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工程问题
知识框架

一、基本概念
（1） 工作总量
完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.
（2） 工作时间
（3） 工作效率
单位时间内所完成的工作量
二、基本关系
工作量 = 工作效率×工作时间
【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.

三、常用工具和方法
（1） 基本关系
（2） 整体化归思想
（3） 对比分析的方法


重难点

（1） 重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题
（2） 难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用






六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版

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例题精讲

一、根据基本关系解题
【例 1】 一项工程，甲单独做需要
28
天时间， 乙单独做需要
21
天时间，如果甲、乙合作需要多
少时间？




【巩固】 一项工程，甲单独做需要
21
天时间，甲、乙合作需 要
12
天时间，如果乙单独做需要多少时间？




【例 2】 一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又 需20
天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.




【巩固】 一项工程，甲队单独做
20
天可以完成，甲队做了< br>8
天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单
独做
15
天完成．问：乙 队单独完成这项工作需多少天？




二、运用整体化归思想解题
【例 3】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6 小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙
同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后 来又去帮乙搬运，最后两个仓库
的货物同时搬完。则丙帮甲 小时，帮乙 小时。





六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 2 of 31

【巩固】 一池水，甲、 乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小
时，还需甲、丙两管同 时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？





1
【例 4】 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的
1
倍．上午去
2
甲工地的人数是去乙工地人数的
3
倍，下午 这批工人中有
7
的人去甲工地．其他工人到乙工
12
地．到傍晚时，甲工地的 工作已做完，乙工地的工作还需
4
名工人再做
1
天，那么这批工人有多
少人？





【巩固】 甲、乙、丙三队要完成< br>A
，
B
两项工程，
B
工程的工作量是
A
工程 工作量再增加
1
，如果让甲、
4
乙、丙三队单独做，完成
A
工程所需要的时间分别是
20
天，
24
天，
30
天．现在让 甲队做
A
工
程，乙队做
B
工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与 乙队合做
B
工程若干天，然后再与甲
队合做
A
工程若干天．问丙队与 乙队合做了多少天？





【例 5】 一项工程， 甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接
替甲做1小时，再由甲 接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共
用了多少小时？






六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 3 of 31

【巩固】 蓄水池有甲、 丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需
3
小时，单开丙管
需要
5
小时，要排光一池水，单开乙管需要
4
小时，单开丁管需要
6小时，现在池内有
1
的水，
6
若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁…… 的顺序轮流打开
1
小时，问多少时间后水开始溢出水池？




三、运用对比分析方法解题
【例 6】 一项工程，甲、乙合作需要
20
天完成，乙、丙合作需要
15
天完成，由乙单独做需要
30
天完成，
那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？




【巩固】 一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要
12
天，由丙单独做 需要
36
天完成，那么
如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？




【例 7】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完 成；如果甲先做20天，那么乙接着做8
天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？




【巩固】 一件工作甲先做
6
小时，乙接 着做
12
小时可以完成；甲先做
8
小时，乙接着做
6
小时也 可以完
成．如果甲做
3
小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？





【例 8】 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完 成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、
乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？

六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 4 of 31

【巩固】 抄一份书稿， 甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙
1
每天工作效 率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
5




【例 9】 放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20 分钟可以完成；如果同时打开2，3，4
阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门， 则28分钟可以完成；如果同时
打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2 ，3，4号阀门，那么多
少分钟可以完成？




【例 10】 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7
天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干
需要42天 才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？




【例 11】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后 再由
第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流
做一个工程需要
9.8
小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要
9.6
小时 ，那乙单独做这个工程需
要多少小时？




【巩固】 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、
丙、…… 的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、
甲、乙、丙、甲… …的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、
乙、甲、丙、乙、甲… …的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时
打开，灌满一池水用了2小时 20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．


六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 5 of 31

3
【例 12】 一项工程，甲、乙合作
12
小时可以完成， 若第
1
小时甲做，第
2
小时乙做，这样交替轮流做，
5
1< br>恰好整数小时做完；若第
1
小时乙做，第
2
小时甲做，这样交替轮流做 ，比上次轮流做要多小
3
时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？




【巩固】 甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每 人轮流工作一天，正好整数天完成，
若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用
1
天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮
2
1
流工作一天，则比原计划多用天．已 知甲单独完成这件工作需
10.75
天．问：甲、乙、丙一起
3
做这件工作， 完成工作要用多少天？




四、综合运用多种思想解题
【例 13】 一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作
5
小时，共完成这批 零件的
的工作效率之比是
5:3
，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？




【巩固】 一项工程，甲15天做了
2
。已知甲与乙
3
11
后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙
44
一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，
问题中情形下做完整个工程需多少天?




【例 14】 甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按
9:8:3
派工，后因丙村不出 工，将他承
担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出3 5人，
完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 6 of 31

【巩固】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工 程的具体情况是：甲、
1
1
乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作 2天完成余下工程的，以后三人
4
3
合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳 动报酬，甲、乙、丙各得多少元？





【例 15】 一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽
灌 水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64
分钟；若打 开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开
个出水管，经过 分钟才能将水箱灌满．







【巩固】 有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔
A
和
B
，已知两孔的排
水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速 注水，如果打开
A
孔，关闭
B
孔，那么经过20分
钟可将水箱注满， 如果关闭
A
孔，打开
B
孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开 ，
经过 分钟才能将水箱注满．











课堂检测
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版

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【随练1】 甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的
1< br>，乙40分钟打了B材料的
4
2
. A、B两份材料中， （填A或B）内容多.
7





【随练2】 甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12
小时， 丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在
A
仓库，乙在
B
仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在
A仓库搬了多长时间？





【随练3】 一项工 作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那
么丙一个人来 做，完成这项工作需要多少天?





【随练4】 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做 完，
若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也
比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要
10
天，且三个人的工作效率各不相同，那么 这
项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？




【随练5】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况 是：甲、
1
1
乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下 工程的，以后三
4
3
人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、 乙、丙各得多少元？

六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 8 of 31

家庭作业

【作业1】 一项工程，甲单独做需要
30
天时间，甲、乙合作需要
12天时间，如果乙单独做需要多少时间？






【作业2】 一项工程，甲单独完成需要
12
天，乙单独完成需要
9
天．若甲先做若干天后乙接着做，共用
10
天完成，问甲做了几天？




【作业3】 甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加 工，便需要12小时完成．现
2
在甲、乙两人共同生产了
2
小时后，甲被调出 做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成
5
任务．问乙一共加工零件多少个？




【作业4】 修筑一条高速公路。若甲、乙、丙合作，90 天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合
作，180天可完工，若甲、乙合作36天 后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？

【作业5】
A、
B
、
C
、
D
、
E
五个人干一项工作 ，若
A
、
B
、
C
、
D
四人一起干需要6天 完成；若
B
、
C
、
D
、
E
四人一起干需要 8天完工；若
A
、
E
两人一起干需要12天完工．那么，若
E
一人
单独干需要几天完工？


六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 9 of 31

【作业6】 一件工作， 甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后
由乙接着做，乙 做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2
倍，终于做完了这件工作. 问总共用了多少天？



【作业7】 一件工程甲单独做
50< br>小时完成，乙单独做
30
小时完成．现在甲先做
1
小时，然后乙做2
小时，
再由甲做
3
小时，接着乙做
4
小时……两人如 此交替工作，完成任务共需多少小时？



【作业8】 一项工程，乙单 独做要
17
天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好
用整天 数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用
半天完工．问：甲 单独做需要几天？



【作业9】 蓄水池有一条进水管和一条排水管． 要灌满一池水，单开进水管需
5
小时；排光一池水，单开
排水管需
3
小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开
1
小
时 ．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）



【作业10】 如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个
进水管给空水 箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用
1
个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，
则 需要用
1
小时
5
分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用
72
分钟将水箱灌满．那么，
若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？

教学反馈

学生对本次课的评价
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 10 of 31

○特别满意 ○满意 ○一般

家长意见及建议


家长签字：

工程问题

知识框架

四、基本概念
（3） 工作总量
完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.
（4） 工作时间
（3） 工作效率
单位时间内所完成的工作量
五、基本关系
工作量 = 工作效率×工作时间
【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.

六、常用工具和方法
（4） 基本关系
（5） 整体化归思想
（6） 对比分析的方法


重难点

六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 11 of 31

（3） 重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题
（4） 难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用





例题精讲

五、根据基本关系解题
【例 16】 一项工程，甲单独做需要
28
天时间，乙单独做需要
21
天时间，如 果甲、乙合作需要多
少时间？
【考点】工程应用题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的
人 合作每天能完成总量的
【答案】
12

【巩固】 一项工程，甲单独做需要< br>21
天时间，甲、乙合作需要
12
天时间，如果乙单独做需要多少时间？
【考点】工程问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 将整个工程的工作量看“1”个单位，那么甲每天完成总量的
乙单独做每天能完成总 量的
【答案】

【例 17】 一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天 ，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20
天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，一试
【解析】 甲每天完成
11
，乙每天完成总量的，两
2821
1111

，所以两人合作的话 ，需要
112
天能够完成．
28211212
11
，甲、乙合 作每天完成总量的，
2112
111
，所以乙单独做28天能完成．

122128
1

28
120111
，甲乙合 作中，甲一共完成

，所以乙也一共完成，乙每天完成，乙单
40402260
独做要60天.
【答案】60天
【巩固】 一项工程，甲队单独做
20
天可以完成，甲队做了
8
天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 12 of 31

独做
15
天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 方法一：甲的工作效率为
1
1223
，甲队8天的工作量为
8
，所以乙队15天的工作量为
1
，
20
2055531
乙的工作效率为
15
，所以乙队单独完成这项工作需要
25天
525
方法二：此题可以运用化归思想解决，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙 的工作效率为甲的
4
4
，乙独做的时间为
2025
（天）。
5
5
【答案】
25
天

六、运用整体化归思想解题
【例 18】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需 6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙
同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运， 后来又去帮乙搬运，最后两个仓库
的货物同时搬完。则丙帮甲 小时，帮乙 小时。
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2009年，希望杯，第七届，六年级，二试
【解析】 整个搬 运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们
11121完成工作的总时间为
2()
小时．
67144
在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过． 121771113
甲完成的工作量是

，所以丙帮甲搬了
1的货物，丙帮甲做的时间为
1
小
648888144
时，那么丙帮乙 做的时间为
1
【答案】
3
小时
2
2131
13
小时．
442
【巩固】 一池水，甲 、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小
时，还需甲、丙两管 同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和 都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同
时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时 分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二
个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样 就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同
时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙 单独灌水的工作量为
11111
，所以整池水由乙管单独灌水，
122，所以乙的工作效率为：
(622)
54101020
需要
1

1
．
20
（小时）
20
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 13 of 31

【答案】
20
小时
1
【例 19】 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量 的
1
倍．上午去
2
甲工地的人数是去乙工地人数的
3
倍，下 午这批工人中有
7
的人去甲工地．其他工人到乙工
12
地．到傍晚时，甲工地 的工作已做完，乙工地的工作还需
4
名工人再做
1
天，那么这批工人有多少人？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有
12x
人．
那么上午有9x
人在甲工地，有
3x
人在乙工地；下午有
7x
人在甲工地， 有
5x
人在乙工地．所以甲
工地相当于

9x7x
28x
人做了一整天；乙工地相当于

3x5x

2 4x
人做了一整天．
由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的
3
倍，假设甲 工地的工作量是3份，那么乙工地的工作
2
3
31
份，所以乙工地还剩下2
2
22
量是2份．
8x
人做一整天完成3份，那么
4x
人做一整天完成
份．这
1

1

份需要4名 工人做一整天，所以甲工地的3份需要
4

3

24
人做一整天，即
8x24
，
2

2

可得
x3
，那么这批工人有
12336
(人)．
【答案】
36
人
【巩固】 甲、乙、丙三队要完成
A
，< br>B
两项工程，
B
工程的工作量是
A
工程工作量再增加
1
，如果让甲、
4
乙、丙三队单独做，完成
A
工程所需要的时间分别 是
20
天，
24
天，
30
天．现在让甲队做
A工
程，乙队做
B
工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做
B< br>工程若干天，然后再与甲
队合做
A
工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重 要，
即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设
A
工程的 工作总量为单
位“1”，那么
B
工程的工作量就是“
5
”，那么这个 问题就和例
5
联系到了一起了。
4
11

5
 
1


18
天。
18
天里，乙队一直在完三队 合作完成两项工程所用的天数为：

1





4

202430

成
B
工作，因此乙的工作 量为
13
18
，
B
剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在B
工程上
244

53

1
15
天 也就是说两队合作了
15
天。 用了




44 30

解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率

工 作时间

工作总量，表示出
各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效 率．
【答案】
15
天
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 14 of 31

【例 20】 一项工 程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接
替甲做1小时，再 由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共
用了多少小时？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？
1

51

1

1



17
（小时）．
8365

121

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？
1

35

1

17



1
836

121

1
．
36
③余下的

1
由甲独做需要多少小时？
36
111

（小时）．
36123
④共用了多少小时？

72
11
14
（小时）． < br>33
在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1 小
时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，
余下部分问题就好解决了．
1
【答案】
14
小时
3
【巩固】 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3
小时，单开丙管
需要
5
小时，要排光一池水，单开乙管需要
4
小时，单开丁管需要
6
小时，现在池内有
1
的水，
6
若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开
1
小时，问多少时间后水开始溢出 水池？
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
11117171
【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开
1
小时 可进水：

，循环
5
次后水池还空：
15
，
3456606604
1
11333
的工作量由甲管注水需要：

(小时)，所以经过
4520
小时后水开始溢出水池．
4
43444
3
【答案】
20

4

七、运用对比分析方法解题
【例 21】 一项工程，甲、乙合作需要
20
天完成，乙、丙合作需要
15
天完成，由乙单独做需要
30
天完成，
那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 15 of 31

【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出： 甲

乙

乙

11
， 乙

丙

，
2015
1
111111
因 此不难得到丙的工作效率为

，因此三个人的工作效率之和为

，
30
2
也就是说，三个人合作需要12天可以完成。
本题也可以分别求出甲和丙的 工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但
是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙 工效和加上丙的工效就可以了．
【答案】12天
【巩固】 一项工程，甲、乙合作需要9天 完成，乙、丙合作需要
12
天，由丙单独做需要
36
天完成，那么
如 果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 法一：和上题类似，我们可以有：甲

乙

为
111
， 乙

丙

， 丙

不难求得，乙的工作效率
912 36
111111111

，因此甲的工作效率为

，从而甲丙 合作的工作效率为

，
361812
即甲丙合作12天能完成。
法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而通过整体的运算直接得
到“甲 +丙”的值呢？
不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：

甲乙丙 2



乙丙

甲丙
，也就
是说 ：
甲丙
【答案】
12
天
【例 22】 一项工程，如果甲先做 5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8
天可以完成．如果甲、乙合作 ，那么多少天可以完成？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：
1111
2
，所以甲丙合作
12
天能完成。
9361212
甲5天 乙20天
乙12天
甲15天
甲20天 乙8天

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作 量等于乙4
天的工作量．于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可 知乙单
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 16 of 31

独做这一工程需要
20424
(天)完成，即乙的工作效率是
1
．
24
4
，为
5
又因为乙工作4天的工作量和甲工作5 天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的
141111
，那么甲、乙合作完成这一工程需要的 时间为
1()13
(天)．

2453024303
1
【答案】
13
天
3
【巩固】 一件工作甲先做
6
小时，乙接着做
12
小时可 以完成；甲先做
8
小时，乙接着做
6
小时也可以完
成．如果甲做3
小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，甲做
86 2
小时的工作量等于乙做
1266
小时的工作量，
可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量．
那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙 完成全部工作需要
631230
小时，
甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要
30921
小时．
【答案】
21
小时
【例 23】 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、
乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4 ÷2=2（倍），甲、乙合
作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率 是乙的工作效率的3
倍.乙做13天，甲只要
26
13
天，丙做13天，乙要 26天，而甲只要天他们共同做13天的工作量，
3
3
由甲单独完成，甲需要
13
【答案】
26
天
1326
26
天
33
【巩固】 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作 效率相当甲、乙
1
每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要 多少天才能完成？
5
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
1
【解析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于 乙、丙两人每天抄写量之和，
8
1
1
因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书 稿的；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从
16
8
而丙6天抄写书稿的，即丙每天 抄写书稿的
所以乙一人单独抄写需要1÷
1
8
1
1
111< br>；于是可知乙每天抄写书稿的--＝.
8
16
482448
1
=24天才能完成．
24
Page 17 of 31 六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版

【答案】24天
【例 24】 放满一个水 池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4
阀门，则21分钟 可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时
打开1，2，4号阀门，则 30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多
少分钟可以完成？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：
1号
○
×
○
○
2号
○
○
×
○
3号
○
○
○
×
4号
×
○
○
○
工作效率
1

20
1

21
1

28
1

30
从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：
111

1
1

1
．

3
，那么同时打开这4个阀门，需要
118
（分钟）


2021283018
18

【答案】
18
分钟
【例 25】 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干 需要7
天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 首先将各个小队之间的组合列成表：
一队
○
○
×
○
二队
○
×
○
×
三队
○
○
×
○
四队
×
×
○
○
五队
×
○
○
×
工作效率
1

12
1

7
1

8
1
42

从表中可以看出，一队 、三队在表中各出现
3
次，二队、四队、五队各出现
2
次，那么，如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了
3
次 ．所
1

1
1

111
以五个小队的工作效率之和 为：五个小队一起合干需要
16
天．

2

3
，
42

6
6

1278
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 18 of 31

【答案】
6
天

【例 26】 规定两人轮流做一 个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由
第一个人做1个小时，然后又 由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流
做一个工程需要
9.8
小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要
9.6
小时，那乙单独做这个工程需
要多少小 时？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
甲乙甲乙甲1小时乙0.8小时
【解析】 根据题意，有：，可知，甲做< br>10.60.4
小时与乙做
10.80.2
小
乙甲乙甲乙1小 时甲0.6小时
时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量．
所以，乙单独工作需要
9.85527.3
小时．
【答案】
7.3
小时
【巩固】 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、 丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、
丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整 数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、
甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第 一周少用了15分钟；第三周他按丙、
乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了 15分钟．第四周他三个管同时
打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一 池水需用________小时．
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚 好在整数小时后灌满，
按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起 灌用20分钟．所
以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢．也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满．甲 灌1个小
时的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水．所以灌水速度甲
∶∶42
，
∶
乙
∶
丙
3
也就是甲刚好是平均数． 所以只用甲管灌满需要7小时．
【答案】7小时
3
【例 27】 一项工程，甲、 乙合作
12
小时可以完成，若第
1
小时甲做，第
2
小时乙做 ，这样交替轮流做，
5
1
恰好整数小时做完；若第
1
小时乙做，第< br>2
小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小
3
时，那么这项工作由甲单 独做，要用多少小时才能完成？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么 第二种做法中甲、乙
1
用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符．所以第一种做 法的最后一小时是甲
3
111
做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的 一小时是乙做的，所以乙

甲

甲，
3
33
得乙< br>

2
355231
甲．甲、乙工作效率之和为：
112
，甲的工作效率为：
(1)
，
3
5636336321
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 19 of 31

所以甲单独做的时间为
1
【答案】
21
小时
1
21
(小时)．
21
【巩固】 甲、乙、丙三人完成一件工作 ，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，
若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一 天，则比原计划多用
1
天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮
2
1
流工作 一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需
10.75
天．问：甲、乙、丙一起3
做这件工作，完成工作要用多少天？
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 以甲、乙、丙各工作一天为一个周期 ，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整
周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第 一种可能是完整周期
1
天，第二种可能是完整周期
112
2
天． 如果是第一种可能，有
甲乙丙丙甲
，得
乙丙甲
．然而此时甲、乙 、丙的
233
效率和为
1
2811211217

22
28


1


，经过4个周期后完成 ，还剩下
1
，而
4
10.75

33
< br>129
9
甲每天完成
17
1412
，所以剩下的不可能由甲1 天完成，即所得到的结果与假设不符，

129
10.7543129
所以 假设不成立．
再看第二种可能：

第一种情况
第二种情况
第三种情况
完整周期
n
个周期
n
个周期
不完整周期
甲1天，乙1天
乙1天，丙1天，甲
完成总工程量
“1”
“1”
“1”
1
天
2
n
个周期
1
丙1天，甲1天，乙天
3
13< br>11
可得
甲乙乙丙甲丙甲乙
，所以
丙甲
，< br>乙甲
．因为甲单独做需
10.75
天，所
24
23
以工作效率为
4
433412
，于是乙的工作效率为

，丙的工作 效率为

．
43
4344343243
9

4 329

．则需

1

4
个完整周期，剩下< br>
43434343

43

于是，一个周期内他们完成 的工程量为
1
97
4
的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可 能是符合题意的．于是，根据第
4343
9
，所以三人合作完成工作需
43< br>二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是
要
1
9437
4
天．
4399
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 20 of 31

7
【答案】
4
天

9
八、综合运用多种思想解题
【例 28】 一批零件平均分给甲、乙两人同时加工 ，两人工作
5
小时，共完成这批零件的
的工作效率之比是
5:3
，那 么乙还要几小时才能完成分配的任务？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
2
。已知甲与乙
3
23111
【解析】 乙
5
小时完成总工作量的

；乙需要完成的总工

；乙每小时完成总 工作量的
5
3534420
作量为
【答案】
5
小时
【巩固】 一项工程，甲15天做了
1
11
；乙要完成这个任务还需要的时间 ：
55
（小时）
2
220
11
后，乙加入进来，甲 、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙
44
一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3： 5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，
问题中情形下做完整个工程需多少天?
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为
1
.
又乙、丙工作的
60
天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段 所需的时间相等．即甲、乙合作完成的
工程与甲、乙、丙合作完成
1
1
的< br>4
111

的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+
4 42
1
.
又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的乙)×2=(甲+乙+丙)， 甲+乙=丙，那么有丙-乙=
60
工作效率为
35
,
丙的工作效率为 ：
.
那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
120120
15113118
()()156627
天.
46
1< br>设乙的工作效率为
3x
，那么丙的工作效率为
5x
．所以有乙工
，
60
方法二：显然甲的工作效率为
作的天数为
11
1111(8x).
且有
(3x)(8x),
丙工作的天数为
26 0
460260
11
(x3
460
)
1
2< br>(
1
x8
60
1
)2
1
11111
即
.
所以乙
x((8)3x.)(8x),
解得x
120
264060260
的工作效率为
35
,
丙 的工作效率为高
.
那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
120120
113118
15()()156627
天.
46
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 21 of 31

【答案】
27
天
【例 29】 甲、乙、丙三村准备合作修 筑一条公路，他们原计划按
9:8:3
派工，后因丙村不出工，将他承
担的任务由甲、 乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，
完成了修路任务，问 甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 丙村出的
360
元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数 比即
45:359:7
来进行分配呢？我们仔
细思考一下，发现丙村所出的钱应该是 其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑
的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算 如何分配。
甲、乙两村共派出了
453580
人，而这80人，按照原计划应是 甲村派出
80
9
36
人，
983
乙村派出32人， 丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了
45369
人，乙村帮丙村派
出 了
35323
人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按
9:33:1
来分配给甲、乙两村，所以，
甲村应分得：
360(31)3270
元，乙村 应分得：
36027090
元．
【答案】
90
元
【巩固】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是 ：甲、
1
1
乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工 程的，以后三人
4
3
合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙 、丙各得多少元？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
11
【解析】 根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为
6
；
318
111
乙、丙两人的工作效率之和为
(1)2
； < br>3412
111
甲、乙、丙三人的工作效率之和为
(1)(1)5< br>．
3410
分别可求得甲的工作效率为
111117
，乙的工作效率 为

，丙的工作效率为

1
112111791
，则甲 完成的工程量为：


65


，乙完成的工程量为：< br>

625


，

1180
丙完成的工程量为：
所以，甲应得
1800
214119114


25


，三人所完成的工作量之比为
::33:91:5 6
．
45456018045
339156
330
元，乙应得< br>330910
元，丙应得
330560
元．
33915 63333
【答案】甲应得
330
元，乙应得
910
元，丙应得560
元
【例 30】 一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水 孔．现用一个进水管给空水槽
灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌 满水槽则需要用64
分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可 以打开
个出水管，经过 分钟才能将水箱灌满．
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 22 of 31

【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 进水管每分钟灌进水槽容积的
分别是水槽容积的
1
．而在开一个出水孔和开两个出水孔的情况下，出水孔出的水
60
141110111
641()
和
701
．两次出的水之比是
:2:5，
66
说明水得放到孔所在的高度才能开始出水．
设进水
x
分 钟后开始出水，则有
(64x):[2(70x)]2:5
，解得
x40< br>．
那么一个出水孔的出水速度为
要想能够把水槽灌满，由于
111
．
(140)(6440)
6060360
11
6
， 所以最多可以打开5个出水孔．
60360
1

11

 5

160
(分钟)． 打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间为
40 


3

60360

【答案】
160
分钟
【巩固】 有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔
A
和
B
，已知两孔的排
水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水， 如果打开
A
孔，关闭
B
孔，那么经过20分
钟可将水箱注满，如果关 闭
A
孔，打开
B
孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过 分钟才能将水箱注满．
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 本题需要注意侧高线的不同位置上的两 个排水孔起作用的阶段不同，只有当水上升到其高度后排
水孔才开始排水，在此之前则是不排水的． < br>(法1)方程法．设进水速度为
x
，出水速度为
y
，立方体水箱的容积 为1．则
1

2
x(xy)20


33


12

x(xy)22

3< br>
3
解此类方程，可采用换元法．设
1
1
b
，原式 可以变形为：
a
，
xy
x
1

2
a b20


a18

33
，解得：

．

b24


1
a
2
b22

3

3
所以
x
1
111
，< br>y
．

18
182472
11111
所以，打 开两个排水孔注满水箱的时间为：
1824(2)26
(分钟)．
3331872
1
(法2)设单开进水管注满水箱的所需进水时间为
x
分钟， 同时开一个进水管与一个出水孔注满水
3
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 23 of 31

1
箱的所需的进水时间为
y
分钟．则
3

2xy20
，解得：
x6
，
y8
．
< br>x2y22

1
1111
以水箱的看作“1”，则进水速度为，出 水速度为

，
6
36824
1

11

所以灌满水箱最上层的需要
1

2

12
分钟．
3

624

那么总共需要
681226
(分钟)．
(法3)图示法．
20
22

如图所示，阴 影部分表示单开进水管，空白部分表示同开进水管与一个出水管，比较两图，可以
看出两图中上、下两格 的时间完全相同．
则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了
222 02
分钟．
所以，假设左图三格全黑——即单开进水管注满水箱，时间为
202 18
分钟，即进水管的进水
速度为
1
；
18
再假设右图 三格全白——即同开进水管与一个出水管注满水箱，时间为
22224
分钟，则其进
水速度为
1
111
，则一个出水管的出水速度为

．

24
182472
11111
所以，同时打开两排水管的进水时间为：
1824(2)26
(分钟)．
3331872
【答案】
26
分钟


六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 24 of 31

课堂检测

【随练6】 甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30 分钟打了A材料的
1
，乙40分钟打了B材料的
4
2
. A、B两份材料中， （填A或B）内容多.
7
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 因为两人速度一样，那么同样的时间内 打的字数是一样的，统一两人的时间，甲120分钟可以打
完A材料，乙120分钟可以打B材料的【答案】B
【随练7】 甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物 甲用10小时，乙用12
小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相 同．甲在
A
仓库，
乙在
B
仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将 两个仓库同时搬完．丙在
A
仓库搬了多长时间？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 因为
A
、
B
两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时
可以搬完 ．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是
6
，所以B材料内容多
7
11 1
::6:5:4
，所以甲每小时可以完
101215
161141
成大仓库工作量的

，丙每小时可以完成大仓库工作量的

．那么

865420865430
甲16小时完成了
A
仓库的
【答案】
6
小时
【随练8】 一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做 9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那
么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
1441
16
，丙在
A
仓库搬了
(1)6
小时．
205530
1
1
113
【解析】 方法一：对于工作效 率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=为两倍乙的工
8
9
18 72
作效率，所以乙的工作效率为
13
．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那 么丙的工作效率为
144
1
1311
－＝那么丙一个人来做，完成这项工作需 1÷=48天。
9
1444848
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、 丙)+(甲、丙)＝＋＋
1
8
1
9
1
2121
＝， 所以(甲，乙，丙)=÷2
72
18
72
＝
1
212121 1
，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝，
1441441 448
48
那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 25 of 31

【答案】48天
【随练9】 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做 完，
若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也
比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要
10
天，且三个人的工作效率各不相同，那么 这
项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 首先应确定按每一种顺序去做的时候最 后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后
一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、 甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、
丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙 、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，
1
那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完 成，这样有
甲乙乙丙甲
，可得
2
11
而按丙、甲、乙的顺序 去做，最后由乙做了半天来完成，这样有
甲乙丙甲乙
，
丙甲
；22
1
可得
丙乙
．那么
甲乙
，即甲、乙的工作效率 相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺
2
1131
序去做，最后一天是由甲完成 的．那么有
甲乙丙丙甲
，可得
乙甲
，
丙甲
．这
2242
1

31

4
项工作由甲、乙、丙三 人一起做，要用
1



1


 4
天．
9

10

42


4
【答案】
4
天
9
【随练10】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发 给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：
1
1
甲、乙两人合作6天 完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以
4
3
后三人合作5 天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
11
【解析】 根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为
6
；
318
111
乙、丙两人的工作效率之和为
(1)2
； < br>3412
111
甲、乙、丙三人的工作效率之和为
(1)(1)5< br>．
3410
分别可求得甲的工作效率为
111117
，乙的工作效率 为

，丙的工作效率为

1
112111791
，则甲 完成的工程量为：


65


，乙完成的工程量为：< br>

625


，

1180
丙完成的工程量为：
214119114


25


，三人所完成的工作量之比为
::33:91:56
．
45456018045
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 26 of 31

所以，甲应得
1800
339156
 330
元，乙应得
330910
元，丙应得
330560
元 ．
3391563333
【答案】甲应得
330
元，乙应得
9 10
元，丙应得
560
元

家庭作业

【作业11】 一项工程，甲单独做需要
30
天时间，甲、乙合作需要
12< br>天时间，如果乙单独做需要多少时
间？
【考点】工程问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位 ，那么甲每天完成总量的
1
，甲、乙合作每天完成总量的
30
1
11 11
，乙单独做每天能完成总量的

，所以乙单独做
120
天 能完成．
12
12302020
【答案】
20


【作业12】 一项工程，甲单独完成需要
12
天，乙单独完成需要
9
天．若甲先做若干天后乙接着做，共用
10
天完成，问甲做了几天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，甲的工作效率为
1
1
，乙的工作效率为，采用鸡兔 同笼问题的假设法，可知甲
12
9
111
做了
(101)( )4
天．
9912
【答案】
4
天
【作业13】 甲、 乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现
2
在甲、乙两人共同生产了
2
小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成
5
任务．问乙一共加工零件多少个？
【考点】工程问题 【难度】2星 【 题型】解答
11121184
【解析】 乙单独加工，每小时加工

. 甲调出后，剩下工作乙需做
(12)
时所以乙

8122458245
每小时加工零件
420
420+ 60＝480（个）．
【答案】480
2
842
，则
2
小时加工
25260
（个），所以乙一共加工零件
25
（个）
5
55
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 27 of 31

【作业14】 修筑一条高速公路。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、 乙、丁合作，120天可完工；若丙、
丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由 甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完
工？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯
【解析】 设这项工程为单位“1”. 则甲+乙+丙的工作效率为
为
11
，甲+乙+丁的工作效 率为。丙+丁的工作效率
90120
1
111
1111
。那么甲+乙 的工作效率为
(
，甲+乙+丙+丁的工作效率为.

)2
180
18014480
9
因此剩下的工程还需要
(1
【答案】
60
天

11
36)60
天.
14480
【作业15】
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五个人干一项工作，若
A
、
B
、< br>C
、
D
四人一起干需要6天完成；若
B
、
C
、
D
、
E
四人一起干需要8天完工；若
A
、
E两人一起干需要12天完工．那么，若
E
一人
单独干需要几天完工？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从题中可以看出，
A
、
B
、
C
、
D
四人每天完成总量的
1
，
B
、
C
、
D
、
E
四人每天完成总量
6
1
1
1

111

的，
A
、
E
两人每天完成总量的，可见，
E
一人每天完成总量的



2
，所
48
12
8

8126

以
E
一人单独干需要
1
【答案】
48
天

1
48
天．
48
【作业16】 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作 由甲先做了若干天，
然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙 做的天数
的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天， 丙就做3×2=6（天），甲做1天，完成工作量的
工作量的
1
，乙就完成
1 2
11
11111
3
，丙就完成工作量的
6
。共完成< br>36
。
12
天说明甲做
1824
121824 22
了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成这项工作用了20天.
解 法二：本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设
全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
72
天。
六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版 Page 28 of 31
1 36
20
614336

【答案】
20
天

【作业17】 一件工程甲单独做
50
小时完成，乙单独做
30
小时完成．现在甲先做
1
小时，然后乙做
2
小时，
再由 甲做
3
小时，接着乙做
4
小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时 ？
【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：
此时剩下的工作量为
1(< br>135716246820
，，

50503030
16201112
)
．还需甲做

(小时)，
5
所 以共需
(1357)(2468)
22
36
(小时)．
33
2
【答案】
36
小时
3

【作业18】 一项工程，乙单独做要
17
天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这 样交替轮流做，那么恰
好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮 流的做法多
用半天完工．问：甲单独做需要几天？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那 么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流
做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇 数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流
做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲 、乙工作效率分别为
V
1
和
V
2
，那么
1
V
1
V
2
V
1
，所以
V
1
 2V
2
，乙单独做要用
17
天，甲的工作效率是乙的
2
倍， 所以甲单独做需要
2
1728.5
天．
【答案】
8.5
天

【作业19】 蓄水池有一条进水管和一条排 水管．要灌满一池水，单开进水管需
5
小时；排光一池水，单
开排水管需
3< br>小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开
1
小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 法一：
112121
，说明排水开了
3
小时后（实际加上进
1
小时排水比
1
小 时进水多

，
3
351521510
水3小时，已经过去6
小时了），水池还剩一池子水的
再过
1
小时，水池里的水为一池子水的
1
，
10
113

，
10510
Page 29 of 31 六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版

把这些水排完需要
319

小时，不到1小时，
10310
99
7
小时
7
小时
54
分．
1010
所以共需要
61
法二：
112211
1< br>小时排水比
1
小时进水多

，
4
，
351515230
说明
8
小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的< br>排一池子需要
3
小时，排一池子水的
所以实际需要
8
【答案 】
7
小时
54
分

【作业20】 如图，有一个正方体水 箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个
进水管给空水箱灌水，若三个出水孔 全关闭，则需要用
1
个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，
则需要用
1小时
5
分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用
72
分钟将水箱灌 满．那么，
若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？
1
，
30
1
11
需要
3
小时，
30
30 10
19
7
小时
7
小时
54
分．
1010

【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 设进水管每小时进水单位
1
，那么水箱灌满后水的总量为
1
，进水管每分钟进水量为
1
．由于打
60
开一个出水孔， 则需要用
65
分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这
65
分钟内的出水量等于 进水
管
5
分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：
孔时两个孔 出水量为：
51

，同理可知打开两个出水
6012
121

，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了
72657
分
60 5
111
钟水，所以一个孔每分钟出水量为：
(2)72
，那么开 一个孔的实际出水时间为：
512420
11
35
(分钟)．这说明在前 面的
653530
分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高
12420
度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达
到出水 孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水．
1
11
30
，即在进 水管进了的水
2
602
Page 30 of 31 六年级奥数.应用题. 工程问题（ABC级）.学生版

后出水孔才开始出水，此时还需进
1
的水．所以，开三个出水孔所需的时间为：
2
30
111
(分钟
 (3)82.5
)．
260420
【答案】
82.5
分钟











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