车辆工程就业前景-圣诞节习俗

小学数学奥数基础教程(六年级)




本教程共30讲
运筹学初步（二）
本讲主要研究分配工作问题。
实际工作中经常会碰到分配工作的问题。由于工作任务的性质不同，
每个人的工作能力不同，因而完成这 些任务所需的时间和花费的代价也不
同。我们希望通过合理分配工作，使所用时间最少或花费代价最小。
例1 甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产
上衣，14天做裤子 ，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙
厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生 产720套衣服。两厂合并
后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？
分析与解 ：应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长。甲厂生产上
衣和裤子的时间比为8∶7，乙厂为2∶3， 可见甲厂善于生产裤子，乙厂
善于生产上衣。
因为甲厂 30天可生产裤子 448÷1 4×30＝960（条），乙厂30天可
生产上衣720÷12×30=1800（件），960＜18 00，所以甲厂应专门生产裤
子，剩下的衣裤由乙厂生产。
设乙厂用x天生产裤子，用（30-x）天生产上衣。由甲、乙两厂生产
的上衣与裤子一样多，可得方程
960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），
960＋40x＝1800-60x，
100x＝840，
x=8.4（天）。
两厂合并后每月最多可生产衣服
960＋40×8.4＝1296（套）。
例2 某县农机厂金工车间共有77个工人。已知每天 每个工人平均可
加工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个。每3个甲种部件、

1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。问：分别安排多少人加工甲、
乙、丙三种部件时 ，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？
分析与解：如果采用直接假设，那么就要用 三个字母分别代替加工甲、
乙、丙三种部件的人数，这已经超出了我们的知识范围。由题目条件看出，< br>每套成品中，甲、乙、丙三种部件的件数之比是3∶1∶9，因为是配套生
产，所以生产出的甲、 乙、丙三种部件的数量之比也应是3∶1∶9。
设每天加工乙种部件x个，则加工甲种部件3x个，丙种部件9x个。
从而




加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。
例3 有4辆汽车要派往五个地点运送货物，右图○中的数字分别表
示五个地点完成任务需 要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。如
果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及 各点的装卸工人
数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？

分 析与解：可用试探法。因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，
所以如果每辆车跟5个工人，那么每辆 车到达任何一个地点，都能正常进
行装卸。由此得到，跟车人数的试探范围是1～5个人。
若每车跟车5人，则各点不用安排人，共需20人；
若每车跟车4人，则原来需5人的点还需各安排1人，共需18人；
若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的
点还需各安排1人，共需17人；
同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19
人。
可 见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需
4人的点安排1人，这时所用的装卸工 总人数最少，需17人。
在例3中，我们采用试探法，逐一试算，比较选优。事实上，此类题目有更简捷的解法。假设有m个地点n辆车（n≤m），m个地点需要的人
数按从多到少排列为
A
1
≥A
2
≥A
3
≥…≥A
m
，
则需要的最少总人数就是前n个数之和，即
A
1
＋A
2
＋…＋A
n
。
这时每车的跟车人数可以是A
n＋1
至A
n
之间的任一数。具体到例3，
5个点4辆车，5个点中需要人数最多的4个数之和，即5＋5＋4＋3=17
（人）就是需要 的最少总人数，因为A
4
=A
5
=3，所以每车跟车3人。若在
例3 中只有2辆车，其它条件不变，则最少需要 5＋5=10（人），因为
A
2
=5，A
3
=4，所以每车跟车5人或4人。当每车跟车5人时，所有点不再
安排人；当每车跟 车4人时，需要5人的两个点各安排1人，其余点不安
排人。
注：如果车辆数大于地点数，即n＞m，则跟车人数是0，各点需要人
数之和就是总共需要的最少人数。

例4 有17根11.1米长的钢管，要截成1.0米和0.7米的甲、乙两
种长度的管子，要求截成的甲、乙两种管子的数量一样多。问：最多能截
出甲、乙两种管子各多少根？
分析与解：要想尽量多地截出甲、乙两种管子，残料应当尽量少。一
根钢管全部截成1.0 米的，余下0.1米，全部截成0.7米的，余下0.6
米。如果这样截，再要求甲、乙管数量相等，那 么残料较多。
怎样才能减少残料，甚至无残料呢？我们可以将1.0米的和0.7米的
在 一根钢管上搭配着截，所得残料长度（单位：米）见下表：

由上表看出，方法3和方法 10没有残料，如果能把这两种方法配合
起来，使截出的甲、乙两种管子数量相等，那么就是残料最少的 下料方案
了。
设按方法3截x根钢管，按方法 10截 y根钢管。这样共截得甲管（9x
＋2y）根，乙管（3x＋13y）根。由甲、乙管数量相等，得到
9x＋2y＝3x＋13y，
9x-3x＝13y-2y，
6x=11y。
由此得到x∶y= 11∶6。用方法3截11根钢管，用方法10截6根钢
管是符合题意的截法，共可截得甲、乙管各
9×11＋2×6=111（根），
或3×11＋13×6=111（根）。
例5 给甲、乙二人分配A，B两项工作，他们完成这两项工作所需要
的时间如下表：

怎样分配工作才能使完成这两项工作所需的总时间最少？
分析与解：因为不同的人要做不同的工作，所以上表中不同行、不同
列的两数之和对应一种方案，共两种 ：
（1）甲做 A、乙做 B，需要 7＋6=13（时）；
（2）甲做 B、乙做 A，需要 4＋8=12（时）。
显然后一种方案优于前一种方案。
为了能够处理更复杂的问题，我们将上例的数量关系尽量简化。
如果把表中第一行的两数都减去该 行的最小数7，变成0和1，那么
上面（1）（2）各式也各减少7，不影响它们之间的大小关系，即不 影响
最优方案的确定。
同理，第二行都减去该行的最小数4，变成0和2，也不影响最优方
案的确定。
经上述变换后，原表变成左下表：


此时，再将第二列都减去该列的最小数1，变成0和1，同样不影响
最优方案的确定，原表变为右上表。
不同行、不同列的两个数之和代表一种方案，因为

0＋0＜0+1，
所以最优方案为乙做A、甲做B。上面的化简过程可表示为：

总结上面的方法：对于n个人n项工作的合理分配问题：
（1）先将各行都减去该行中最小的数；
（2）再将各列都减去该列中最小的数；
（3）最后选择不在同一行，也不在同一列的n个0即可。
在实施上述变换后，如果仍选不出n个 不同行也不同列的0，因为我
们的目的是选取一组不同行、不同列的n个数，使这n个数之和尽量小，< br>既然得不到n个0，可用表中最小的数代替0（见例6）。
例6 给甲、乙、丙三人分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工
作的时间如下表：

完成这三项工作所需总时间最少是多少？
分析与解：

因为没有三个不同 行也不同列的0，我们用右下角的1代替0，此时，
○内的三个数就是我们要找的最佳方案，即甲做B、 乙做A、丙做C。所
需总时间为
9＋7＋9=25（时）。

练习28
1.某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。已知两个车间都生产
这种


现在两个车间联合起来生产，每月最多能生产多少套健身球？
2.某车间有铣床5台、车 床3台、自动机床1台，生产一种由甲、乙
两种零件各1个组成的产品。每台铣床每天生产甲零件10个 ，或者生产
乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；
每台自动 机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个。这些机器每
天最多可生产多少套产品？
3.车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。某天
过河的车、马数目的比为2∶9， 马、人数目的比为3∶7，共收得渡费945
元。问：这天渡河的车、马、人的数目各多少？
4.有4辆汽车要派往七个地点运送货物，右图中的数字分别表示这七
个地点完成任务需要的装卸工人数 。如果装卸工可以跟车，那么最少要安
排多少名装卸工才能完成任务？

5.有 一批长4.3米的条形钢材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种
毛坯，要求截出的甲、乙两种毛坯 数量相同。如何下料才能使残料最少？
6.用10米长的钢筋做原材料，截取3米和4米长的钢筋各100根，
至少要用多少根原材料？

7.给甲、乙、丙分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工作的时间
如 下表。怎样分配工作才能使完成这三项工作所需总时间最少？最少用多
少时间？

答案与提示 练习28
1.600套。




因为450＜900，所以应安排甲车间专门生产黑球，剩下的由乙车间
生 产。乙车间生产450个白球后，剩下的时间还能生产白球900-450=450
（个），因为乙车间 生产1个黑球与生产2个白球的时间相同，450÷（1
＋2）=150，所以这段时间还能生产黑、白 球各150个。
两车间联合生产每月最多生产（450＋150）=600（套）。
2.100套。


甲零件。安排自动车床专门生产乙零件，车床专门生产甲零件，铣床
两种零件都生产，并使其配套。

自动车床一天生产乙零件80个，车床一天生产甲零件20×3=60（个）。铣床一天可生产10×5=50（个）甲零件，补上车床与自动车床的差后，
还有生产50-20= 30（个）甲零件的时间，这个时间可生产甲、乙零件各
20个。
所以，每天最多生产80＋20=100（套）产品。
3.42辆车，189匹马，441个人。
解：这天过河的车、马、人的数量之比是2∶9∶21。以2车9马21
人为一组，每组收渡费
3×2＋2×9＋1×21=45（元）。
这天共渡河945÷45=21（组），由此得到，这天渡河的数量为
车：2×21=42（辆）；
马：9×21=189（匹）；
人：21×21=441（个）。
4.26人。提示：每车跟5人。
5.解：每根钢材有下表所示的7种截法：

无残料的有第2和第6两种方法。用第2种 方法的条形钢材数量与用
第6种方法的条形钢材数量之比是8∶3，就可使截出的甲、乙两种毛坯
的数量相同，且无残料。
6.75根。
解：有三种截法：
（1）截成3米、3米、4米，无残料；
（2）截成3米、3米、3米，残料1米；

（3）截成4米、4米，残料2米。
尽量用方法（1）。50根用方 法（1），截出3米的100根，4米的
50根，还差50根4米的。再用方法（2）截25根原材料， 截出50根4
米的。共用原材料50＋25=75（根）。
7.20时。
解：

由此得到，丙做A，甲做B，乙做C。所需时间为6＋6＋8=20（时）。

小学数学奥数基础教程(六年级)




本教程共30讲
运筹学初步（二）
本讲主要研究分配工作问题。
实际工作中经常会碰到分配工作的问题。由于工作任务的性质不同，
每个人的工作能力不同，因而完成这些任务所需的时间和花费的代价也不
同。我们希望通过合理 分配工作，使所用时间最少或花费代价最小。
例1 甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂 每月用16天生产
上衣，14天做裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙
厂 每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服。两厂合并
后，每月（按30天计算）最 多能生产多少套衣服？
分析与解：应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长。甲厂生产上
衣和裤子的时间比为8∶7，乙厂为2∶3，可见甲厂善于生产裤子，乙厂
善于生产上衣。
因为甲厂 30天可生产裤子 448÷14×30＝960（条），乙厂30天可
生产上衣720÷1 2×30=1800（件），960＜1800，所以甲厂应专门生产裤
子，剩下的衣裤由乙厂生产。
设乙厂用x天生产裤子，用（30-x）天生产上衣。由甲、乙两厂生产
的上衣与裤子一样多，可得方程
960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），
960＋40x＝1800-60x，
100x＝840，
x=8.4（天）。
两厂合并后每月最多可生产衣服
960＋40×8.4＝1296（套）。
例2 某县农机厂金工车间共有77个工人。已知每天 每个工人平均可
加工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个。每3个甲种部件、

1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。问：分别安排多少人加工甲、
乙、丙三种部件时 ，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？
分析与解：如果采用直接假设，那么就要用 三个字母分别代替加工甲、
乙、丙三种部件的人数，这已经超出了我们的知识范围。由题目条件看出，< br>每套成品中，甲、乙、丙三种部件的件数之比是3∶1∶9，因为是配套生
产，所以生产出的甲、 乙、丙三种部件的数量之比也应是3∶1∶9。
设每天加工乙种部件x个，则加工甲种部件3x个，丙种部件9x个。
从而




加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。
例3 有4辆汽车要派往五个地点运送货物，右图○中的数字分别表
示五个地点完成任务需 要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。如
果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及 各点的装卸工人
数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？

分 析与解：可用试探法。因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，
所以如果每辆车跟5个工人，那么每辆 车到达任何一个地点，都能正常进
行装卸。由此得到，跟车人数的试探范围是1～5个人。
若每车跟车5人，则各点不用安排人，共需20人；
若每车跟车4人，则原来需5人的点还需各安排1人，共需18人；
若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的
点还需各安排1人，共需17人；
同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19
人。
可 见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需
4人的点安排1人，这时所用的装卸工 总人数最少，需17人。
在例3中，我们采用试探法，逐一试算，比较选优。事实上，此类题目有更简捷的解法。假设有m个地点n辆车（n≤m），m个地点需要的人
数按从多到少排列为
A
1
≥A
2
≥A
3
≥…≥A
m
，
则需要的最少总人数就是前n个数之和，即
A
1
＋A
2
＋…＋A
n
。
这时每车的跟车人数可以是A
n＋1
至A
n
之间的任一数。具体到例3，
5个点4辆车，5个点中需要人数最多的4个数之和，即5＋5＋4＋3=17
（人）就是需要 的最少总人数，因为A
4
=A
5
=3，所以每车跟车3人。若在
例3 中只有2辆车，其它条件不变，则最少需要 5＋5=10（人），因为
A
2
=5，A
3
=4，所以每车跟车5人或4人。当每车跟车5人时，所有点不再
安排人；当每车跟 车4人时，需要5人的两个点各安排1人，其余点不安
排人。
注：如果车辆数大于地点数，即n＞m，则跟车人数是0，各点需要人
数之和就是总共需要的最少人数。

例4 有17根11.1米长的钢管，要截成1.0米和0.7米的甲、乙两
种长度的管子，要求截成的甲、乙两种管子的数量一样多。问：最多能截
出甲、乙两种管子各多少根？
分析与解：要想尽量多地截出甲、乙两种管子，残料应当尽量少。一
根钢管全部截成1.0 米的，余下0.1米，全部截成0.7米的，余下0.6
米。如果这样截，再要求甲、乙管数量相等，那 么残料较多。
怎样才能减少残料，甚至无残料呢？我们可以将1.0米的和0.7米的
在 一根钢管上搭配着截，所得残料长度（单位：米）见下表：

由上表看出，方法3和方法 10没有残料，如果能把这两种方法配合
起来，使截出的甲、乙两种管子数量相等，那么就是残料最少的 下料方案
了。
设按方法3截x根钢管，按方法 10截 y根钢管。这样共截得甲管（9x
＋2y）根，乙管（3x＋13y）根。由甲、乙管数量相等，得到
9x＋2y＝3x＋13y，
9x-3x＝13y-2y，
6x=11y。
由此得到x∶y= 11∶6。用方法3截11根钢管，用方法10截6根钢
管是符合题意的截法，共可截得甲、乙管各
9×11＋2×6=111（根），
或3×11＋13×6=111（根）。
例5 给甲、乙二人分配A，B两项工作，他们完成这两项工作所需要
的时间如下表：

怎样分配工作才能使完成这两项工作所需的总时间最少？
分析与解：因为不同的人要做不同的工作，所以上表中不同行、不同
列的两数之和对应一种方案，共两种 ：
（1）甲做 A、乙做 B，需要 7＋6=13（时）；
（2）甲做 B、乙做 A，需要 4＋8=12（时）。
显然后一种方案优于前一种方案。
为了能够处理更复杂的问题，我们将上例的数量关系尽量简化。
如果把表中第一行的两数都减去该 行的最小数7，变成0和1，那么
上面（1）（2）各式也各减少7，不影响它们之间的大小关系，即不 影响
最优方案的确定。
同理，第二行都减去该行的最小数4，变成0和2，也不影响最优方
案的确定。
经上述变换后，原表变成左下表：


此时，再将第二列都减去该列的最小数1，变成0和1，同样不影响
最优方案的确定，原表变为右上表。
不同行、不同列的两个数之和代表一种方案，因为

0＋0＜0+1，
所以最优方案为乙做A、甲做B。上面的化简过程可表示为：

总结上面的方法：对于n个人n项工作的合理分配问题：
（1）先将各行都减去该行中最小的数；
（2）再将各列都减去该列中最小的数；
（3）最后选择不在同一行，也不在同一列的n个0即可。
在实施上述变换后，如果仍选不出n个 不同行也不同列的0，因为我
们的目的是选取一组不同行、不同列的n个数，使这n个数之和尽量小，< br>既然得不到n个0，可用表中最小的数代替0（见例6）。
例6 给甲、乙、丙三人分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工
作的时间如下表：

完成这三项工作所需总时间最少是多少？
分析与解：

因为没有三个不同 行也不同列的0，我们用右下角的1代替0，此时，
○内的三个数就是我们要找的最佳方案，即甲做B、 乙做A、丙做C。所
需总时间为
9＋7＋9=25（时）。

练习28
1.某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。已知两个车间都生产
这种


现在两个车间联合起来生产，每月最多能生产多少套健身球？
2.某车间有铣床5台、车 床3台、自动机床1台，生产一种由甲、乙
两种零件各1个组成的产品。每台铣床每天生产甲零件10个 ，或者生产
乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；
每台自动 机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个。这些机器每
天最多可生产多少套产品？
3.车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。某天
过河的车、马数目的比为2∶9， 马、人数目的比为3∶7，共收得渡费945
元。问：这天渡河的车、马、人的数目各多少？
4.有4辆汽车要派往七个地点运送货物，右图中的数字分别表示这七
个地点完成任务需要的装卸工人数 。如果装卸工可以跟车，那么最少要安
排多少名装卸工才能完成任务？

5.有 一批长4.3米的条形钢材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种
毛坯，要求截出的甲、乙两种毛坯 数量相同。如何下料才能使残料最少？
6.用10米长的钢筋做原材料，截取3米和4米长的钢筋各100根，
至少要用多少根原材料？

7.给甲、乙、丙分配A，B，C三项工作，他们完成这三项工作的时间
如 下表。怎样分配工作才能使完成这三项工作所需总时间最少？最少用多
少时间？

答案与提示 练习28
1.600套。




因为450＜900，所以应安排甲车间专门生产黑球，剩下的由乙车间
生 产。乙车间生产450个白球后，剩下的时间还能生产白球900-450=450
（个），因为乙车间 生产1个黑球与生产2个白球的时间相同，450÷（1
＋2）=150，所以这段时间还能生产黑、白 球各150个。
两车间联合生产每月最多生产（450＋150）=600（套）。
2.100套。


甲零件。安排自动车床专门生产乙零件，车床专门生产甲零件，铣床
两种零件都生产，并使其配套。

自动车床一天生产乙零件80个，车床一天生产甲零件20×3=60（个）。铣床一天可生产10×5=50（个）甲零件，补上车床与自动车床的差后，
还有生产50-20= 30（个）甲零件的时间，这个时间可生产甲、乙零件各
20个。
所以，每天最多生产80＋20=100（套）产品。
3.42辆车，189匹马，441个人。
解：这天过河的车、马、人的数量之比是2∶9∶21。以2车9马21
人为一组，每组收渡费
3×2＋2×9＋1×21=45（元）。
这天共渡河945÷45=21（组），由此得到，这天渡河的数量为
车：2×21=42（辆）；
马：9×21=189（匹）；
人：21×21=441（个）。
4.26人。提示：每车跟5人。
5.解：每根钢材有下表所示的7种截法：

无残料的有第2和第6两种方法。用第2种 方法的条形钢材数量与用
第6种方法的条形钢材数量之比是8∶3，就可使截出的甲、乙两种毛坯
的数量相同，且无残料。
6.75根。
解：有三种截法：
（1）截成3米、3米、4米，无残料；
（2）截成3米、3米、3米，残料1米；

（3）截成4米、4米，残料2米。
尽量用方法（1）。50根用方 法（1），截出3米的100根，4米的
50根，还差50根4米的。再用方法（2）截25根原材料， 截出50根4
米的。共用原材料50＋25=75（根）。
7.20时。
解：

由此得到，丙做A，甲做B，乙做C。所需时间为6＋6＋8=20（时）。