学习教师法心得体会-班主任工作交流

高三数学测试题
一选择题:
2x

1.已知集合
Ayy2
x
,B

xylog

,
A

B
( D )
2

2x


(A)

0,2

(B)

1,2

(C)

,2

(D)

0,2


3x
2
lg(3x1)
的定义域是 ( B ) 2.函数
f(x)
1x
(A)
(,)
(B)
(,1)
(C)
(,)
(D)
(,)

3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )
(A)
yx
3
,xR
(B)
ysinx ,xR
(C)
yx ,xR
(D)
y()
x
,xR

63
4.已知
f(x)< br>是周期为2的奇函数，当
0x1
时，
f(x)lgx.
设
af(),bf(),

52
5
cf(),
则( D )
2
(A)
abc
(B)
bac
(C)
cba
(D)
cab

x1


3,x0
5. 已知函数
f(x)

x
，若
f(x
0
)3
,则
x
0
的取值范围是( A )


log
2
,x0
13
1
3
11
33
1
3
1
2
( A)
x
0
8
(B)
x
0
0
或
x
0
8
(C)
0x
0
8
(D)
x
0
0
或
0x
0
8

6. 若
x
是
f(x)3sin

xcos

x< br>的图象的一条对称轴,则

可以是( C )
6
(A)4 (B) 8 (C) 2 (D)1

(3a1)x4a,x1
是< br>(,)
上的减函数，则
a
的取值范围是( C )
logx ,x1
a


7.已知
f(x)

1
11
(A)
(0,1)
(B)
(0,)
(C)
[,)

3
73
1
2
1
(D)
[,1)

7
8.给定函数:①
yx
,②
ylog
1
(x1)< br>,③
yx1
,④
y2
x1
,其中在区间(0,1)上 单调递
2
减的函数的序号是( C )
(A)①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
21
9.设
a0,b0.
若
3
是
3
a
与
3
2b
的等比中项,则
的最小值为( A )
ab
1
(A)8 (B) 4 (C) 1 (D)
4
10.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或 最后一步,程
序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( C )
(A)34 (B) 48 (C) 96 (D)144

11. 已知命题
p
:存在
x(,),cosx1
; 命题
q:x(,0),2
x
3
x
, 则下列命题为真命题
22

1

的是( D )
(A)
pq
(B)
(p)q
(C)
(p)q
(D)
2
pq

12.若p
:



k

,kz
,
q:f(x)sin(

x

)(

0)
是偶函数,则
p
是
q
的( A )
(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件

二填空题
13.已知
P

xxa

,Q< br>
yysin

,

R

,若
PQ
,则实数
a
的取值范围是
a1

m2
x
1
14. 已知
f(x)
是
R
上的奇函数,则
m
= ;
m1

x
12
15.已知双曲线
xy
21
的右焦点
4b
2
F,与抛物线
y
2
1 2x
的焦点重合,过双曲线的右焦点F作其
渐近线的垂线,垂足为M,则点M的纵坐标为 ;

25

3
16.已知
p:f(x)(2a6)< br>x
在
R
上是单调减函数;
q:
关于
x
的方程
x
2
3ax2a
2
10
的两根
均大于3, 若
p
,
q
都为真命题,则实数
a
的取值范围是 ;
3a,
三.解答题
B＋C
7
17. 在△ABC中，a、b 、c分别为角A、B、C的对边，且4sin
2
2
－cos2A＝
2
.
(1)求∠A的度数；
(2)若a＝3，b＋c＝3，求b、c的值.
B＋C
π
A
解 (1)∵ B＋ C＝ π－ A，即
2
＝
2
－
2
，
B＋C
7A7
由4sin
2
－cos2A＝
2
，得4cos
2
2
－ cos2A＝
2
，
2
7

2
7
即2(1＋ cosA)－ (2cos
2
A－1)＝
2
，整理得4cos
2
A－ 4cosA＋1＝ 0，
1
即(2cosA－1)
2
＝ 0.∴ cos A＝
2
， 又0°b
2
＋c
2
－a
2
(2)由A＝ 60°，根据余弦定理cosA＝
2bc
，
b
2
＋c
2
－a
2
1
即
2bc
＝
2
，∴b
2
＋ c
2
－bc＝ 3，
又b＋ c＝ 3， ②
③
2
①
∴ b
2
＋ c
2
＋ 2bc＝ 9.

① － ③ 整理得：bc＝ 2.

b
＝1，
解②④联立方程组得


c
＝2，
④


b
＝2，
或


c
＝1.


18. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足S< br>n
=2-a
n
，n=1，2，3，….
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b
n
}满足b
1
=1，且b
n+1
=b
n
+a
n
，求数列{b
n
}的通项公式；
(Ⅲ)设c
n
=n(3-bn
)，求数列{c
n
}的前n项和T
n
.

解：(Ⅰ)∵n=1时，a
1
+S
1
=a
1
+a
1
=2 , ∴a
1
=1
∵S
n
=2-a< br>n
即a
n
+S
n
=2 , ∴a
n+1
+S
n+1
=2
两式相减：a
n+1
-a
n
+S
n+1
-S
n
=0
即a
n+1
-a
n
+a
n+1
=0, 2a
n+1
=a
n

∵a
n
≠0 ∴
a
n1
1

(n∈N*)
a
n
2< br>1
2
1
2
所以，数列{a
n
}为首项a
1< br>=1，公比为的等比数列.a
n
=
()
n1
(n∈N*)
(Ⅱ)∵b
n+1
=b
n
+a
n
(n=1，2，3 ，…)
∴b
n+1
-b
n
=()
n-1

得b
2
-b
1
=1
1
2
1
b< br>4
-b
3
=()
2

2
1
2
b
3
-b
2
=
……
b
n
-b
n-1
=()
n-2
(n=2，3，…)
将这n-1个等式累加，得
b
n
-b
1
=1+
 ()
2
()
3


()
n2
12
1
2
1
2
1
2
1
1()
n1
1
2
22()
n1

1
2
1
2
3
1
2

< br>1
2
1
(Ⅲ)∵c
n
=n(3-b
n
)=2 n()
n-1

2
11111
∴T
n
=2[( )
0
+2()+3()
2
+…+(n-1)()
n-2
+n ()
n-1
] ①
22222
1111
11
而 T
n
=2[()+2()
2
+3()
3
+…+(n-1)< br>()
n1
n()
n
] ②
2222
22111111
①-②得：
T
n
2[()
0
()1
()
2


()
n1
]2n()< br>n

222222
1
1()
n
2
4n(
1
)
n
8
8
4n(
1
)
n
=8-(8+4n)
1
(n=1，2，3，…) T
n
=
4
1
2
n
22
2
n
1
2
又∵ b
1
=1，∴b
n
=3-2()
n-1
(n=1，2，3， …)
19. 如图，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1中，AA
1
C
1
C是边长为4的正方形.
平面AB
C
⊥平面AA
1
C
1
C，AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA
1
⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A
1
-BC
1
-B
1
的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC
1
存在点D，使得AD⊥A
1
B，并求
解: (1) ∵
AA
1
C
1
C
为正方形,
A
1
AAC
,
BD
的值.
BC
1
又面
AA
1
C
1
C
⊥面
ABC
,
又面
AA
1
C
1
C
∩面
ABC
=
AC

∴AA
1
⊥平面ABC.
(2)∵AC=4,AB=3,BC=5,
∴
AC
2
AB
2
BC
2
,∴∠CAB=
90

,即AB⊥AC,
又由(1) ∴AA
1
⊥平面ABC.知
A
1
AAB
,
所以建立空间直角坐标系A-xyz, 则
A
1
(0,0,4),
C
1
(4,0,4),
B
1
(0,3,4),B(0,3,0)
设面
A
1
C
B
1
与面B
C
1
B
1
的法向量分别为
n(x,y,z)
,
m(a,b,c)
,


nA
1
C
1
0
3

4x0
n( 0,1,)
, 由

,得

,令
y1
,则
4


3y4z0

nA
1
B0
3
m(,1,0)
, 同理,
4

4

cosn,m
nm
nm

1
25
16

16
,
25
16
.
25
由图知,所求二面角 为锐二面角,所以二面角A
1
-BC
1
-B
1
的余弦值为< br>(3)证明: 设
D(x,y,z)
, ,则
AD(x,y,z)
,
A
1
B(0,3,4)
,
BC
1
(4,3 ,4)
,
因为
C
1
,D,B
三点共线,所以设
BD

BC
1
,即
(x,y3,z)

(4 ,3,4)
,

x4


所以

y 33

, (1)

z4


由ADA
1
B0
得
3y4z0
(2)
由(1)(2)求得


9364836364836
, 即
D(,,)
,
,x,y,z
25252525252525
BD
9
=.

BC
1
25
故在线段BC
1
存在点D，使得AD⊥A
1
B，且
20. 已知函数
f(x)x
3
ax
2
bxc
过曲线yf(x)
上的点
P(1,f(1)
的
)
切线方程为
y=3x+1 。
（1）若函数
f(x)在x2
处有极值，求
f(x)
的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数
yf(x)
在[－3，1]上的最大值；
（3）若函数
yf(x)
在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

f
'
(1)3
解：（1）
f

(x) 3x
2
2axb.
由已知



f(1) 311

f
'
(2)0


32a b3
故


1abc311


124ab0

①
②
③

由①②③得 a=2，b=－4，c=5
32
∴
f
(
x
)
x
2
x
4
x
5.

（2）
f

(x)3x
2
4x4(3x2)(x 2).

当
3x2时,f

(x)0;当2 x
2
时,f

(x)0;

3
2
当 x1时,f

(x)0.f(x)
极大
f(2)13

3

5

又
f(1)4,f(x)
在[－3，1]上最大值是13。
（3）因为y=f(x)在[－2，1]上单调递增，
所以
f

(x)3x
2
2axb0
在[－2，1]上恒成立,
由①知2a+b=0, 所以
3xbxb0
在[－2，1]上恒成立, 
3xbxb
b
6
2

2

mi n
0
, 利用动轴定区间讨论法得
① 当
x1时,f
< br>(x)
min
f

(1)3bb0,b6
；
②当
x2时,f

(x)
min
f
(2)122bb0,b

；
612bb
2
③当
21时,f

(x)
min
0,则0b6.
b12
综上所述，参数b的取值范围是
[0,)

b
6
21.已知△ABC的顶点A，B在椭圆x
2
＋3y
2
＝ 4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

【解析】 (1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程
为y＝ x.
设A，B两点坐标分别为(x
1
，y
1
)， (x
2
，y
2
)．
22


x＋3y＝4
由

，得x＝ ±1.


y＝x


所以|AB|＝ 2|x
1
－ x
2
|＝ 22.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
1
所以h＝ 2，S
△
ABC
＝
2
|AB|·h＝ 2.
(2)设AB所在直线的方程为y＝ x＋ m，
22


x＋3 y＝4
由

，得4x
2
＋ 6mx＋ 3m
2
－ 4＝ 0.


y＝x＋m
因为A，B在椭圆上，所以Δ＝ －12m
2
＋ 64＞ 0.
设A，B两点坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，
3m
2
－4
3m
则x
1
＋ x
2
＝ －
2
，x
1
x
2
＝
4
，
所以|AB|＝ 2＝
32－6m
2
.
2
|2－m|
2
. 又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝

6

所以|AC|
2
＝ |AB|
2
＋ |BC|
2
＝ － m
2
－2m＋10＝ － (m＋1)
2
＋ 11.
所以当m＝ －1时，AC边最长(这时Δ＝ －12＋ 64＞ 0)，
此时AB所在直线的方程为y＝ x－1.

x2tcos

22.已知直线
l
的参数方程为

,
(t为参数 ),以坐标原点为极点,x轴的正半轴建立极

ytsin

坐标系,曲线 C的极坐标系方程为

2sin

2cos

.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)当



4
时,求直线
l
与曲线C的交点的极坐标.
解:(1)由

2si n

2cos

,可得

2
2
sin

2

cos

,
所以曲线C的直 角坐标的方程为
x
2
y
2
2y2x
,标准方程为(x1)
2
(y1)
2
2
,


x12cos

,(

为参数) 所以曲线C的参数方程为



y12sin

(2)当


2
t


x2

2

时, 直线
l
的参数方程为

,
< br>4

y
2
t

2

化为普通方程 为
yx2
,

x
2
y
2
2y 2x

x0

x2
由

得


,
或

y2y0
yx2


所以直线
l
与曲线C的交点的极坐标为
(2,),(2,

)
2



7

高三数学测试题
一选择题:
2x

1.已知集合
Ayy2
x
,B

xylog

,
A

B
( D )
2

2x


(A)

0,2

(B)

1,2

(C)

,2

(D)

0,2


3x
2
lg(3x1)
的定义域是 ( B ) 2.函数
f(x)
1x
(A)
(,)
(B)
(,1)
(C)
(,)
(D)
(,)

3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )
(A)
yx
3
,xR
(B)
ysinx ,xR
(C)
yx ,xR
(D)
y()
x
,xR

63
4.已知
f(x)< br>是周期为2的奇函数，当
0x1
时，
f(x)lgx.
设
af(),bf(),

52
5
cf(),
则( D )
2
(A)
abc
(B)
bac
(C)
cba
(D)
cab

x1


3,x0
5. 已知函数
f(x)

x
，若
f(x
0
)3
,则
x
0
的取值范围是( A )


log
2
,x0
13
1
3
11
33
1
3
1
2
( A)
x
0
8
(B)
x
0
0
或
x
0
8
(C)
0x
0
8
(D)
x
0
0
或
0x
0
8

6. 若
x
是
f(x)3sin

xcos

x< br>的图象的一条对称轴,则

可以是( C )
6
(A)4 (B) 8 (C) 2 (D)1

(3a1)x4a,x1
是< br>(,)
上的减函数，则
a
的取值范围是( C )
logx ,x1
a


7.已知
f(x)

1
11
(A)
(0,1)
(B)
(0,)
(C)
[,)

3
73
1
2
1
(D)
[,1)

7
8.给定函数:①
yx
,②
ylog
1
(x1)< br>,③
yx1
,④
y2
x1
,其中在区间(0,1)上 单调递
2
减的函数的序号是( C )
(A)①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
21
9.设
a0,b0.
若
3
是
3
a
与
3
2b
的等比中项,则
的最小值为( A )
ab
1
(A)8 (B) 4 (C) 1 (D)
4
10.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或 最后一步,程
序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( C )
(A)34 (B) 48 (C) 96 (D)144

11. 已知命题
p
:存在
x(,),cosx1
; 命题
q:x(,0),2
x
3
x
, 则下列命题为真命题
22

1

的是( D )
(A)
pq
(B)
(p)q
(C)
(p)q
(D)
2
pq

12.若p
:



k

,kz
,
q:f(x)sin(

x

)(

0)
是偶函数,则
p
是
q
的( A )
(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件

二填空题
13.已知
P

xxa

,Q< br>
yysin

,

R

,若
PQ
,则实数
a
的取值范围是
a1

m2
x
1
14. 已知
f(x)
是
R
上的奇函数,则
m
= ;
m1

x
12
15.已知双曲线
xy
21
的右焦点
4b
2
F,与抛物线
y
2
1 2x
的焦点重合,过双曲线的右焦点F作其
渐近线的垂线,垂足为M,则点M的纵坐标为 ;

25

3
16.已知
p:f(x)(2a6)< br>x
在
R
上是单调减函数;
q:
关于
x
的方程
x
2
3ax2a
2
10
的两根
均大于3, 若
p
,
q
都为真命题,则实数
a
的取值范围是 ;
3a,
三.解答题
B＋C
7
17. 在△ABC中，a、b 、c分别为角A、B、C的对边，且4sin
2
2
－cos2A＝
2
.
(1)求∠A的度数；
(2)若a＝3，b＋c＝3，求b、c的值.
B＋C
π
A
解 (1)∵ B＋ C＝ π－ A，即
2
＝
2
－
2
，
B＋C
7A7
由4sin
2
－cos2A＝
2
，得4cos
2
2
－ cos2A＝
2
，
2
7

2
7
即2(1＋ cosA)－ (2cos
2
A－1)＝
2
，整理得4cos
2
A－ 4cosA＋1＝ 0，
1
即(2cosA－1)
2
＝ 0.∴ cos A＝
2
， 又0°b
2
＋c
2
－a
2
(2)由A＝ 60°，根据余弦定理cosA＝
2bc
，
b
2
＋c
2
－a
2
1
即
2bc
＝
2
，∴b
2
＋ c
2
－bc＝ 3，
又b＋ c＝ 3， ②
③
2
①
∴ b
2
＋ c
2
＋ 2bc＝ 9.

① － ③ 整理得：bc＝ 2.

b
＝1，
解②④联立方程组得


c
＝2，
④


b
＝2，
或


c
＝1.


18. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足S< br>n
=2-a
n
，n=1，2，3，….
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b
n
}满足b
1
=1，且b
n+1
=b
n
+a
n
，求数列{b
n
}的通项公式；
(Ⅲ)设c
n
=n(3-bn
)，求数列{c
n
}的前n项和T
n
.

解：(Ⅰ)∵n=1时，a
1
+S
1
=a
1
+a
1
=2 , ∴a
1
=1
∵S
n
=2-a< br>n
即a
n
+S
n
=2 , ∴a
n+1
+S
n+1
=2
两式相减：a
n+1
-a
n
+S
n+1
-S
n
=0
即a
n+1
-a
n
+a
n+1
=0, 2a
n+1
=a
n

∵a
n
≠0 ∴
a
n1
1

(n∈N*)
a
n
2< br>1
2
1
2
所以，数列{a
n
}为首项a
1< br>=1，公比为的等比数列.a
n
=
()
n1
(n∈N*)
(Ⅱ)∵b
n+1
=b
n
+a
n
(n=1，2，3 ，…)
∴b
n+1
-b
n
=()
n-1

得b
2
-b
1
=1
1
2
1
b< br>4
-b
3
=()
2

2
1
2
b
3
-b
2
=
……
b
n
-b
n-1
=()
n-2
(n=2，3，…)
将这n-1个等式累加，得
b
n
-b
1
=1+
 ()
2
()
3


()
n2
12
1
2
1
2
1
2
1
1()
n1
1
2
22()
n1

1
2
1
2
3
1
2

< br>1
2
1
(Ⅲ)∵c
n
=n(3-b
n
)=2 n()
n-1

2
11111
∴T
n
=2[( )
0
+2()+3()
2
+…+(n-1)()
n-2
+n ()
n-1
] ①
22222
1111
11
而 T
n
=2[()+2()
2
+3()
3
+…+(n-1)< br>()
n1
n()
n
] ②
2222
22111111
①-②得：
T
n
2[()
0
()1
()
2


()
n1
]2n()< br>n

222222
1
1()
n
2
4n(
1
)
n
8
8
4n(
1
)
n
=8-(8+4n)
1
(n=1，2，3，…) T
n
=
4
1
2
n
22
2
n
1
2
又∵ b
1
=1，∴b
n
=3-2()
n-1
(n=1，2，3， …)
19. 如图，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1中，AA
1
C
1
C是边长为4的正方形.
平面AB
C
⊥平面AA
1
C
1
C，AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA
1
⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A
1
-BC
1
-B
1
的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC
1
存在点D，使得AD⊥A
1
B，并求
解: (1) ∵
AA
1
C
1
C
为正方形,
A
1
AAC
,
BD
的值.
BC
1
又面
AA
1
C
1
C
⊥面
ABC
,
又面
AA
1
C
1
C
∩面
ABC
=
AC

∴AA
1
⊥平面ABC.
(2)∵AC=4,AB=3,BC=5,
∴
AC
2
AB
2
BC
2
,∴∠CAB=
90

,即AB⊥AC,
又由(1) ∴AA
1
⊥平面ABC.知
A
1
AAB
,
所以建立空间直角坐标系A-xyz, 则
A
1
(0,0,4),
C
1
(4,0,4),
B
1
(0,3,4),B(0,3,0)
设面
A
1
C
B
1
与面B
C
1
B
1
的法向量分别为
n(x,y,z)
,
m(a,b,c)
,


nA
1
C
1
0
3

4x0
n( 0,1,)
, 由

,得

,令
y1
,则
4


3y4z0

nA
1
B0
3
m(,1,0)
, 同理,
4

4

cosn,m
nm
nm

1
25
16

16
,
25
16
.
25
由图知,所求二面角 为锐二面角,所以二面角A
1
-BC
1
-B
1
的余弦值为< br>(3)证明: 设
D(x,y,z)
, ,则
AD(x,y,z)
,
A
1
B(0,3,4)
,
BC
1
(4,3 ,4)
,
因为
C
1
,D,B
三点共线,所以设
BD

BC
1
,即
(x,y3,z)

(4 ,3,4)
,

x4


所以

y 33

, (1)

z4


由ADA
1
B0
得
3y4z0
(2)
由(1)(2)求得


9364836364836
, 即
D(,,)
,
,x,y,z
25252525252525
BD
9
=.

BC
1
25
故在线段BC
1
存在点D，使得AD⊥A
1
B，且
20. 已知函数
f(x)x
3
ax
2
bxc
过曲线yf(x)
上的点
P(1,f(1)
的
)
切线方程为
y=3x+1 。
（1）若函数
f(x)在x2
处有极值，求
f(x)
的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数
yf(x)
在[－3，1]上的最大值；
（3）若函数
yf(x)
在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

f
'
(1)3
解：（1）
f

(x) 3x
2
2axb.
由已知



f(1) 311

f
'
(2)0


32a b3
故


1abc311


124ab0

①
②
③

由①②③得 a=2，b=－4，c=5
32
∴
f
(
x
)
x
2
x
4
x
5.

（2）
f

(x)3x
2
4x4(3x2)(x 2).

当
3x2时,f

(x)0;当2 x
2
时,f

(x)0;

3
2
当 x1时,f

(x)0.f(x)
极大
f(2)13

3

5

又
f(1)4,f(x)
在[－3，1]上最大值是13。
（3）因为y=f(x)在[－2，1]上单调递增，
所以
f

(x)3x
2
2axb0
在[－2，1]上恒成立,
由①知2a+b=0, 所以
3xbxb0
在[－2，1]上恒成立, 
3xbxb
b
6
2

2

mi n
0
, 利用动轴定区间讨论法得
① 当
x1时,f
< br>(x)
min
f

(1)3bb0,b6
；
②当
x2时,f

(x)
min
f
(2)122bb0,b

；
612bb
2
③当
21时,f

(x)
min
0,则0b6.
b12
综上所述，参数b的取值范围是
[0,)

b
6
21.已知△ABC的顶点A，B在椭圆x
2
＋3y
2
＝ 4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

【解析】 (1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程
为y＝ x.
设A，B两点坐标分别为(x
1
，y
1
)， (x
2
，y
2
)．
22


x＋3y＝4
由

，得x＝ ±1.


y＝x


所以|AB|＝ 2|x
1
－ x
2
|＝ 22.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
1
所以h＝ 2，S
△
ABC
＝
2
|AB|·h＝ 2.
(2)设AB所在直线的方程为y＝ x＋ m，
22


x＋3 y＝4
由

，得4x
2
＋ 6mx＋ 3m
2
－ 4＝ 0.


y＝x＋m
因为A，B在椭圆上，所以Δ＝ －12m
2
＋ 64＞ 0.
设A，B两点坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，
3m
2
－4
3m
则x
1
＋ x
2
＝ －
2
，x
1
x
2
＝
4
，
所以|AB|＝ 2＝
32－6m
2
.
2
|2－m|
2
. 又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝

6

所以|AC|
2
＝ |AB|
2
＋ |BC|
2
＝ － m
2
－2m＋10＝ － (m＋1)
2
＋ 11.
所以当m＝ －1时，AC边最长(这时Δ＝ －12＋ 64＞ 0)，
此时AB所在直线的方程为y＝ x－1.

x2tcos

22.已知直线
l
的参数方程为

,
(t为参数 ),以坐标原点为极点,x轴的正半轴建立极

ytsin

坐标系,曲线 C的极坐标系方程为

2sin

2cos

.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)当



4
时,求直线
l
与曲线C的交点的极坐标.
解:(1)由

2si n

2cos

,可得

2
2
sin

2

cos

,
所以曲线C的直 角坐标的方程为
x
2
y
2
2y2x
,标准方程为(x1)
2
(y1)
2
2
,


x12cos

,(

为参数) 所以曲线C的参数方程为



y12sin

(2)当


2
t


x2

2

时, 直线
l
的参数方程为

,
< br>4

y
2
t

2

化为普通方程 为
yx2
,

x
2
y
2
2y 2x

x0

x2
由

得


,
或

y2y0
yx2


所以直线
l
与曲线C的交点的极坐标为
(2,),(2,

)
2



7