关于自信的作文-gerenjianli

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设
limf(x)k
,那么点x=a是f(x)的( ).
xa
①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对
2.设f(x)在点x=a处可导,那么
lim
h0
f (ah)f(a2h)
h

( ).
1
3
f

(a)
①
3f

(a)
②
2f

(a)
③
f

(a)
④
3.设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为( ).
①(-1,1) ②




< br>2
,


2


③(0,+∞) ④(-∞,+∞)
4.设
lim
xa
f (x)f(a)
(xa)
2
1
,那么f(x)在a处( ).
①导数存在,但
f

(a)0
②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在
5.已知
limf(x)0
及( ),则
limf(x)g(x)0
.
xx
0
xx
0
①g(x)为任意函数时 ②当g(x)为有界函数时
③仅当
limg(x)0
时 ④仅当
limg(x)
存在时
xx
0
xx
0
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.
lim
x
xsinx
xsinx
1
x
)
x3

____________.

____________.
2
2.
lim(1
x 
3.
f(x)sinx
,那么左导数
f


( 0)
____________,右导数
f


(0)
____________.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1.
lim(
x1
1
lnx
t

1
x 1
)

2

xe
dy
2.

,求
2

t
dx

yte
3.
yln(x1x)
, 求dy和
xy
2
dy
dx
2
2
.
dy
dx
4.由方程
exy0
确定隐函数y=f(x) ,求.
5.设
x
1
1,x
n
1
x
n1< br>1x
n1
,求
limx
n
.
x
第1页

6.
lim(3x
x
axbxc)2
,求常数a,b.
2
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
lim
x
f(x)
x
lim
x
f(x)
x
0
,证明:存在

(,)
,使

f(

)

0
.
2.若函数f(x)在[ a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有
f

(x)M
,M是常数 ,则
lim
x
f(x)
x
2
0
.
3.证明函数
ysin











1
x
在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.②
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.
lim
x 
xsinx
xsinx
1
x
)
x3
__1_ .

__e_.
2
2.
lim(1
x
3.
f(x)sinx
,那么左导数
f

(0)
__-1__,右导数
f


(0)
__1 __.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1,lim(
x1
1
lnx

1
x1
)
1
l im
x1
1
解:lim(
x1
1
lnx
1
1
x1
)lim
x1
(x1)lnx
(x 1)lnx
lnx
x1
x

lim
x1
xlnxx1
(x1)
x
lim
x1
lnx11
第2页

2

xe
dy
2.
,求
2

t
dx

yte
t解:
dy
dx

d
dy
dt
(
dt
dx
)

(ete)
tt
1
et
(t1)
dy
dy
dx
2
2

dtdx
dx
dt
1
e
t

3.
yln (x1x)
,求dy和
2
dy
dx
2
2
. < br>解:dydln(x
1
x

dy
dx
2
2
1x)
x
2
1
1x
2
d(x1x )
x
1x
2
2

1
1x
2
( dxd(1x))
x
2
1
1x
2
(dxdx)

1x

2
dx,
1
1x
xyd
dx
[
2
]
1
2

1
(1x)
23
2x
x
(1x)
23
4.由方程< br>exy0
确定隐函数y=f(x) ,求
dy
dx
.
解 :方程两边求微分得
d(e
e
xy
xy
xy)0,即de< br>xy
dxy
(dxdy)ydxxdy
dy
dx

ye
e
xy
xy

所以,
x
x< br>n1
1x
n1
5.设
x
1
1,x
n
1
,求
limx
n
.
x
第3页

证明： 先证{x
n
}单调增加.显然x
2
x1
，设nk时成立，即x
k
x
k1
，
当nk 1时，x
k1
x
k
(1
x
k
(1xk1
)x
k1
(1x
k
)
(1x
k
)(1x
k1
)
x
n1
1x
n1
x
k
1x
k
)（1
x
k1
1x
k1
)

x
k
x
k1
(1x
k
)(1x
k1
)
0,所以{x
n
}单调增加；显然x
n
12,所以由单调增加有界数列必有极限得{x
n
}收敛 .
x
n
1x
n
(a
limx
n
n0

令limx
n
a,则limx
n1
lim(1< br>n0n0n0
)1
1limx
n
n0
即 a1
a
1a
2
,得a
1
2
51
2
5
舍去).
6.
lim(3x
x
axbxc )2
,求常数a,b.
解:显然a0,lim(3x
x
axb xc)
axbxc
axbxc)
3
lim
x2
2
2
lim
x
3x
(3x
2axbxc)(3x
lim
x
3x
2
axbx c
2
2
a
b
x

c
x
c2

2
9xaxbxc
9xaxb
x
所 以,9a0,
3
b
a
2,得a9,b3.
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
limx
f(x)
x
lim
x
f(x)
x0
,证明:存在

(,)
,使

f(

)

0
.
f(x)
x0,所以对0<

1,存在X0,使得当xX时,有证明:因为lim
x 
f(x)
x


成立,即x

f(x) x

,
故x(

1)f(x)xx(

1)0,取bX,所以当xb时
有f(x)x0,特别的f(b)0.同理可得存在a 0,使得f(a)0.
而f(x)在(,)上连续,所以在闭区间[a,b]连续,
从而F(x)f(x)x在[a,b]上连续,而F(a)0,F(b)0,
所以由闭区间上 连续函数性质(零点存在定理)得
存在

(,),使得F(
)f(

)

0.

第4页

< br>2.若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有
f

(x)M
,M是常数,则
lim
x
f(x)
x
2< br>0
.
证明:因为f(x)在区间(a,)满足f

(x)M ,所以满足李普希兹条件,
即:对任意的x
1
,x
2
(a,) ,有f(x
1
)f(x
2
)Mx
1
x
2.
令ba,则x(a,),有f(x)f(b)Mxb成立.
我们知lim
x
f(b)
x
2
0,故要证lim
x
f(x)
x
2
0,只需证lim
x
f(x)f(b)< br>x
2
0.
xb时,对任意给定的

0,要使
f (x)f(b)
x
2

f(x)f(b)
x
2

Mxb
x
2

MxMb
x
2
2M
x


只需x
2M

即可,令Xma x{b,
f(x)f(b)
x
2
2M

},
则当 xX时,

成立
即lim
x
f(x)f(b)
x
2
0,所以得证.

3.证明函数
ysin
1
x
在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
证明:设0cx,x0
<1,对任意的

0,要使
sin
1
x
 sin
1
x
0
2cos(
1
2x

1< br>2x
0
)sin(
xx
0
2xx
0
12x


1
2x
0
)
2cos(
x x
0
2xx
0
)sin(
2
xx
0
2 xx
0
)2
2
xx
0
c
2


,

只需xx
0
c

,令

c

,
所以 对任意的

0,存在

c< br>
0,当xx
0


时,
有sin
1< br>x
sin
1
2n


1

xn
2
1
x
0


成立,故ysin
1
2n


1
x
在(c,1)(c0)上是一致连续的.

x
n

2
1

,x
n< br>
2
,n为正整数,
sinsin

x
n
1(1)2

x
n

x
n
4n< br>
2

2


4
2
0,(n )


x
n



时,所以对小于2 的任意

0,不能找到一致连续定义中的

,使得当x
n
sin
1

x
n
sin
1

x
n


第5页

第6页

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设
limf(x)k
,那么点x=a是f(x)的( ).
xa
①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对
2.设f(x)在点x=a处可导,那么
lim
h0
f (ah)f(a2h)
h

( ).
1
3
f

(a)
①
3f

(a)
②
2f

(a)
③
f

(a)
④
3.设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为( ).
①(-1,1) ②




< br>2
,


2


③(0,+∞) ④(-∞,+∞)
4.设
lim
xa
f (x)f(a)
(xa)
2
1
,那么f(x)在a处( ).
①导数存在,但
f

(a)0
②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在
5.已知
limf(x)0
及( ),则
limf(x)g(x)0
.
xx
0
xx
0
①g(x)为任意函数时 ②当g(x)为有界函数时
③仅当
limg(x)0
时 ④仅当
limg(x)
存在时
xx
0
xx
0
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.
lim
x
xsinx
xsinx
1
x
)
x3

____________.

____________.
2
2.
lim(1
x 
3.
f(x)sinx
,那么左导数
f


( 0)
____________,右导数
f


(0)
____________.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1.
lim(
x1
1
lnx
t

1
x 1
)

2

xe
dy
2.

,求
2

t
dx

yte
3.
yln(x1x)
, 求dy和
xy
2
dy
dx
2
2
.
dy
dx
4.由方程
exy0
确定隐函数y=f(x) ,求.
5.设
x
1
1,x
n
1
x
n1< br>1x
n1
,求
limx
n
.
x
第1页

6.
lim(3x
x
axbxc)2
,求常数a,b.
2
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
lim
x
f(x)
x
lim
x
f(x)
x
0
,证明:存在

(,)
,使

f(

)

0
.
2.若函数f(x)在[ a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有
f

(x)M
,M是常数 ,则
lim
x
f(x)
x
2
0
.
3.证明函数
ysin











1
x
在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.②
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.
lim
x 
xsinx
xsinx
1
x
)
x3
__1_ .

__e_.
2
2.
lim(1
x
3.
f(x)sinx
,那么左导数
f

(0)
__-1__,右导数
f


(0)
__1 __.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1,lim(
x1
1
lnx

1
x1
)
1
l im
x1
1
解:lim(
x1
1
lnx
1
1
x1
)lim
x1
(x1)lnx
(x 1)lnx
lnx
x1
x

lim
x1
xlnxx1
(x1)
x
lim
x1
lnx11
第2页

2

xe
dy
2.
,求
2

t
dx

yte
t解:
dy
dx

d
dy
dt
(
dt
dx
)

(ete)
tt
1
et
(t1)
dy
dy
dx
2
2

dtdx
dx
dt
1
e
t

3.
yln (x1x)
,求dy和
2
dy
dx
2
2
. < br>解:dydln(x
1
x

dy
dx
2
2
1x)
x
2
1
1x
2
d(x1x )
x
1x
2
2

1
1x
2
( dxd(1x))
x
2
1
1x
2
(dxdx)

1x

2
dx,
1
1x
xyd
dx
[
2
]
1
2

1
(1x)
23
2x
x
(1x)
23
4.由方程< br>exy0
确定隐函数y=f(x) ,求
dy
dx
.
解 :方程两边求微分得
d(e
e
xy
xy
xy)0,即de< br>xy
dxy
(dxdy)ydxxdy
dy
dx

ye
e
xy
xy

所以,
x
x< br>n1
1x
n1
5.设
x
1
1,x
n
1
,求
limx
n
.
x
第3页

证明： 先证{x
n
}单调增加.显然x
2
x1
，设nk时成立，即x
k
x
k1
，
当nk 1时，x
k1
x
k
(1
x
k
(1xk1
)x
k1
(1x
k
)
(1x
k
)(1x
k1
)
x
n1
1x
n1
x
k
1x
k
)（1
x
k1
1x
k1
)

x
k
x
k1
(1x
k
)(1x
k1
)
0,所以{x
n
}单调增加；显然x
n
12,所以由单调增加有界数列必有极限得{x
n
}收敛 .
x
n
1x
n
(a
limx
n
n0

令limx
n
a,则limx
n1
lim(1< br>n0n0n0
)1
1limx
n
n0
即 a1
a
1a
2
,得a
1
2
51
2
5
舍去).
6.
lim(3x
x
axbxc )2
,求常数a,b.
解:显然a0,lim(3x
x
axb xc)
axbxc
axbxc)
3
lim
x2
2
2
lim
x
3x
(3x
2axbxc)(3x
lim
x
3x
2
axbx c
2
2
a
b
x

c
x
c2

2
9xaxbxc
9xaxb
x
所 以,9a0,
3
b
a
2,得a9,b3.
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
limx
f(x)
x
lim
x
f(x)
x0
,证明:存在

(,)
,使

f(

)

0
.
f(x)
x0,所以对0<

1,存在X0,使得当xX时,有证明:因为lim
x 
f(x)
x


成立,即x

f(x) x

,
故x(

1)f(x)xx(

1)0,取bX,所以当xb时
有f(x)x0,特别的f(b)0.同理可得存在a 0,使得f(a)0.
而f(x)在(,)上连续,所以在闭区间[a,b]连续,
从而F(x)f(x)x在[a,b]上连续,而F(a)0,F(b)0,
所以由闭区间上 连续函数性质(零点存在定理)得
存在

(,),使得F(
)f(

)

0.

第4页

< br>2.若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有
f

(x)M
,M是常数,则
lim
x
f(x)
x
2< br>0
.
证明:因为f(x)在区间(a,)满足f

(x)M ,所以满足李普希兹条件,
即:对任意的x
1
,x
2
(a,) ,有f(x
1
)f(x
2
)Mx
1
x
2.
令ba,则x(a,),有f(x)f(b)Mxb成立.
我们知lim
x
f(b)
x
2
0,故要证lim
x
f(x)
x
2
0,只需证lim
x
f(x)f(b)< br>x
2
0.
xb时,对任意给定的

0,要使
f (x)f(b)
x
2

f(x)f(b)
x
2

Mxb
x
2

MxMb
x
2
2M
x


只需x
2M

即可,令Xma x{b,
f(x)f(b)
x
2
2M

},
则当 xX时,

成立
即lim
x
f(x)f(b)
x
2
0,所以得证.

3.证明函数
ysin
1
x
在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
证明:设0cx,x0
<1,对任意的

0,要使
sin
1
x
 sin
1
x
0
2cos(
1
2x

1< br>2x
0
)sin(
xx
0
2xx
0
12x


1
2x
0
)
2cos(
x x
0
2xx
0
)sin(
2
xx
0
2 xx
0
)2
2
xx
0
c
2


,

只需xx
0
c

,令

c

,
所以 对任意的

0,存在

c< br>
0,当xx
0


时,
有sin
1< br>x
sin
1
2n


1

xn
2
1
x
0


成立,故ysin
1
2n


1
x
在(c,1)(c0)上是一致连续的.

x
n

2
1

,x
n< br>
2
,n为正整数,
sinsin

x
n
1(1)2

x
n

x
n
4n< br>
2

2


4
2
0,(n )


x
n



时,所以对小于2 的任意

0,不能找到一致连续定义中的

,使得当x
n
sin
1

x
n
sin
1

x
n


第5页

第6页