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九角星的各顶角度数之和
九角星，一般是指由九条线段自我相交而成的有九个尖角的图 形.
不同的九角星，各顶角的度数和就不同。如果是正九角星，只要知道
每一个顶角的两条边与 外接圆的交点之间在角的内部有几个其他角
的顶点，就能求出每一个顶角的度数，然后乘以9就可以计算 出所有
顶角的度数之和。具体算法是:设每一个顶角的内部有n个其他角的
顶点,则每一个顶角 的度数就是
n+
1
×
180
0
,九个顶角的度数之和就是< br>9
（n+1）×180
0
。如果不是正九角星，我们就用三角形内角和及内外角 之
间的关系的知识进行计算。
如图1，这实际是个九边形；从一个顶点向其他各顶点作对角线 ，
总共能作6条，这6条对角线把九边形分成7个三角形，7个三角形
180
0
=1260
0
；图2
的所有内角度数之和，就是九边形的内角和，即
7×< br>的九角星是三个三角形套在一起组成的图形，所以，所有顶角的度数
180
0
= 540
0
；
之和为
3×
这两种九角星的所有顶角度数之和比较容易计
算。

图1
图2

图3所示的九角星，就不是那么容易计算了。下面我们来计算一

下：
设 BF、CG的交点为M，BF、CH的交点为N，BF、DH的交点
为P，DH、AF的交点为Q，AE 、DH的交点为R，AE、DI的交点
为S,如图：由图可知：∠BMG=∠C+∠CNF, ∠CNF=∠BPH+∠H,
A
B
C
N
S
R
D< br>F
图3
I
H
M
P
Q
G
E

∠BPH=∠F+∠DQF, ∠DQF=∠A+∠ARH, ∠ARH=∠D+∠DSE,
∠DSE=∠I+∠E;所以，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I
=∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G+∠H+∠DSE
=∠A+∠B+∠C +∠F+∠G+∠H+∠ARH
= ∠B+∠C +∠F+∠G+∠H+∠DQF
=∠B+∠C +∠G+∠H+∠BPH
=∠B+∠C +∠G+∠CNF
=∠B +∠G+∠BMG
=180
0

即这种九角星所有顶角度数之和为180
0
.与正九角星相等。
图4的九角 星，用这种方法就又不行了。因为此时图中没有现成的三

角形好用了，怎么办？∠A+∠ B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I
的结果是多少，与类似的正九角星的所有顶角之和还相 等吗？解答如
下：连结AE、EI、ID、DH、HC、CG、GB、BF、FA,如图5：
A
B
I
A
B
H
I
C
C
H
D
G
E
F
D
G
E
F
图4
图5
则图中有九个以九角星的顶点为顶点的三角形：△HAC、△IBD、
△ACE、△BD F、△CEG、△DFH、△EGI、△AHF、△BIG。如
果不嫌麻烦，可以列个算式算一下，外部 九角星的九个顶角被九条虚
线分成了27个角，其中有九个是虚线九角星的顶角；在计算上述九
个三角形的内角和时，虚线九角星的顶角只被用一次，而其他各角都
被用了两次。由图可知，这九个三角 形的所有内角之和比外部九角星
的所有顶角之和的2倍少了1个内部虚线九角星的所有顶角之和，所180
0
+
180
0
）=
900
0
。 也与正九以外部九角星的所有顶角之和为：
（
9
×
1
2
角星 相等。


20141225