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高中奥数题及答案


【篇一：高中数学试题及答案】
择题：本大题共12小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合a?{1,2,3,4,5},b?{(x,y)x?a,y?a,x?y? a}；,则b中所含
元素的个数为 （） (a)3(b)6 (c)? (d)??

2、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽
取部分学生进行调查，事 先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段
学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大， 在下面
的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （）

a.简单随机抽样 b.按性别分层抽样c.按学段分层抽样 d.系统抽样

3、设函数f(x)，g(x) 的定义域都为r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函
数，则下列结论中正确的是 （）

（a）f(x)g(x)是偶函数

（c）|f(x)|g(x)是奇函数 （b）f(x)|g(x)|是奇函数 （d）|f(x)g(x)|是
奇函数

4、直线l过点p(－1,2)，且与以a(－2，－3)，b(4,0)为端点的线段
相交，则l的斜 率的取值范围是( ) ?2??2?a.?－，5? b.?－，
0?∪(0,5] ?5??5?

a,a,...,an，输出a,b，则5、如果执行右边的程序框图，输入 正整数
n(n?2)和实数12

（）

(a)a?b为a1,a2,...,an的和

a?b

(b)2为a1,a2,...,an的算术平均数

(c)a和b分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数

(d)a和b分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数

6、设等差数列?an?的前n项和为sn,sm?1??2,sm?0,sm?1?3，

则m?( )

a.3b.4 c.5 d.6

7.若直线y=kx+1 与圆x2+y2+kx+my-4=0交于m,n两点,且m,n关
于直线x+2y=0对称,则实数k +m=( )

a.-1b.1c.0d.2

8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

a．16?8?b．8?8?

c．16?16? d．8?16?

（第8题） （第9题）

9、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测
得水深为6cm，如果 不计容器的厚度，则球的体积为 （ ）
500?866?1372?cm3cm3cm32048?cm3 a.3b. 3c. 3 d. 3

10、如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，
数得落在 阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分
的面积为(

)

2323a.550d．不能估计

??x2?2x,x?0?ln(x?1),x?011、已知函数f(x)?

?，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）

a．(??,0] b．(??,1] c．[?2,1]d．[?2,0]

12、阅读下列一段材料，然后解 答问题：对于任意实数x，符号[x]
表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就 是x，
当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取
整函数”，也叫 高斯(gauss)函数如[-2]=-2，[-1.5]=- 2，[2.5]=2,则
[log21 1]?[log2]+[log21]+[log23]+[log24]43的值为( )

a、0 b、-2 c、-1 d、

l

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

（13）已知向量a,b夹角为45

，且?a?1,2a?b?；则b?_____

(14) 设x,y满足约束条件：?x,y?0??x?y??1?x?y?3?；则z?x?2y
的取值范围为

（15）已知a，b，c为圆o上的三点，若

___________． ao?1(ab?ac)2，则ab与ac的夹角为

（16）已知a，b，c分别为?abc三个内角a，b，c的对边，

(2?b)(sin a?sinb)?(c?b)sinc，且a?2，则?abc面积的最大值为
___________ __．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17． （本小题满分8分）高一军训时，某同学射击一次，命中10
环，9环，8环的概率分别为0. 13,0.28,0.31.

(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；

(2)求射击一次，至少命中8环的概率；

(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．

18、（本小题满分8分）已知a,b,c分别为?abc三个内角a,b,c

的对边，acoscsinc?b?c?0

（1）求a （2）若a?2，?abc的面积为；求b,c。

19、（本小题满分8分）已知数列其中?为常数．

（Ⅰ）证明：?an?的前n项和为s n，a1?1，an?0，
anan?1??sn?1，an?2?an??；

（Ⅱ）是否存在?，使得

?an?为等差数列？并说明理由．

【篇二：高一数学集合练习题及答案-经典】


一、选择题（每题4分，共40分）

1、下列四组对象，能构成集合的是 （）

a 某班所有高个子的学生b 著名的艺术家

c 一切很大的书d 倒数等于它自身的实数

2、集合{a，b，c }的真子集共有个 （）

a 7b8 c 9 d10

3、若{1，2}?a?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合a的个数是 （）

a.6 b.7c.8 d.9

4、若u={1，2，3，4}，m={1，2}，n={2，3}，则c u（m∪n）=
（）

a .{1，2，3} b. {2} c. {1，3，4} d. {4}

x?y?1

5、方程组x?y??1的解集是( )

a .{x=0,y=1} b. {0,1} c. {(0,1)} d. {(x,y)|x=0或y=1}

6、以下六个关系式：0??0?，?0???，0.3?q,
0?n, ?a,b???b,a? ，?x|x2?2?0,x?z?是空集中，错误的个数是 （）

a 4b 3 c 2d 1

7、点的集合m＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( )

a.第一象限内的点集b.第三象限内的点集

c. 第一、第三象限内的点集d. 不在第二、第四象限内的点集

8、设集合a=x?x?2，b=xx?a，若a?b，则a的取值范围是 （ ）
a aa?2baa?1 caa?1d aa?2

9、 满足条件m?1?=1,2,3?的集合m的个数是 （ ）

a 1 b2c 3d 4

10、集合p??x|x?2k,k?z?，
q??x |x?2k?1,k?z?，??????????????

r??x|x?4k?1,k?z?，且a?p,b?q，则有（ ）

a a?b?p b a?b?q

ca?b?r da?b不属于p、q、r中的任意一个

二、填空题

11、若a?{?2,2,3,4}，b?{x|x?t2,t?a }，用列举法表示12、集合
a={x| x+x-6=0}, b={x| ax+1=0}, 若b?a，则a=__________ 2

13、设全集u=2,3,a?2a?3，a=?2,b，cua=?5，则a，b 2????

14、集合a??x|x??3或x?3?，b??x|x?1或x?4?，
a?b?___ _________.

15、已知集合a={x|x?x?m?0}, 若a∩r=?， 则实数m的取值范围
是16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确
得有 40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4
人，则这两种实验都做对的有人.

三、解答题

22222

18、已知二次函数f(x)=x?ax?b,a=xf(x)?2x?22?,试求 f(x)的解析式
2???

219、已知集合a???1,1?，b=xx?2ax?b?0，若b??，且a?b?a
求实数??

a，b的值。

2220、设x,y?r，集合 a?3,x?xy?y，b?1,x?xy?x?3，且a=b，求
实数x，????

y 的值

答案

一、选择题（每题4分，共40分）

二、填空题（每题3分，共18分）

11、 ?4,9,16? 12、 ?,11,013、32

14、 x|x??3或x?4 15 、 m???1 16、4

三、解答题（每题10分，共40分）

18、由xf(x)?2x?22?得方程x?ax?b?2x有两个等根22 2???

根据韦达定理x1?x2?2?a?44

x1x2?b?484 解得a??422 所以f（x）=x-42x+484 b?484

19解：由a?b?a，b??得b??1?或??1?或?1,?1?

当b??1?时，方程x?2ax?b?0有两个等根1，由韦达定理解得
2a?1 b?1

a??1 b?1

a?0 b??12当b???1?时，方程x?2ax?b ?0有两个等根—1，由韦
达定理解得当b??1,?1?时，方程x?2ax?b?0有两个根—1、 1，由
韦达定理解得2

x?3x??120、由a=b得解得或
2y??2y??6x?xy?x?3?3x2?xy?y?1,

【篇三：高中数学经典50题(附答案)】


求下列函数的值域：

解法2 令t＝sinx，则f(t)＝－t＋t＋1，∵ |sinx|≤1,∴ |t|≤1.问题转
化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．

2

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转
换的思想．善于从不同角度去观察 问题，沟通数学各学科之间的内
在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟
悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，
而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道
的焦点处，当此慧星离

地球相距m万千米和

4

m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3

?

2

和

?

3

，求该慧星与地球的最近距离。

x2y2

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点f(?c,0)处，椭圆
的方程为2?2?1

ab

（图见教材p132页例1）。

?

时，由椭圆的几何意义可知，彗星a只3

??12

能满足?xfa?(或?xfa?)。作ab?ox于b，则fb?fa?m

3323

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

?ca2

m?(?c)??ac

故由椭圆第二定义可知得?

2

?4m?c(a?c?2m)?ac3?3

c213?m,?a?2c.代入第一式得m?(4c?c)?c, a322

22?c?m.?a?c?c?m.

33

2

答：彗星与地球的最近距离为m万千米。

3

两式相减得m?

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，
而恒星正是它的一个焦点 ，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另
一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a?c，另一个是 a?c.

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数
学概 念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的
解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题， 善于挖掘隐含条件，有
意识地训练数学思维的品质。

3. a，b，c是我方三个 炮兵阵地，a在b正东6km，c在b正北偏
西30，相距4km，p为敌炮阵地，某时刻a处发现敌炮 阵地的某种
信号，由于b，c两地比a距p地远，因此4s后，b，c才同时发现
这一信号，此 信号的传播速度为1kms，a若炮击p地，求炮击的方
位角。（图见优化设计教师用书p249例2）

解：如图，以直线ba为x轴，线段ba的中垂线为y轴建立坐标系，
则

?

13

b(?3,0),a(3,0),c(?5,2) ，因为pb?pc，所以点p在线段bc的垂直平
分线上。

因为kbc??，bc中点d(?4,)，所以直线pd的方程为y?3?

13

(x?4) （1）

又pb?pa?4,故p在以a，b为焦点的双曲线右支上。设p(x,y)，则
双曲线方程为

x2y2

??1(x?0)（2）。联立（1）（2），得x?8,y?5， 45

所以p(8,5).因此kpa?

53

?，故炮击的方位角北偏东30?。 8?3

说明：本题的关键是确定p点的位置，另外还要求学生掌握方位角
的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，
一小船宽4米，高2
< br>米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱
顶距多少时，小船开始不能 通行？

解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x??2py得p=1.6

2

(p?0)。将b（4,-5）代入

?x2??3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过

则a(2,ya)，由22=-3.2 ya得ya = - 1.25 因为船露出水面的部分高
0.75米 所以h=︱ya︱+0.75=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解
决实际问题的技巧。．

5. 如图所示，直线l1和l2相交于点m，l1?l2，点n?l1，以a、b
为端点的曲线段c

上任一点到l2的距离与到点n的距离相等。若?amn为锐角三角形，

am?,an?3,且nb6，建立适当的坐标系，求曲线段c的方程。

解：以直线l1为 x轴，线段mn的垂直平分线为y轴，建立直角坐
标系，由条件可知，曲线段c是以点n为焦点，以l2 为准线的抛物
线的一段，其中a、b分别为曲线段c的端点。

设曲线段c的方程为 y?2px(p?0)(xa?x?xb,y?0)，其中xa,xb为a、
b的横坐标，p?mn，所 以m(?

2

pp

,0),n(,0)，由am?,an?3，得22

(xa?(xa?

p2

)?2pxa?17 （1） 2

4p2

，（1）（2）联立解得xa?，代入（1）式，并由p?0 )?2pxa?9
（2）

p2

解得?

?p?4?p?2?p?2p

或?，因为?amn为锐角三角形，所以?xa，故舍去?，所

2?xa?1?xa?2?xa?2?p?4

x?1?a

以?

由点b在曲线段c上，得xb?bn?

p

?4，综上，曲线段c的方程为2

y2?8x(1?x?4,y?0)

[思维点拔]

本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线
方程的步骤，

综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线y?4ax(a?0 )的焦点为a,以b(a+4,0)点为圆心，︱ab︱
为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相 交与不同的两点m，
n。点p是mn的中点。 （1）求︱am︱+︱an︱的值

（2）是否存在实数a，恰使︱am︱︱ap︱︱an︱成等差数列？若
存在，求出a，不存在，说明理 由。

解：(1)设m,n,p在抛物线准线上的射影分别为m′,n′,p′.

︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=xm+xn+2a又圆方程

2

[x?(a?4)]2?y2?16

将y?4ax代入得x?2(4?a)x?a?8a?0

2

2

2

?xm?xn?2?4?a?得︱am︱+︱an︱=8

(2)假设存在a

因为︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=2︱pp′︱

所以︱ap︱=︱pp′︱ ，p点在抛物线上，这与p点是mn的中点矛
盾。故a不存在。

2

7. 抛物线y?2px?p?0?上有两动点a，b及一个定点m，f为焦点，
若af,mf,bf

成等差数列

（1）求证线段ab的垂直平分线过定点q

（2）若mf?4,oq?6（o为坐标原点），求抛物线的方程。 （3）对
于（2）中的抛物线，求△aqb面积的最大值。

解：（1）设a?x1,y1?,b?x2,y2?,m?x0,y0?，则af?x1?

pp

，bf?x2?，22

mf?x0?

x?x2p

，由题意得x0?1，?ab的中点坐标可设为?x0,t?，其中

22

t?

y1?y2

， ?0（否则af?mf?bf?p?0）

2

y1?y2y1?y2

?1x1?x222

y1?y22p

?

2pp

?，故ab的垂直平分线为

y1?y2t

而kab?

y?t?

t

?x?x0?，即t?x?x0?p??yp?0，可知其过定点q?x0?p,0? p

（2）由mf?4,oq?6，得x0?

p2

联立解得p?4,x0?2?y?8x。 ?4,x0?p?6，

2

（3）直线ab：y?t?

2

2

4

?x?2?，代入?y2?8x得y2?2ty?2t2?16?0，t

2

??y1?y2???y1?y2??4y1y2???64?4t，?x1?x2?

2

t22??y1?y2? 16

2

2

t2?16?t2,?ab?4

??

x1?x22?y1?y22

???

12

16?t16?t

，

1

256?t4，又点q?6,0?到ab的距离d????t22

111

?s?aqb?abd?256?t416?t2?4096?256t2?16t4?t6

244?

令

u?4096?256t2?16t4?t6，则u??512t?64t3?6t5，令u??0即

512t?64t3?6t5?0，得t?0或t2??16或t2?

161642

，?t??t??3时333

?s

?aqb

??64

9

6。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方
法，必须熟练掌握，对

定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线l:y?tan(x ?22)交椭圆x?9y?9于a、b两点，若?为l
的倾斜角，且ab的长不小于短轴的长，求?的取 值范围。 解

：

将

2

2

l

的方程与椭圆方程联立，消去

y

，得

2

(1?9tan2?)x2?362tan2??x?72ta?n?9?0

?6tan2??6?ab??tan?x2?x1??tan??? 22

(1?9tan?)1?9tan?

2

2

由ab?2,得tan??

2

13,???tan??， 333

????5??

,?? 的取值范围是?0,?????

?6??6?

[思维点拔]对于弦长 公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于
l的方程由tan?给出，所以可以认定??

9、已知抛物线y??x与直线y?k(x?1)相交于a、b两点

2

?

2

，否则涉及弦长计算时，还要讨论??

?

2

时的情况。

高中奥数题及答案


【篇一：高中数学试题及答案】

择题：本大题共12小题，每小题3分.在每小题给 出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合a?{1,2,3, 4,5},b?{(x,y)x?a,y?a,x?y?a}；,则b中所含
元素的个数为 （） (a)3(b)6 (c)? (d)??

2、为了解某地区的中小学生视力情况，拟 从该地区的中小学生中抽
取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段
学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面
的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （）

a.简单随机抽样 b.按性别分层抽样c.按学段分层抽样 d.系统抽样

3、设函数f(x)，g(x)的定义域都为r，且f(x)是奇函数，g( x)是偶函
数，则下列结论中正确的是 （）

（a）f(x)g(x)是偶函数

（c）|f(x)|g(x)是奇函数 （b）f(x)|g(x)|是奇函数 （d）|f(x)g(x)|是
奇函数

4、直线l过点p(－1,2)，且与以a(－2，－3)，b(4,0)为端点的线段
相交，则l的斜 率的取值范围是( ) ?2??2?a.?－，5? b.?－，
0?∪(0,5] ?5??5?

a,a,...,an，输出a,b，则5、如果执行右边的程序框图，输入 正整数
n(n?2)和实数12

（）

(a)a?b为a1,a2,...,an的和

a?b

(b)2为a1,a2,...,an的算术平均数

(c)a和b分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数

(d)a和b分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数

6、设等差数列?an?的前n项和为sn,sm?1??2,sm?0,sm?1?3，

则m?( )

a.3b.4 c.5 d.6

7.若直线y=kx+1 与圆x2+y2+kx+my-4=0交于m,n两点,且m,n关
于直线x+2y=0对称,则实数k +m=( )

a.-1b.1c.0d.2

8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

a．16?8?b．8?8?

c．16?16? d．8?16?

（第8题） （第9题）

9、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测
得水深为6cm，如果 不计容器的厚度，则球的体积为 （ ）
500?866?1372?cm3cm3cm32048?cm3 a.3b. 3c. 3 d. 3

10、如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，
数得落在 阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分
的面积为(

)

2323a.550d．不能估计

??x2?2x,x?0?ln(x?1),x?011、已知函数f(x)?

?，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）

a．(??,0] b．(??,1] c．[?2,1]d．[?2,0]

12、阅读下列一段材料，然后解 答问题：对于任意实数x，符号[x]
表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就 是x，
当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取
整函数”，也叫 高斯(gauss)函数如[-2]=-2，[-1.5]=- 2，[2.5]=2,则
[log21 1]?[log2]+[log21]+[log23]+[log24]43的值为( )

a、0 b、-2 c、-1 d、

l

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

（13）已知向量a,b夹角为45

，且?a?1,2a?b?；则b?_____

(14) 设x,y满足约束条件：?x,y?0??x?y??1?x?y?3?；则z?x?2y
的取值范围为

（15）已知a，b，c为圆o上的三点，若

___________． ao?1(ab?ac)2，则ab与ac的夹角为

（16）已知a，b，c分别为?abc三个内角a，b，c的对边，

(2?b)(sin a?sinb)?(c?b)sinc，且a?2，则?abc面积的最大值为
___________ __．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17． （本小题满分8分）高一军训时，某同学射击一次，命中10
环，9环，8环的概率分别为0. 13,0.28,0.31.

(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；

(2)求射击一次，至少命中8环的概率；

(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．

18、（本小题满分8分）已知a,b,c分别为?abc三个内角a,b,c

的对边，acoscsinc?b?c?0

（1）求a （2）若a?2，?abc的面积为；求b,c。

19、（本小题满分8分）已知数列其中?为常数．

（Ⅰ）证明：?an?的前n项和为s n，a1?1，an?0，
anan?1??sn?1，an?2?an??；

（Ⅱ）是否存在?，使得

?an?为等差数列？并说明理由．

【篇二：高一数学集合练习题及答案-经典】


一、选择题（每题4分，共40分）

1、下列四组对象，能构成集合的是 （）

a 某班所有高个子的学生b 著名的艺术家

c 一切很大的书d 倒数等于它自身的实数

2、集合{a，b，c }的真子集共有个 （）

a 7b8 c 9 d10

3、若{1，2}?a?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合a的个数是 （）

a.6 b.7c.8 d.9

4、若u={1，2，3，4}，m={1，2}，n={2，3}，则c u（m∪n）=
（）

a .{1，2，3} b. {2} c. {1，3，4} d. {4}

x?y?1

5、方程组x?y??1的解集是( )

a .{x=0,y=1} b. {0,1} c. {(0,1)} d. {(x,y)|x=0或y=1}

6、以下六个关系式：0??0?，?0???，0.3?q,
0?n, ?a,b???b,a? ，?x|x2?2?0,x?z?是空集中，错误的个数是 （）

a 4b 3 c 2d 1

7、点的集合m＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( )

a.第一象限内的点集b.第三象限内的点集

c. 第一、第三象限内的点集d. 不在第二、第四象限内的点集

8、设集合a=x?x?2，b=xx?a，若a?b，则a的取值范围是 （ ）
a aa?2baa?1 caa?1d aa?2

9、 满足条件m?1?=1,2,3?的集合m的个数是 （ ）

a 1 b2c 3d 4

10、集合p??x|x?2k,k?z?，
q??x |x?2k?1,k?z?，??????????????

r??x|x?4k?1,k?z?，且a?p,b?q，则有（ ）

a a?b?p b a?b?q

ca?b?r da?b不属于p、q、r中的任意一个

二、填空题

11、若a?{?2,2,3,4}，b?{x|x?t2,t?a }，用列举法表示12、集合
a={x| x+x-6=0}, b={x| ax+1=0}, 若b?a，则a=__________ 2

13、设全集u=2,3,a?2a?3，a=?2,b，cua=?5，则a，b 2????

14、集合a??x|x??3或x?3?，b??x|x?1或x?4?，
a?b?___ _________.

15、已知集合a={x|x?x?m?0}, 若a∩r=?， 则实数m的取值范围
是16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确
得有 40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4
人，则这两种实验都做对的有人.

三、解答题

22222

18、已知二次函数f(x)=x?ax?b,a=xf(x)?2x?22?,试求 f(x)的解析式
2???

219、已知集合a???1,1?，b=xx?2ax?b?0，若b??，且a?b?a
求实数??

a，b的值。

2220、设x,y?r，集合 a?3,x?xy?y，b?1,x?xy?x?3，且a=b，求
实数x，????

y 的值

答案

一、选择题（每题4分，共40分）

二、填空题（每题3分，共18分）

11、 ?4,9,16? 12、 ?,11,013、32

14、 x|x??3或x?4 15 、 m???1 16、4

三、解答题（每题10分，共40分）

18、由xf(x)?2x?22?得方程x?ax?b?2x有两个等根22 2???

根据韦达定理x1?x2?2?a?44

x1x2?b?484 解得a??422 所以f（x）=x-42x+484 b?484

19解：由a?b?a，b??得b??1?或??1?或?1,?1?

当b??1?时，方程x?2ax?b?0有两个等根1，由韦达定理解得
2a?1 b?1

a??1 b?1

a?0 b??12当b???1?时，方程x?2ax?b ?0有两个等根—1，由韦
达定理解得当b??1,?1?时，方程x?2ax?b?0有两个根—1、 1，由
韦达定理解得2

x?3x??120、由a=b得解得或
2y??2y??6x?xy?x?3?3x2?xy?y?1,

【篇三：高中数学经典50题(附答案)】


求下列函数的值域：

解法2 令t＝sinx，则f(t)＝－t＋t＋1，∵ |sinx|≤1,∴ |t|≤1.问题转
化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．

2

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转
换的思想．善于从不同角度去观察 问题，沟通数学各学科之间的内
在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟
悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，
而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道
的焦点处，当此慧星离

地球相距m万千米和

4

m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3

?

2

和

?

3

，求该慧星与地球的最近距离。

x2y2

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点f(?c,0)处，椭圆
的方程为2?2?1

ab

（图见教材p132页例1）。

?

时，由椭圆的几何意义可知，彗星a只3

??12

能满足?xfa?(或?xfa?)。作ab?ox于b，则fb?fa?m

3323

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

?ca2

m?(?c)??ac

故由椭圆第二定义可知得?

2

?4m?c(a?c?2m)?ac3?3

c213?m,?a?2c.代入第一式得m?(4c?c)?c, a322

22?c?m.?a?c?c?m.

33

2

答：彗星与地球的最近距离为m万千米。

3

两式相减得m?

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，
而恒星正是它的一个焦点 ，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另
一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a?c，另一个是 a?c.

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数
学概 念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的
解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题， 善于挖掘隐含条件，有
意识地训练数学思维的品质。

3. a，b，c是我方三个 炮兵阵地，a在b正东6km，c在b正北偏
西30，相距4km，p为敌炮阵地，某时刻a处发现敌炮 阵地的某种
信号，由于b，c两地比a距p地远，因此4s后，b，c才同时发现
这一信号，此 信号的传播速度为1kms，a若炮击p地，求炮击的方
位角。（图见优化设计教师用书p249例2）

解：如图，以直线ba为x轴，线段ba的中垂线为y轴建立坐标系，
则

?

13

b(?3,0),a(3,0),c(?5,2) ，因为pb?pc，所以点p在线段bc的垂直平
分线上。

因为kbc??，bc中点d(?4,)，所以直线pd的方程为y?3?

13

(x?4) （1）

又pb?pa?4,故p在以a，b为焦点的双曲线右支上。设p(x,y)，则
双曲线方程为

x2y2

??1(x?0)（2）。联立（1）（2），得x?8,y?5， 45

所以p(8,5).因此kpa?

53

?，故炮击的方位角北偏东30?。 8?3

说明：本题的关键是确定p点的位置，另外还要求学生掌握方位角
的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，
一小船宽4米，高2
< br>米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱
顶距多少时，小船开始不能 通行？

解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x??2py得p=1.6

2

(p?0)。将b（4,-5）代入

?x2??3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过

则a(2,ya)，由22=-3.2 ya得ya = - 1.25 因为船露出水面的部分高
0.75米 所以h=︱ya︱+0.75=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解
决实际问题的技巧。．

5. 如图所示，直线l1和l2相交于点m，l1?l2，点n?l1，以a、b
为端点的曲线段c

上任一点到l2的距离与到点n的距离相等。若?amn为锐角三角形，

am?,an?3,且nb6，建立适当的坐标系，求曲线段c的方程。

解：以直线l1为 x轴，线段mn的垂直平分线为y轴，建立直角坐
标系，由条件可知，曲线段c是以点n为焦点，以l2 为准线的抛物
线的一段，其中a、b分别为曲线段c的端点。

设曲线段c的方程为 y?2px(p?0)(xa?x?xb,y?0)，其中xa,xb为a、
b的横坐标，p?mn，所 以m(?

2

pp

,0),n(,0)，由am?,an?3，得22

(xa?(xa?

p2

)?2pxa?17 （1） 2

4p2

，（1）（2）联立解得xa?，代入（1）式，并由p?0 )?2pxa?9
（2）

p2

解得?

?p?4?p?2?p?2p

或?，因为?amn为锐角三角形，所以?xa，故舍去?，所

2?xa?1?xa?2?xa?2?p?4

x?1?a

以?

由点b在曲线段c上，得xb?bn?

p

?4，综上，曲线段c的方程为2

y2?8x(1?x?4,y?0)

[思维点拔]

本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线
方程的步骤，

综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线y?4ax(a?0 )的焦点为a,以b(a+4,0)点为圆心，︱ab︱
为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相 交与不同的两点m，
n。点p是mn的中点。 （1）求︱am︱+︱an︱的值

（2）是否存在实数a，恰使︱am︱︱ap︱︱an︱成等差数列？若
存在，求出a，不存在，说明理 由。

解：(1)设m,n,p在抛物线准线上的射影分别为m′,n′,p′.

︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=xm+xn+2a又圆方程

2

[x?(a?4)]2?y2?16

将y?4ax代入得x?2(4?a)x?a?8a?0

2

2

2

?xm?xn?2?4?a?得︱am︱+︱an︱=8

(2)假设存在a

因为︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=2︱pp′︱

所以︱ap︱=︱pp′︱ ，p点在抛物线上，这与p点是mn的中点矛
盾。故a不存在。

2

7. 抛物线y?2px?p?0?上有两动点a，b及一个定点m，f为焦点，
若af,mf,bf

成等差数列

（1）求证线段ab的垂直平分线过定点q

（2）若mf?4,oq?6（o为坐标原点），求抛物线的方程。 （3）对
于（2）中的抛物线，求△aqb面积的最大值。

解：（1）设a?x1,y1?,b?x2,y2?,m?x0,y0?，则af?x1?

pp

，bf?x2?，22

mf?x0?

x?x2p

，由题意得x0?1，?ab的中点坐标可设为?x0,t?，其中

22

t?

y1?y2

， ?0（否则af?mf?bf?p?0）

2

y1?y2y1?y2

?1x1?x222

y1?y22p

?

2pp

?，故ab的垂直平分线为

y1?y2t

而kab?

y?t?

t

?x?x0?，即t?x?x0?p??yp?0，可知其过定点q?x0?p,0? p

（2）由mf?4,oq?6，得x0?

p2

联立解得p?4,x0?2?y?8x。 ?4,x0?p?6，

2

（3）直线ab：y?t?

2

2

4

?x?2?，代入?y2?8x得y2?2ty?2t2?16?0，t

2

??y1?y2???y1?y2??4y1y2???64?4t，?x1?x2?

2

t22??y1?y2? 16

2

2

t2?16?t2,?ab?4

??

x1?x22?y1?y22

???

12

16?t16?t

，

1

256?t4，又点q?6,0?到ab的距离d????t22

111

?s?aqb?abd?256?t416?t2?4096?256t2?16t4?t6

244?

令

u?4096?256t2?16t4?t6，则u??512t?64t3?6t5，令u??0即

512t?64t3?6t5?0，得t?0或t2??16或t2?

161642

，?t??t??3时333

?s

?aqb

??64

9

6。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方
法，必须熟练掌握，对

定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线l:y?tan(x ?22)交椭圆x?9y?9于a、b两点，若?为l
的倾斜角，且ab的长不小于短轴的长，求?的取 值范围。 解

：

将

2

2

l

的方程与椭圆方程联立，消去

y

，得

2

(1?9tan2?)x2?362tan2??x?72ta?n?9?0

?6tan2??6?ab??tan?x2?x1??tan??? 22

(1?9tan?)1?9tan?

2

2

由ab?2,得tan??

2

13,???tan??， 333

????5??

,?? 的取值范围是?0,?????

?6??6?

[思维点拔]对于弦长 公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于
l的方程由tan?给出，所以可以认定??

9、已知抛物线y??x与直线y?k(x?1)相交于a、b两点

2

?

2

，否则涉及弦长计算时，还要讨论??

?

2

时的情况。