用三垂线法求二面角地方法(新)
母亲的爱作文-教研室工作总结
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用三垂线法求二面角的方法
三垂线定理:平面内的一条直线,如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
已知:如图, PB是平面
的斜线, PA是平面
的垂线,
直线a
平面
,直线a垂直;射影AB.
求证:
a
PB
P
证明:∵PA是平面
的垂线,
直线a
平面
∴直线a
PA又∵直线a
AB
AB
PA
A
a
∴直线a
平面PAB 而PB
平面PAB
∴a
PB
总结:定理论述了三个垂直关系,①垂线PA和平
面
垂直;②射影AB和直线a垂直;③斜线PB和直线
a垂直.
三垂线定
理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系,是线面垂直的性质,在立体
几何中有广
泛的应用。求二面角是高考考查的热点,三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是
实现斜
线与其在面内射影垂直关系的转化,因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠:
①作:过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。.
②证:证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。
③求:
二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。
1、如右图所示的四面体
AB
CD
中,
AB
平面BCD,
BCCD
且
BCCD1
,
AD3
,①求二面角
B
A
CABD
的大小;②求二面角
BCDA
的大小;
1.解:
①∵
AB
面
BCD
∴
BCAB
BDAB
∴
CBD
为二面角
CABD
的平面角
∵
B
CCD
且
BCCD1
∴
CBD
=
∴二面角
CABD
的大小为
A
4
B
C
D
4
②∵
AB
面
BCD
BCCD
∴由三垂线定理得
CDAC
∴
ACB
为二面角
BCDA
的平面角
∵
BCCD
∴
BDBC
2
CD
2
2
AB
1
,
BC
∵
AB
平面BCD ∴
ABBC
ABBD
∴
ABAD
2
BD
2
1
在
RtABC
中,
tanACB
∴二面角
BC
DA
的大小为
4
AB、斜线AC及
方法点拨:
本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线
其射影BC,。从而得到二面角
的平面角为
ACB
。
标准文案
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<
br>2.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示)
,E
为VB的中点.
求二面角A—VB—D的余弦值.
V
2 2
正视图
侧视图
E
A
D
B
C
2
俯视图
2
解:取AB的中点P,连结VP、DE,则由题意可知VP⊥平面ABCD,∴DA⊥VP
又
∵AD⊥AB ∴AD⊥平面VAB
∵
VAB
是正三角形,E为VB的中点,∴AE⊥VB,
∴由三垂线定理得VB⊥DE. 所以
AED
就是所求二面角的平面角.
由已知
得DA=2,AE=
3
∴DE=
7
∴
COSAED
AE
21
ED7
故二面角A—VB—D的余弦值为
21
.
7
方法点拨:
本题的关键是过二面角的一个平面VBD上一点D到二面角的另一个平面
AVB的垂线D
则斜线为DE,其射影为AE从而得到二面角的平面角为
AED
。,。.
3.一个三棱锥
SABC
的三视图、直观图如图.求二面角
SABC
的
正切值.
3 解:由正视图、俯视图知
AC4
;
由正视图、侧视图知,点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D,则
BD3
,
BD
平面
SAC
,
BDAC
;
由俯视图、侧视图知,点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O,
则
SO2<
br>,
SO
平面
ABC
,
SOAC
.如图.
作
CHAB
于H,作
OECH
交AB于E,则
OEAB
,
连接SE,因OE是SE在底面ABC内的射影,而
OEAB
,故由
标准文案
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三垂线定理得
SEAB
,∴
SEO
为二面角
SABC
的平面角.
△ABC中,易求得
BABC13
,
由△ABO的面积相等关系:得
OE
11
AOBDABOE
,
22
AOBD9
,
AB
13
SO21321
3
,故二面角
SABC
的正切值为.
OE99
Rt
SEO
中,
tanSEO
方法点拨:
本题的难点是过二面角的一个平面
SAB上一点S作二面角的另一个平面ABC的垂线SO,
再过垂足O作二面角的棱AB的垂线,从而
得到斜线SE及其射影OE,从而得到二面角的平面角为
SEO
。
4.
如图,
ABC
是以
ABC
为直角的三角形,
SA
平面
ABC,
SA=BC=2,AB= 4. N、D分别是AB、BC的中点。
S
求二面角
S
—
N D
—
A
的正切值.
A
4. 解: 过A作AF
DN且与DN的延长线相交于点F,连接SF
∵
SA
平面ABC∴由三垂线定理得
DFSF
∴
SFA
就是二面角S—ND—A的平面角,
在
RtBDN
中,
DN
C
N
B
D
BD
2
BN
2
5
AFBD1
SinBND
ANND
5
S
在
RtAFN
中,
SinANF
∴
AF
12
SA
gAN
∴
tanSFA5
AF
55
A
F
N
B
D
C
故二面角S—ND—A的正切值为
5
.
方法点拨:
本题的关键是找到从二面角的一个平面SND上一点S到二面角的另一个平面AND
的垂线
AF,过垂足A作二面角的棱DN的垂线AF,从而得到斜线AF及其射影AF,
从而得到二面角的平面角为
SFA
。
5.如图所示,圆柱底面的直径AB
长度为
22
,
O
为底面圆心,
正三角形
ABP
的一个顶点
P
在上底面的圆周上,
PC
为圆柱的母线, CO
的延长线交
eO
于点
E
,
BP
的中点为<
br>F
.
求二面角
FCEB
的正切值.
标准文案
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5.解:取BC的中点K
,
取OC的中点N
,
则KN∥
OB
∵F是PB的中点
∴FK∥PC
∵
PC
为圆柱的母线∴
PC
⊥平面
CEB
∴FK⊥平面
CEB
∵正三角形
ABP
中,
O
为AB的中点
∴
AB
⊥
OP
∴由三垂线定理的逆定理得
AB
⊥
OC
∴
KN
⊥
OC
∴由三垂线定理得CE⊥FN
∴
KNF
为二面角
FCEB
的平面角
由已知得
K
N
∴
tan
KNF
=
12
1
OB
,
OP6
,
∴
PC2
∴
KFPC1
22
2
KF
2
,即二面角
FCEB
的正切值为
2
.
KN
方法点拨:
本题的难点是找到二面角的一个平面BCE的垂线PC,则过二面角的一个平面FCE上一点
F
作PC的平行线FK就是二面角的另一个平面BCE的垂线,过垂足K作二面角的棱CE的垂线KN,从而得到斜
线
FN及其射影KN, 从而得到二面角的平面角为
FNK
。
P
6、 如图,P-AD-C是直二面角,四边形ABCD是∠BAD=120
的菱形,PA=AB=2,PA ⊥ AD,试问在线段AB(不包括端点)
上是否存在一点F,使得二面角A-PF-D的大小为45?
若存在,请求出AF的长,若不存在,请说明理由.
6.解:设AF=x,过点D作BA延长线的垂线DH,垂足为H。
∵PA⊥AD,二面角P-AD-C是直二面角,
∴PA⊥面ABCD,∴PA⊥DH
F
B C
0
0
A
D
P
由于DH⊥AB,DH⊥PA,且PA
AB=A,故DH⊥平面PAB
过H作PF的垂线HO,O为垂足,再连接D0,由三垂线定理得:D0⊥PF,
所以∠HOD就为二面角A-PF-D的平面角。
O
在Rt△ADH中,求得:AH=1,DH=
在Rt△FHD中,FH=AF+AH=x+1,
由
PFH
的面积相等关系得,OH=
H
D
3
FH
g
PA
2(1x)
2
PF
4x
F
B
A
C
在Rt△HOD中,当∠HOD=45º,则有:OH=DH,此时:
2(1x)
3,解得:x=
2
2
4x
64
所以,在AB上存在一点F,使得二面角A-
PF—D的大小为45º,此时AF=
264
.
方法点拨:
本题的难点是
过二面角的一个平面PFD上一点D作二面角的另一个平面PAF的垂线DH,
S
再过垂足
H作二面角的棱PF的垂线DO,从而得到斜线DO及其射影OH,从而得到二面角的平面角为
HOD
。
7.如图,在底面是直角梯形的四棱锥
S—ABCD
中,
标准文案
B
C
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∠
ABC<
br>=90°,
SA
⊥面
ABCD
,
SA=AB
=
BC
=1,
AD
=
1
.求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值. 2
7.解法一:延长
BA、CD
相交于点
E
,连结
SE
,则
SE
是所求二面角的棱
∵
AD
∥
BC
,
BC
=2
AD
∴
EA=AB=SA
,∴
SE
⊥
SB
∵
SA
⊥面
ABCD
,得面
SEB
⊥面
EBC
,
EB
是交线.
S
又
BC
⊥
EB
,∴
BC
⊥面
SEB
,
故
SB
是
SC
在面
SEB
上的
射影,∴
CS
⊥
SE
,
所以∠
BSC
是所求二面角的平面角
∵
SB
=
SA
2
AB
2
∴tg∠
BSC
=
2,BC1,BCSB
B
BC2
SB2
A
2
D
即所求二面角的正切值为
2
E
解法二:延长
BA、CD
相交于点
E,连结
SE
,则
SE
是所求二面角的棱
过A作AF
SE,垂足为F,连结FD
∵
SA
⊥面
ABCD
∴AD⊥SA
又∵∠
ABC
=90°,
ADPBC
∴AD⊥AB而
ADSAA
∴DA⊥面SAE
∴由三垂线定理得:SE⊥DF
∴∠
DFA
是所求二面角的平面角
由已知得A为BE的中点
∴AE
1 ,SE
C
S
2
F
A
E
B
C
SA
g
AE2
由
SAE
面积相等关系得
AF
SE2
在
RtFAD
中,
tanDFA
D
AD2
2
即所求二面角的正切值为
AF2
2
解法三(提示):取SC的中点Q,BC的中点H,连结QH
、
DH
、
DQ
,
则
QHSB,DHAB
,从而平面QHD
平面SBA,
所以面QHD与面SCD所成二面角的大小等于面SCD与面SBA所成二面角的大小
而面QHD与面SCD的公共棱为QD,。
S
∵
SA
⊥面
ABCD
∴SA⊥BC,又∵∠
ABC
=90°
∴BC⊥面SAB ∴CH⊥面QHD
由已知得:
SD
Q
SA
2
AD
2
55
,CDDH
2
CH
2
22
A
B
H
C
∴SD=CD,又Q为SC的中点 ∴
QDQC
D
由三垂线逆定理得:
QDQH
所以,
CQH
是面QHD与面SCD所成二面角的平面角
标准文案
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由已知得:
CH
1112
CH2
BC,QHSB
在
RtQHC
中,
tanCQH
2222
QH2
解法四(提示用面积投影法):∵
SA
⊥面
ABCD
∴SA⊥BC,又∵∠
ABC
=90°
∴BC⊥面SAB ∵BCAD
∴AD⊥面SAB ∴C在平面SAB上的射影为B, D在平面SAB上的射影为A,
∴面
SCD
的投影面为面
SAB
,设Q为S
C的中点,所求二面角的大小为
,则
由已知得:
SDSA
2<
br>AD
2
55
,CDDH
2
CH
2<
br>
22
21116
,
S
V
SAB
g
SA
g
AB,S
V
SCD
gSC
g
DQ
22224
SCSB
2
B
C
2
3,QDSD
2
SQ
2
2
S
SAB
6
从而求得
tan
2
S
SCD
3
cos
方法点拨:
本题的难点是作二面角的公共棱,方法①是先延展两个面SCD与面SBA得到公共
棱SE,
然后找其中一个面SBA的重线DA或CB,
方法②是先平移面SBA到面HQD得到公共棱QD,然后找
其中一个面HQD的垂线,,解法3用二面角的定义得
面QHD与面SCD所成二面角的平面角为
HQC
,解法四
用三垂线法得
面QHD与面SCD所成二面角的平面角为
HNC
.
8.(本小题满分14分)已
知
ABC和DBC
所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,
CBADB
C120
0
,求:
⑴.直线AD与平面BCD所成角的大小;
⑵.直线AD与直线BC所成角的大小;
⑶.二面角A-BD-C的余弦值.
8. 解:⑴
如图,在平面
ABC
内,过
A
作
AH
⊥
BC
,垂足为
H
,
A
H
D
RB
C
∵
ABC和DBC
所在的平面互相垂直∴
AH
⊥平面
DBC
,∴
∠
ADH
即为直线
AD
与平面
BCD
所成的角
由题设知
△
AHB
≌△
AHD
,则
DH
⊥
BH
,
AH
=
DH
,∴∠
ADH
45°…………….
5分
⑵∵
BC
⊥
DH,且
DH
为
AD
在平面
BCD
上的射影,
∴
BC
⊥
AD
,故
AD
与
BC
所成的角为90° ……9分
⑶过
H
作
HR
⊥
BD
,垂足为
R
,连结
AR
,则由三垂线定理知,
AR
⊥
BD
,故∠
ARH
为二面角
A—BD—C
的
平面角
的补角 , 设
BC
=
a
,则由题设知,
AH
=
DH
=
AH
3a3
a
,∴tan
ARH
==2
a,BH
,在△
HDB
中,
HR
=
224HR
故二面角
A—BD—C
的余弦值的大小为
标准文案
5
…………14分
5
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9.如图,在四棱锥
CABDE
中,
ABC
为正三角形, AE
平面
ABC
,
BD
平面
ABC
,M
为
CD
上一点,
BDBC2AE2
.
(Ⅰ)求证:
AE
平面
BCD
;
(Ⅱ)当
EMBD
时,求二面角
MABC
的正切值.
9解:(Ⅰ)∵
AE
平面
ABC
,
BD
平面
ABC
∴
AE
∥
BD
而
AE
平面
BCD
BD
平面
BCD
∴
AE
∥平面
BCD
(Ⅱ)∵
BD
平面
ABC
∴平面
BCD
平面
ABC
在平面
BCD
中过点
M
做
MNBC
,垂足为
N
,则有
MN
平面
ABC
,
MN
∥
BD
,∴
EMN
2
且
MN
∥
AE
,过
N
做
NGAB
于
G
,
则
MGAB<
br>,则
MGN
为二面角
MABC
的平面角,
在四边形
AEMN
中, ∵
EANANMNME
2
,∴四边形
AEMN
为矩形
∴
MN
=
AE
1
,∴
M
为
CD
的中点,
N
为
BC的中点,在
RtMNG
中,
MN1
,
NGBNsin
ABC
3
MN123
∴
tanMGN
2
NG3
3
2
P
10.
(2012广东理)如图所示,在四棱锥
PABCD
中,底面
ABCD
为
矩形,
PA
平面
ABCD
,点
E
在线段
PC
上,
PC
平面
BDE
。
(1)
证明:
BD
平面
PAC
;
(2)
若
PA1,AD2
,求二面角
BPCA
的正切值;
A
E
D
O
10.解:(1)
PC
平面
BDE
,
BD
面
BDE
BDPC
C
B
PA
平面
ABCD
,
BD<
br>面
ABCDBDPA
又
PAIPCPBD
面
PAC
(2)法一:(定义法)设<
br>ACIBDO
由(1)得:
BDACABAD
,
PA1,A
D2AB2
,
PC
平面
BDE
BEPC,OEPC
BEO
是二面角
BPCA
的平面角
BPBC25
PC3
2BO
22
tanBEO3
在
RtBOE
中,
BO2,OEBEBO
3OE
得:二面角
BPCA
的正切值为
3
法二:(三垂线法) 设<
br>ACIBDO
由(1)得:
BO
平面
PAC
,过垂足O
作公共棱的垂线OF,
连结
BF
,则由三垂线定理得
PC
BF
∴
BFO
就是二面角
BPCA
的平面角.
在
PBC
中,
PB5,BC2,PC3PBC90BE
∵底面
ABCD
为矩形,
BDAC
∴
ABAD
2
,
BO
OC2,PC
易得
RtPAC
∽
RtOFC
∴
OF
故二面角
BPCA
的正切值为
3
PA
2
AC
2
3
标准文案
OC2
BO
gPA
3
在
Rt
BOF
中,
tanBFO
PC3
OF
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11 (2011广东高考题改编)(本小题满分13分)
如图5,在椎体
PABCD
中,
ABCD
是边长
为1的
菱形,且
DAB60
,
PAPD
0
1321
, ,
PB
22
求二面角
PADB
的大小.
法一
:(定义法)取
AD
的中点
H
,连结
BH
、
PH<
br>
∵
PAPD
,
H
为
AD
的中点
∴
PHAD
标准文案
ADAB
,
DAB60
0
ABD
是等边三角形
H
为
AD
的中点
BHAD
N
PHB
就是二面角
PADB
的平面角.
由已知得
PH3
,
BH
3
2
过P
作
PNBH
交其延长线于
N
,则
PN
2<
br>PH
2
NH
2
PB
2
BN
2
即
(3)
2
NH
2
(
21
2)
2
(
3
2
NH)
2
,解得
NH
3
2
∴
PHN60
o
从而
PH
B
120
o
,故二面角
PADB
的大小.为
120<
br>o
法二: (三垂线法)过
P
作
PO
平
面
ABCD
,垂足为
O
点,连结
OA
、
OD
作
OHAD
于
H
,连结
PH
,则由三垂线定
理得
ADPH
∴
OHP
就是就是二面角
PADB
的平面角的补角,
∵
ADPH
,
PAPD
∴
H
为AD
的中点∴
PHPA
2
AH
2
3
∵
ABAD
,
DAB60
0
∴
ABD
是等边三角形
∴
BHAD
,∵
OH
AD
∴
O
、
H
、
B
三点共线
设
OHx
,则
OP
2
PH
2
OH
2
PB
2
OB
2
即
(3)
2
x2
(
21
2
)
2
(
3
2
x)
2
,解得
x
3
2
在
RtPO
H
中,
cosOHP
OH
PH
1
2
, ∴
OHP
60
o
所以二面角
PADB
的大小.为
120
o
∵
∴
∵
∴
∴
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12.(2013广东高考题)(本小题满分14分)
如图1,在等腰直角三角形
A
BC
中,
A90
,
BC6
,
D,E
分别是
AC,AB
上的点,
CDBE2
,
O
为
BC
的中点.将
ADE
沿
DE
折起,得到如图2所示的四棱锥
A
BCDE
,其中
A
O3
.
A
图1
C
D
图2
O
E
B
D
E
C
O
.
B
A
(Ⅰ)
证明:
A
O
平面
BCDE
;
(Ⅱ)
求二面角
A
CDB
的平面角的余弦值.
12【解析】(Ⅰ)
在图1中,易得
OC3,AC32,AD22
连结
OD,OE
,在
OCD
中,由余弦定理可得
C
D
H
A
O
E
B
ODOCCD2OCCDcos455
由翻折不变性可知
A
D22
,
所以
A
O
2
OD
2
A
D
2
,
所以
A
OOD
,
22
同理可证
A
OOE
, 又
ODIOEO
,所以
A
O
平面
BCDE
.
(Ⅱ)
传统法:过
O
作
OHCD
交
CD
的延长线于
H<
br>,连结
A
H
,
因为
A
O<
br>平面
BCDE
,所以
A
HCD
,
所以
A
HO
为二面角
A
CDB
的平
面角.
结合图1可知,
H
为
AC
中点,故
OH
所以
cosA
HO
30
32
22
,从而A
HOHOA
2
2
OH15
,
A
H5
15
.
5
所以二面角
A
CDB
的平面角的余弦值为
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