鹤壁职业学院-往事依依

第一讲 数形结合解题
兴趣篇：
1、数形结合的思想。
2、用长方形的面积来解决应用题。
3、用面积来证明初中的公式。
4、用柳卡图来解答行程问题。
长方形是一种几何图形，其面积公式为：长×宽＝面积.在许 多应用问题中，
也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×
时间＝路程等.如果我们用长方形的长表示一个量，用长方形的宽表示另一个
量，那么面积则表示这两个 量的积.这样一来，抽象的数量关系在长方形图中变
得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多 方便.
1、用小学知识证明。
a
2
− b
2
=(a+b)( a−b) (a+b)( c+d)=ac+ad+bc+bd



(a+b)
2
= a
2
+ b
2
+2ab (a+b)c=ac+bc



(a+b+c)
2
= a
2
+ b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc



1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n
2

1
＋2＋3＋4＋……＋n
= n(n＋1)(2n＋1)÷6
22222



2、 46×64=



3、有三组数：A组为0.6 0.9 1.5 B组为3.2 4.3 2.5
（1）从每一组数中选一个数，再相乘会得到多少个积。


（2）求所有的积的和是多少。（用小学知识说明）



4、全 班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每
条船正好坐6人.问全班有多 少人？





5、小旭有10分和20分邮票共18张，面值2.80元。两种邮票各多少张？




6、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走 下
去将迟到3分钟，于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果提前3分钟.这个
学生家到 学校有多远？

7、甲自行车每小时行15千米，乙自行车每小时行12千米 。乙先行1.5小时，问几
小时后甲可追上乙？





8、一正方形的一边减少五分之一，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方
形的面积与原 正方形的面积相等。原正方形的边长是多少米？





竞赛篇（柳卡图）
1、什么是柳卡图？柳卡图解决什么问题？






2、有一路电车自甲站开往乙站，每5分钟发一趟，全程要 15分钟．有一人从乙站
骑自行车沿电车路线去甲站，出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到< br>10辆迎面开来的电车才到甲站，到站时恰好有一辆电车从甲站开出．问他从乙
站到甲站共用了多 少分钟？




3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速
度是15 千米每小时，乙车的速度是35千米每小时，并且甲、乙两车第三次相
遇（两车同时到达同一地点叫相遇 ）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100
千米，那么，A，B两地之间的距离等于多少千米？

4、（2009年迎 春杯复赛高年级组）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100
千米处，甲船从A地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船
到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米秒，且 两船在静水中的速度
相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是
米秒。







5、男、女两名运动员在长360米的斜坡AB（A为坡顶、B为坡底）上跑步，二人同
时从坡顶 出发，在AB间往返奔跑，已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡
速度是每秒5米，女运动员上坡速度 是每秒2米，下坡速度是每秒3米，那么
两人第一次迎面相遇与第二次迎面相遇的地点相距 米。





甲乙二人分别从A、B两地同时出发，在 A、B之间往返跑步，甲每秒跑2米，乙
每秒跑3米。如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是1 60米，那么A、B
之间的距离是多少米？



6、某次数学竞 赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为
二等奖，这样得二等奖的学生的平 均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分
提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分 ?

7、 幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，
甲班每个小孩比乙班每个小 孩少分3个枣.乙班每个小孩比丙班每个小孩少分
5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙 班总共多分5个枣，问三
个班总共分了多少个枣？





8、两人相约0点到1点在某地会面，先到者等候另一个人10分钟，过时就离开。
假设两人等可能在0点到1点内任一时刻到达，求两个人能会面的概率。




甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中 始
终没有领先过，那么两队的入球次序共有________种不同的可能。



如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？（注 ：
路线相同步骤不同，认为是不同走法。）

公园的门票1元1张,每人限购1张. 现在有10个小朋友排队购买,其中5个小朋友只有1元
的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票 员没有准备零钱.10个小朋友排队,不同的排队方法
共有10!=3628800(种).问:其中有 多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?

小学六年级数学测试题

1.算式
(9
1



2
7
1
6
5
1
12
3< br>1
20
1
1
30
)12
的计算结果是_____ ____．
2.将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的_________倍．



3.一辆 玩具汽车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是
无人买；第三天再降价3 60元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么
这辆玩具汽车的进价是________ _元．



4.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘 米的
长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油
在水的上方）．如果在水槽中 放入一个长、宽、高分别为8厘米、
水
油
8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是_________厘米．



5．将一个3位数交换最后两位的数码，再与原来的3位数相加，结果得到1187. 这
样的三位数是 .

6.一个电子钟 表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那
么2011年最后一个 能被101整除的日子是
2011ABCD
，那么
ABCD
_______ __．



7.甲车由A地开往B地，同时乙车也从B地开往A地．甲车 速度是每小时80千米，
乙车速度是每小时70千米．甲车在中途C地停车，15分钟后乙车到达C地， 这时
甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB两地相距_________千米．




8.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔 地连线，可以连
出两个正方形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．

小学六年级数学测试题参考答案

1.算式
(9
1
2
7
1
6
5
1
12
3
1< br>20
1
1
30
)12
的计算结果是_________．
答案：310
1
(9
2
1
7
6
1
5
12
3
11
1)
2030
1
2
(1
1
2
12

1
3

13

1
4

1
4

1
5
1
5

1
6
解析：
(97531)12
310

)12
30010

2.将棱长为5的大正方体切割成125个棱 长为1的小正方体．这些小正方体的表面
积总和是原大正方体表面积的_________倍．
答案：5
解析：125个小正方体的表面积总和等于750，原大正方体表面积等于 150，因此
小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的5倍．

3.一辆玩具汽 车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是
无人买；第三天再降价360元 ，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么
这辆玩具汽车的进价是_________元．
答案：1000
解析：设进价为“1”，则第一天定价为“2”，第二天定价为“1 .8”，最终售价为
“1.44”．“1.8”与“1.44”的差价等于360元，可知进价“1”= 1000元．


4.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米
的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油
（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别
为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是___厘米．

水
油

答案：7
解析：铁块被放入以后，“水层”的底面积变 成了128平方厘米，“水层”高度变
成了9厘米，说明9厘米高的铁块没入水中，3厘米高的铁块浸入 油中．“油层”增
加的体积是
388192
立方厘米，增加的高度是
1 9216121
厘米．因此“油层”
的高度是7厘米．

5．将一个3位数交换最后两位的数码，再与原来的3位数相加，结果得到1187. 这
样的三位数是 .
答：589和598.
解: 注意 ，所求的第一个数码是5.因为如果它小于5，那么两数的和小于1000，
而如果它大于5，那么它们 的和大于或等于1200.所求两数末位数码的和可以等于7
或17.在第一种情况两数和最末两位为7 7，不对. 和为17只能由数码8和9给出.
由此得出两个可能的答案.

6. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那
么2011 年最后一个能被101整除的日子是
2011ABCD
，那么
ABCD
__ _______．





答案：1221
解析：20111231÷101＝199121„10；所以
ABCD
＝123 1－10＝1221．

7. 甲车由A地 开往B地，同时乙车也从B地开往A地．甲车速度是每小时80千米，
乙车速度是每小时70千米．甲车 在中途C地停车，15分钟后乙车到达C地，这时
甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB两 地相距_________千米．





答案：140
解析：设全长为x千米，则
x140
．
x< br>70

x
80

15
60
，解得


8.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边
形的8个顶点间隔地连线，可以 连出两个正方
形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．


答案：288

解析：如下左图，记AD = a，由对称性知，DB = a，
BC = a．取E为DC中点，连接BE，将△ABC分成直角三角形ABE和等腰直角三
角 形BEC．四个△BEC可以拼成一个边长a的正方形．
记BE = b，则CE = a，DE = a
由AE = a + b，BE = b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个
以AB为边长的正方形（如下右弦图）．
b
a
D
A
E
B
C
a
a
a
b
b
b

题中阴影可看做8个△ABE再加上8个 △BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC
拼成边长为12的正方形，因此本题答案为12
2
×2＝288平方厘米．


周老师的另解 连接AD，作
DPBC
于P.
设DP=h，则由正方形计算面积得
h
2
72.

三角形ABC面积=三角形BCD面积=
6h,

三角形ACD面积=
(122h)h(6h)h.

2
1

所以
因此
DO
BO

S
ACD
S
ABC

6h

(6h)h6h

6h
6
.

DO
BD12h

6h
12h
S
BCD

72

所以 三角形COD面积=


因此阴影面积=
836


6h
12h
6h
36h6h
12h
2

36h6
12h
36(h12)
36.

12h
288
（平方厘米）．

第一讲 数形结合解题
兴趣篇：
1、数形结合的思想。
2、用长方形的面积来解决应用题。
3、用面积来证明初中的公式。
4、用柳卡图来解答行程问题。
长方形是一种几何图形，其面积公式为：长×宽＝面积.在许 多应用问题中，
也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×
时间＝路程等.如果我们用长方形的长表示一个量，用长方形的宽表示另一个
量，那么面积则表示这两个 量的积.这样一来，抽象的数量关系在长方形图中变
得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多 方便.
1、用小学知识证明。
a
2
− b
2
=(a+b)( a−b) (a+b)( c+d)=ac+ad+bc+bd



(a+b)
2
= a
2
+ b
2
+2ab (a+b)c=ac+bc



(a+b+c)
2
= a
2
+ b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc



1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n
2

1
＋2＋3＋4＋……＋n
= n(n＋1)(2n＋1)÷6
22222



2、 46×64=



3、有三组数：A组为0.6 0.9 1.5 B组为3.2 4.3 2.5
（1）从每一组数中选一个数，再相乘会得到多少个积。


（2）求所有的积的和是多少。（用小学知识说明）



4、全 班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每
条船正好坐6人.问全班有多 少人？





5、小旭有10分和20分邮票共18张，面值2.80元。两种邮票各多少张？




6、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走 下
去将迟到3分钟，于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果提前3分钟.这个
学生家到 学校有多远？

7、甲自行车每小时行15千米，乙自行车每小时行12千米 。乙先行1.5小时，问几
小时后甲可追上乙？





8、一正方形的一边减少五分之一，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方
形的面积与原 正方形的面积相等。原正方形的边长是多少米？





竞赛篇（柳卡图）
1、什么是柳卡图？柳卡图解决什么问题？






2、有一路电车自甲站开往乙站，每5分钟发一趟，全程要 15分钟．有一人从乙站
骑自行车沿电车路线去甲站，出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到< br>10辆迎面开来的电车才到甲站，到站时恰好有一辆电车从甲站开出．问他从乙
站到甲站共用了多 少分钟？




3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速
度是15 千米每小时，乙车的速度是35千米每小时，并且甲、乙两车第三次相
遇（两车同时到达同一地点叫相遇 ）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100
千米，那么，A，B两地之间的距离等于多少千米？

4、（2009年迎 春杯复赛高年级组）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100
千米处，甲船从A地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船
到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米秒，且 两船在静水中的速度
相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是
米秒。







5、男、女两名运动员在长360米的斜坡AB（A为坡顶、B为坡底）上跑步，二人同
时从坡顶 出发，在AB间往返奔跑，已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡
速度是每秒5米，女运动员上坡速度 是每秒2米，下坡速度是每秒3米，那么
两人第一次迎面相遇与第二次迎面相遇的地点相距 米。





甲乙二人分别从A、B两地同时出发，在 A、B之间往返跑步，甲每秒跑2米，乙
每秒跑3米。如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是1 60米，那么A、B
之间的距离是多少米？



6、某次数学竞 赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为
二等奖，这样得二等奖的学生的平 均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分
提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分 ?

7、 幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，
甲班每个小孩比乙班每个小 孩少分3个枣.乙班每个小孩比丙班每个小孩少分
5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙 班总共多分5个枣，问三
个班总共分了多少个枣？





8、两人相约0点到1点在某地会面，先到者等候另一个人10分钟，过时就离开。
假设两人等可能在0点到1点内任一时刻到达，求两个人能会面的概率。




甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中 始
终没有领先过，那么两队的入球次序共有________种不同的可能。



如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？（注 ：
路线相同步骤不同，认为是不同走法。）

公园的门票1元1张,每人限购1张. 现在有10个小朋友排队购买,其中5个小朋友只有1元
的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票 员没有准备零钱.10个小朋友排队,不同的排队方法
共有10!=3628800(种).问:其中有 多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?

小学六年级数学测试题

1.算式
(9
1



2
7
1
6
5
1
12
3< br>1
20
1
1
30
)12
的计算结果是_____ ____．
2.将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的_________倍．



3.一辆 玩具汽车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是
无人买；第三天再降价3 60元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么
这辆玩具汽车的进价是________ _元．



4.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘 米的
长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油
在水的上方）．如果在水槽中 放入一个长、宽、高分别为8厘米、
水
油
8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是_________厘米．



5．将一个3位数交换最后两位的数码，再与原来的3位数相加，结果得到1187. 这
样的三位数是 .

6.一个电子钟 表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那
么2011年最后一个 能被101整除的日子是
2011ABCD
，那么
ABCD
_______ __．



7.甲车由A地开往B地，同时乙车也从B地开往A地．甲车 速度是每小时80千米，
乙车速度是每小时70千米．甲车在中途C地停车，15分钟后乙车到达C地， 这时
甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB两地相距_________千米．




8.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔 地连线，可以连
出两个正方形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．

小学六年级数学测试题参考答案

1.算式
(9
1
2
7
1
6
5
1
12
3
1< br>20
1
1
30
)12
的计算结果是_________．
答案：310
1
(9
2
1
7
6
1
5
12
3
11
1)
2030
1
2
(1
1
2
12

1
3

13

1
4

1
4

1
5
1
5

1
6
解析：
(97531)12
310

)12
30010

2.将棱长为5的大正方体切割成125个棱 长为1的小正方体．这些小正方体的表面
积总和是原大正方体表面积的_________倍．
答案：5
解析：125个小正方体的表面积总和等于750，原大正方体表面积等于 150，因此
小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的5倍．

3.一辆玩具汽 车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是
无人买；第三天再降价360元 ，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么
这辆玩具汽车的进价是_________元．
答案：1000
解析：设进价为“1”，则第一天定价为“2”，第二天定价为“1 .8”，最终售价为
“1.44”．“1.8”与“1.44”的差价等于360元，可知进价“1”= 1000元．


4.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米
的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油
（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别
为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是___厘米．

水
油

答案：7
解析：铁块被放入以后，“水层”的底面积变 成了128平方厘米，“水层”高度变
成了9厘米，说明9厘米高的铁块没入水中，3厘米高的铁块浸入 油中．“油层”增
加的体积是
388192
立方厘米，增加的高度是
1 9216121
厘米．因此“油层”
的高度是7厘米．

5．将一个3位数交换最后两位的数码，再与原来的3位数相加，结果得到1187. 这
样的三位数是 .
答：589和598.
解: 注意 ，所求的第一个数码是5.因为如果它小于5，那么两数的和小于1000，
而如果它大于5，那么它们 的和大于或等于1200.所求两数末位数码的和可以等于7
或17.在第一种情况两数和最末两位为7 7，不对. 和为17只能由数码8和9给出.
由此得出两个可能的答案.

6. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那
么2011 年最后一个能被101整除的日子是
2011ABCD
，那么
ABCD
__ _______．





答案：1221
解析：20111231÷101＝199121„10；所以
ABCD
＝123 1－10＝1221．

7. 甲车由A地 开往B地，同时乙车也从B地开往A地．甲车速度是每小时80千米，
乙车速度是每小时70千米．甲车 在中途C地停车，15分钟后乙车到达C地，这时
甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB两 地相距_________千米．





答案：140
解析：设全长为x千米，则
x140
．
x< br>70

x
80

15
60
，解得


8.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边
形的8个顶点间隔地连线，可以 连出两个正方
形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．


答案：288

解析：如下左图，记AD = a，由对称性知，DB = a，
BC = a．取E为DC中点，连接BE，将△ABC分成直角三角形ABE和等腰直角三
角 形BEC．四个△BEC可以拼成一个边长a的正方形．
记BE = b，则CE = a，DE = a
由AE = a + b，BE = b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个
以AB为边长的正方形（如下右弦图）．
b
a
D
A
E
B
C
a
a
a
b
b
b

题中阴影可看做8个△ABE再加上8个 △BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC
拼成边长为12的正方形，因此本题答案为12
2
×2＝288平方厘米．


周老师的另解 连接AD，作
DPBC
于P.
设DP=h，则由正方形计算面积得
h
2
72.

三角形ABC面积=三角形BCD面积=
6h,

三角形ACD面积=
(122h)h(6h)h.

2
1

所以
因此
DO
BO

S
ACD
S
ABC

6h

(6h)h6h

6h
6
.

DO
BD12h

6h
12h
S
BCD

72

所以 三角形COD面积=


因此阴影面积=
836


6h
12h
6h
36h6h
12h
2

36h6
12h
36(h12)
36.

12h
288
（平方厘米）．