五年级奥数题及答案:高等难度试题汇编
旅馆业治安管理办法-学习十八大
平方差:(高等难度)
有这样一类数,它们可以写作两个自然数的平方差,如
3=2-1,被称作智慧树,那么
从1开始,第1993个智慧数是多少?
平方差答案:
对于任意奇数2k+1=(k+1)-k ,但1不符合要求,舍去
2,对于所有能被4整除的数,
4k=(k+1)-(k-1),但4不符合要求,舍去
3,对于被4除余2的数,假设4k+2=x-y=(x-
y)(x+y),当
奇偶性相同时,(x-y)(x+y)可被4整除,与提设矛盾,舍去;当xy
奇偶性不
同时,(x-y)(x+y) 为奇数,与提设矛盾,舍去. 显然,从5开始每4个数中有3
个是智慧
数,而1到4中只有3只智慧数,第1993个智慧数为(1993-1)÷3×4+4=26
60。
约数倍数:(高等难度)
若 a , b , c
是三个互不相等的大于0的自然数,且a + b + c = 1155
,则它们的最
大公约数的最大值为(),最小公倍数的最小值为(),最小公倍数的最大值为()
约数倍数答案:
解答:165、660、57065085
1) 由于a + b + c = 1155,而1155=3×5×7×11
。令a=mp,b=mq,c=ms.m为a,b,
c的最大公约数,则p+q+s最小取7。此时m=
165.
2) 为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公约数m尽量大,
并且使A,B,C
的最小公倍数尽量小,所以应使m=165,A=1,B=2,C=4,此时三个数分
别为165,330,660,
它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660。
3) 为了使最小公倍数尽量小,应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的
和一
定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的,所以可
以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,而当1155=383
+385+38
7时,三个数两两互质,它们的最小公倍数为383×385×387=5706508
5,即最小公倍数的最
大值为57065085。
2222
22
22
扑克牌:(高等难度)
一副扑克牌(去掉两张王牌),每人随意摸两张牌,至少有多少人才能保证他们当中一
定有
两人所摸两张牌的花色情况是相同的?
扑克牌答案:
扑克牌中有方块、梅花
、黑桃、红桃4种花色,2张牌的花色可以有:2张方块,2张梅
花,2张红桃,2张黑桃,1张方块1
张梅花,1张方块1张黑桃,1张方块1张红桃,1张
梅花1张黑桃,1张梅花1张红桃,1张黑桃1张
红桃共计10种情况.把这10种花色配组看
作10个抽屉,只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以
有题目所要的结果.所以至少有1
1个人。
数字:(高等难度)
2008年第29届奥运会将在北京举办.则 2008
数字答案:
算式中每个乘数的个位数字都是 ,8×8×8×L
的个位数字周期性出现:8、4、2、6、
8、4、2、6……,周期为4,
2008÷4=502,所以 的个位数字是6.
约数:(高等难度)
100以内约数个数最多的自然数有五个,它们分别是几?
约数答案:
如果恰有一个质因数,那么约数最多的是26=64,有7个约数;
如果恰有两个不同质因数,那么约数最多的是23×32=72和25×3=96,各有12个约
数;
如果恰有三个不同质因数,那么约数最多的是22×3×5=60,22×3×7=84
和2×32
×5=90,各有12个约数。
所以100以内约数最多的自然数是60,72,84,90和96。
2008
的个位数字是多少?
座位:(高等难度)
一排椅子只有15个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,
都
将与已就座的人相邻。问:在乐乐之前已就座的最少有几人?
座位答案:
将
15个座位顺次编为1:15号。如果2号位、5号位已有人就座,那么就座1号位、3号
位、4号位、
6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法,让2号位、5号
位、8号位、11号位、
14号位都有人就座,也就是说,预先让这5个座位有人就座,那么乐
乐无论坐在哪个座位,必将与已就
座的人相邻。因此所求的答案为5人。
停车:(高等难度)
停车
站划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车
位连在一起,一共有多
少种不同的停车方案?
停车答案:
把4个空车位看成一个整体,与8辆车一块进行排列,这样相当于9个元素的全排
自然数:(高等难度)
对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,称为
一次变换。如对18
和42可进行这样的连续变换:18,42→18,24→18,6→12,6→6
,6。直到两数相同为止。
问:对12345和54321进行这样的连续变换,最后得到的两个相同的
数是几?为什么?
自然数答案:
如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数之
差与这两个数中的任何一个数的最大公
约数也是a。因此在每次变换的过程中,所得两数的最大公约数始
终不变,所以最后得到的
两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数
是3,所以最后得到
的两个相同的数是3。
答题:(高等难度)
1
00个人回答五道题,有81人答对第一题,91人答对第二题,85人答对第三题,79人
答对第四题
,74人答对第五题,答对三道题或三道题以上的人算及格,那么,在这100人中,
至少有多少人及格
。
答题答案:
答对三道题或三道题以上的人算及格,要使100人中,及格人数尽可能少
则需使每人
首先都答对其中的两题,余下
(81+91+85+79+74)-2×100=410-200=210道
尽量分配给少
数人,这少数人中每人最多再对3道 所以210÷(5-2)=70(人)
即在这100人中,至少
有70人及格。
乘积相等:(高等难度)
把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
乘积相等答案:
∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
(=2×7)放在第一组,
那么7和6(=2×3)只能放在第二组,继而15(=3×5)只能
放在第一组,则5必须放在第二组
。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
定义新运算:(高等难度)
规定:A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数.
若(A○5+B△3)×(B○5+ A△3)=96,且A、B均为大于0的自然数
A×B的所有取值有( )个。
共5种;
分类讨论,由于题目中所要求的
定义新运算的符号是较大的数与较大的数,则对于A或
者B有3类不同的范围,A小于3,A大于等于3
,小于5,A大于等于5。对于B也有类似,
两者合起来共有3×3=9种不同的组合,我们分别讨论。
1) 当A<3,B<3,则(5+B)
×(5+A)=96=6×16=8×12,无解;
2)
当3≤A<5,B<3时,则有(5+B)×(5+3)=96,显然无解;
3) 当A≥5,B<3时,则有(A+B)×(5+3)=96,则A+B=12.
所以有A=10,B=2,此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4) 当A<3,3≤B<5,有(5+3)×(5+A)=96,无解;
5) 当3≤A<5,3≤B<5,有(5+3)×(5+3)=96,无解;
6) 当A≥5,3≤B<5,有(A+3)×(5+3)=27,则A=9.此
时B=3后者B=4。则他们的
乘积有27与36两种;
7) 当A<
3,B≥5时,有(5+3)×(B+A)=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11
与20两种
;
8)
当3≤A<5,B≥5,有(5+3)×(B+3)=96。此时有B=9.不符;
9)
当A≥5,B≥5,有(A+3)×(B+3)=96=8×12。则A=5,B=9,乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27,36,45共五种。
圆柱体:(高等难度)
如图,一个有底无盖圆柱体容器,从里面量直径为10厘米,高为
15厘米在侧面距离底
面9厘米的地方有个洞.这个容器最多能装()毫升水(π取3.14)
圆柱体答案:
解答:942
现在要求这个容器尽可能的多装一些水,则将圆柱适当的倾斜,可得新的圆柱的体积为:
毫升水。
行程问题:(高等难度)
(2010年IMC 6年级复赛第22题,10分
))有的母牛比一般人具有更健全的头脑,有
一位农夫就曾这样认为,瞧!有一天我的那头老家伙,有着
斑纹的母牛正站在距离桥梁中
心点5英尺远的地方,平静地注视着河水发呆,突然,他发现一列特别快车
以每小时90英
里的速度向它奔驰而来,此时,火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近,只有两座桥长的
距
离了。母牛毫不犹豫,马上不失时机地迎着飞奔而来的火车作了一次猛烈冲刺,终于得救了。
此时距离火车头只剩1英尺了,如果母牛按照人的本能,以同样的速度离开火车逃跑,那么
母牛的屁股将
有3英寸要留在桥上!试问:桥梁的长度是多少?这只母牛狂奔的速度是多
少?(1英尺=12英寸)
观察可知,老母牛一开始在火车的中心的左端。在相遇过程中,火车走了:2个桥长-1
英尺;
母牛走了:0.5个桥长-5英尺;在追及过程中:火车走了:3个桥长-0.25英尺;母牛走
了:
0.5个桥长+4.75英尺。则在相遇和追及过程中:火车共走了5个桥长-1.25英尺;同样
的时
间,母牛走了1个桥长-0.25英尺。所以火车的速度是母牛狂奔时的5倍。母牛的速度为90<
br>÷5=18英里小时。又根据2个桥长-1英尺=2.5个桥长-25英尺所以0.5个桥长=24英尺。
1
个桥长=48英尺。
最值问题:(高等难度)
N是一个各位数字互不相等的自然数,它能被它的每个数字整除。N的最大值是()。
最值问题答案:
N不能含有0,因为不能被0除。N不能同时含有5和偶数,
因为此时N的个位将是0。
如果含有5,则2,4,6,8都不能有,此时位数不会多。如果N只缺少5
,则含有1,2,3,
4,6,7,8,9,但是数字和为40,不能被9整除。所以必须再去掉一位,
为了最大,应该
保留9放到最高位,为了使数字和被9整除,还需要去掉4。此时由1,2,3,6,7
,8,9
组成,肯定被9整除,还需要考虑被7和8整除。前四位最大为9876,剩下三个数字组成的
被8整除的三位数为312,9876312被7除余5;前四位如果取9873,剩下三个数字组成的
被8整除的三位数为216,9873216被7除余3;前四位如果取9872,剩下三个数字组成的
被8整除的三位数为136,9872136被7除余1;前四位如果取9871,剩下三个数字组成的
被8整除的三位数为632,9871632被7除余1;前四位如果取9867,剩下三个数字组成的
被8整除的三位数为312,9867312被7整除。
平均数问题:(高等难度)
幼儿园有三个班,甲班比乙班多4人,乙班比丙班多4人,老师给小孩分枣,甲班每个<
br>小孩比乙班每个小孩少分3个枣,乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,结果甲班比乙
班共多
分3个枣,乙班比丙班总共多分5个枣。问:三个班总共分了多少个枣?
平均数问题答案:
设丙班有x个小孩,那么乙班就有(x+4)个小孩,甲班有(x+8)个小孩。
乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,那么x个小孩就少分5x个枣,而乙班比丙
班总
共多分5个枣,所以多出来的那4个小孩分了(5x+5)个枣。
同理
:甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,那么(x+4)个小孩就少分(3x+12)
个枣。而甲班
比乙班共多分3个枣,所以多出来的那4个小孩分了 (3x+12+3)即(3x+15)
个枣。
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,4个小孩就少3×4=12个枣,因此我们得到:
5x+5=3x+15+12, 解得 x=11.
所以,丙班有11个
小孩,乙班有15个小孩,甲班有19个小孩,甲班每人分12个枣,
乙班每人分15个枣,丙班每人分
20个枣。一共分了12×19+15×15+20×11=673个枣。【小结】
通过方程解决问题是
常用的方法。