郑州大学考研网-生命生命

.
初二数学奥数

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结D F。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝
2
，试判断△DCF的形状；
(3) 在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写
出PB的长 ；若不存在，请说明理由。






















专业资料
AD
E
BFC

.












2、在边长为6的菱形
ABCD
中，动点
M
从点
A
出发，沿
A
→
B
→
C
向终 点
C
运动，连接
DM
交
AC
于点
N
. < br>（1）如图25－1，当点
M
在
AB
边上时，连接
BN
.
①求证：△
ABN≌
△
ADN
；
②若∠
ABC
= 60°，
AM
= 4，求点
M
到
AD
的距离；
（2）如图25－2，若∠
ABC
= 90°，记点
M
运动所经过 的路程为
x
（6≤
x
≤12）试问：
x
为
何值时， △
ADN
为等腰三角形.














专业资料

.






















专业资料

.



3、对于点
O
、
M
，点
M
沿
MO
的方向运动到
O
左转弯继续运动到
N
，使
OM
＝
ON
，且
OM
⊥
ON
，这一过程称为
M
点关于
O
点完成一次“左转弯运动”．
形
ABCD
和点< br>P
，
P
点关于
A
左转弯运动到
P
1
，
P
1
关于
B
左转弯运动到
P
2
，
P
2
关于
C
左
转弯运动到
P
3
，
P
3
关于
D
左转弯运动到
P
4
，
P4
关于
A
左转弯运动到
P
5
，……．
（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点
P
1
的位置；
（2）连接P
1
A、P
1
B，判断 △ABP
1
与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以
D
为原点、直线
AD
为
y
轴建立直角坐标系，并且已知点
B
在第二象限，
A
、
P
两点
A
B
O
的坐标为 （0，4）、（1，1），请你推断：
P
4
、
P
2009
、
P
2010
三点的坐标．
N
M
图1
P
C
图2
D
专业资料

.
4、如图1和2，在20×20的等距网
格（每格的宽和高均是1个单位长）
中， Rt△
ABC
从点
A
与点
M
重合的
位置开始，以每 秒1个单位长的速
度先向下平移，当
BC
边与网的底部
重合时，继续同样的速 度向右平移，当点
C
与点
P
重合时，Rt△
ABC
停止移动 .设运动时
间为
x
秒，△
QAC
的面积为
y
. < br>（1）如图1，当Rt△
ABC
向下平移到Rt△
A
1
B1
C
1
的位置时，请你在网格中画出Rt△
A
1
B1
C
1
关于直线
QN
成轴对称的图形；
（2）如图2 ，在Rt△
ABC
向下平移的过程中，请你求出
y
与
x
的函 数关系式，并说明当
x
分别取何值时，
y
取得最大值和最小值？最大值和最小 值分别是多少？
（3）在Rt△
ABC
向右平移的过程中，请你说明当
x< br>取何值时，
y
取得最大值和最小值？最
大值和最值分别是多少？为什么？

专业资料

.
5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、< br>AC于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图 中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它
们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作
OE ∥BC交AB于E，交AC于
F．这时图中还有等腰三角形
吗?EF与BE、CF关系又如何?
说明你的理由。







专业资料

.
6
、
已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，
且 ∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于
点F，求∠E的度数。





专业资料

.

7、如图，形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处 ，让
其绕点O旋转，三角尺的直角边与形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。


专业资料

.
1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=
1
CD，
2
∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形
是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴CF=
DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：PB=1，PB= 2，PB=3-
2
，PB=3+
2

2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2
∴AH=2． ∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是形． ∴∠CAD=45°．
下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD∥BC， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4． ∴CM=CN． ∴AC=6 2． ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6．
故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．
综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN是等腰三角形。
1
（BC- AD）=1， ∵DC=
2
， ∴由勾股定理得：
2
3
． ∴点M到AD的距离为2
3
．
专业资料

.
3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；

（2）△ABP1≌△A DP，且△ABP
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．
理由如下：在△ABP1和△ADP中，
由题意：AB=AD，AP=AP
1
，∠PAD=∠P
1
AB，
∴△ABP1≌△ADP，
又∵△ABP
1
和△ADP有公共顶点A，且∠PAP
1
=90°，
∴△ABP
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；
（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P
1
（-3，3），
点P
1
（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P
2
（-5，3 ），
点P
2
（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P
3
（-1，1），
点P
3
（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P
4
（1，1），
点P
4
（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P
5
（-3，3），
点P
5
与点P
1
重合，点P< br>6
与点P
2
重合，，点P
2009
的坐标为（-3，3）
点P
2010
的坐标为（-5，3）．
4、解：（1）如图1，△A
2
B
2
C
2
是△A
1
B
1
C< br>1
关于直线QN成轴对称的图形；

专业资料

.
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），
则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形
QMBC
-S
△AMQ
-S
△ABC

=
111
4+20）（x+4）- ×20x- ×4×4
222
=2x+40（0≤x≤16）．
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，
此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S梯形
BAQP
-S
△CPQ
-S
△ABC
=
=-2x+104（16≤x≤32）．
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，
使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．
因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，
111
（4+20）（36-x）-×20×（32-x）- ×4×4
222
专业资料

.
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．
5、解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF=EO+FO=BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF=BE+CF存在．

（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
此时EF=BE-CF，

6、解：在△ABD和△ACE中，
专业资料

.
∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠E=∠ADB．
∵∠ADB=°-∠BDC=°-124°=56°，
∴∠E=56°．
7、解：OE=OF．
证明：形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．
∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，
∴∠AOF=∠EOB．
在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE=OF．
专业资料

.
初二数学奥数

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝E C，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝
2
，试判断△DCF的形状；
(3) 在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写
出PB的长 ；若不存在，请说明理由。






















专业资料
AD
E
BFC

.












2、在边长为6的菱形
ABCD
中，动点
M
从点
A
出发，沿
A
→
B
→
C
向终 点
C
运动，连接
DM
交
AC
于点
N
. < br>（1）如图25－1，当点
M
在
AB
边上时，连接
BN
.
①求证：△
ABN≌
△
ADN
；
②若∠
ABC
= 60°，
AM
= 4，求点
M
到
AD
的距离；
（2）如图25－2，若∠
ABC
= 90°，记点
M
运动所经过 的路程为
x
（6≤
x
≤12）试问：
x
为
何值时， △
ADN
为等腰三角形.














专业资料

.






















专业资料

.



3、对于点
O
、
M
，点
M
沿
MO
的方向运动到
O
左转弯继续运动到
N
，使
OM
＝
ON
，且
OM
⊥
ON
，这一过程称为
M
点关于
O
点完成一次“左转弯运动”．
形
ABCD
和点< br>P
，
P
点关于
A
左转弯运动到
P
1
，
P
1
关于
B
左转弯运动到
P
2
，
P
2
关于
C
左
转弯运动到
P
3
，
P
3
关于
D
左转弯运动到
P
4
，
P4
关于
A
左转弯运动到
P
5
，……．
（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点
P
1
的位置；
（2）连接P
1
A、P
1
B，判断 △ABP
1
与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以
D
为原点、直线
AD
为
y
轴建立直角坐标系，并且已知点
B
在第二象限，
A
、
P
两点
A
B
O
的坐标为 （0，4）、（1，1），请你推断：
P
4
、
P
2009
、
P
2010
三点的坐标．
N
M
图1
P
C
图2
D
专业资料

.
4、如图1和2，在20×20的等距网
格（每格的宽和高均是1个单位长）
中， Rt△
ABC
从点
A
与点
M
重合的
位置开始，以每 秒1个单位长的速
度先向下平移，当
BC
边与网的底部
重合时，继续同样的速 度向右平移，当点
C
与点
P
重合时，Rt△
ABC
停止移动 .设运动时
间为
x
秒，△
QAC
的面积为
y
. < br>（1）如图1，当Rt△
ABC
向下平移到Rt△
A
1
B1
C
1
的位置时，请你在网格中画出Rt△
A
1
B1
C
1
关于直线
QN
成轴对称的图形；
（2）如图2 ，在Rt△
ABC
向下平移的过程中，请你求出
y
与
x
的函 数关系式，并说明当
x
分别取何值时，
y
取得最大值和最小值？最大值和最小 值分别是多少？
（3）在Rt△
ABC
向右平移的过程中，请你说明当
x< br>取何值时，
y
取得最大值和最小值？最
大值和最值分别是多少？为什么？

专业资料

.
5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、< br>AC于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图 中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它
们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作
OE ∥BC交AB于E，交AC于
F．这时图中还有等腰三角形
吗?EF与BE、CF关系又如何?
说明你的理由。







专业资料

.
6
、
已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，
且 ∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于
点F，求∠E的度数。





专业资料

.

7、如图，形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处 ，让
其绕点O旋转，三角尺的直角边与形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。


专业资料

.
1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=
1
CD，
2
∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形
是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴CF=
DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：PB=1，PB= 2，PB=3-
2
，PB=3+
2

2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2
∴AH=2． ∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是形． ∴∠CAD=45°．
下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD∥BC， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4． ∴CM=CN． ∴AC=6 2． ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6．
故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．
综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN是等腰三角形。
1
（BC- AD）=1， ∵DC=
2
， ∴由勾股定理得：
2
3
． ∴点M到AD的距离为2
3
．
专业资料

.
3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；

（2）△ABP1≌△A DP，且△ABP
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．
理由如下：在△ABP1和△ADP中，
由题意：AB=AD，AP=AP
1
，∠PAD=∠P
1
AB，
∴△ABP1≌△ADP，
又∵△ABP
1
和△ADP有公共顶点A，且∠PAP
1
=90°，
∴△ABP
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；
（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P
1
（-3，3），
点P
1
（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P
2
（-5，3 ），
点P
2
（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P
3
（-1，1），
点P
3
（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P
4
（1，1），
点P
4
（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P
5
（-3，3），
点P
5
与点P
1
重合，点P< br>6
与点P
2
重合，，点P
2009
的坐标为（-3，3）
点P
2010
的坐标为（-5，3）．
4、解：（1）如图1，△A
2
B
2
C
2
是△A
1
B
1
C< br>1
关于直线QN成轴对称的图形；

专业资料

.
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），
则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形
QMBC
-S
△AMQ
-S
△ABC

=
111
4+20）（x+4）- ×20x- ×4×4
222
=2x+40（0≤x≤16）．
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，
此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S梯形
BAQP
-S
△CPQ
-S
△ABC
=
=-2x+104（16≤x≤32）．
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，
使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．
因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，
111
（4+20）（36-x）-×20×（32-x）- ×4×4
222
专业资料

.
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．
5、解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF=EO+FO=BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF=BE+CF存在．

（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
此时EF=BE-CF，

6、解：在△ABD和△ACE中，
专业资料

.
∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠E=∠ADB．
∵∠ADB=°-∠BDC=°-124°=56°，
∴∠E=56°．
7、解：OE=OF．
证明：形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．
∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，
∴∠AOF=∠EOB．
在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE=OF．
专业资料