浙江万里学院-山东注协

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初二数学奥数
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝E C，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝
2
，试判断△DCF的形状；
(3) 在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存 在，请说
明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终 点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.
①求证：△ABN
≌
△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，求点M到AD的距离；
（2）如图25－2，若∠ABC =90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角
形.
3、对于点
O
、
M
，点
M
沿
MO
的方向运动到
O
左转弯继续运动到
N
，使
OM
＝
O N
，且
OM
⊥
ON
，这一过程称为
M
点关于
O
点完成一次“左转弯运动”．
正方形
ABCD
和点
P
，
P
点关于
A
左转弯运动到
P
1
，
P1
关于
B
左转弯运动到
P
2
，
P
2< br>关于
C
左转弯运动到
P
3
，
P
3
关 于
D
左
转弯运动到
P
4
，
P
4
关 于
A
左转弯运动到
P
5
，……．
（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点
P
1
的位置；
（2） 连接P
1
A、P
1
B，判断△ABP
1
与△ADP之间有怎 样的关系？并说明理由。
(3)以
D
为原点、直线
AD
为
y
轴建立直角坐标系，并且已知点
B
在第二象限，
A
、
P< br>两点的坐标为（0，4）、（1，1），
请你推断：
P
4
、
P
2009
、
P
2010
三点的坐标．
B
A
O
N
M
图1
P
C
图2
D
页脚内容

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4、如图1和2，在20×20的等 距网格
均是1个单位长）中，Rt△
ABC
从点
A
置开始，以每秒1 个单位长的速度先
边与网的底部重合时，继续同样的速
点
C
与点
P< br>重合时，Rt△
ABC
停止移
间为
x
秒，△
QAC< br>的面积为
y
.
（1）如图1，当Rt△
ABC
向下平移到< br>置时，请你在网格中画出Rt△
A
1
B
1
C
1
轴对称的图形；
（每格的宽和高
与点
M
重合的位
向下平移，当< br>BC
度向右平移，当
动.设运动时
Rt△
A
1
B1
C
1
的位
关于直线
QN
成
（2）如图2，在 Rt△
ABC
向下平移的过程中，请你求出
y
与
x
的函数关 系式，并说明当
x
分别取何值时，
y
取得最大
值和最小值？最大值和 最小值分别是多少？
（3）在Rt△
ABC
向右平移的过程中，请你说明当
x
取何值时，
y
取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为
什么？
页脚内容

...
5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠ C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
( 2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中E F与BE、
CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形 外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交
AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?E F与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
...

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6
、
已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，
BD C=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，
的度数。
7、 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在
让其绕点O旋转，三角 尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观
且∠
求∠E
点O处，
察或测
量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。
页脚内容

...
1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形，证明： ∵DE=EC，EF=EC，∴EF=
1
CD，
2
∴△CDF是直角三角形 （如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种 情况：PB=1，PB=2，PB=3-
2
，PB=3+
2

2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2
3
．∴点M到AD的 距离为2
3
．
∴AH=2．∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．∴CM=CN．∴AC=62．∴CM=CN=AC-AN=62-6．
故x=12-CM=12-（62-6）=18-62．
综上所述：当x=6或12或18-62时，△ADN是等腰三角形。
3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；
（2）△ABP1≌△ADP，且△AB P
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．
理由如下：在△ABP1和△ADP中，
由题意：AB=AD，AP=AP
1
，∠PAD=∠P
1
AB，
∴△ABP1≌△ADP，
又∵△ABP
1
和△ADP有公共顶点A，且∠PAP
1
=90°，
∴△ABP
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；
（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P
1
（-3，3），
点P
1
（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P
2
（-5，3 ），
点P
2
（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P
3
（-1，1），
点P
3
（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P
4
（1，1），
点P
4
（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P
5
（-3，3），
点P
5
与点P
1
重合，点P< br>6
与点P
2
重合，，点P
2009
的坐标为（-3，3）
...
1
（BC- AD）=1，∵DC=
2
，∴由勾股定理得：DF=1，
2

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点P
2010
的坐标为（-5，3）．
4、解：（1）如图1，△A
2
B
2
C
2
是△A< br>1
B
1
C
1
关于直线QN成轴对称的图形；

（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），
则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形
QMBC
-S< br>△
AMQ
-S
△
ABC

=
111
4+20）（x+4）-×20x-×4×4
222
=2x+40（0≤x≤16）．
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，
此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S梯形
BAQP
-S
△
CPQ
-S
△
ABC
=
=-2x+104（16≤x≤32）．
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，
使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．
因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．
页脚内容
111
（4+20）（36-x）-×20×（32-x）-×4×4
222

...
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．
5、解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF=EO+FO=BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF=BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
此时EF=BE-CF，
6、解：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠E=∠ADB．
∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°，
∴∠E=56°．
7、解：OE=OF．
证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．
∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，
∴∠AOF=∠EOB．
在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE=OF．
...

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页脚内容

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初二数学奥数
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点 F，EF＝EC，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝
2
，试判断△DCF的形状；
(3) 在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存 在，请说
明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终 点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.
①求证：△ABN
≌
△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，求点M到AD的距离；
（2）如图25－2，若∠ABC =90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角
形.
3、对于点
O
、
M
，点
M
沿
MO
的方向运动到
O
左转弯继续运动到
N
，使
OM
＝
O N
，且
OM
⊥
ON
，这一过程称为
M
点关于
O
点完成一次“左转弯运动”．
正方形
ABCD
和点
P
，
P
点关于
A
左转弯运动到
P
1
，
P1
关于
B
左转弯运动到
P
2
，
P
2< br>关于
C
左转弯运动到
P
3
，
P
3
关 于
D
左
转弯运动到
P
4
，
P
4
关 于
A
左转弯运动到
P
5
，……．
（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点
P
1
的位置；
（2） 连接P
1
A、P
1
B，判断△ABP
1
与△ADP之间有怎 样的关系？并说明理由。
(3)以
D
为原点、直线
AD
为
y
轴建立直角坐标系，并且已知点
B
在第二象限，
A
、
P< br>两点的坐标为（0，4）、（1，1），
请你推断：
P
4
、
P
2009
、
P
2010
三点的坐标．
B
A
O
N
M
图1
P
C
图2
D
页脚内容

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4、如图1和2，在20×20的等 距网格
均是1个单位长）中，Rt△
ABC
从点
A
置开始，以每秒1 个单位长的速度先
边与网的底部重合时，继续同样的速
点
C
与点
P< br>重合时，Rt△
ABC
停止移
间为
x
秒，△
QAC< br>的面积为
y
.
（1）如图1，当Rt△
ABC
向下平移到< br>置时，请你在网格中画出Rt△
A
1
B
1
C
1
轴对称的图形；
（每格的宽和高
与点
M
重合的位
向下平移，当< br>BC
度向右平移，当
动.设运动时
Rt△
A
1
B1
C
1
的位
关于直线
QN
成
（2）如图2，在 Rt△
ABC
向下平移的过程中，请你求出
y
与
x
的函数关 系式，并说明当
x
分别取何值时，
y
取得最大
值和最小值？最大值和 最小值分别是多少？
（3）在Rt△
ABC
向右平移的过程中，请你说明当
x
取何值时，
y
取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为
什么？
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...
5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠ C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
( 2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中E F与BE、
CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形 外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交
AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?E F与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
...

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6
、
已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，
BD C=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，
的度数。
7、 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在
让其绕点O旋转，三角 尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观
且∠
求∠E
点O处，
察或测
量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。
页脚内容

...
1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形，证明： ∵DE=EC，EF=EC，∴EF=
1
CD，
2
∴△CDF是直角三角形 （如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种 情况：PB=1，PB=2，PB=3-
2
，PB=3+
2

2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2
3
．∴点M到AD的 距离为2
3
．
∴AH=2．∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．∴CM=CN．∴AC=62．∴CM=CN=AC-AN=62-6．
故x=12-CM=12-（62-6）=18-62．
综上所述：当x=6或12或18-62时，△ADN是等腰三角形。
3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；
（2）△ABP1≌△ADP，且△AB P
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．
理由如下：在△ABP1和△ADP中，
由题意：AB=AD，AP=AP
1
，∠PAD=∠P
1
AB，
∴△ABP1≌△ADP，
又∵△ABP
1
和△ADP有公共顶点A，且∠PAP
1
=90°，
∴△ABP
1
可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；
（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P
1
（-3，3），
点P
1
（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P
2
（-5，3 ），
点P
2
（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P
3
（-1，1），
点P
3
（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P
4
（1，1），
点P
4
（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P
5
（-3，3），
点P
5
与点P
1
重合，点P< br>6
与点P
2
重合，，点P
2009
的坐标为（-3，3）
...
1
（BC- AD）=1，∵DC=
2
，∴由勾股定理得：DF=1，
2

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点P
2010
的坐标为（-5，3）．
4、解：（1）如图1，△A
2
B
2
C
2
是△A< br>1
B
1
C
1
关于直线QN成轴对称的图形；

（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），
则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形
QMBC
-S< br>△
AMQ
-S
△
ABC

=
111
4+20）（x+4）-×20x-×4×4
222
=2x+40（0≤x≤16）．
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，
此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S梯形
BAQP
-S
△
CPQ
-S
△
ABC
=
=-2x+104（16≤x≤32）．
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，
使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．
因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．
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111
（4+20）（36-x）-×20×（32-x）-×4×4
222

...
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．
5、解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF=EO+FO=BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF=BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
此时EF=BE-CF，
6、解：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠E=∠ADB．
∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°，
∴∠E=56°．
7、解：OE=OF．
证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．
∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，
∴∠AOF=∠EOB．
在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE=OF．
...

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