
元．
【例 17】 一项机械加工作业，用4台
A
型机床，5 天可以完成；用4台
A
型机床和2台
B
型机床3天可以完
成；用3台
B
型机床和9台
C
型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后， 剩下
A
、
C
型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．
【解析】 由于用4台
A
型机床5天可以完成；用4台
A
型机床和2 台
B
型机床3天可以完成，所以2台
B
型
机床3天完成的量等于4台
A
型机床2天完成的量，则
A
、
B
两种机床每天完成的量的 比为

23

:

42

3:4< br>，即
A
型机床每天完成的量为3，
B
型机床每天完成的量为4，该项作 业总量为
34560
，那么
C
型机床每天完成的量为

60243

92
，3种机床各取一台工作5天后，
剩下的工作 量为
60

342

515
，
A
、
C
型机床还需继续工作
15

32

3
天．
【例 18】 动物园门票大人
20
元，小孩
10
元 ．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了
60%
，儿童增加了
9 0%
，共增加了
2100
人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？
【解析】 前一天大人与小孩的人数比为
1:(60%2)5:6
，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为
5

560%

:< br>
690%

5:9
， 大人增加的人数为
2100 750
人，小孩增加的人数为
14
21007501350
人，大人的总 数为
75060%7502000
人，小孩的总人数为
135090%13 502850
人，总人数为
200028504850
人．
【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是
1:2
，第一天售出苹果的
2 0%
，售出桃子的吨数与
所剩桃子的吨数的比是
1:3
；第二天售出苹果18
吨，桃子
12
吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩
4
桃子 吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？
15
x(120%)184

，解得
x37
．所以原有
【解析】 法一：设原来苹果有
x
吨， 则原来桃子有
2x
吨，得：
3
15
2x12
13苹果37吨，原有桃子
37274
(吨)．
法二：原来苹果和桃子的吨数的 比是
1:2
，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第
433
一天后剩下的苹果是
1(120%)
，剩下的桃子是
2
，所以此时 剩下的苹果和桃子的重
5132
43
量比是
:8:15
．现在再 售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是
4:15
．这就
52精选

相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是
8:15，先售出桃子12吨，苹果
12
剩下的苹果和桃子的重量比还是
8:15
，再售出
18
832

吨，此时
155
3258
吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为

55
58581587
吨，那么 第一天后剩下的桃子
4:15
，所以这相当于
844
份，最后剩下的桃子 有

5542
871111113
有
12
吨，原有桃 子
74
吨，原有苹果
74237
吨．
22213
（二）利用不变量统一份数
【例 20】 有一个长方体，长和宽的比 是
2:1
，宽与高的比是
3:2
．表面积为
72cm
2，求这个长方体的体积.
【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比
6:3:2
，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为

63

:

62

:

32

18:12:63: 2:1
，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，
1312
长方体的上 面的面积为
7218cm
2
，前面的面积为
7212cm
2
，左面的面
23212321
11
积为
7206 cm
2
，而
18126129636
2
，所以
36
即是长、宽、高的乘积，所以这个
2321
长方体的体积为
36cm3
．
【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是
2:1
，宽与高的比是< br>3:2
．已知这个长方体的全部棱长之和是
220
厘米，求这个长方体的体积．
22
【解析】 由条件宽与高的比为
3:21:
，所以这个长方体的长、宽 、高的比为
2:1:
即
6:3:2
，由于长方体
33
16< br>的所有棱中，长、宽、高各有
4
条，所以长方体的长为
22030
厘米，宽为
4632
1312
22015
厘米，高为
2 2010
厘米，所以这个长方形的体积为
46324632
3015 104500
立方厘米.
【例 21】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某 高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车
30
元，中型车
15
元，小 型车
10
元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是
5:6
，中型 车与
小型车之比是
4:11
，小型车的通行费总数比大型车多
270
元．（1）这天通过收费站的大型车、中型
车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？
【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将
5:6
中的6
与
4:11
中的
4
统一成

4,6

12
，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由
5:610:12
和
4:1112:33
，得到
大型车:中型车:小型车10:12:33
．以
10
辆大型车、
12
辆中型车、
33
辆小型车为一组 ．因为每组
中收取小型车的通行费比大型车多
1033301030
(元)， 所以这天通过的车辆共有
270309
(组)．所以这天通过大型车有
109 90
(辆)，中型车有
129108
(辆)，小型车有
339297
(辆)．
（2）这天收取的总费用为：
30901510829710 7290
元．
【例 22】
6
枚壹分硬币摞在一起与
5
枚贰分硬币摞在一起一样高，
4
枚壹分硬币摞在一起与
3
枚伍分硬币摞
在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了
124< br>枚
硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的 数量比为
6:5
，壹分硬币和伍分硬币的数量比为
4:36:4.5
，所< br>以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为
6:5:4.5
，即
12:10 :9
，因此壹分硬币的数量为
1210
12448
枚，贰分硬币的数量为
12440
枚，伍分硬币的数量为
1210912109
912436
枚，这些硬币一共有
481402365308
分， 即币值为
3.08
元．
12109
【例 23】 某工地用
3
种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为
10:7:6
，速度比 为
6:8:9
，运送土方的路程之比为
15:14:14
，三种车的辆数之比 为
10:5:7
．工程开始时，乙、丙两种
车全部投入运输，但甲种车只有一半投入， 直到
10
天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了
25
天
完成任务 ．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的 路程之比为
15∶14∶14
，速度之比为
6∶∶89
，所以它们运送
1
次

精选

49
∶∶∶∶
，相同时间内 它们运送的次数比为：
∶∶
．在前
10
天，
6892495714< br>甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为
5
由于三种卡车载重量之比为10∶∶57
．
∶∶76
，
所以三种卡车的总载重量之比为
50 ∶35∶42
．那么三种卡车在前
10
天内的工作量之比为：
2

4

9

50∶35∶4220∶27
．在后< br>15
天，由于甲车全部投入使用，所以在后
15
天里的
< br>20∶
5

7

14

工作量之比 为
40∶20∶27
．所以在这
25
天内，甲的工作量与总工作量之比为：< br>2010401532

．
(202027)10(402027)1579
【例 24】 将一堆糖果全 部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
5:4:3
．实
际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
7:6:5
，其中有一位小朋友比原计划多得了15
块糖果．那
么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．
543
【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的
，，；实际 甲、乙、丙三人所得
121212
765
糖果数分别占总数的，，，只有丙占总数的比 例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数
181818
5

53

为
15



540
(块)，丙实际所得的 糖果数为
540150
(块)．
18

1812

方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为
所需的时间之比为
原计分配为 5 ： 4 : 3 12份
实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份
化通比为 15 ： 12 ： 9 36份
14 ： 12 ： 10 36份
对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙
所以15÷（10—9）×10＝150（块）
1
5
【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的，
15
年后，儿子的年龄是父亲年龄的．今年儿子多少岁？
4
11
11
【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的

，
15
年后儿子的年龄相当于父子年龄差的
413
555111

，所以
15
年相当于父子年龄差的

，年龄差为
1530
岁.今年儿子
30310
岁.
115663221
方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的，所以儿子：父亲＝1：4；
15
年后， 儿子的年龄是父亲年
4
5
龄的，所以儿子：父亲＝5：11。因为在年龄问题中年龄差 不变所以列表分析为：
11
儿子 父亲 年龄差
1 ： 4 3
5 ： 11 6
根据不变量化通比为 2 ： 8 6
5 ： 11 6
对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁）
【例 25】 一个周长是
56
厘 米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长
方形面积的比是
A:B1:2
，
B:C1:2
．而在图⑵中相应的比例是
A':B'1 :3
，
B':C'1:3
.又知
长方形
D'
的宽减去D
的宽所得到的差与
D'
的长减去
D
的长所得到差之比为
1:3
．求大长方形的面
积．
精选

A
C
A'C'
BD
B'
D'
（1） ⑵
【详解】因为
A:B1:2
，
B:C1:2
，所以
A:C1:4
；
因为
A':B'1:3
，
B':C'1:3
，所以
A':C'1:9
，
32
aa
3

1
．
设长方形 的宽为
a
,长为
b
,得：
4
94
bb
3
105
得
a:b2:5
．又
ab56228
， 所以
a8
，
b20
．
所以长方形面积
208160
．
【例 26】 北京中学生运动会男 女运动员比例为
19:12
，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员
比例 变为
20:13
；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为
30:19
, 已知男子象棋项目运动员比
女子艺术体操运动员多
15
人，则总运动员人数为多少？
191912
【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“
1
”，那么男运动 员人数为

，女运动员人数为，而
19123131
1919247
增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是，所以这时女运动员人数为
2013
，
3131620
247
增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是，所以 男运动员人数增加为
620
2473924712739191
，男子象棋项目的人数 为
1930
．女子艺术体操项目人数为

，
62231 62
1733
男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多

，原来总运动员 人数为
153100
62620620620
17
人，男子象棋项目运 动员有
310050
人，女子艺术体操运动员有
310035
人，所 以现在
62620
的总运动员人数为
310050353185
人．
【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是
19:13
．放入若干只红球后，红球与白 球数量之比变为
5:3
；再
放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为
13 :11
．已知放入的红球比白球少
80
只．那么原来袋
子里共有 只球．
【解析】 根据第一次操作白球的数量不变，把
19:13
改写成
5 7:39
，
5:3
改写成
65:39
．第二次操作相对于第
一次操作红球数量不变，把
13:11
改写成
65:55
，这时我们可以看出 ，经过两次操作后，红球共增加
了
65578
份，白球增加了
5539 16
份．原来红球有
80

168

57570
个，白球有
80

168

39390
个 ．两种球共
570390960
个．
【例 27】 有若干个突击队参加某工地 会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队
7
的男队员的，以后上级从 第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全
18
8
体女队员 的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？
17
77
【解析】 由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的
，所以原来 全体女队员的人数是全体男队员的，
1818
7
即原来女队员的人数占所有队员人数的 ，调走第一突击队的一半队员后，女队员的人数占剩下的
25
8
队员总数的，由于调走 的全是男队员，女队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前
25
2525
1
的队员总数之比为
:7:8
，即调走的队员人数占原来队员总人数的，而调走的队 员为第一
87
8
11
突击队的一半，且每个突击队人数相同，
4
，故开始共有4支突击队参加会战．
28
（三）利用等量关系列方程解比例
精选

【例 28】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是
4:3
． 结果录取91人，其中男生与女生人 数之比
是
8:5
．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是
3:4
． 问报考的共有多少人？
8
【解析】 (法1)录取的学生中男生有
91
女生有
915635
(人)，先将未录取的人数之比
3:4
变
56
人，
58
4
43

成
4:4
，又有
5642
(人)，所以每份人数是

4235



43

3
(人)，那么未录取的男
3
34

4
生有
4312
(人)，未录取的女生有
4 316
(人)．所以报考总人数是
3

5612



3516

119
(人)．
(法2)设未被录取 的男生人数为
3x
人，那么未被录取的女生人数为
4x
人，由于录取的学生中 男生有
8
9156
人，女生有
915635
(人)，则
563x

:

354x

4:3< br>，解得
x4
．所以未被录取
58
的男生有12人，女生有16人． 报考总人数是

5612



3516

119
(人)．
【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重
6
千克，乙块重
4
千克，现在从甲、乙两块合金上各切下
重量相等的一部分， 将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与
甲块的剩余的部分一起熔炼 ，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．
【解析】 设切下的部分重量 为
x
千克，则甲切下的
x
千克与乙剩下的
(4－x)
千克混 合．由于得到的两块新合金
的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原 来的两块新合金的含
铜率相同，而这一大块合金是由
6
千克甲块合金与
4千克乙块合金混合而成的，所以
x
千克甲块合金
与
(4－x)
千 克乙块合金混合后的含铜率与
6
千克甲块合金与
4
千克乙块合金混合后的含铜 率相同，而
x6
甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同， 即

，所以：
4－x4
，解得
x2.4
．
4x6（4－x）
课后练习：
36
练习1. 右图是一个园林的规划图， 其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450平方
47
米． 问：水池占多少平方米?
【解析】 正方形的
36
是草地，那如果水池占1份，草 地的面积便是3份；圆的是竹林，水池占1份，竹林
47
的面积是6份。从而竹林比草地多出的 面积是（6-3=）3份。3份的面积是450平方米，可见1份

面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。
1
1
练习2. 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，且 乙班比甲班多种树
24
棵，
4
5
甲、乙两个班各种树多少棵?
11
【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为：
:4:5
，甲班种树棵数为：
24

54

496
(棵)，乙班种树棵
54
数为：
24

54

5120
(棵) ．
3
5
练习3. 甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲 节余240元，乙节余480元．甲
4
8
本月收入多少元？
【解析】 甲、 乙本月收入的比是
5:8
，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是
3:4< br>．如果乙节余480
元，甲节余
48085300
元，那么两人支出的钱 数之比也是
5:8
，现在甲只节余240元，多支出
了60元，结果支出的钱数之比从
5:8
变成了
6:8
(即
3:4
)，所以这60元就对应< br>651
份，那么甲
支出了
606360
元，所以甲本月收入为
360240600
元．
练习4. 甲、乙两车分别从
A
、< br>B
两地同时相向开出，甲车速度是
50
千米／小时，乙车速度是
40< br>千米／小
1
时，当甲车驶过
A
、
B
距离的多
50
千米时与乙车相遇，
A
、
B
两地相距 千米．
3
精选

【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于 两车的速度之比，由于两车的速度之比等于
50:405:4
，
55
1那么
A
、
B
距离的多
50
千米即是
A
、
B
距离的

，所以
50
千米的距离相当于全程的
459
3
2

51

2
，全程的距离为

50225
(千米)．

9

93

9
月测备选
【备选1】 甲、乙、丙三个数，已知
甲:

乙丙

4:3
，
乙:丙2:7
，求
甲:乙:丙
。
【解析】 由
乙:丙2:7
可得到
乙:

乙丙

2:9
，
丙:< br>
乙丙

7:9
，而
甲:

乙丙
4:3
，
427
::12:2:7
．
399
【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果 中有奶
糖多少块?
459251
【解析】 方法一：原来奶糖占
， 后来占

，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果
10020100499
多16粒，从而原来的糖果是16+(
4
1)=20块.其中奶糖有20×
=9块．
2020
方法二：原来奶糖与其他糖(包 含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有9份，其他糖(包
所以：
甲: 乙:丙
含水果糖)有11份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27, 奶糖的份数不变，其
他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l
份即1块．奶糖占9份，
就是9块奶糖．
1
1
【备选3】甲 、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是 ．
11
5
611
【解析】 甲走的路程是乙走的路程的
，甲用的时间是 乙用的时间的，所以甲的速度是乙的速度的
510
61112

，即甲、乙 的速度比是
12:11
．
51011
【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色 ，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为
2:1
；再拿走45枚黑
棋子后，黑 子与白子的个数比为
1:5
，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？
【解析】 第二 次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由
2:1

10:5

变为
1:5
，而其中白棋的数目是不变的，
所以黑棋由原来的10份变成现在的1份， 减少了9份，这样原来黑棋的个数为
4591050
(枚)，
白棋的个数为45951540
(枚)．
【备选5】加工某种零件，甲
3
分 钟加工
1
个，乙
3.5
分钟加工
1
个，丙
4
分钟加工
1
个．现在三人在同样的时
间内一共加工
3650
个零件 ．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?
111
【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工 作效率之比为
::28:24:21
，那么在相同的时间内，三人完
33.5428
成的工作量之比也是
28:24:21
，所以甲加工了
3650 1400
个零件，乙加工了
282421
2421
36501200
个零件，丙加工了
36501050
个零件。
282421282421

精选