相交线与平行线-五年级下册数学试卷

六年级奥数培训拔尖教材
目 录
第1讲 定义新运算
第2讲
第3讲
第4讲
第5讲
第6讲
第7讲
第8讲
第9讲
第10讲
第11讲
第12讲
第13讲
第14讲
第15讲
第16讲
简单的二元一次不定方程
分数乘除法计算

分数四则混合运算
估算
分数乘除法的计算技巧
简单的分数应用题（1）
较复杂的分数应用题（2）
阶段复习与测试（略）
简单的工程问题
圆和扇形
简单的百分数应用题
分数应用题复习
综合复习（略）
测试（略）
复杂的利润问题（2）

第一讲 定义新运算
在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则 的运算。在这一讲里，我们学习的
新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则
进行的运算。
例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？



例2：如果A#B表示
AB
照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？
3




例3：规定
XY
XY
求2Δ10Δ10的值。
XY




例4：设M*N表示M的3倍减去N的2倍，即M*N=3M-2N
（1） 计算（14 *10）*6
（2） 计算 （
831
*） *（1 *）
542






例5：如果任何数A和B有A¤B=A×B-（A+B）
求（1）10¤7
（2）（5¤3）¤4
（3）假设2¤X=1求X



例6：设P∞Q=5P+4Q，当X∞9=91时，15∞（X∞ 14）的值是多少？

例7：规定X*Y=





例8：▽表示一种运算符号，它的意义是
XY
已知
21
AXY
，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值 是多少？
XY
11


XY（XA）（YA）
112

那么20088▽2009=？
2（21）（1A）3











巩固练习
1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推
（1） 3▽2 （2）5▽3


（3）1▽X=123，求X的值




2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7
计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4）

3、如果A*B=3A+2B，那么
（1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4）



4、如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A 试求（1）｛8，0.8｝ （2）｛｛1.9，1.901｝1.19｝



5、N为自然数，规定F（N）=3N-2 例如F（4）=3×4-2=10
试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值



6、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
……
1×2×3×4×……×100=100!
那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？
（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）



7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。
下面四个算式（1）8×7=8
（2）7×7×7=6
（3）（7+8+3）×9=39
（4）3×3=3
那么应该是我们通常的哪四个算式？

8、如果2*4=2×3×4×5 5*3=5×6×7，请按此规定计算
（1）（3*4）-（5*3） （2）（4*4）÷（3*3）

9、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2
则计算（1）（56489） （2）（92045）+（90÷5）÷（12）



10、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6；
243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；试求下面各题的值
（1） F（128）= ( )
（2） F（16）= G（ ）
（3） F（ ）+ G( 27 )=6

11、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
……
试计算（1）5！ （2）X！=5040，求X



12、有一种运算符号“＆”使下列算式成立
2＆3=7 5＆3=13 4＆5=13 9＆7=25 求995 ＆ 9=？



13、A*B=



14、对于任意的整数X、Y定义新运算“￥”X￥Y=
值）如果1￥2=2，那么2￥9=？

AB
在X*（5*1）=6中，X的值是多少？
AB
6XY
（其中M是一个固定的
MX2Y
第二讲 二元一次不定方程
一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。
二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的

< br>题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二
元一次不定方程。
在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是
明显的，也有隐蔽的， 但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌
情进行讨论。
三、例题解析：
（一）基本方法
例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？
分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。
设小明付了X枚贰角和Y枚伍角
列方程，得2X+5Y=49
方法一
1 、利用奇偶性。49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。这样，Y只
能取1，3，5，7，9这 五个数。
2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不
小于49 —2×19=29，这样，可得Y大于6。



方法二 观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。




由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，
再求解。
不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决

例2、大汽车能容纳54人，小 汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问
要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐 满。为了便于管理，
要求车辆数最少，应该选择哪个方案？
分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件
以后，答案的变化。




试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是

170，你知道他出生于几月几日？



例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次
运走，且每辆车都要装满 ，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量
5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多 少台运费最省？
分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费
最省。




例4 、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的 年份的各
位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？
分析与解：设他出生于19XY年，那么
1991—19XY=1+9+X+Y
1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y
91—10X—Y=10+X+Y
（二）能力拓展
例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一 小
时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求
每次看到的 数字和汽车的速度。
分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时
间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。




试一试：一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面
也可得一个三位数。已知这 两个三位数之差为414，求原来的两位数。

例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长 度都是质数，且长＞宽＞高，将
这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积 之和
比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。
分析与解：设长方体 的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，
增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的 面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。
三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。

练习
一、基本题
1、求方程6x+9y=87的自然数解。



2、求方程2x+5y=24的自然数解



3、大客车有48 个座位，小客车有30个座位。现在有306名旅客，要使每
位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大 、小客车各几辆？




4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒 每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈
用了89元，问大小盒子各买了多少个？




5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。

6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。



7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5
个，恰好装完。如 果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？

二、综合题
8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所 得的三位数比原数
大870，那么原数是多少？






9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足70人）
来开 会。一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的
长椅。结果平均每个学生坐1. 35个座位。求有多少个学生？






思考题
10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？






第三讲
分数乘除法计算
分数乘除法的计算方法用字母表示为：
bdbd

（a，c都不等于0）；
acac
bdbcbc

（a，c都不等于0）。
acadad
一、课前准备：

1、计算下列各题：
53375927
1
（1）÷10÷ （2）＋÷ （3）÷×
3751518735
36




7555213
21
（3）÷9÷ （4）÷× （6）÷（+）
12243545
8




2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？
167
（1） 25× × = ×( × )
78
528
（2） × × =( × )×
8315
229
（3） ×(15× )= ×( × )
2931
3
（4） 25 ×4= × + ×
4
7
（5） 7× = × 〇 ×
8
4
（6） 1 ×25= × 〇 ×
5
85
（7） 54×( - )= × 〇 ×
96

二、例题讲解
例1：计算：⑴
4415
37
； ⑵
27
。 < br>4526
44
1
与1只相差，如果把写
45
45
【分 析】认真观察这两道题的数学特点：第(1)题中的

成
(11
)
的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。同样，第（2）题中的
45
27可以写成（26+1）。




练习：
“挑战自己！”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？
125
2
26
3
× 32 ×
556



例2：计算：
2741

分析仔细观察因数的特点可知，
2 7
可转化为
9
，这样就可以利用乘法的分配
律进行简算了。




1
5
3
5
1
5
3
5
412114
练习：计算：
2316

7137713



例3：计算：

9
2

55

2
7






9

79

7
【分析】把几个分 数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。在本题中，
把
11
与的和作为一 个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、
79
结合律就可以很快算出结 果。

例4：计算：⑴
166
12003
41
；⑵20032003
。
202004
【分析】同学们都会计算带分数除法。不过 ，看了这两题，你一定感到把带分数化成

假分数太繁了。如果我们动一下脑 筋，就会发现：可以把题(1)中的
166
1
分成一个41
20
的倍 数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题（2)中的
2003


2003
化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。
2004
例5：计算：
777






例6：计算：





一、基本练习
91
3711

1010
1、下面各题，怎样简便就怎样算。
81115115123



1
－


15（＋）
91216416435


411125

＋

43

（2568）
1732239



2. “考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？
77888833
×101- × ÷ × × 99 +
1010999955

4345518
3 ×25 36× ( - )×
535695



4821531033
( + )× × + × -
79252142144




4. 分数四则混合计算：
11313
36
（1）（—）×1000 （2）×[（—）÷]
10100462
5



741535
（3）×—÷ （4）（0.19×
6
+0.19×
3
）÷0.05
8512688





二．能力提高




（4） （5）
2008
2008

2009

第四讲 分数四则混合运算
一、课前准备：
2780141615
999
÷9
62
（＋）×
358993516





373
53
4111
÷＋× （＋－）×24
104
10
3346

二、例题讲解


8

2

例1：计算：


888

1.125360
< br>23%

9

3






2237
练习：
915.462(4.8752)

3358





2
1317
例2：计算：（598.1×37＋5981×6.26）÷1＋190×
5
1730





1213141516
例3、
3141516171

2334455667






531253611
例4；计算；
4.4444

8371113725

练习：
1. 下面各题怎样算简便就怎样算。
8529241
（＋－）×27 （＋）÷
93273515



4
3232
3
32
34
25
×4
24
÷5 ×＋×＋
7
1313
7
13
45



2. 用简便方法计算。
912129
1÷13×100－－91× 1.1×4＋40.9÷5－4.09×
1313971997



3、计算下面各题。
55561775
55

56

152

565520812


111

4331
7

2

（3）11（1）


256

5445

8

3





1314151111

415161

（）

34455636918

2233
4141

（0.870.23）3%

751111





3

55

5.60.3755.43.7510

1110

11



13


8

1113





2129

31


15.8

612.5%


1.1440.954.09

971997

58




4

42

5



50 .82



7.621.25


9

55

9



第五讲 估 算
取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一
法）。其方法 一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种：（1）省略尾
数取近似值，即观其“大概”； （2 ）用放大或缩小的方法来确定某个数或整
个算式的取值范围，即估计范围。这就是估计与估算，估计与估 算，是一种十
分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。
一、去尾法和收尾法（进一法）
例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时 速度为900
千米时，飞回时速度为850千米时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？
（ 精确到1千米）
解：设该飞机最远能飞出x小时，依题意有

此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞 机
真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。

例2、 某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其
奔跑的速度为7米秒。已知导火线 燃烧的速度是0.112米秒。问：导火线的
长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）




此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米，执行任务的人 还没跑到安全地
带，炸药就被引爆，那可就太危险了。

二、放缩法与省略尾数法
2829
12
例3、有三十个数：1.64，1.64+，1.64+，……1.64 +1.64+，如
30303030
11
果取每个数的整数部分（例如：1.64的整 数部分是1，1.64+的整数部分是
30
2），并将这些整数相加，那么其和是多少？
分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2



例4、 A=111213÷312111，求 A的小数点后前3位
数字。
分析：本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。
方法一：放缩法：A＞1234÷3122=0.3952…
A＜1235÷3121＝0.3957…
所以0.3952＜A＜0.3957


方法二：省略尾数法：近似值：将被除数、除数同时舍去13位，各保留4
位，则有
1234÷3121≈

例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数 （保留两位小数），
小明计算出的答数是12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正< br>确的答案应是什么？
分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40

与12.50之间。原来13个数的总和最小应该是12.40×13=161.2，最大应该
是12.50×13=162.5之间，从而可求出这 13个自然数的总和，从而知道正确
答案



例6、 已知：S=
1
，求S的整数部分。
1111

1981
分析与解：如果我们能知道分母部分最小不小于几、 最大不大于几，就能
知道它的值在某个范围内。当这个范围很小时，就容易判断出s的整数部分了。
设A=





说明：本题如果直接计算，不 但非常麻烦，而且容易出错。上面的“分析”
中，我们采用了“放大——缩小”的方法，就是先把s的倒 数（分母部分）的
每一个加数都看成最大的一个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。
11111
A1()
819992000
的整数部分。 练一练：求






练习
一、基本题
19191919
19
1、（1+）+（1+×2）+（1+× 3）+……（1+×10）+（1+×11）
92
92929292
的结果是x，那么 ，与x最接近的整数是多少？

2、求算式0.1234……5051÷0.5150……4321的小数点后前二位数字是多少？




3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入30 0米
3
石料，以截断
河流。如果每台大型运输车一次可运石料17.5米
3< br>，那么为保障一次截流成功，
至少需多少台运输车？





4、用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几
件上衣？




5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小 数）的题目时，将
得数最后一位算错了。他的错误答案是21.83，正确答案应是多少？





6、求下式中S的整数部分：





二、综合题
7、 计算：

（提示：注意385= 5×7×11，可以先用乘法分配律化简，再估算。）

1
1
1
1，，……，，中选出若干个数，使得它们
2
3
99
100
的和大 于3，至少要选几个数？
三、思考题：8、在1，







第六讲 分数运算的技巧
对于分数的混合运算，除了掌握 常规的四则运算法则外，还应该掌握一些
特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。下面我 们着重介绍五
种常用的简算技巧。
（一）一般分数乘除法的计算：








（二）分数的简便计算
1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整
十数……从而使运算得 到简化。

例3、计算：






2.约分法：

例4、计算：

分析：仔 细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出1×2×3，
分母的每一项都可以分解出1×3 ×5。把它们作为公因数提出来后，括号内的
和是相等的。






362548361
例5、
计算：
36254 8186
分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分毋中的被减数362×548可以变形
为：（361＋1)×548=361×548＋548，同时发现548－186=362。这样就可 以把分母转化成
与分子完全相同的式子，简化运算。

例6、计算：






例7、计算：






2、 分组法
例8、计算：

分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。





4、代数法
例9、

练习：










2003
×2005
2004

第七讲 简单的分数应用题（一）

一、基础知识：
1、分数应用题的一般关系式是：
表示单位“1”的量（标准量）×分率=分率的对应量。
2、解题思路：
①一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。
分率是“谁的”几分 之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具
体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系 。）
单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个
数量就是单位 “1”。
②表示单位“1”的量是已知的，则该题用“×”。
表示单位“1”的量是未知的，则该题用“÷”或方程。
③解题的关键是：寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。
二、例题解析：
（一）基本方法
例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。
①一只鸡的重量是鸭的。把( )平均分为3份,把（ ）看作单位
“1”,( )相当于这样的2份，23对应的数量是（ ）。
②甲的相当于乙。把( )平均分为5份,把（ ）看作单位“1”,( )

相当于这样的3份，35对应的数量是（ ）。

③现价是原价的。把( )平均分为40份,把（ ）看作单位
“1”,( )相当于这样的3份，340对应的数量是（ ）。现价比原价
少的部分对应的分率是（ ）。

④小红的书比小明少。把( )平均分为8份,把（ ）看作单位
“1”,( )相当于这样的7份，78对应的数量是（ ）。小明的书
对应的分率是（ ）。



例2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。
5
10
（1）白兔只数的是黑兔的只数。 （2）已经修了公路全长的。
12
21


10
5
（3）二班植树棵数相当于一班的。 （4）今年棉花产量比去年增加。
21
8



77
（4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜。 （6）还剩这堆煤的。
5115



例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是1 元，钢笔的价格比本
子的价格多，钢笔的价格是多少元？

例4、一条裤子比一件上衣便宜25元。一条裤子是一件上衣价格的23， 一件
上衣多少元？
例5、商店运来一批水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的34，梨的 筐数
同时又是桔子的35。运来桔子多少筐？




例6、学校买来54本新书，其中科技书占 16，文艺书占13，文艺书比科技
书多多少本？



（二）能力拓展
例7、小强看一本故事书，每天看16页, 看了5天后，还剩全书的35没有看，
这本故事书有多少页？
分析：把全书看作单位“1”， 是未知的，可以用除法或方程解答。35与
没有看的页数相对应，看了的已知量16×5与1—35相对 应。





例8、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时, 两车
同时从两城相 向开出,多少小时两车相遇？如果相遇时客车走了600千米,甲
乙两城之间的公路长多少千米? 分析：本题的关键是要求相遇时间，我们知道相遇时间=相遇距离÷速度和，
而本题要求的就是相遇 距离，怎么办？可以假设全程为单位“1”。





练一练：一项工作,由甲单独做需要10天；由乙单独做需要12天.如果两
人合做,几天才能完成?

练习：
一、基本题
1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。
①白兔是黑兔的。把( )平均分为6份,把（ ）看作单位“1”,( )
相当于这样的5份，对应的数量是（ ）。
②一种毛衣现价是原价的47。把( )平均分为7份,把（ ）看作单位
“1”,( )相当于这样的4份,47对应的数量是（ ）。现价比原价少
的部分对应的分率是（ ）。
③九月份的产量比八月份增加了 。
单位“1”：（ ）。九月份的产量对应分率（ ）。


2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。
59
（1）妈妈年龄的是女儿的年龄。 （2）已经用这根绳子的。
1211


20
5
（3）男生人数占总数的。 （4）今年车祸比去年减少。
21
8


77
（4）现价比原价增加。 （6）没有看的占这本书的。
1015



3、六年级有男生100人，女生有80人。
（1）男生人数是女生的几分之几？

（2）女生是男生的几分之几？


（3）女生是全年级学生的几分之几？


（4）男生人数比女生多几分之几？

3、某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的14，挖了多少米？
还剩多少米？


4、某车间五月份生产零件3000个，六月份比五月份多生产了，六月份生产
了多少个零件？
分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）
方法计算。对应的数量是（ ），六月份生产的对应分率是（ ）。
解答：



5、某小学有学生若干人，其中女生占38，还已 知该校男生有240人，这所
小学共有多少人？
分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）
方法计算。男生的对应分率是（ ）。
解答：


< br>6、小亮在银行存了240元，小华存的钱是小亮的56，小华存的钱是小新的
23，小新存了多 少元？

7、某粮店共有大米2800千克，第一天卖了47，粮店还有大米多少千克？




8、商店有红气球和黄气球，共有48只，其中黄气球的只数是红气球的35 。
红气球和黄气球各多少只?


9、一只大雁由北方飞往南方要6天, 一只野鸭由南方飞往北方要8天,如果大
雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇?


二、综合题：
10、王琳看一本连环画共80页，第一天看了全书的1 5，第二天看了全书的
14。还剩多少页没有看？



11、本站有一批货物，上午运走了总数的25，下午运走了总数的38 ，还剩
下2700吨没有运，这批货物一共有多少吨？



12 、一袋大米吃了13后又加入8千克，这时袋里的大米恰好是22千克。这
袋大米原来有多少千克？



21
13、小刚读一本书，先读了全书的，又读了全书的，已 读的比没读的多
53
70页，这本书共有多少页？



14、根据算式写出问题。（说明：35%=720）

还剩下全长的13没有修完，————————？

（1）2400×14 ？
（2）2400×35% ？
（3）2400×（14+35%） ？
（4）2400×13 ？
（5）2400×（35% - 14） ？
（6）2400×（13 - 14） ？
（7）2400×（14+35% - 13） ？

第八讲 较复杂的分数应用题（二）
本讲继续学习较复杂的应用题——两 个单位“1”的情况和量与率的对
应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答 。
例1、一根140厘米长的绳子，第一次用去它的47 ，第二次又用了余下的
35 ，两次共用去多少厘米？
分析：本题有2个分率，相对应的有2个单位“1”。




例2、小红看一本书，第一天看了全书的47 ，第二天又看了剩下的 35，还
剩下42页没有看，这本书共有多少页？



练一练： 某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了
余下的，第三天恰好挖完，第三天挖 了多少米？




例3、一瓶油第一次吃了15千克，第二次吃 了余下的34，这时瓶内还有15
千克，问这瓶油原来有多少千克？
分析：根据条件“第二次 吃了余下的34”，我们先确定“1”；再利用线
段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。

例4、某校男生人数比全校学生总数的49少25人，女生人数比全校学生总
数的47 多15人。求全校学生总人数。
分析：利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。而 单位
“1”是未知的，可以用除法或方程解答。





例5、 有一瓶酒精，第一次倒出23又80克，然后倒回140克；第二次再倒
出瓶里酒精的 34，这时瓶里还剩下90克酒精。求原来瓶里有酒精多少克？
分析：本题2个分率，相对应的有2个 单位“1”。利用线段图来找出：“与
量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的，可以用 除法或方程解
答。





试一试：东盛化肥 厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的35
还多300吨，第二次运出的是第一次的13 ，第三次运出的450吨，求这批化
肥有多少吨？






例6、某工厂二月份比元月份增产110，三月份比二月份减产110．问三月< br>份比元月份增产了还是减产了？
分析：本题没有告诉我们具体的数量，要求的也是不具体的分率 ，所以我
们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。

练一练：有兄弟三个，老大比老二年龄大25，老二 比老三年龄大25，老大
的年龄是老三的几分之几？



练习：
1、某水泥厂第二个月生产水泥2400吨，比第一个月多生产14，第一个月生
产水泥多少吨 ？第三个月生产的水泥，比第一个月少生产15，那么第三个月
生产水泥多少吨？



2、小红看一本240页的书，第一天看了全书的14 ，第二天又看了剩下的13，
还剩下多少页没有看？





3、某粮店，第一天卖了全部大米的47，第二天又卖了余下的35，这时还剩
下4 20千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克？




4、某 车间一月份生产了1000个零件，以后每个月都增产110，三月份生产
了多少个零件？




5、某工厂去年制造一种零件，成本逐渐下降，每一季度的成本都比前 一季度
降低14，问第三季度的成本是第一季度的几分之几？




6、某班学生中，男生人数比全班人数的59 少5人，女生人数比全班人数的

37多11人，求全班人数。




7 、一桶柴油，第一次用了全桶的25，第二次用去20千克，第三次用了前两
次的和，这时桶里还剩8千 克油．问这桶油有多少千克？





二、综合题 < br>8、两队合修一条水渠，甲队完成的比全长的12还多7.2千米，乙队完成的相
当于甲队的13 。这条水渠有多长？


9、小王做零件，已经做了240个，比计划还少20%， 为了超额25%，小王还应
再做多少个？




10 、一袋大米第一周吃了13又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下
的13，这时袋里的大米恰好 是24千克。这袋大米原来有多少千克？




11、向阳村用 拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的14，第二天耕了剩下的三
分之二，第二天比第一天多耕30公顷， 问这个村共有多少公顷土地？




11
12、一种商品，先提价，再降价，现价相当于原价的几分之几？
55

第九讲 阶段复习与考试
第十讲 简单的工程问题（一）

准备题：修建一条长1200米的公路，甲队需 要30天，乙队需要40天，
如果两队合修需要多少天？



在 日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工
程等等，都要涉及到工作量、工作 效率、工作时间这三个量，它们之间的基本
数量关系是：工作效率×工作时间=工作总量（由此还可以变 化为工作时间=
工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），在小学数学中，探
讨 这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。
工程问题中的本质关系为：工作效率×工作 时间=工作总量。分数工程问
题的特点，常常不给出具体的工作总量，我们把全部工程看作单位“1”， 这
样，工作效率=1工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解
题。
一、基本方法
例1、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。
（1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几？


（2）合做3小时完成这批零件的几分之几？


（3）合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时？


（4）如果合做2小时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完？


练 一练：现在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先
做了3天，余下的工作由甲、 乙合作完成，还需要做几天可以完成全部工作？

例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小
时，客车从乙地开往甲地需要8小时，现货车先行2小时后，客车才出发，求
客车出发后多少小 时两车相遇？
分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙两地路程看做单位
“1” ，速度用1时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程÷速度和。




例3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单开甲管12小时可把空池注满，
单开 乙管20小时可把空池注满，单开丙管15小时可把满池水放空，三管同开，
多少小时把空池注满水？
分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。




例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头60分钟可注满水池，现在两个水龙头同时注水，20分钟可注满水池的12，如果单开乙龙头
需要多长时间注满水 池？
分析：根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和，再根据甲龙头的工效，
就可以 求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。





二、能力拓展
例5、一项工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的13，再由乙单独做了2天完成了全部工程的130 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的
工程。如果这项工程 由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？





例 6、一项工程，甲队独做需要45天完成，乙队独做需要60天完成，现在
甲、乙两队合作，中途乙队因 事调走，这样完成全部工程共用了30 天，求乙

队工作了几天？
分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。





例7、某项工程，甲、乙两队合做，30天可以完成。今两队合做12天后，剩< br>下的由甲队独做，经过24天才完成。问：乙队独做全部工程需几天完成？
分析：根据条件可以求出两队工效和。




例8、加 工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这件零件的130，
现在两人合作完成这批零件，甲中 途休息了2.5天，乙也休息了几天，这样用
了15天才全部完成，求乙休息了几天？
分析： 乙休息的天数可能2.5天多或少或同样多。解题方法多样：按前面
例题的思路，可用方程的方法，或假 设方法。




练习：
一、基本题：
1、修一栋楼房，甲公司单独做5个月完成，乙公司单独做6个月完成。
（1）合做2个月完成这栋楼房的几分之几？


（2）如果合做2个月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完？




2、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，
多 少天可以完成？

3、一件工 作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余
下的工作由乙继续完成.乙需要做几 天可以完成全部工作？




4、做一批零件，甲单独做12天 完成，乙单独做16天完成，现在两人合作4
天后，余下的由乙独做多少天可以完成？




5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管，单开一根进水管30分 钟可以将
水池注满，单开一根出水管45分钟可以将一池水放完。现在水池有12的水，
两管齐 开，多少分钟水池可以把水池灌满？




6、一只大雁从甲地 飞向乙地需要10天，一只野鸭从乙地飞向甲地需要12天，
现野鸭先飞了3天后，大雁才出发，求大雁 出发后多少天大雁和野鸭相遇？




7、一项工程，甲队单独 做5天完成；乙队单独做6天完成，甲、乙两队合做
2天后，甲队因事调走，余下的部分由乙队单独做完 ，还需要多少天完成？




二、综合题
8、做一批 零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合做4天后，余下的
乙独做20天可以完成。如果甲单独 完成这批零件要用多少天？

9、有一项工程，甲队独做40天可完成，乙队独做60天可完成，现在已知两
队合做这项工程，但中 间甲队因另有任务调走几天，所以经过27天才完成全
部工作，甲队离开了几天？




10、一件工程，甲5小时先完成了14，乙接着用9小时又完成了剩 下任务的
一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成？





11、一项工程，先由甲做10天完成了全部工程的16；再由乙做5 天完成了
全部工程的14；然后由丙做2天完成了全部工程的115。最后甲、乙、丙合
做余下 的工程，还要几天可以完成？

第十一讲：圆和扇形（一）
（一）基本知识
1、圆：圆周长公式：
C=πd或C=2πr
。
圆面积公式：
S

r
。
圆环面积：
S
环


(R
2
r
2
)







图一 图二 图三
2、扇形。如上图二，连接两条半径OA、OB，就可 得到一个扇形OAB，扇
n

r
2
形面积公式是：
S=。扇形的圆弧长=所在圆周长的
360
2
。其中r是指扇形
的在圆的面积 ，n指的是圆心角的度数。
例1、图二中n=60°，半径为6厘米，扇形面积是多少？弧AB是多少？




3、弓形。如上图三， S
弓AC=
S
扇AOC
—S
△AOC

例2、图三中，直角三角形AOC的直角边OA= 6厘米，求弓形AC的面积。




（二）基本运用
例3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84米。花坛的面积是多少平方米？





例4、计算下图阴影部分的面积．(单位：厘米)

例5、在一块长4.5米，宽2米的长方形铁板上截下 2个最大的圆形后，剩下
的铁板面积是多少平方米？





例6、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，这块圆形铁皮
的面积 是多少平方厘米？剩下的面积是多少？



例7、从一个直径为10厘米的圆中，剪去一个最大的正方形，正方形面积是
多少？

例8、求下图中阴影部分的面积和周长。


练 习

一、基本题

1、一个圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米？



2、已知一个圆的面积是28.26平方厘米，求这个圆的周长。
< br>3、下图涂色部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，
它的面积是多少？

4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，阴影部分面积是多
少？

5、下图圆的半径为6厘米，圆心角为45度，扇形AOC的面积是多少？弧
AC是多少？







6、下图是一个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。


7、求阴影部分的面积：(单位：分米) （π=3）

8、右图中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米，以AB为直径画成一个圆，圆
心为O，CO垂直于AB，求弓形AC的面积。







9、求下图中阴影部分面积和周长

（1）等腰梯形的腰是0.8。（单位：厘米）






（2）三角形ABC是等边三角形，底BC= 6厘米，扇形圆心角为120度。



思考题：
10、在下图中左右两个正方形一样大小，且图（2）中四个小圆一样大 ．试问
是图（1）中的大圆面积大，还是图（2）中四个小圆的面积之和大？请说明理
由。

第十二讲 简单的百分数应用题（一）

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百 分数也叫
做百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。
一般地，我们可以把百分数应用题看作分数应用题来解答。
一、一般百分数应用题
例1、东风化肥厂去年计划生产化肥60万吨，实际生产了72万吨。实际产量
比计划超过百分之几？




例2、商店卖一种袖珍收音机, 现在按八折出售，每台是14.4元,这种收音机
原价每台多少元?




例3、有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮的23正好是乙仓库存粮的60%，已知
乙仓 库存粮1500吨，甲仓库存粮多少吨？




例4、工程队挖 一条水渠，每天挖1.4千米，10天挖了全长的70%，还剩多少
千米没有挖？




例5、学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的 成活率为
90％。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年秋季学校共种多少棵树？
分 析：成活率是指成活的棵数占全部棵数的百分之几。根据去年春季成活
率85％，可以求出成活棵数和死 了的棵数。进而求出死了的棵数，再根据去
年秋季植树的成活率90％，求出去年秋季种的树。

例6、纺织厂的女工占全厂人数的80％ ，一车间的男工占全厂男工的25％。
问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？
分析：没有 告诉我们具体的数量，而且求的也是一个不具体的数量百分比，
这样，我们可以采用设参数的方法。




二、特殊的百分数应用题——利润问题
在这类问 题中，特别的在于，它涉及两个量的相乘，一是商品的单价，另
一个是销售量。我们要同时把握这两个量 的变化：总价=单价×数量
利润：一般地，商店购进货物的钱叫成本（或购入价）。卖出去的钱叫售价
（或卖出价）。售价与成本的差叫利润。利润与成本的比叫利润率。
售价=成本+利润=成本+成本×利润率=成本×（1+利润率）
利润=售价—成本
例7、某商店进货的批发价为50元一袋，规定零售价为70元一袋，求商品的
利润率是多少？




例8、商店从某供货商以每台1200元，购进了50台空 调。该商店以20%的利
润率来定价，空调的定价是多少？如果全部按这个价卖出，商店共获利多少元？



例9、商场以400元的成本购进一见商品，该商店准备以 50%的利润率来定价，
但因为价高，没有人购买，只好打75折优惠，问现在这件商品卖多少元？





练习
1、曙光面粉厂
①5000千克小麦可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少？

②面粉的出粉率是80％，4000千克小麦可以出面粉多少千克？

③面粉的出粉率是80％，加工3200千克面粉需要多少千克小麦？

2、把20克盐溶解在80克水中，盐占盐水的百分之几？



3、一家大型超级市场,一月份的营业额是5000万元,如果按营业额的5%缴纳
营业税后,还剩余多 少万元？


4、甲数比乙数多20%，乙数比甲数少百分之几？



5、某化肥厂第一季度生产化肥2400吨，完成了全年任务的 25%，他们准备在
第二季度完成全年任务的 30%，那么第二季度应生产化肥多少吨？




6、运送一批树苗，已运了总数的62.5％，未运的比已运的少42 0棵，这批树
苗总数多少棵？




7、某商场以每套 64元的价格，购进童装100套，全部销售完后，共得10000
元，求商场销售这些童装的利润率。
8、中国书店收购一本旧书, 原价12元．收购时按八折作价, 然后又按比收购
价多5%的价钱售出．书店售出这本书的价钱是多少元?




9、在某校学生中，男生人数占全校人数的60％，女生人数占全校的40％，那

么，男生人数比女生多百分之几？




10、采煤队三月份上半月完成月计划的60％，下半月完成月计划的65％，这
个月实际采煤2.5 万吨，这个月超过月计划多少万吨？





11、一 家服装店出售两种春装，一种是新式样，每件卖240元，可赚20%，另
一种样式过时，是处理品赔本 20%，每件售价也是240元，问：两种春装各出
售一件，是赔还是赚？赔（或赚）多少？




12、某校绿化校园植了水杉，柏树、梧桐三种树，其中种植水杉的棵 数为总数
的40%，柏树的棵数是水杉的78，其余的是梧桐树。已知水杉比梧桐多144
棵， 水杉是多少棵？




第十三讲 分数应用题复习
例1：数量和分率直接对应
一辆汽车4小时行了全程的25，照这样的速度，再行几小时到达？



练习：六（1）班，男生比女生少8人，女生比男生多13，全班多少人？



例2：已知量的——对应分率
1、一条公路第一天修了全长的14，第二天修了全长的25，两天共修了1.3

千米，这条公路全长多少米？



2、一辆汽车行了全程的35，这时已超过中点15千米，已行了多少千米？

< br>3、服装店分两次加工一批服装，第一次做了全部的15，第二次比第一次多做
90件。这批服装 共多少件?



4、汽车从A城开往B城，第一小时行全程的14，第二 小时行全程的13，超
过中点15千米，A、B两城相距多少千米?



5、电视机厂9月份生产一批电视机，上旬生产了全部的310，中旬生产的是
上旬的23，下 旬全部完成任务。已知下旬比中旬多生产2250台，9月份生产
电视机多少台?


例3：找对应关系
1．小红看一本小说，第一天看总页数的112还多19页，第二天看的比 总页
数的18少17页，还余下93页，这本书共多少页?



2、服装店加工一批服装，第一次做了全部的15，第二次比第一次多做8件。
这时做完的比没 做完的少2件，这批服装共多少件?



3、一批木料，先用去总数的2 5，又用去总数的49，这时用去的比剩下的多
21方，这批木料共多少方?

4、 有两只桶装油50千克，若第一桶里倒出15，第二桶里倒进4千克，则两
桶内油相等。原来每只桶各装 油多少千克?

5、一个班女生比男生的 23多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，那
么男女生恰好相等。这个班男、女生各有多少人?



6、甲、乙、丙、丁四人共同购买一只游艇，甲支付的现金是其余三人 所支付
的14，乙支付的比其余三入所支付的总数少12，丙支付的是其余三人所支
付的13， 丁支付9100元。这只游艇价值多少元?



7．小强读一本书，第一 天读全书的47，第二天又读了余下的12，这时还有
30页没读，这本书共有多少页?



8、学校举行一项数学讲座，整个教室坐满了人，其中两人中有一个六年级学生，四人中有一个五年级学生，七人中有一个四年级学生，还有六位老师，整
个教室听课的有多少人 ?



六年级分数应用题练习
１、修一条长3000米的路，已经修了30%，还剩多少米没有修？



2
2、码头上有一堆石子，卖出 ，正好是600吨。这堆石子有多少吨？卖出了
5
多少吨？



3、有300千克的面粉，第一天吃了20%，第二天吃了35%。两天一共吃了
多少千克？第 一天比第二天少吃多少千克？

4、植树 节同学们植了160棵松树，植的杉树是松树的40%。两种树一共多少
棵？松树比杉树多多少棵？



1
5、李大伯家今年收小麦2000千克，比稻谷少 。今年收稻谷多少千克？
5




1
6、一辆汽车从A地到B 地，上午行了全长的 ，下午行了全长的30%。下
5
午比上午多行了80千米。A地到B 地的路程有多少千米？



7、李老师带了1200元钱去购物，买衣服用去了20%，买DVD 用去了25%。
李老师身上还剩多少元钱？



3
8、王师傅买了一套西服用了800元钱，其中裤子的价钱是上衣的 。上衣和
5
裤子各是多少元钱？



12
9、小明步行上学，走到商场正好是全长的 ，再走50米就走了全长的 。
23
小明的家离学校有多少米？


10、一件衣服打八五折是340元，比原来降价了多少元？(八五折是85%)

11、选择合适的算式，连
线。
商店运来彩色电视机１２６台，（ ），DVD有多少台？
DVD比彩电多16， 126×16
DVD比彩电少16， 126÷16
DVD是彩电的16 126×（1+16）
彩电比DVD少16 126÷（1+16）
彩电比DVD多16 126×（1－16）
彩电是DVD的16 126÷（1－16）



12、张师傅和黄师傅要加工400个机器零 件，已经加工了60%。又知道张师
傅与黄师傅加工的个数比是5：7。两人各加工了多少个零件？







、












第十六讲 复杂的利润问题（二）
本讲继续学习较复杂的利润问题。
利润率：利润与成本的比 利润=售价—成本
售价=成本+利润=成本×（1+利润率）

例1、出售甲种产品 的利润是25%，乙种产品利润是20%，如果分别各用2000
元购进甲、乙两种产品，共获利多少元 ？如果两种产品一起买可以优惠15%，
此时的售价是多少？





例2、一件商品按30%的利润定价，然后又按八折出售，结果赚了64元，这< br>件商品的成本是多少元？
分析：成本为单位1未知，可以用除法或方程解答。售价- 成本=赚的钱，
作为等量关系。




例3、一件商品 如果按原价出售可以盈利25%，如果降价30%出售，则要亏本
30元，那么这件产品的进价是多少元 ？
分析：条件“一件商品如果按原价出售可以盈利25%”实际上告诉我们了利
润率是25% 。成本为单位1未知，可以用除法或方程解答，由于成本-售价=
亏的钱，可作为等量关系。





例4、某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。 已知按定价打八五折出
售8个获得的利润与按定价每个减少35元出售12个所获得的利润一样多。这< br>种商品每个定价多少元？
分析：根据条件“利润一样多”，找到等量关系，所以可以用方程解答。



例5、某商店从外地购进360个玻璃制品，运输时损坏了40个，剩下的按进
价以 117%售出，商店可盈利百分之几？
分析：由于求的是一个不具体的数量——利润率，而且没有告诉 我们关键的数
量——进价，可采用设参数的方法解答。要注意，损坏的40个，要算成本，
但无 售价。还可以采用设参数方法：设具体的数，设单位1，设字母。

解：设一个玻璃制品的进价为x元，则每个售价为1.17x元。

练习：
1 、商店从生产厂家以每台120元的价格，购进了一批电风扇。该商店以20%
的利润率来定价，电风扇 的定价是多少？如果打九折卖出，这时的实际利润率
是多少？




2、新光商店把进货价是3元，原零售价是5.4元的800 双袜子降价出售。开
始按原零售价八折出售，卖了50 0双； 剩下的按原零售价六折出售。卖完这
800双袜子是盈利还是亏本？




3、一批西瓜按20%的利润定价，由于下雨，只好按6折出售，结果亏了120
元 。这批西瓜的成本是多少元？




4、某种商品按原价出售可获利20%，如果打九折出售，要赚60元，求这种商
品的成本价？



5、商店购进一批每双6.5元的凉鞋，售价为7.4元，当卖到还剩 下5双时，
除去全部成本还已获利44元，那么这批凉鞋共有多少双？




6、甲种产品总成本价为800元，如果按获25%的利润价格出售一半以后，剩

下的一半降价10%出售，全部售完可获利多少元？




7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支
的 利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱？




8、A 、B两种商品成本共200元。商品A按30%的利润定价，商品B按20%的
利润定价。后来两种商品 按定价的90%售出，结果获利27.7元，A种商品的成
本是多少元？




9、某商店进了一批钢笔，按30%的利润定价。当售出这批钢笔的80%后，为 了
尽快销完，商店把余下的钢笔按定价的一半售出。销完后商店实际获得的利润
率是多少？