鸡西一中-总经理年终总结

2020年小学五年级奥数题集锦及答案
1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。甲行 驶了全程的511,如果甲每小时行驶4.5千米，
乙行了5小时。求AB两地相距多少千米 ? 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度是客车的五分之四，货
车行了全 程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。甲乙两地相距多少千米？
3、甲乙两人绕城而行，甲每小 时行8千米，乙每小时行6千米。现在两人同时从同一地点
相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出 发点。求乙绕城一周所需要的时间？

4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程 的14时，乙离B地还有640米，当
甲走余下的56时，乙走完全程的710，求AB两地距离是多少 米？
解：甲走完14后余下1-14=34
那么余下的56是34×56=58
此时甲一共走了14+58=78
那么甲乙的路程比=78：710=5：4
所以甲走全程的14时，乙走了全程的14×45=15
那么AB距离=640（1-15）=800米
5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开 出,相向而行。甲车每小时行75千米，乙车行
完全程需7小时。两车开出3小时后相距15千米，A, B两地相距多少千米？
解：一种情况：此时甲乙还没有相遇
乙车3小时行全程的37
甲3小时行75×3=225千米
AB距离=（225+15）（1-37）=240（47）=420千米
一种情况：甲乙已经相遇
（225-15）（1-37）=210（47）=367.5千米
6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分，走3分后，甲发现有东西没拿，
拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟已相遇?
解：甲相当于比乙晚出发3+3+3=9分钟
将全部路程看作单位1
那么甲的速度=130
乙的速度=120
甲拿完东西出发时，乙已经走了120×9=920
那么甲乙合走的距离1-920=1120
甲乙的速度和=120+130=112
那么再有（1120）（112）=6.6分钟相遇
7、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而 行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若
甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追 上甲车？
解：路程差=36×2=72千米
速度差=48-36=12千米小时
乙车需要7212=6小时追上甲
8、甲乙两人分别从相距36千米的ab两地同时出发,相 向而行,甲从a地出发至1千米时,发
现有物品以往在a地，便立即返回，去了物品又立即从a地向b地 行进，这样甲、乙两人恰
好在a，b两地的终点处相遇，又知甲每小时比乙多走0.5千米，求甲、乙两 人的速度?
解：

1

甲在相遇时实际走了36×12+1×2=20千米
乙走了36×12=18千米
那么甲比乙多走20-18=2千米
那么相遇时用的时间=20.5=4小时
所以甲的速度=204=5千米小时
乙的速度=5-0.5=4.5千米小时
9、两列火车同时从相距400千米两地相向而行, 客车每小时行60千米，货车小时行40千米，
两列火车行驶几小时后，相遇有相距100千米？
解：速度和=60+40=100千米小时
分两种情况，
没有相遇
那么需要时间=（400-100）100=3小时
已经相遇
那么需要时间=（400+100）100=5小时
10、甲每小时行驶9千米，乙每小时行 驶7千米。两者在相距6千米的两地同时向背而行，
几小时后相距150千米?
解：速度和=9+7=16千米小时
那么经过（150-6）16=14416=9小时相距150千米
11、甲乙两车从相距6 00千米的两地同时相向而行已知甲车每小时行42千米，乙车每小时
行58千米两车相遇时乙车行了多 少千米？
解：
速度和=42+58=100千米小时
相遇时间=600100=6小时
相遇时乙车行了58×6=148千米或者
甲乙两车的速度比=42：58=21：29
所以相遇时乙车行了600×29（21+29）=348千米
12、两车相向,6小时相遇,后经4小时,客车到达,货车还有188千米,问两地相距？
解：将两车看作一个整体
两车每小时行全程的16
4小时行16×4=23
那么全程=188（1-23）=188×3=564千米
13、甲乙两地相距600千米, 客车和货车从两地相向而行,6小时相遇,已知货车的速度是客车
的3分之2 ，求二车的速度？
解：二车的速度和=6006=100千米小时
客车的速度=100（1+23）=100×35=60千米小时
货车速度=100-60=40千米小时
14、小兔和小猫分别从相距40千米的A、B两地 同时相向而行，经过4小时候相聚4千米，
再经过多长时间相遇？
解：速度和=（40-4）4=9千米小时
那么还需要49小时相遇
15、甲、乙两车分别从a b两地开出 甲车每小时行50千米 乙车每小时行40千米 甲车比
乙车早1小时到 两地相距多少？
甲车到达终点时，乙车距离终点40×1=40千米
甲车比乙车多行40千米

2

那么甲车到达终点用的时间=40（50-40）=4小时
两地距离=40×5=200千米
16、两辆车从甲乙两地同时相对开出,4时相遇。慢车是 快车速度的五分之三,相遇时快车比
慢车多行80千米，两地相距多少?
解：快车和慢车的速度比=1：35=5：3
相遇时快车行了全程的58
慢车行了全程的38
那么全程=80（58-38）=320千米
17、甲乙两人 分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲每分钟行100米，乙每分钟行120
米，2小时后两人相距 150米。A、B两地的最短距离多少米？最长距离多少米？
解：最短距离是已经相遇，最长距离是还未相遇
速度和=100+120=220米分
2小时=120分
最短距离=220×120-150=26400-150=26250米
最长距离=220×120+150=26400+150=26550米
18、甲乙两地相 距180千米，一辆汽车从甲地开往乙地计划4小时到达，实际每小时比原计
划多行5千米，这样可以比 原计划提前几小时到达？
解：原来速度=1804=45千米小时
实际速度=45+5=50千米小时
实际用的时间=18050=3.6小时
提前4-3.6=0.4小时
19、甲、乙两车同时从AB两地相对开出，相遇时，甲、乙两 车所行路程是4：3，相遇后，
乙每小时比甲快12千米，甲车仍按原速前进，结果两车同时到达目的地 ，已知乙车一共行
了12小时，AB两地相距多少千米？
解：设甲乙的速度分别为4a千米小时，3a千米小时
那么
4a×12×（37）（3a）+4a×12×（47）（4a+12）=12
47+16a7（4a+12）=1
16a+48+16a=28a+84
4a=36
a=9
甲的速度=4×9=36千米小时
AB距离=36×12=432千米算术法：
相遇后的时间=12×37=367小时
每小时快12千米，乙多行12×367=4327千米
相遇时甲比乙多行17
那么全程=（4327）（17）=432千米
20、甲乙两汽车同时从相距325千米的两 地相向而行,甲车每小时行52千米,乙车的速度是甲
车的1.5倍,车开出几时相遇?
解：乙的速度=52×1.5=78千米小时
开出325（52+78）=325130=2.5相遇
21、甲乙两车分别从A，B两地同 时出发相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行全程
的百分之十，当乙行到全程的58时，甲再行全 程的16可到达B地。求A,B两地相距多少
千米？

3

解：乙行全程58用的时间=（58）（110）=254小时
AB距离=（80×254）（1-16）=500×65=600千米
22、甲乙两辆汽车 同时从两地相对开出,甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米。
两车相遇时，乙车离中点2 0千米。两地相距多少千米？
解：甲乙速度比=40：45=8：9
甲乙路程比=8：9
相遇时乙行了全程的917
那么两地距离=20（917-12）=20（134）=680千米
23、甲乙两人分别在 A、B两地同时相向而行，与E处相遇，甲继续向B地行走，乙则休
息了14分钟，再继续向A地行走， 甲和乙分别到达B和A后立即折返，仍在E处相遇。
已知甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，则A和 B两地相距多少米？
解：把全程看作单位1
甲乙的速度比=60：80=3：4
E点的位置距离A是全程的37
二次相遇一共是3个全程
乙休息的14分钟，甲走了60×14=840米
乙在第一次相遇之后，走的路程是37×2=67
那么甲走的路程是67×34=914
实际甲走了47×2=87
那么乙休息的时候甲走了87-914=12
那么全程=840（12）=1680米
24、甲乙两列火车同时从AB两地相对开出，相遇 时，甲.乙两车未行的路程比为4：5，已
知乙车每小时行72千米，甲车行完全程要10小时，问AB 两地相距多少千米？
解：相遇时未行的路程比为4：5
那么已行的路程比为5：4
时间比等于路程比的反比
甲乙路程比=5：4
时间比为4：5
那么乙行完全程需要10×54=12.5小时
那么AB距离=72×12.5=900千米
25、甲乙两人分别以每小时4千米和每小时5千米的速度从A、B两地相向而行，相遇后二
人 继续往前走，如果甲从相遇点到达B地又行2小时，A、B两地相距多少千米？
解：甲乙的相遇时的路程比=速度比=4：5
那么相遇时，甲距离目的地还有全程的59
所以AB距离=4×2（59）=725=14.4千米
2、一项工作，甲5小时先完成4分 之1，乙6小时又完成剩下任务的一半，最后余下的工
作有甲乙合作，还需要多长时间能完成？
解：甲的工作效率=（14）5=120
乙完成（1-14）×12=38
乙的工作效率=（38）6=116
甲乙的工作效率和=120+116=980
此时还有1-14-38=38没有完成
还需要（38）（980）=103小时
3、工程队30天完成一项工程，先由18人做，12天完成了工程的31，如果按时完成还要

4

增加多少人？
解：每个人的工作效率=（13）（12×18）=1648
按时完成，还需要做30-12=18天
按时完成需要的人员（1-13）（1648×18）=24人
需要增加24-18=6人
4、甲乙两人加工一批零件,甲先加工1.5小时,乙再加工,完成任务时,甲完成这批零件的八分之五.已知甲乙的共效比是3:2.问:甲单独加工完成着批零件需多少小时?
解：甲乙工效比=3：2
也就是工作量之比=3：2
乙完成的是甲的23
乙完成（1-58）=38
那么甲和乙一起工作时，完成的工作量=（38）（23）=916
所以甲单独完成需要1.5（58-916）=1.5（116）=24小时
5、一项工程， 甲、乙、丙三人合作需要13天，如果丙休息2天，乙要多做4天，或者由甲、
乙合作多做1天。问：这 项工程由甲单独做需要多少天？
解：丙做2天，乙要做4天
也就是说并做1天乙要做2天
那么丙13天的工作量乙要2×13=26天完成
乙做4天相当于甲乙合作1天
也就是乙做3天等于甲做1天
设甲单独完成需要a天
那么乙单独做需要3a天
丙单独做需要3a2天
根据题意
1a+13a+1（3a2）=113
1a(1+13+23）=113
1a×2=113
a=26
甲单独做需要26天
算术法：丙做13天相当于乙做26天
乙做13+26=39天相当于甲做393=13天
所以甲单独完成需要13+13=26天
6、解：乙做60套，甲做60（45）=75套
甲三天做165-75=90套
甲的工作效率=903=30套
乙每天加工30×45=24套
7、甲、乙两人生 产一批零件,甲、乙工作效率的比是2:1，两人共同生产了3天后，剩下的
由乙单独生产2天就全部完 成了生产任务，这时甲比乙多生产了14个零件，这批零件共有
多少个？
解：将乙的工作效率看作单位1
那么甲的工作效率为2
乙2天完成1×2=2
乙一共生产1×（3+2）=5
甲一共生产2×3=6

5

所以乙的工作效率=14（6-5）=14个天
甲的工作效率=14×2=28个天
一共有零件28×3+14×5=154个
或者设甲乙的工作效率分别为2a个天，a个天
2a×3-（3+2）a=14
6a-5a=14
a=14
一共有零件28×3+14×5=154个
8、一个工程项目，乙单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲乙两队合作完成工程需要20
天；甲队每天 工作费用为1000元，乙每天为550元，从以上信息，从节约资金角度，公司
应选择哪个？应付工程 队费用多少？
解：甲乙的工作效率和=120
甲乙的工作时间比=1：2
那么甲乙的工作效率比=2：1
所以甲的工作效率=120×23=130
乙的工作效率=120×13=160
甲单独完成需要1（130）=30天
乙单独完成需要1（160）=60天
甲单独完成需要1000×30=30000元
乙单独完成需要550×60=33000元
甲乙合作完成需要（1000+550）×20=31000元
很明显
甲单独完成需要的钱数最少
选择甲，需要付30000元工程费。
9、一批零件， 甲乙两人合做5.5天可以超额完成这批零件的0.1，现在先由甲做2天，后由
后由甲乙合作两天，最 后再由乙接着做4天完成任务，这批零件如果由乙单独做几天可以完
成？解：将全部零件看作单位1
那么甲乙的工作效率和=（1+0.1）5.5=15
整个过程是甲工作2+2=4天
乙工作2+4=6天
相当于甲乙合作4天，完成15×4=45
那么乙单独做6-4=2天完成1-45=15
所以乙单独完成需要2（15）=10天 < br>10、有一项工程要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做正好如期完成，如果乙工程队单
独做 就要超过5天才能完成。现由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做正好按期
完成，问规定日期 是多少天？
解：甲做3天相当于乙做5天
甲乙的工作效率之比=5：3
那么甲乙完成时间之比=3：5
所以甲完成用的时间是乙的35
所以乙单独完成需要5（1-35）=5（25）=12.5天
规定时间=12.5-5=7.5天
11、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做3 0天完成，现在乙队先做5天后，剩下
的由甲、乙两队合作，还需要多少天完成？

6

解：乙5天完成5×130=16
甲乙合作的工作效率=120+130=16
那么还需要（1-16）（16）=（56）（16）=5天
12、一项工程 甲独完成要1 0天,乙独做需15天,丙队要20天,3队一起干，甲队因事走了，
结果共用了六天，甲队实际干了多 少天?
解：乙丙的工作效率和=115+120=760
乙丙都做6天，完成760×6=710
甲完成全部的1-710=310
那么甲实际干了（310）（110）=3天
12、加工一个零件，甲需要4小时，乙需要2 .5小时，丙需要5小时。现在有187个零件需
要加工，如果规定三人用同样多的时间完成，那么各应 该加工多少个？
解：甲乙丙加工1个零件分别需要14小时，25小时，15小时
那么完成的时间=187（14+25+15）=1870.85=220小时
那么甲加工14×220=55个
乙加工25×220=88个
丙加工15×220=44个
13、一项工程，由甲先做51，再由甲乙两队合作，又做了1 6天完成。已知甲乙两队的工效
比是2：3，甲乙两队独立完成这项工程各需多少天？
解：甲乙的工作效率和=（1-15）16=（45）16=120
甲的工作效率=120×2（2+3）=150
乙的工作效率=120-150=3100
那么甲单独完成需要1（150）=50天
乙单独完成需要1（3100）=1003天=33又133天
14、一项工程，甲队20人单独做要25天，如果要20天完成，还需再加多少人？
解：将每个人的工作量看作单位1
还需要增加1×25×20（1×20）-20=25-20=5人
15、一项工程，甲先做 3天，然后乙加入，4天后完成的这项工程的3分之1,10天后完成的
这项工程的4分之3。甲因有事 调走，剩余全都让乙做。一共做了多少天？
解：根据题意
甲乙合作开始是4天完成13，后来是10天完成34
所以甲乙合作10-4=6天完成34-13=512
所以甲乙的工作效率和=（512）6=572
那么甲的工作效率=（13-572×4）3=（13-518）3=154
乙的工作效率=572-154=11216
那么乙完成剩下的需要（1-34）（11216）=5411天
一共做了3+10+5411=17又1011天
16、甲乙做相同零件各做了16天后甲还 需64个乙还需384个才能完成乙比甲的工作效率少
百分之40，求甲的效率？
解：设甲的工作效率为a个天，则乙为（1-40%）a=0.6a个天
根据题意
16a+64=0.6a×16+384
16×0.4a=320
0.4a=20
a=50个天

7

甲的工作效率为50个天算术法：
乙比甲每天少做40%
那么16天少做384-64=320个
每天少做32016=20个
那么甲的工作效率=2040%=50个天
17、张 师傅每工作6天休息1天，王师傅每工作5天休息2天。现有一项工程，张师傅独做
需97天，李师傅需 75天，如果两人合作，一共需多少天？
解：
97除以7等于13余6，13*6=78,78+6=84个工作日
75除以7等于10余 5，10*5=50,50+5=55个工作日张师傅每工作日完成184，每周完成
684=114
王师傅每工作日完成155，每周完成555=111
两人合作每工作日完成1394620，每周完成25154
6周完成150154，还剩4154
（4154）（1394620）=120139
所以，6周零一天，43天
18、甲乙丙三人共同完成一项工程，3天完成了全部的15，然 后甲休息了3天，乙休息了2
天，丙没休息，如果甲一天的工作量是丙一天工作量的3倍，乙一天的工作 量是丙一天工作
量的4倍，那么这项工作从开始算起多少天完成？
解：甲乙丙的工作效率和=（15）3=115
丙的工作效率=（115）（3+4+1）=1120
甲的工作效率=1120×3=140
乙的工作效率=1120×4=130
这里把丙的工作效率看作1倍数
甲休息3天，乙休息2天这段时间一共完成
130+1120×3=7120
那么剩下的还需要（1-15-7120）（115）=898天
一共需要3+3+898=17又18天
19、一项工程，甲独做30天，乙独做20天完成 ，甲先做了若干天后，由乙接替，甲乙共做
22天，甲乙各做几天？
解：乙的工作效率=120
乙22天完成120×22=1110
多完成1110-1=110
乙的工作效率和甲的工作效率之差=120-130=160
所以甲做了（110）（160）=6天
乙做了22-6=12天
按照鸡兔同笼问题考虑
20、一项工程甲乙合做需12天完成,若甲先做3天后,再由乙工作 8天,共完成这项工作的512,
如果这件工作由甲单独做，需（）天完成?
解：甲3天乙8天看作甲乙合作3天，乙独做8-3=5天
这是解决问题的关键
乙独做5天完成512-112×3=16
乙的工作效率=（16）5=130
甲的工作效率=112-130=120

8

甲单独完成需要1（120）=20天
21、一项工作，甲乙要4小时完成， 乙丙要6小时完成。现在甲丙合作2小时，剩下的乙7
小时完成。甲乙丙单独要多久完成？
解：甲丙合作2小时，乙独做7小时
相当于甲乙可做2小时，乙丙合作2小时，乙独做7-2-2=3小时
那么乙独做完成1-14×2-16×2=1-12-13=16
乙的工作效率=（16）3=118
甲的工作效率=14-118=736
丙的工作效率=16-118=19
甲单独完成需要1（736）=367天=5又17天
乙单独完成需要1（118）=18天
丙单独完成需要1（19）=9天
22、一 项工程，甲队单独完成需12天，乙队单独完成需18天，现要求在10天内完成，则
甲乙两队至少合作 多少天？
解：此题考虑
至少一个队工作10天，另一个队作为补充
假如甲工作10天，完成112×10=56
那么乙需要帮助（1-56）（118）=（16）（118）=3天
假如乙工作10天，完成118×10=59
甲需要帮助（1-59）（112）=（49）（112）=489天=5又13天
由此，很明显甲乙至少合作3天就可以了。
23、某市日产垃圾700吨，甲乙合作要7小时 ，两厂合作2.5小时后，乙厂单独处理要10
小时，已知甲每小时550元，乙每小时495元，要求 费用不得超过7370元，那么甲至少处
理多少小时？
解：甲乙的工作效率和=17
甲乙合作2.5小时完成17×52=514
乙的工作效率=（1-514）10=9140
甲的工作效率=17-9140=11140
设甲至少处理a小时
那么甲完成a×11140=11a140
还剩下1-11a140需要乙完成
则乙工作的时间=（1-11a140）（9140）=（140-11a）9小时
根据题意
550a+495×（140-11a）9≤7370
4950a+69300-5445a≤66330
495a≥2970
a≥6
甲至少要工作6小时
24、正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙 两队合作，24天可
以完成；需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天 才能完成，
这样需费用110万元。问：
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？
解：甲乙的工作效率和=124

9

20天完成124×20=56
乙的工作效率=（1-56）（40-20）=1120
乙单独完成需要1（120）=120天
甲的工作效率=124-1120=130
甲单独完成需要1（130）=30天
（2）甲乙工作一天需要费用12024=5万元
合作20天需要5×20=100万元
乙单独工作20天需要110-100=10万元
乙工作一天需要1020=0.5万元
那么甲工作一天需要5-0.5=4.5万元
甲单独完成需要4.5×30=135万元
乙单独完成需要0.5×120=60万元 25、生产一批零件，甲每小时可做18个，乙单独做要12小时成。现在由甲乙二人合做，完
成任 务时，甲乙生产的数量之比是3：5，甲一共生产零件多少个？
解：乙的工作效率=112
完成任务时乙工作了（58）（112）=152小时
那么甲一共生产18×152=135个
26、一项工程，甲独做10天完成，乙独做20完 成，现在甲乙合作，甲休息一天，乙休息5
天，完成这项工程要多少天？
解：甲休息1天，乙休息5天，相当于甲乙休息1天后，乙又休息4天
那么甲4天完成410=25
甲乙的工作效率和=110+120=320
那么剩下的需要（1-25）（320）=（35）（320）=4天
完成全部工程需要4+5=9天
27、一条长1200M的小巷进行路面修理，计划由甲乙共 同完成，若甲、乙合做24天可完成，
若甲乙合做16天后，剩下由乙独做20天完成，求甲乙每天修路 多少M？若每天用70元，
乙每天用40元，要使工程费用不超过2500元，问：甲队至多施工几天？
解：
甲乙的工作效率和=124
16天完成124×16=23
那么乙的工作效率=（1-23）20=160
甲的工作效率=124-160=140
甲单独完成需要1（140）=40天
乙单独完成需要1（160）=60天
甲每天修120040=30米
乙每天修120060=20米
设甲至多施工a天
那么乙工作（1200-30a）20=60-3a2天
70a+（60-3a2）×40≤2500
70a+2400-60a≤2500
10a≤100
a≤10天
甲至多工作10天
问题1 如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数

10

字组成的。那么，这样的四位数最多能有多少个？
这是北京市小学生第十五 届《迎春杯》数学竞赛决赛试卷的第三大题的第4小题，也是选手
们丢分最多的一道题。
得到a＝1，b＋e＝9，（e≠0），c＋f＝9，d＋g＝9。
为了计算这样的四位数 最多有多少个，由题设条件a，b，c，d，e，f，g互不相同，可知，
数字b有7种选法（b≠1， 8，9），c有6种选法（c≠1，8，b，e），d有4种选法（d≠1，8，
b，e，c，f)。于 是，依乘法原理，这样的四位数最多能有（7×6×4=）168个。
在解答完问题1以后，如果再进一步思考，不难使我们联想到下面一个问题。
问题2 有四 张卡片，正反面各写有1个数字。第一张上写的是0和1，其他三张上分别写有
2和3，4和5，7和8 。现在任意取出其中的三张卡片，放成一排，那么一共可以组成多少
个不同的三位数？
此题为北京市小学生第十四届《迎春杯》数学竞赛初赛试题。其解为：
后，十位数字b可取 其他三张卡片的六种数字；最后个位数c可取剩余两张卡片的四种数字。
综上所述，一共可以组成不同的 三位数共（7×6×4＝）168个。
如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库,那么甲仓库的货物正好 是乙仓库的2倍；如果从甲仓库
搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，原来两 仓库各存货物多少
吨？
67×(2+1)-17×(5+1)
=201-102
=99（吨）
99÷〔(5+1)-（2+1）〕
=99÷3
=33（吨）答：原来的乙有33吨。
（33+67）×2+67
=200+67
=267（吨）答：原来的甲有267吨。
分析：
1、如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库,那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；
甲和乙 总的数量没有变，总的数量包括2+1=3个现在的乙，现在的乙是原来的乙加上67得
来。所以总的数 量就包括3个原来的乙和3个67〔67×(2+1)=201〕。
2、如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，
理由同上，总的数量包括5+1=6个原来的乙和6个17（即17×(5+1)=102）
3、从1和2可看出，原来3个乙和原来6个乙只相差3个乙，而这三个乙正好相差201-102=99吨。可求出原来的乙是多少，99÷3=33吨。
4、再求原来的甲即可。
甲每小时行12千米,乙每小时行8千米.某日甲从东村到西村,乙同时从西村到东村,以知乙到
东 村时,甲已先到西村5小时.求东西两村的距离
甲乙的路程是一样的,时间甲少5小时,设甲用t小时
可以得到
1. 12t=8(t+5)
t=10
所以距离=120千米
小明和小芳围绕着一个池塘跑步，两人从同一点出发，同向而行。小明：280米分；小芳：

11

220分。8分后，小明追上小芳。这个池塘的一周有多少米？
280*8-220*8=480
这时候如果小明是第一次追上的话就是这样多
这时候小明多跑一圈...
1.用3.5.7.0组成一个两位数,( )乘( )的积最大.( )乘( )的积最小.
2.有一些积木的块数比50多,比70少,每7个一堆, 多了一块,每9个一堆,还是多1块,这些积
木有多少块?
3.6盆花要摆成4排,每排3盆,应该怎样摆?
4.4(1)班有4个人参加4X50米接力赛,问有多少种不同的安排方法?
5.能否从右图中选出5个数,使它们的和为60?为什么? 15 25 35
25 15 5
5 25 45
6.5饿连续偶数的和是240,这5个偶数分别是多少?
7.某人从甲地到乙地,先骑12小时摩托车,再骑9小时自行车正好到达.返回时,先骑21小时自< br>行车,再骑8小时摩托车也正好到达.从甲地到乙地如果全骑摩托车需要多少时间?
1 70*53最大 30*75最小
2 64块
3 五角星形
4 4*3*2*1=24
5不能，因为都是奇数，奇数个奇数相加不可能得偶数
6.24 05=48，则其余偶数是：48-2=46，48-4=44，48+2=50，48+4=52
7.摩托车的速度是xkmh,自行车速是ykmh 。
21y+8x=12x+9y
4x=12y
x=3y
所以摩托车共需12+93=15小时
数出图中含有号的长方形个数(含一个或二个都可以)
* * *
第1题儿子算出来是8+16+8=32个,答案却是30个.
第2题儿子算出来是(12 +24+24+12)*2,然后减去2*重复的,9+18+9=36,答案说应该减去48个,
为什 么呢?
一、填空题
1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米 ,每秒行17米.两车同向而行,从第一
列车追及第二列车到两车离开需要几秒?

2.某人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火
车的速度.



3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快 车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行
10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒 后快车超过慢车,求两列火车的车身
长.


12

4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过3 10米的隧道需要30秒.这列火车
的速度和车身长各是多少?


< br>5.小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下
了 火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车
尾过第二根电 线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小
敏算出火车的全长和 时速吗?



6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速 度穿过380米的山洞需要30秒.求这列火
车的速度与车身长各是多少米.



7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车 从甲
身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少< br>时间后两人相遇?



8. 两列火车,一列长120米,每秒 行20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头
相遇到车尾离开需要几秒钟?



9.某人步行的速度为每秒钟2米.一列火车从后面开来,越过他用了 10秒钟.已知火车的长为
90米,求列车的速度.



10 .甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又
遇乙,从 乙身边开过,只用了7秒钟,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇?



二、解答题
11.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行 18米.两车同向并行,当快车车尾接慢车
车尾时,求快车穿过慢车的时间?


13

12.快车长182米,每秒行20米,慢车长1 034米,每秒行18米.两车同向并行,当两车车头齐时,
快车几秒可越过慢车?



13.一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对面 开来,从他身边通过
用了8秒钟,求列车的速度.



14. 一列火车长600米,它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道,从车头进入隧道到车尾离
开隧道共 需多少时间?



一、填空题
120米
102米
17x米
20x米
尾
尾
头
头
1. 这题是“两列车”的追及问题.在这里,“追及”就是第一列车的车头追及第二列 车的车尾,“离
开”就是第一列车的车尾离开第二列车的车头.画线段图如下:
设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要x秒,列方程得:
102+120+17 x =20 x
x =74.
2. 画段图如下:
头
90米
尾
10x
设列车的速度是每秒x米,列方程得
10 x =90+2×10
x =11.
头
尾
快车
头
尾

14

慢车
头
尾
快车
头
尾
慢车
3. (1)车头相齐,同时同方向行进,画线段图如下:
则快车长:18×12-10×12=96(米)
(2)车尾相齐,同时同方向行进,画线段图如下:
头
尾
快车
头
尾
慢车
头
尾
快车
头
尾
慢车
则慢车长:18×9-10×9=72(米)
4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米秒)
(2)车身长是:13×30-310=80(米)
5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米小时)
(2)车身长是:20×15=300(米)
6. 设火车车身长x米,车身长y米.根据题意,得
①②
解得
7. 设火车车身长x米,甲、乙两人每秒各走y米,火车每秒行z米.根据题意,列方程组,得
①②
①-②,得:
火车离开乙后两人相遇时间为:
(秒) (分).
8. 解:从车头相遇到车尾离开,两车所行距离之和恰为两列车长之和,故用相遇问题得所求时
间为:(120+60)¸(15+20)=8(秒).
9. 这样想:列车越过人时,它们的路 程差就是列车长.将路程差(90米)除以越过所用时间(10秒)
就得到列车与人的速度差.这速度差 加上人的步行速度就是列车的速度.
90÷10+2=9+2=11(米)
答:列车的速度是每秒种11米.
10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就必须求出甲、 乙二人这时的距离与他们速度的关系,而
与此相关联的是火车的运动,只有通过火车的运动才能求出甲、 乙二人的距离.火车的运行时
间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它和甲、乙二人的速度的比 例关系.由于本问题

15

较难,故分步详解如下:
①求出火车速度 与甲、乙二人速度 的关系,设火车车长为l,则:
(i)火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追及问题:
故 (1)
(i i)火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为相遇问题:
故 . (2)
由(1)、(2)可得: ,
所以, .
②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:
③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离.
火车头遇甲后,又经过(8+5×60)秒后 ,火车头才遇乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距
离为:
④求甲、乙二人过几分钟相遇?
(秒) (分钟)
答:再过 分钟甲乙二人相遇.
二、解答题
11. 1034÷(20-18)=91(秒)
12. 182÷(20-18)=91(秒)
13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米秒)
答:列车的速度是每秒34米.
14. (600+200)÷10=80(秒)
答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共需80秒.
平均数问题
1. 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学
两科的平均分 是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，
而且英语比语文 多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？
2. 甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤. 甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均
亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？
3. 已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。
4. 甲种糖每千克8.8元 ，乙种糖每千克7.2元，用甲种糖5千克和多少乙种糖混合，才能使
每千克糖的价钱为8.2元？
5. 食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到十种不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.问这五只羊各重多少千克？
等差数列
1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？
解答：2、5、8、11、14、……。 从规律看出：这是一个等差数列，且首项是2，公差是3，
这样第1995项=2＋3×（1995－1）=5984
2、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少？
解答：我们发现：1、 2、3、4、5、6、7、……中，从1开始每三个数一组，每组前2个不
能被3除尽，2个一组，10 0个就有100÷2=50组，每组3个数，共有50×3=150，那么第100
个不能被3除尽的数 就是150－1=149.
3、把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？
解答：28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：
1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54， 这样转化为和差问

16

题，最大数为（142＋54）÷2=98。
4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？
解答：因为34×28＋28=35×28=980＜1000，所以只有以下几个数：
34×29＋29=35×29
34×30＋30=35×30
34×31＋31=35×31
34×32＋32=35×32
34×33＋33=35×33
以上数的和为35×（29＋30＋31＋32＋33）=5425
5、盒子里装着分别写 有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干
张卡片，并算出这若干张卡 片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的
卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作 后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已
知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那 张黄色卡片上所写的数。
解答：因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考 虑，之前先退到
简单的情况分析： 假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16， 如果分开
算分别为3和13，再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，
总和除以17的余数不变，回到题目1＋2＋3＋……＋134＋135=136×135÷2=918 0，
9180÷17=540， 135个数的和除以17的余数为0，而19+97=116，116÷17=6……14， 所以
黄卡片的数是17-14=3。
6、下面的各算式是按规律排列的：
1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少
个算式的结果是1992？
解答：先找出规律： 每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是
从1开始的连续奇数。 因为1992是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为
奇数，所以是1或3， 如果是1 ：那么第二个数为1992－1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996
项，而数字1 始终是奇数项，两者不符， 所以这个算式是3+1989=1992，是（1989＋1）÷2=995
个算式。
7、 如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差（大数减小数）最
小是多少？
解答：从左向右算它们的差分别为：999、992、985、……、12、5。 从右向左算它们的差
分别为：1332、1325、1318、……、9、2， 所以最小差为2。
8、有19个算式：
那么第19个等式左、右两边的结果是多少？
解答：因为左、右两边是相等，不妨只考虑左边的情况，解决2个问题： 前18个式子用去
了多少个数？ 各式用数分别为5、7、9、……、第18个用了5＋2×17=39个， 5＋7＋9＋……
＋39=396，所以第19个式子从397开始计算； 第19个式子有几个数相加？ 各式左边用
数分别为3、4、5、……、第19个应该是3＋1×18=21个， 所以第19个式子结果是397＋
398＋399＋……＋417=8547。
9、已知两列数： 2、5、8、11、……、2＋（200－1）×3； 5、9、13、17、…… 、5＋（200
－1）×4。它们都是200项，问这两列数中相同的项数共有多少对？
解 答：易知第一个这样的数为5，注意在第一个数列中，公差为3，第二个数列中公差为4，
也就是说，第 二对数减5即是3的倍数又是4的倍数，这样所求转换为求以5为首项，公差
为12的等差数的项数，5 、17、29、……， 由于第一个数列最大为2＋（200－1）×3=599；
第二数列最大为5 ＋（200－1）×4=801。新数列最大不能超过599，又因为5＋12×49=593，

17

5＋12×50=605， 所以共有50对。
11、某工 厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同
人数的工人到分厂工作 ，直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量
是8070个工作日（一人工作一 天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂
工作的工人共多少人？
解答：11月份有30天。 由题意可知，总厂人数每天在减少，最后为240人，且每天人数
构成等差数列，由等差数列的性质可知，第一天和最后一天人数的总和相当于8070÷15=538
也就是说第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）÷（30-1）=2人， 所以全月
共派出2*30=60人。
12、小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35 页，以后每天都比前一天多读5页，结
果最后一天只读了35页便读完了；第二次读时，第一天读45页 ，以后每天都比前一天多读
5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页？
解答：第一方案：35、40、45、50、55、……35 第二方案：45、50、55、60、65、……40 二
次方案调整如下： 第一方案：40、45、 50、55、……35+35（第一天放到最后惶熘腥ィ?P>
第二方案：40、45、50、55、… …（最后一天放到第一天） 这样第二方案一定是40、45、
50、55、60、65、70，共385页。
13、7 个小队共种树100棵，各小队种的查数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，
种树最少的小队最 少种了多少棵？
解答：由已知得，其它6个小队共种了100-18=82棵， 为了使钌俚男《又值氖髟缴僭胶茫?
敲戳?个应该越多越好，有： 17+16+15+14+13=75棵， 所以最少的小队最少要种82-75=7
棵。
14、将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去
掉最大数 和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少？
解答：最大与最小数的和为170－150=20，所以最大数最大为20－1=19， 当最大为19 时，
有19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170， 当最大为18时，有18
＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋2= 158， 所以最大数为19时，有第2
个数为7。
周期问题
基础练习
1、（1）○△□□○△□□○△□□……第20个图形是（□）。
（2） 第39个棋子是（黑子）。
2、 小雨练习书法，她把“我爱伟大的祖国”这句话依次反复书写，第60个字应写（大）。
3、 二( 1)班同学参加学校拔河比赛，他们比赛的队伍按“三男二女”依次排成一队，第26个
同学是（男同学 ）。
4、 有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5……第20个数字是（3），这20个数的和是（58）。
5、 有同样大小的红、白、黑三种珠子共100个，按照3红2白1黑的要求不断地排下去。
……
(1)第52个是（白）珠。
(2)前52个珠子共有（17）个白珠。
6、甲问乙：今天是星期五，再过30天是星期（日）。
乙问甲：假如16日是星期一，这个月的31日是星期（二）。
2006年的5月1日是星期一，那么这个月的28日是星期（日）。
※ 甲、乙、丙、丁 4人玩扑克牌，甲把“大王”插在54张扑克牌中间，从上面数下去是第
37张牌，丙想了想，就很有把 握地第一个抓起扑克牌来，最后终于抓到了“大王”，你知道

18

丙是怎么算出来的吗?（37÷4=9…1 第一个拿牌的人一定抓到“大王”，）
答案
1、（1）□。
（2）黑子。
2、大。
3、男同学。
4、第20个数字是（3），这20个数的和是（58）。
5、 (1)第52个是（白）珠。
(2)前52个珠子共有（17）个白珠。
6、（日）。（二）。（日）。
※ （37÷4=9…1 第一个拿牌的人一定抓到“大王”，）
提高练习
1、（1）○△□□○△□□○△□□……第20个图形是（□）。
（2）○□◎○□◎○□◎○…… 第25个图形是（○）。
2、运动场上有一排彩旗，一共34面，按“三红一绿两黄”排列着，最后一面是（绿旗）。
3、“从小爱数学从小爱数学从小爱数学……”依次排列，第33个字是（爱）。
4、(1 )班同学参加学校拔河比赛，他们比赛的队伍按“三男二女”依次排成一队，第26个同
学是（男同学） 。
5、有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5……第20个数字是（3），这20个数的 和是（58）。
6、甲问乙：今天是星期五，再过30天是星期（日）。
乙问甲：假如16日是星期一，这个月的31日是星期（二）。
2006年的5月1日是星期一，那么这个月的28日是星期（日）。
※ 甲、乙、丙、丁 4人玩扑克牌，甲把“大王”插在54张扑克牌中间，从上面数下去是第
37张牌，丙想了想，就很有把 握地第一个抓起扑克牌来，最后终于抓到了“大王”，你知道
丙是怎么算出来的吗?
※ 37÷4=9…1 （第一个拿牌的人一定抓到“大王”）
答案
1、（1）□。
（2）○。
2、绿旗。
3、爱。
4、(1)男同学。
5、第20个数字是（3），这20个数的和是（58）。
6、（日）。（二）。（日）。
※ 37÷4=9…1 （第一个拿牌的人一定抓到“大王”）
小学五年级奥数题——速算与巧算
例1：计算：9.996＋29.98＋169.9＋3999.5
解：算式中的加法看来无法用 数学课中学过的简算方法计算，但是，这几个数每个数只
要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数， 把这几个数“凑整”以后，就容易计算了。当
然要记住，“凑整”时增加了多少要减回去。
9.996＋29.98＋169.9＋3999.5
=10＋30＋170＋4000－（0.004＋0.02＋0.1＋0.5）
=4210－0.624
=4209.376

19

例2：计算：1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04 ＋0.03－0.02－0.01
解：式子的数是从1开始，依次减少0.01，直到最后一个数 是0.01，因此，式中共有
100个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再 减两个数……这样
的顺序排列的。
由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以 考虑每4个数为一组添上括号，
每组数的运算结果是否也有一定的规律？可以看到把每组数中第1个数减 第3个数，第2
个数减第4个数，各得0.02，合起来是0.04，那么，每组数（即每个括号）运算 的结果都是
0.04，整个算式100个数正好分成25组，它的结果就是25个0.04的和。
1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋ 0.03－0.02－0.01
=（1＋0.99－0.98－0.97）＋（0.96＋0.9 5－0.94－0.93）＋…＋（0.04＋0.03－0.02－0.01）
=0.04×25
=1
如果能够灵活地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算：
1＋0.99－0 .98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01
=1＋（0.99－0.98－0.97＋0.96）＋（0.95－0.94－0.93＋0.9 2）＋…＋（0.03－0.02－0.01）
=1
例3：计算：0.1＋0.2＋0 .3＋…＋0.8＋0.9＋0.10＋0.11＋0.12＋…＋0.19＋0.20
解：这个 算式的数的排列像一个等差数列，但仔细观察，它实际上由两个等差数列组成，
0.1＋0.2＋0.3 ＋…＋0.8＋0.9是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.1，而0.10
＋0.11 ＋0.12＋…＋0.19＋0.20是第二个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.01，所
以 ，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。
0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.8＋0.9＋0.10＋0.11＋0.12＋…＋0.19＋0.20
=（0.1＋0.9）×9÷2＋（0.10＋0.20）×11÷2
=4.5＋1.65
=6.15
例4：计算：9.9×9.9＋1.99
解：算式中的9.9×9.9两个因数中一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，积不变，
即这个 乘法可变为99×0.99；1.99可以分成0.99＋1的和，这样变化以后，计算比较简便。
9.9×9.9＋1.99
=99×0.99＋0.99＋1
=（99＋1）×0.99＋1
=100
例5：计算：2.437×36.54＋243.7×0.6346
解：虽然算式中的两 个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.437和后一个乘法
的243.7两个数的数字相同， 只是小数点的位置不同，如果把其中一个乘法的两个因数的小
数点按相反方向移动同样多位，使这两个数 变成相同的，就可以运用乘法分配律进行简算了。
2.437×36.54＋243.7×0.6346
=2.437×36.54＋2.437×63.46
=2.437×（36.54＋63.46）
=243.7
*例6：计算：1.1×1.2×1.3×1.4×1.5
解：算式中的几个数虽然是一 个等差数列，但算式不是求和，不能用等差数列求和的方
法来计算这个算式的结果。
平时注意积累计算经验的同学也许会注意到7、11和13这三个数连乘的积是1001，而

20

一个三位数乘1001，只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积，例 如578×1001=578578，
这一题参照这个方法计算，能巧妙地算出正确的得数。
1.1×1.2×1.3×1.4×1.5
=1.1×1.3×0.7×2×1.2×1.5
=1.001×3.6
=3.6036
计算下列各题并写出简算过程：
1．5.467＋3.814＋7.533＋4.186 2．6.25×1.25×6.4



3．3.997＋19.96＋1.9998＋199.7 4．0.1＋0.3＋…＋0.9＋0.11＋0.13＋0.15＋…＋0.97＋0.99



5．199.9×19.98－199.8×19.97 6．23.75×3.987＋6.013×92.07＋6.832×39.87



*7．20042005×20052004－20042004×20052005



*8．（1＋0.12＋0.23）×（0.12＋0.23＋0 .34）－（1＋0.12＋0.23＋0.34）×（0.12＋0.23）



计算下列各题并写出简算过程：
1．6.734－1.536＋3.266－4.464 2．0.8÷0.125


3．89.1＋90.3＋88.6＋92.1＋88.9＋90.8 4．4.83×0.59＋0.41×1.59－0.324×5.9


5．37.5×21.5×0.112＋35.5×12.5×0.112



五年级下册数奥试题
用简便方法计算下面各题。
20.36－7.98－5.02－4.36 117.8÷2.3－4.88÷023




21

9.56×4.18－7.34×4.18－0.26×4.18



1、有123名小朋友，把他们分成12人一组或7人一组，恰好分完，而无剩余 。又知总的组
数在15组左右。那么，12人的多少组？7人的有多少组？



2、张妮5次考试的平均成绩是88.5分，每次考试的满分是100分，为了使平均成绩尽 快达
到92分以上，那么张妮要再考多少次满分？



3、父亲 与三个儿子年龄和是108岁，若再过6年，父亲的年龄正好等于三个儿子年龄的和。
问父亲现年多少岁 ？



4、加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完成任务。 由于改进了生产技术，实际
每天加工了100个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且还多加工了1 00个。他们实际
加工零件多少个？



5、一个水池能装8吨 水，水池里装有一个进水管和一个出水管，两管齐开，20分钟能把一
池水放完。已知进水管每分钟往池 里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？


6、将一根电线截成15段。一 部分每段长8米，另一部分每段长5米。长8米的总长度比长
5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米 ？


7、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重4千克，鱼头的重量等 于鱼尾的重量
加鱼身一半的重量，而鱼身的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条大鱼重多少千克？



8、体育室买回5个足球和4个篮球需要付287元，买2个足球和3 个篮球需要付154元。
那么买一个足球、一个篮球各付多少元？




22

9、有5元的和10元的人民币共14张，共100元。问5元币和10元币各多少张？



10、某人从A村翻过山顶到B村，共行30.5千米，用了7小时， 他上山每小时行4千米，
下山每小时行5千米。如果上下山速度不变，从B村沿原路返回A村，要用多少 时间？



11、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲骑车每小时 行16千米，乙骑摩托车每小时
行65千米。甲离出发点62.4千米处与乙相遇。AB两地相距多少千 米？



12、乌龟与兔子赛跑，兔子每分钟跑35千米，乌龟每分钟爬 10米，途中兔子睡了一觉，醒
来时发现乌龟已经在自己前50米。问兔子还需要多少长时间才能追上乌 龟？



13、在一个600米长的环形跑道上，兄妹两人同时在同一起 点都按顺时针方向跑步，每隔
12分钟相遇一次。若两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥改为 按逆时针方向跑，
则每隔4分钟相遇一次。两人跑一圈各要几分钟？



14、静水中，甲乙两船的速度分别是每小时20千米和16千米，两船先后自某港顺水开出，
乙比甲早出发2小时，若水速是每小时行4千米，甲开出后几小时追上乙？


15 、一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米的遂道需要30秒，这列
火车的速 度和本身长各是多少？



16、一个书架分上、下两层，上层的书的本 数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上
层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？



17、有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车 装的千克数正好是乙车的
2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各包含与排除


1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组

23

都参加。那么有多少人两个小组都不参加？
解：两个小组共有（15+18）-10=23（人），
答：有17人两个小组都不参加。
2、某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文成绩均
得 满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。那么语文成绩得满分的有多少人？
解：45-29-10+3=9（人）
答：语文成绩得满分的有9人。
3、5 0名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，……，49，50依次报
数；再让报 数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在
面向老师的同学还有多少 名？
解：4的倍数有504商12个，6的倍数有506商8个，既是4又是6的倍数有5012商 4
个。
4的倍数向后转人数=12，6的倍数向后转共8人，其中4人向后，4人从后转回。
面向老师的人数=50-12=38（人）
答：现在面向老师的同学还有38名。 4、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券。按奖券标签号发放奖品
的规 则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
（3）标签号 既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔。那
么游艺会为该项活动准备 的奖品铅笔共有多少支？
解：2的倍数有1002商50个，3的倍数有1003商33个，2和3人倍数有1006商16个。
领2支的共准备（50—16）*2=68，领3支的共准备（33—16）*3=51，重复领的共准 备16*
（2+3）=80，其余准备100-（50+33-16）*1=33
共需要68+51+80+33=232（支）
答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。
5、有一根长为180厘米的绳子， 从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，
然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成 了多少段？
解：3厘米的记号：1803=60，最后到头了不划，60-1=59个
4厘米记号：1804=45，45-1=44个，重复的记号：18012=15，15-1=14个，所以绳 子中间
实际有记号59+44-14=89个。
剪89次，变成89+1=90段
答：绳子共被剪成了90段。
6、东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六 年级的，有15幅画不是五年级
的。现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？
解：1，2，3，4，5年级共有16，1，2，3，4，6年级共有15，5，6年级共有25
所以总共有（16+15+25）2=28（幅），1，2，3，4年级共有28-25=3（幅）
答：其他年级的画共有3幅。
7、有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4 的倍数，其中标有3的倍数的
卡片占23，标有4的倍数的卡片占34，标有12的倍数的卡片有15张 。那么，这些卡片
一共有多少张？
解：12的倍数有23+34-1=512，15（512）=36（张）
答：这些卡片一共有36张。
8、在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个？
解： 5的倍数有10005商200个，7的倍数有10007商142个，既是5又是7的倍数有100035商28个。5和7的倍数共有200+142-28=314个。

24

1000-314=686
答：既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有686个。
9、五年级三班学生参加课外兴趣 小组，每人至少参加一项。其中有25人参加自然兴趣小组，
35人参加美术兴趣小组，27人参加语文 兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有
12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人， 参加自然同时又参加语文兴趣小组的
有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人。求这个班 的学生人数。
解：25+35+27-（8+12+9）+4=62（人）
答：这个班的学生人数是62人。
10、如图8-1，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为3 0，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的
面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73。求阴影 部分的面积。
解：甲、乙、丙三者重合部分面积=73+（6+8+5）-3*30=2
阴影部分面积=73-（6+8+5）+2*2=58
答：阴影部分的面积是58。 < br>11、四年级一班有46名学生参加3项课外活动。其中有24人参加了数学小组，20人参加
了 语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是3
项活动都参加 人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数
的2倍，既参加数学小组又 参加语文小组的有10人。求参加文艺小组的人数。
解：设参加文艺小组的人数是X，24+20+ X-（X305+27*X+10）+X7=46，解得X=21
答：参加文艺小组的人数是21人。
12、图书室有100本书，借阅图书者需要在图书上 签名。已知在100本书中有甲、乙、丙签
名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图 书为29本，同时有甲、丙签名的
图书有25本，同时有乙、丙签名的图书有36本。问这批图书中最少 有多少本没有被甲、乙、
丙中的任何一人借阅过？
解：三个人一共看过的书的本数是：甲+ 乙+丙-（甲乙+甲丙+乙丙）+甲乙丙=33+44+55-
（29+25+36）+甲乙丙=42+ 甲乙丙，当甲乙丙最大时，三人看过的书最多，因为甲、丙共同
看过的书只有25本，比甲乙和乙丙共同 看到的都少，所以甲乙丙最多共同看过25本。
三人总共看过最多有42+25=67（本），都没看过的书最少有100-67=33（本）
答：这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过。
13、如图8-2， 5条同样长的线段拼成了一个五角星。如果每条线段上恰有1994个点被染成
红色，那么在这个五角星 上红色点最少有多少个？
解：五条线上右发有5*1994=9970个红点，如果所有交叉点上都 放一个红点，则红点最少，
这五条线有10个交叉点，所以最少有9970-10=9960个红点
答：在这个五角星上红色点最少有9960个。
14、甲、乙、丙同时给100盆花浇水。 已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那
么3人都浇过的花最少有多少盆？
解 ：甲和乙必有78+68-100=46盆共同浇过，丙有100-58=42没浇过，所以3人都浇过的最少有46-42=4（盆）
答：3人都浇过的花最少有4盆。
15、甲、乙、丙都 在读同一本故事书，书中有100个故事。每个人都从某一个故事开始，按
顺序往后读。已知甲读了75 个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那么甲、乙、
丙3人共同读过的故事最少有多少个？
解：乙和丙共同读过的故事至少有60+52-100=12（个），甲无论从哪里开始都必定要读这1 2
个故事。
答：甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有12个。

25

15、甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事。每个人都 从某一个故事开始，按
顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那 么甲、乙、
丙3人共同读过的故事最少有多少个？
解：乙和丙共同读过的故事至少有60+ 52-100=12（个），甲无论从哪里开始都必定要读这12
个故事。
答：甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有12个。
以下是引用abc在2004-12-12 15:42:17的发言：
8、在从1至100 0的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个？解：5的
倍数有10005商200个 ，7的倍数有10007商142个，既是5又是7的倍数有100035商
28个。5和7的倍数共有 200+142-28=314个。
1000-314=686
答：既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有686个。题中的除尽应该是整除吧.
11、四 年级一班有46名学生参加3项课外活动。其中有24人参加了数学小组，20人参加
了语文小组，参加 文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是3
项活动都参加人数的7倍，既 参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数
的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的 有10人。求参加文艺小组的人数。解：设参加
文艺小组的人数是X，24+20+X-（X305+2 7*X+10）+X7=46，解得X=21答：参加文艺小
组的人数是21人。
1. 四年 级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13
人。问订阅《少年 文摘》或《学与玩》的有多少人？



2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画
画的分别有多少
人？


3. 1至100的自然数中：（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？



（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下 ：英语得100分的有12人，数学得100分的
有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课 都未得100分的有26人。这个班共有学
生多少人？



5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不
会的有多少人？



26

6. 一个班有学生4 2人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参
加一个队。这个班两队都参加的 有多少人？



【试题答案】
1. 四年级三班订阅《少 年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有
13人。问订阅《少年文摘》
或《学与玩》的有多少人？
19 + 24—13 = 30（人）
答：订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。
2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画
画的分别有多少
人？
只学钢琴人数：58—37 = 21（人）
只学画画人数：43—37 = 6（人）
3. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数
100÷6 = 16……4
所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
100÷2 = 50，100÷3 = 33……1
50 + 33—16 = 67（个）
所以，是2的倍数或是3的倍数的数有67个。
（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
50—16 = 34（个）
答：是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。
4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下： 英语得100分的有12人，数学得100分的
有10人，两门功
课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？
12 + 10—3 + 26 = 45（人）
答：这个班共有学生45人。
5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不
会的有多少人？
50—（30 + 21—8）= 7（人）
答：两样都不会的有7人。
6. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参
加一个队。这个
班两队都参加的有多少人？
30 + 25—42 = 13（人）
答：这个班两队都参加的有13人。
某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、

27

英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分 者9人，三科都没
得满分者3人.问这个班最多多少人？最少多少人？
分析与解 如图6，数 学、语文、英语得满分的同学都包含在这个班中，设这个班有y人，
用长方形表示.A、B、C分别表示 数学、语文、英语得满分的人，由已知有A∩C=8，A∩
B=7，B∩C=9.A∩B∩C=X.
由容斥原理有
Y=A＋B＋c-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C＋3
即y=20＋20+20-7-8-9＋x+3=39＋x。
以下我们考察如何求y的最大值与最小值。
由y=39+x可知，当x取最大值时，y也取最大值 ；当x取最小值时，y也取最小值x是
数学、语文、英语三科都得满分的人数，因而他们中的人数一定不 超过两科得满分的人数，
即x≤7，x≤8且x≤9，由此我们得到x≤7.另一方面数学得满分的同学 有可能语文都没得满分，
也就是说没有三科都得满分的同学，故x≥0，故0≤x≤7。
当x取最大值7时，y有最大值39＋7=46，当x取最小值0时，y有最小值39＋0=39。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
题1、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成 了28张票面为1元和1角的人
民币，求换来的这两种人民币各多少张？
题2、有一元，二 元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二元的多2
张，问三种面值的人民币各多 少张？
题3、有3元，5元和7元的电影票400张，一共价值1920元，其中7元和5元的张数 相等，
三种价格的电影票各多少张？
题4、用大、小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱， 每辆小汽车装12箱，现在有18车货，
价值3024元，若每箱便宜2元，则这批货价值2520元， 问：大、小汽车各有多少辆？
题5、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次， 它一共运了112次，平
均每天运14次，这几天中有几天是雨天？
题6、运来一批西瓜， 准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批
西瓜共值290元，如果每千克 西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克
大西瓜？
题7、甲、乙二 人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶每次倒扣6分，两人各投10次，
共得152分，其中甲比 乙多得16分，问：两人各中多少次？
题8、某次数学竞赛共有20条题目，每答对一题得5分，错 了一题不仅不得分，而且还要
倒扣2分，这次竞赛小明得了86分，问：他答对了几道题？
1.解：设有1元的x张，1角的(28-x)张
x+0.1(28-x)=5.5
0.9x=2.7
x=3
28-x=25
答：有一元的3张，一角的25张。
2.解：设1元的有x张，2元的（x-2)张，5元的(52-2x)
x+2(x-2)+5(52-2x)=116
x+2x-4+260-10x=116
7x=140
x=20
x-2=18

28

52-2x=12
答：1元的有20张，2元18张，5元12张。
3.解：设有7元和5元各x张，3元的(400-2x)张
7x+5x+3(400-2x)=1920
12x+1200-6x=1920
6x=720
x=120
400-2x=160
答：有3元的160张，7元、5元各120张。
4.解：货物总数：（3024-2520）÷2=252（箱）
设有大汽车x辆，小汽车(18-x)辆
18x+12(18-x)=252
18x+216-12x=252
6x=36
x=6
18-x=12
答：有大汽车6辆，小汽车12辆。
5.解：天数=112÷14=8天
设有x天是雨天
20(8-x)+12x=112
160-20x+12x=112
8x=48
x=6
答：有6天是雨天。
6.解：西瓜数：（290-250）÷0.05=800千克
设有大西瓜x千克
0.4x+0.3(800-x)=290
0.4x+240-0.3x=290
0.1x=50
x=500
答：有大西瓜500千克。
7.解：甲得分：（152+16）÷2=84分
乙：152-84=68分
设甲中x次
10x-6(10-x)=84
10x-60+6x=84
16x=144
x=9
设乙中y次
10y-6(10-y)=68
16y=128
y=8
答：甲中9次，乙8次。
8.解：设他答对x道题

29

5x-2(20-x)=86
5x-40+2x=86
7x=126
x=18
答：他答对了18题。
小学五年级奥数题及答案
一、工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分 别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池
水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管， 5小时后，再打开排水管丙，问水池注
满还是要多少小时？



2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于
彼此施工有 影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作
效率只有原来的十分之九 。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，
那么两队要合作几天？



3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲 、丙合做
2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：



4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做， 这样交替轮流做，那
么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这 样交替
轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做
这项工程要多少天完成？




5．师徒俩人加工同样多的零 件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了
任务时，徒弟完成了45这批零件共有多 少个？



6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单 份给女生栽，平均每人栽10
棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？




30

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管， 20分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢 出时，打开乙,丙两
管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将 水放完？



8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好 如期完成，若乙队去做，要超过
规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完 成，问规定日期为
几天？


9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2 小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上
停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了 ，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发
现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？



二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，,问鸡与兔各有几只？



三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多 位数123456789.....2005,这个多位数
除以9余数是多少?



2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...



3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?

4．一个三位数的各位数字 之和是1 7.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百
位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位数大198,求原数.



5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.



6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然

31

数的平方,这个和是多少?



7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.



8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是 9,如果个位数
字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.


9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位 数除以个位数字
与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.




10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9 )分钟之后的时间将
是几点几分?



四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
五．容斥原理问题
1．有100种 赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大
值和最小值分别是 ( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学 生至少解出
一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2
倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考 试人数的95%、80%、
79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的 合格率至少是多少？



六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸

32

出几只手套才能保证有3副同色的？



2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取
得 完全一样？



3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是 绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其
余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球 ，问：最少必须从袋中取出
多少只球？



4．地上有四堆石子 ，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，
然后都放入第四堆中，那么 ，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果
能请说明具体操作，不能则要说明理由）


七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步 ，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？



2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行 完
全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？



3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔1 2
分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，
则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
4．慢车车长125米，车速每秒行17米， 快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面
行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的 车尾到完全超过慢车需要多少时间？



5．在300米长的环形跑道上 ，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第 一次相遇在起跑线前几米？




33

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火
车鸣笛时 离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）



7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它
跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎 犬至少跑多少米才能追上兔子。



8． AB两地,甲乙两人骑自行车 行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB
两地相对行使,40分钟后两人相遇,相 遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要
晚多少分钟?



9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立 即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了
120千米。AB 两地相距多少千米？

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小 时。如果水流速度是每
小时2千米，求两地间的距离？



11 ．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢 车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。



12．小华从甲地到乙 地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2
乘车,结果慢了半小时. 已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千
米?
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求 跟他们一起吃,于是
三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快



2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价 ，因此，每份利润下降
了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
3．甲乙 两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减
少20 %,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距

34

多少千米?



4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度比是多少？



5、某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍 还多2人，
及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？



6、有7个数，它们的平均数是18。去掉一个数后，剩下6个数的平 均数是19；再去掉一个
数后，剩下的5个数的平均数是20。求去掉的两个数的乘积。


7、小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平< br>均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？



小学六年级奥数题答案
一、工程问题
1、解：120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2、解：由题意得，甲的工效为120，乙的工 效为130，甲乙的合作工效为120*45+130*910
＝7100，可知甲乙合作工效>甲的工 效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实 在来不
及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天
3、由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根 据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、
丙做2小时一共 的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。

35

答：乙单独完成需要20小时。
4、解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做
法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5、答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完 成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二
次后共完成了45，可以推算出第一次完 成了45的一半是25，刚好是120个。
6、答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵
7、答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就
是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。
8、答案为6天
解：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由 乙队单独做，
恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9、答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40
二．鸡兔同笼问题
1、解：4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0
只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为

36 < /p>

396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6 只（也
就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了40 0-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只 改为了鸡，所以脚
的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1、解：首先研究能被9整除 的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这
个数也能被9整除；如果各个位数字之和不 能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9
得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就
是10+20+30+… …+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整
除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2、解：(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3、解：因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B +C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
102，也 有可能是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375
4、解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5、解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6、解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121

37

答：它们的和为121。
7、解：设原六位数为a bcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一
个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
8、答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9、解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10、解：（28799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是 10:21，
因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10:20
四．排列组合问题
1、解：根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3 ×2×1＝120种不同的排法，但是
因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际 排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2 种排法，总共又2×
2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
2、解：5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五．容斥原理问题
1、解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种
2、解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只

38

答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3 题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a1 23＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件
均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3、答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1、解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元 素，要保证有一副同色的，
就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时 拿出1副同色
的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手
套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副 就要摸出5只手套。这
时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2 只手套，
又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9 （只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。
2、解：每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3、解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：

39

6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32
4、解：不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14。14是一个偶数，而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇< br>数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。
七．路程问题
1、解：根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20
米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米” ，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20
＝1，现在求马的21份是多少路 程，就是 30÷（21-20）×21＝630米
2、解：由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全 程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，
乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两 车在中点40千米处相遇，说明两
车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（1 0-8）×（10+8）＝720千米。
3、解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间
4、解：算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上 慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车
头的点，因此追及的路程应该为两个车长的 和。
5、解：300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前
方100米处相遇。
6、解：算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理解：人在听到声音 后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360
÷340＝4秒的路程。也就是 1360米一共用了4+57＝61秒。
7、答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：由“ 猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。由
“猎犬跑2步的时间， 兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝
53a米。从而可知猎犬与兔子 的速度比是2a：53a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，
兔子跑50米，本来相差的10米刚 好追完
8、解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190

40

走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解答案：18分钟
9、 解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二
次相遇，一共又行 了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相
遇前各自所走的路程的3倍。即 甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲
一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米
10、解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程
11、解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米
12、解：把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12×〔1 2×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
八．比例问题
1、解：“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为 30元，那么每
条鱼价值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝1 8元，“乙钓了两条”，相当于乙吃
之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。
2、解：最好画线段图思考 ：把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高
110，就是22份，利润下降了25 ，今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润
的2份。售价都是25份。所以，今年的成本占 售价的2225。
3、解：原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4、答案为64：27
解：根据 “周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来的34，则面积是原
来的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27
5、解：设不低于80分的为A人，则 80分以下的人数是（A-2）4，及格的就是A+22，不

41

及格的就是A+（A-2）4-（A+22）=（A-90）4，而6*（A-90）4=A+22，则A=31 4，80
分以下的人数是（A-2）4，也即是78，参赛的总人数314+78=392
6、解： 7*18-6*19=126-114=12
6*19-5*20=114-100=14
去掉的两个数是12和14它们的乘积是12*14=168
7、解：第三、四次的成绩和比前两次的 成绩和多4分，比后两次的成绩和少4分，推知后
两次的成绩和比前两次的成绩和多8分。因为后三次的 成绩和比前三次的成绩和多9分，所
以第四次比第三次多9－8=1（分）。
五年级奥数题精选
1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组 ，有10人两个小组
都参加。那么有多少人两个小组都不参加？


< br>2、某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文成绩均
得满 分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。那么语文成绩得满分的有多少人？



3、50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，……，49，50 依次报
数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在
面向老师的同学还有多少名？



4、在游艺会上，有100名同学 抽到了标签分别为1至100的奖券。按奖券标签号发放奖品
的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖 2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领 奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔。那
么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？


5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号 ，
然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段？
答案：
1,因为10人 2组都参加，所以只参加数学的5人，只参加航模的8人，加上那10人就是23
人，40-23=17 ，2个小组都不参加的17人
2，同理，数学满分10人，2科都满分的3人，于是只是数学满分的7 人，45-7-29=9，这个
就是语文满分的人（如果说只是语文满分的则需要减去3）
3 ，50÷4取整12，50÷6取整8，但是要注意，报4倍数的同时可能是6的倍数，所以还要
算出4 和6的公倍数，有50÷12（4和6的最小公倍数）=4（取整），所以，应该是50-12-8+4=34
4，100÷2=50，100÷3=33（取整），还是算出2和3的公倍数100÷6=16(取整 ），然后找出即
没不被2整除，也不被3整除的数的个数100-50-33+16=28，所以，准备 铅笔为
50X2+33X3+28=227
5，180÷3=60，180÷4=45，但是 可能2个划线划在一起，也就是要算出他们的公倍数，

42

180÷3÷4=15，所以应该为60+45-15=90
例1 有4堆外 表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个
重10克，次品球每个重11 克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、 2、3、4个球，这10个球一起放到天平上
去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次
（ 不用砝码），把次品球找出来。
解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在 天平的两个盘上。若天
平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必 在较轻的
一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法 称其中两堆，又可
找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3 个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的
就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表
示。把 A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C 。如B=C，显然D中的那个球是次品；
如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球 来称，便可得出结论。如B
＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则 C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，
为什么？）如B=C，则次品 在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出
结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
练习 有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗？
奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题
[专题介绍]鸡兔同笼问题是指在应用题中给出了鸡和兔子的总头数和总腿数，求鸡和兔 子各
有多少只的一类问题。鸡兔同笼问题在解答过程中用到假设的思路，可以假设都是兔子，这
样总腿数就比实际腿数要多，多出来的腿数就是把鸡当兔子多算的，因此再除以一只鸡比一
只兔子少的腿 数就可以求得鸡有多少只。也可以假设成都是鸡，这样就可以求得兔有多少只。
[经典例题]例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4 ×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了
184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换 一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应
该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有 了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28
只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的 只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
[总结]：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样

43

得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有 一只鸡；将所差的
脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解 鸡兔同
笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡。
例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
[分析]： 这个例题与前面 例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚
数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200
只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），< br>这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4
只.那 么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.
有鸡 （100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班
各有多少人？
[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.
由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。
结合下图可以想，假设二班、三班 人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实
际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5 =2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班
人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多 ，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要
比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
例4 刘老师带了41名同学 去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐
4人，问大船、小船各租几条？
[分析] 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假
设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）

44

答：有9条小船，1条大船。
例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6
条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
[分析] 这是在鸡兔同笼基础上发 展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有
蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘 蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总
腿数为 6×18=108（条），所差 118-10 8=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.
所以，应有（118-108）÷（8-6） =5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的
只数.再从翅膀数入手，假设13只 都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13
＝7（对），这是由于蜻蜓有两对 翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷
（2-1）=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？
（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.
过桥问题（1）
1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，
这列火车通过长江大桥需要多少分钟？
分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系 式，我们知道要想求通过时间，就要知道
路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。
总路程： （米）
通过时间： （分钟）
答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。
2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？
分析 与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程
和通过时间这两个条件 。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所
以车速可以很方便求出。
总路程： （米）
火车速度： （米）
答：这列火车每秒行30米。
3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，
山洞长多少米？
分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上
桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道
总路程和车长 ，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。
总路程：
山洞长： （米）
答：这个山洞长60米。
和倍问题

45

1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是
多少岁？ 我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当
于秦奋 年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是
多少，接着再求 4倍是多少？
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确，验证
（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件，所以解题正确。
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时 共飞行3600千米，甲的速度是乙的2
倍，求它们的速度各是多少？
已知两架飞机3小时共 飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两
架飞机的速度和。看图可知，这个 速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机
的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度 。
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。
3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥
的2倍？
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？
（3）如果把哥哥 剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟
弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几 倍？
思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出< br>哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可
看作是 哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3
倍，而兄弟俩人课外书 的总数始终是不变的数量。
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库
存粮是乙库存 粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？
根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30 吨，给乙库运进10吨，可求出这
时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍” ，如果这时把乙库存粮
作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍。于是求出这时乙库存粮多 少吨，进
而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。
甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
列方程组解应用题（一）
1. 用白铁皮做罐头 盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配
成一个罐头盒，现有150张铁 皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好
配套？

46

依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列
出两个方 程，组在一起，就是方程组。
两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数
B制出的盒身数×2=制出的盒底数
用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。
奇数与偶数（一）
其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数， 大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大
于零的奇数又叫单数。
因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除
以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。
奇数和偶数有许多性质，常用的有：
性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如：8+4=12，8-4=4等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如：9+3=12，9-3=6等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如：9+4=13，9-4=5等。
单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。
性质2 奇数与奇数的积是奇数。
偶数与整数的积是偶数。
性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张， 那么，他能在翻动若干次后，使5
张牌的画面都向下吗？
同学们可以试验一下，只有将一张牌 翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使
5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次 。
5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每
次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181 个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李
平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同 色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲
盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后 ，甲盒中只剩下一个棋子，
这个棋子是什么颜色的？
不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子 ，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，
甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+18 1-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减 少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。
也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181 是奇数，奇数减偶数等于奇
数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲 盒里剩下的一
个棋子应该是黑子。
奥赛专题 -- 称球问题
例1 有4堆外 表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个
重10克，次品球每个重11 克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上

47

去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
2 有 27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不
用砝码），把次 品球找出来。
解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。 若天
平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的
一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可
找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称 一次，若天平不平衡，则较轻的
就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个 球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表
示。把A、B两组分别 放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显 然D中的那个球是次品；
如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出 结论。如B
＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正 品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，
为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比 正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出
结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】 每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12
个月看成12个“抽屉 ”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉
里，一定有一个抽屉里至少 放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清 这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两
个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然 数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是
2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类 型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少 有2个数。换句话说，4
个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除 的余数就一
定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
【例3】有 规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中
至少取出多少只就能保证 有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种 颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，
这2只就可配成一双 。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理
1，又可配成一双拿走。如果再补 进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10
只袜子，就一定会配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白 、黄、红三种颜色球各有10个，另外
还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能 保证取出的球中至少有4

48

个是同一颜色的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红三色 看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根
据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4- 1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取
出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的 球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有某种事 物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽
屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
奥赛专题 -- 还原问题
【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二 次取了余下的一半多100
元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？
【分析 】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒
推）。由“第二次 取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余
下的一半”是 1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是 ：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数
量的物品增加或减少的结果，要求最初 （运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常
应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的 逆运算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看< br>弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟 弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初
弟弟准备挑多少块？
【分析】我们得先 算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑
“（26+2）÷2=14” 块，弟弟挑“26-14=12”块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还 原，减法用加法还原，乘法用
除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加） 几，原来是乘（除）
以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验
算。
奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题
例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了
184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只 兔里应
该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换 28
只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）

49

②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
[分析]： 这个例题与前面 例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚
数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200
只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），< br>这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4
只.那 么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.
有鸡 （100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班
各有多少人？
[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.
由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。
结合下图可以想，假设二班、三班 人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实
际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5 =2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班
人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多 ，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要
比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
例4 刘老师带了41名同学 去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐
4人，问大船、小船各租几条？
[分析] 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假
设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
小学奥数题80道
六年综合奥数题 工程问题

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1．甲乙两个水管 单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池
水要10小时，若水池没水 ，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注
满还是要多少小时？
解： 120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20 天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于
彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的 工作效率是原来的五分之四，乙队工作
效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求 两队合作的天数尽可能少，
那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙 的工效为130，甲乙的合作工效为120*45+130*910
＝7100，可知甲乙合作工效>甲 的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，1 6天内实在来不
及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做
2 小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解： 由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙
做2小时 一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那
么 恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替
轮流做，那么完 工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做
这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1 乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做
法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5 ．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了
任务时，徒弟 完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个

51

120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了12， 第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二
次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的 一半是25，刚好是120个。
6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给 女生栽，平均每人栽10
棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管 为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当 水池水刚溢出时，打开乙,丙两
管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管， 多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就
是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过
规 定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为
几天？
答案为6天
解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天， 再由乙队单独做，
恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上
停 电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发
现粗蜡烛的长是 细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程 1-1120*x＝（1-160*x）*2 解得x＝40
二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0
只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为
396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也

52

就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝ 394，相差数少了400-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设 中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚
的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至200 5这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数
除以9余数是多少?
解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除 ，那么这个数
也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余
数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~2 9……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就
是10+20+30 +……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整
除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解： (A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C ≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
102，也有可 能是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375
4．一个三位数的各位数字 之和是17. 其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百
位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则 新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.

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答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两位数的个位数字与十位数 字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自
然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上 无法加横线，请将整个看成一个
六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数
字与百位数字互换,千位 数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd 2376 cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9 ．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数
字与十位数 字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

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10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有2 0个9)分钟之后的时间
将是几点几分?
答案是10：20
解： （2 8799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：
21，因 为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解： 根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为
是 围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二步 每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又
2×2×2×2×2＝3 2种
综合两步，就有24×32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解： 5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含 钙和铁的食品种类的最大
值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某 校25名学生参加竞赛,每个学生至少解
出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题 的人数是解出第三题的人数的2
倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人 ;(4)只解出一道题的学
生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题 情况分为7类：只答第1题，只答第2
题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3 题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3

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因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a 12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件
均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、 3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、
79%、74%、85%。如果做对三道或三 道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑 、红、蓝、黄四种，问最少要摸
出几只手套才能保证有3副同色的？
解：可以把四种不同 的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就
是1个抽屉里至少有2只手套，根 据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的
后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理， 只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套
是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽 屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这
时拿出1副同色的后，4个抽屉中还 剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，
又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3 副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。
2．有四种颜色的积木若干，每人 可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取
得完全一样？ 答案为21
解： 每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3．某盒子内装50只球，其中1 0只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其
余是白球和黑球，为了确保取出的球中至 少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出
多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：

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6*5+1+1＝32
4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、1 5、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，
然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使 得这四堆石子的个数都相同?（如果
能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，
结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。
七．路程问题
1．狗跑5步 的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可 以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根 据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”， 可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20
＝1，现在求马的21份是多少路程 ，就是 30÷（21-20）×21＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几 小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行
完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程 要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8
份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车 在中点40千米处相遇，说明两车的路程
差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10 -8）×（10+8）＝720千米。
3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个 起点按顺时针方向跑步，两人每隔
12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发， 哥哥改为按逆时针方
向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米，车速每秒行1 7米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面
行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上 慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车 的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头
的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米

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300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……10 0米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前
方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知
火 车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出
1360÷3 40＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远 的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它
跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子 的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解： 由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9 步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。由
“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间 ，猎犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a
米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a＝6： 5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子
跑50米，本来相差的10米刚好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB
两地相对行 使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要
晚多少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立即返回。第二次相遇时离B地的距 离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了
120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路 程，从开始到第二次相
遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一 次相遇前
各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一 共
走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米
从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同
时出发相向而行 ，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇点 之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果 水流速度是每
小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

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11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米
12 ．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2
乘车, 结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千
米?
解： 把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12× 〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个 人请求跟他们一起吃,于是
三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快 快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人 拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值
6元。
又因为“甲钓 了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之
前已经出资2*6 ＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。
2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持 原售价，因此，每份利润下
降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成 5份，则今年的成本提高110，就是22份，利润下降
了25，今年的利润只有3份。增加的成本2份 刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的2225。

3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度 减
少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相 距
多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2

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总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是 原来的34，则面积是原
来的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子 和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共
45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运 来水果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨 香蕉+橘子+梨＝45吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份
过桥问题（1）
1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，
这列火 车通过长江大桥需要多少分钟？
分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求 通过时间，就要知道路程
和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。
总路程： （米） 通过时间： （分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。
2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？ < br>分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通
过时间 这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车
速可以很方便求出。
总路程： （米） 火车速度： （米） 答：这列火车每秒行30米。
3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山
洞长多少米？
分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；
全车 出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路
程和车长，车长是 已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。
总路程： 山洞长： （米） 答：这个山洞长60米。
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是
多少岁？
我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当
于 秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是
多少，接着 再求4倍是多少？
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确，验证

60

（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件，所以解题正确。
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3 小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2
倍，求它们的速度各是多少？
已知两架飞机 3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两
架飞机的速度和。看图可 知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机
的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞 机的速度。
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。
3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥
的2倍？
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？
（3）如果把哥哥剩下的课 外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书
可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？
思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥
剩下 多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作
是哥哥剩下的课外 书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而
兄弟俩人课外书的总数始终是不 变的数量。
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库
存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？
根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨， 后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这
时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮 是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮
作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍。于是 求出这时乙库存粮多少吨，进
而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。
甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
列方程组解应用题（一）
1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配
成一个罐头盒， 现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好
配套？
依据 题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，
这样就可以用两个 未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列
出两个方程，组在一起，就是方 程组。
两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数
B制出的盒身数×2=制出的盒底数
用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。
奇数与偶数（一）
其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。 < br>凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于
零的奇 数又叫单数。

61

因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除
以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。
奇数和偶数有许多性质，常用的有：
性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如：8+4=12，8-4=4等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如：9+3=12，9-3=6等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如：9+4=13，9-4=5等。
单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。
性质2 奇数与奇数的积是奇数。
偶数与整数的积是偶数。
性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4 张，那么，他能在翻动若干次后，使5
张牌的画面都向下吗？
同学们可以试验一下，只有 将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使
5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻 动奇数次。
5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明 每次
翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
2. 甲盒中放有180个白色围 棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李
平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如 果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲
盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那 么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，
这个棋子是什么颜色的？
不论李平从甲盒中拿出 两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，
甲盒子中的棋子数就减少一个，所以 他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么 甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。
也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都 是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇
数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的 奇数只有1，所以甲盒里剩下的一
个棋子应该是黑子。
奥赛专题 -- 称球问题
例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个
重1 0克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、 二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上
去称，总重量比100克多几 克，第几堆就是次品球。
2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请 你用天平只称三次（不
用砝码），把次品球找出来。
解 ：第一次：把27个球分为三堆 ，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天
平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则 剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的
一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆 又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找
出次品在其中较轻的那一堆。
第三 次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就
是次品，若天平平 衡，则剩下一个未称的就是次品。

62

例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把1 0个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表
示。把A、B两组 分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C ，显然D中的那个球是次品；如
B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可 得出结论。如B＜
C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都 是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为
什么？）如B=C，则次品在A中且次 品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结
论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
【分 析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12
个月看成12个“ 抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉
里，一定有一个抽屉里 至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要 弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两
个自然数的差是3的倍数。而任何一个 自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是
2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3 种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里 至少有2个数。换句话说，4
个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被 3除的余数就一
定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
【 例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中
至少取出多少只 就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，
这2只就可 配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理
1，又可配成一双拿走。 如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10
只袜子，就一定会配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
【例4】一个布袋中有35个同样大小的 木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外
还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多 少个球，才能保证取出的球中至少有4
个是同一颜色的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄 、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据
抽屉原理2，只要取出的球数多 于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出
的球至少有4个是同一抽屉（同一颜 色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具 有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉
原理，这是你的一条“决胜”之 路。

63

奥赛专题 -- 还原问题
【例1 】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100
元。这时他的存折 上还剩1250元。他原有存款多少元？
【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到 启发：要想还原，就得反过来做（倒
推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少 100元”是1250元，从而“余
下的一半”是 1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已 知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量
的物品增加或减少的结果，要求最初（运 算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应
当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运 算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看< br>弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让 ，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初
弟弟准备挑多少块？
【分析】 我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑
“（26+2）÷2 =14”块，弟弟挑“26-14=12”块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指： 加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用
除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时 应为减（加）几，原来是乘（除）
以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验
算。
奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题
例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了
184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只 兔里应
该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换 28
只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚
数的差.这又如何解答呢 ？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔 脚多200
只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）= 120（只），
这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少 4
只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只 ）.

64

有鸡（100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班
各有多少人？
[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.
由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。
结合下图可以想，假设二班、三 班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实
际人数少5人.三班人数要比实际人数多7- 5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班
人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
[分析2] 假设 一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要
比实际人数多7人.这时的 总人数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
例4 刘老师带了41名 同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐
4人，问大船、小船各租几条？
[分析] 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假
设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动 物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6
条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀 ），求蜻蜓有多少只？
[分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、 蝉都是6条腿，只有
蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条 腿，则总
腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘 蛛的腿数而造成的.
所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5 =13（只）便是蜻蜓和蝉的
只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（ 对），比实际数少 20-13
＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差， 这样蜻蜓只数可求7÷
（2-1）=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？

65

（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？
（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.
牛吃草问题
1． 一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，
19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再
吃2天就 将草吃完。问没有卖掉4头牛之前，这一群牛一共有多少头？
17×30=510（头） 19× 24=456（头）（510-456）÷（30-24）=9（头）30×17-30×9=240（头）（6+2）×9=72（头）240+72+2×4=320（头）320÷（6+2）=40（头）
2． 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的
水 放光；如果打开8个水龙头，1小时半就把池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多
少时间才能把水 池中的水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）？



3． 甲、乙、丙3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和12个工
人 ，需要5小时才能把甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需要3小时才
能把乙仓库搬空 ；丙仓库有两台皮带输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多
少工人（皮带输送机的功效相 同，每个工人每小时的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往
处搬运化肥）？



1×5=5（台） 12×5=60（人）28×3=84（人）1×3=3（台）84 -60=24（人）24÷（5-3）=12（人）
1×5×12=60（人） 60+12×5=120（人）2×2×12=48（人）（120-48）÷2=36（人）
4． 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车的小偷，
这3辆车分别 用6分钟、10分钟、12分钟，追上小偷，现在知道快车的速度是每小时24
千米，中车的速度是每小 时20千米，问慢车的速度是多少？。



奥赛专题 -- 列车过桥问题
1、一列长300米的火车以每分1080米的速度通过一座大桥。从车头开上桥到 车尾离开桥一
共需3分。这座大桥长多少米？



2、某人 步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求
火车的速度。


66

3、.在环形跑道上，两人 都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，
其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4 分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？



4、一列长300 米的火车，以每分1080米的速度通过一座长为940米的在桥，从车头开上桥
到车尾离开桥需要多少 分钟？



5、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速 度穿过380米的山洞需30秒钟。求这
列火车的速度是多少米秒，全长是多少米？



6、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆 到看到第
51根电线杆正好是2分钟，火车每小时行多少千米。



7、一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽
笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数保留整数) 一列
450米长的货车，以每秒12米的速度通过一座570米长的铁桥，需要几秒钟？



8、现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车每秒行1 8米，慢车
每秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求两列< br>火车的车身长。



9、李明和张忆在300米的环形跑道 上练习跑步，李明每秒跑5米，张忆每秒跑3米，两人
同时从起跑点出发同向而行，问出发后李明第一次 追上张忆时，张忆跑了多少米？



10、速度为快、中、慢的三辆 汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，
这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分 钟追上骑车人，现在知道快车每小时24千米，中速
车每小时20千米，那么慢车每小时行多少千米？（ 选做题）



67

11、周长 为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两
点同时相背而跑， 两人相遇后，乙立刻转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.
如果以后甲、乙跑的速度和方向 都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？



奥赛专题 -- 平均数问题
1 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两
科的平均分 是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86 分，
而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？



2 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.4 0元，
水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？



3甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203 斤；乙棉田平均亩
产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？



4已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。新华小学订了若干张《中国少年报》，
如果三张 三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2
张。新华小学订了多少张 《中国年呢？ 商店里三天共卖出1026米布。第二天卖出的是第一
天的2倍；第三天卖出的是第二天 的3倍。求三天各卖出多少米布？


1. 分数的四则混和运算：求13+115 +135+ 163 +199 +1143



简便方法：
13=1×(13)=12(1-13) 115 =(13)×(15)=12(13-15)



135=（15)×(17)=12(15-17) 163 =(17)×(19)=12(17-19)



199 =(19)×(111)=12(19-111) 1143=(111)×(113)=12(111-113)

68

所以13+115 +135+ 163 +199
+1143=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+12(17-19)+1 2(19-111)+12(111-113)
提公因式12得12(1-13+13-15+1 5-17+17-19+19-111+111-113)
可观察到式子中间部分都抵消，最后只剩下12(1-113)=613
也就是13+115 +135+ 163 +199 +1143=613.
概念题型
2.八分之a、十分之b、十五分之c是三个最简分数，已知三个分数的积是二分之一， 求这
三个分数各是多少？
a8×b10×c15=abc1200
因为它们的积是12 所以abc=600
把600分解质因数600=2×2×5×3×2×5
又因为它们的分母分别是8、10、15 而且是最简分数，它们的分子里依次不能有2、2和5、
3和5
因此，只能是5×5=25，3，2×2×2=8、
所以这三个分数分别是：258、310、815
分类讨论题型：
3.两根同样长的绳子,第一根剪下五分之三米,第二根剪下五分之三,哪根剩下的多?
当绳子大于一米时，第一根剩下的多，
当绳子等于一米时，两根剩下的一样多，
当绳子小于一米时，第二根剩下的多
公约公倍和同余
1.今天是星期六，再过1000天是星期几？
2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a 和b除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b，
a×b，a2-b2各自除以13的余数。
3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。
4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。
5.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。
6.有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。
1 ．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72 的
最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．
2．答：与上题类似，依题意， 正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126．所以，至少需要这种长 方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)
3、答：此数为28。方法同例题。
4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。 5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。
方法同例题。
6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它 们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9的 数，如
413798256和413798265。
7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所

69

以，这个大班的小朋友最多有36人．
2．答：与上题类似，依题意，正 方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方 体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)
3．答：此数为28。方法同例题。
4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。 5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90 。
方法同例题。
6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何， 它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9 的数，如
413798256和413798265。
答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175
7．幼儿园有糖1 15颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出 2个．这个大班的小朋友最多有几个人？
8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体 木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．
9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。
10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。
11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
选做题 < br>12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数．
13．两个整数的最小公倍数是1925，这 两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商
的和是16，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题） 。
（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用
发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅[376]次
1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？
9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003， 一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是偶数。
3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：
a×b×c×d-a=1983
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=2003
a×b×c×d-d=2013
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。
4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于
999。
最大公约数和最小公倍数(闫老师班)
发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154]次
1.甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙 地，以每小时60千米的速度行驶一段
后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千 米的速度行驶了几小时？
2.笼中装有鸡和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原

70

有兔、鸡各多少只？
3.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和 2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18
只，有118条腿和20对翅膀，每种小虫各 几只？
4.学雷锋活动中，同学们共做好事240件，大同学每人做好事8件，小同学每人做好事 3件，
他们平均每人做好事6件。参加这次活动的小同学有多少人？
5.某班42个同学 参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生
多种56棵，男、女生各有多少 人？
答案：
1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。
60x+(60+15)(7-x)=465
60x+525-75x=465
525-15x=465
15x=60
x=4
答：每小时60千米的速度行驶了4小时。
2.解：兔换成鸡，每只就减少了2只脚。
(100-92)2=4只，
兔子有4只。
(100-4*4)2=42只
答：兔子有4只，鸡有42只。
3.解：设蜘蛛18只，蜻蜓y只，蝉z只。
三种小虫共18只，得：
x+y+z=18……a式
有118条腿，得：
8x+6y+6z=118……b式
有20对翅膀，得：
2y+z=20……c式
将b式-6*a式，得：
8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*18
2x=10
x=5
蜘蛛有5只，
则蜻蜓和蝉共有18-5=13只。
再将z化为(13-y)只。
再代入c式，得：
2y+13-y=20
y=7
蜻蜓有7只。
蝉有18-5-7=6只。
答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。
4.解：同学们共做好事240件,他们平均每人做好事6件,
说明他们共有2406=40人
设大同学有x人，小同学有(40-x)人。
8x+3(40-x)=240

71

8x+120-3x=240
5x+120=240
5x=120
x=24
40-x=16
答：大同学有24人，小同学有16人。
5.解：设男生x人，女生(42-x)人。
3x-2(42-x)=56
3x+2x-84=56
5x=140
x=28
42-x=14
答：男生28人，女生14人
1．答：根据题意不难看 出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的
最大公约数 ．所以，这个大班的小朋友最多有36人．
2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9， 6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)
3、答：此数为28。方法同例题。
4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。 5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。
方法同例题。
6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它 们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9的 数，如
413798256和413798265。
7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小朋友最多有36人． < br>2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公 倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)
3．答：此数为28。方法同例题。
4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。 5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90 。
方法同例题。
6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何， 它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9 的数，如
413798256和413798265。
答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175
7．幼儿园有糖 115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7
颗，饼干多出4块，桔子多 出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？



8．用长是9厘米 、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．

72

9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。


10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。


11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
选做题


12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序 排列，可以得到362880个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数．
< br>13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商
的 和是16，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。
最大公约数和最小公倍数(闫老师班)
发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154]次
一、填空
1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花 的朵数也相同，
每束花里最少有 朵花？
2、7月6日，宝珠从避暑山庄打电话向拴柱问 好，贾六来看望拴柱，喜子在打扫房间。如
果喜子每隔3天打扫一次，宝珠每隔6天打一次电话，贾六每 隔5天看望一次，至少经过 天，
问好、看望、打扫这三件事才能同时发生。
3、一筐 梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分多4个，则筐里
至少有 个梨。
二、解答题
1、 为了搞试验，将一块长为75米，宽为60米的长方形土地分为面积相 等的小正方形土地，
那么小正方形土地的面积最大是多少平方米？



2、 两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，求这两个数各是多少？



3、有一种新型的电子钟，每到正点和半点都响一次铃，每过9分钟 亮一次灯，如果中午
12点时，它既响了铃，又亮了灯，那么下一次既响铃又亮灯要到什么时间？



周期问题

73

1 .有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13绿花的顺序排列着，最后一朵是什么颜色的花？
根 据题意可知，者写按5红，9黄，13绿的顺序轮流排列着，即5+9+13=27（朵)花为一个
周期 ，不断循环。因为249除以27等于9余6，也就是经过9个周期还余下6朵花，是黄
花。



2.1除以7等于0.7.....小数点后的第一百位是多少？



142857，有6个数在循环，就用100除以6等于16余4，是8



1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行17米.两车同 向而行,从第一
列车追及第二列车到两车离开需要几秒?



2.某人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火
车的速度.



3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后 快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行
10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9 秒后快车超过慢车,求两列火车的车身
长.
4.一列火车通过440米的桥需要40秒, 以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列火车
的速度和车身长各是多少?
5. 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下
了火车从她面 前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车
尾过第二根电线杆所花的 时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小
敏算出火车的全长和时速吗?



6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380 米的山洞需要30秒.求这列火
车的速度与车身长各是多少米.



7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲
身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少

74

时间后两人相遇?



8. 两列火车,一列长120米,每秒行20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头
相遇到车尾离开需要几秒钟?



9.某人步行的速度为每秒钟2米 .一列火车从后面开来,越过他用了10秒钟.已知火车的长为
90米,求列车的速度.



10.甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟 ,离甲后5分钟又
遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇 ?



二、解答题
11.快车长182米,每秒行 20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行,当快车车尾接慢车
车尾时,求快车穿过慢车 的时间?

12.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米. 两车同向并行,当两车车头齐时,
快车几秒可越过慢车?



13.一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对面开来,从他身边通过
用了8秒钟,求列车的速度.
14.一列火车长600米,它以每秒10米的速度穿过长200米 的隧道,从车头进入隧道到车尾离
开隧道共需多少时间?



一、填空题
120米 102米 17x米 20x米 尾 尾 头 头
1. 这题是“两列车”的追及问题.在这里,“追及”就是第一列车的车头追及第二列车的车尾,“离
开”就是第一列车的车尾离开第二列车的车头.
设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要x秒,列方程得:
102+120+17 x =20 x x =74.
2. 设列车的速度是每秒x米,列方程得
10 x =90+2×10
x =11.

75

3. ( 则快车长:18×12-10×12=96(米)
(2)车尾相齐,同时同方向行进,快车
则慢车长:18×9-10×9=72(米)
4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米秒)
(2)车身长是:13×30-310=80(米)
5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米小时)
(2)车身长是:20×15=300(米)
6. 设火车车身长x米,车身长y米.根据题意,得
①②
解得
7. 设火车车身长x米,甲、乙两人每秒各走y米,火车每秒行z米.根据题意,列方程组,得
①②
①-②,得:
火车离开乙后两人相遇时间为:
(秒) (分).
8. 解:从车头相遇到车尾离开,两车所行距离之和恰为两列车长之和,故用相遇问题得所求时间为:(120+60)?(15+20)=8(秒).
9. 这样想:列车越过人时,它 们的路程差就是列车长.将路程差(90米)除以越过所用时间(10
秒)就得到列车与人的速度差.这 速度差加上人的步行速度就是列车的速度.
90÷10+2=9+2=11(米)
答:列车的速度是每秒种11米.
10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就必须求出 甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系,
而与此相关联的是火车的运动,只有通过火车的运动才能求出 甲、乙二人的距离.火车的运行
时间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它和甲、乙二人的速度 的比例关系.由于本问
题较难,故分步详解如下:
①求出火车速度 与甲、乙二人速度 的关系,设火车车长为l,则:
(i)火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追及问题:
故 (1)
(i i)火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为相遇问题:
故 . (2)
由(1)、(2)可得: ,
所以, .
②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:
.③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离.
火车头遇甲后,又经过(8+5×60) 秒后,火车头才遇乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距
离为:
④求甲、乙二人过几分钟相遇?
(秒) (分钟)
答:再过 分钟甲乙二人相遇.
二、解答题
11. 1034÷(20-18)=91(秒) 12. 182÷(20-18)=91(秒) 13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米秒) 答:
列车的速度是每秒34米. 14. (600+200)÷10=80(秒) 答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共
需80秒. 1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2 =72的

76

最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．
2．答：与上题类 似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126．所以，至 少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)
3、答：此数为28。方法同例题。
4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。 5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。
方法同例题。
6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它 们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9的 数，如
413798256和413798265。
7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小朋友最多有36人． < br>2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公 倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)
3．答：此数为28。方法同例题。
4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。 5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90 。
方法同例题。
6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何， 它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9 的数，如
413798256和413798265。
答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175
7．幼儿园有糖1 15颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出 2个．这个大班的小朋友最多有几个人？



8．用长是9厘米、 宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．
9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。



10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。



11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
选做题



12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排 列，可以得到362880个不同的

77

九位数，求所有这些九位数的最大公约数．



13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商
的和是16，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。



（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用
1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？
9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003， 一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是偶数。



3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：
a×b×c×d-a=1983
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=2003
a×b×c×d-d=2013
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。



4.有一 串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻
四个数之和的个 位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？ 5.任意
改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。


78