鬼节是几号-考生号查询

上海应用技术学院2015—2016学年第一学期
《高等数学（工）1》
期（末）综合测试卷
班级： 学号： 姓名:
题 号
应得分
实得分
一
20

二
18

三
48

四
14

总 分
100

一．单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共2 0分），在每小题列出的四个备选项
中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错 选、多选或未选均无分．

x
2
2x

1．设
lim

axb

1
，则

x

x1


．C
A．
a1,b0
B．
a0,b1

C．
a1,b2
D．
a0,b1

2．下列函数在指定的变化过程中是无穷小量的是

A．
xsinx

x0

B．
C．

．A
11
sin

x0


xx
sinx
x

x0

D．
xsinx

x



sinx
x0

x
,


3．设
f(x)
< br>1x,0x1
，则
f(x)
在


e
x
1

,x1


x

．C
A．
x0
处连续，
x1
处连续 B．
x0
处间断，
x1
处连续
C．
x0
处连续，
x1
处间断 D．
x0
处间断，
x1
处间断
4．若
lim
x0
f(x
0
2x)f(x
0
)
1
，则函数
yf(x)
在
xx
0
处（ ）C
x
A.f

(x
0
)2

B.f

(x
0
)1


xx
0

1
dx


2
xx
0
2dx

5．函数
f(x )x
2
xx
2
x
的水平渐近线有

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
．C

A．0条 B．1条
C．2条 D．不能确定
6．若函数
f(x)
在区间

a,b
< br>上满足：
f(x)0,f

(x)0,f

(x)0
，
记
S
1
f(a)(ba)S
2


f(x)dxS
3
f(b)(ba)
，则

a
b

．C
A．
S
1
S
2
S
3
B．
S
2
S
3
S
1

C．
S
3
S
1
S
2
D．不能确定
7．设
f(x)
的一个原函数为
xe
，则
f

(x)
x

．B
A．
e
x
(x1)
B．
e
x
(x2)
C．
e
x
(x1)
D．
e
x
(x2)

8．下列反常积分中收敛的是

A．

．B

1
0
1
1
1
dx
B．

dx

0
x
3
x
1
1
1
dx
D．

3
dx

1
x
x
C．


1
9．微分方程
y

6x
的通解为（ ）（其中
c
1
,c
2
,c
3
为任常数）D c
1
4
c
1
2
1
xxc
2
x1

B.yx
4

1
x< br>2
c
2
xc
1

4242
111
C.yx
4
x
2
c
1
xc
2

D.yx
4
c
1
x
2
c
2
xc
3

424
A.y
10．微分方程
y
 
2y

y0
的通解为

（其中
c
1
,c
2
为任常数）C

．
A．
C
1
e
x
C
2
e
x
B．
C
1
xC
2
e
x

C．
C
1
e
x
C
2
xe
x
D．
C
1
C
2
e
x

二．填空题（本 大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，
错填、不填均无分． < br>
x1

11．极限
lim


x
x1

x
e
2
第 2 页 共 6 页
．

12．曲线
e
y
xy1
过点
(0,1)
的切线方程为
13．函数
y
3
ye(x1)
．
x
2
(2x-5)
的单调增区间为
(,0)(1,)
．

14．定积分
I


(1x)cosxdx
2

2
2< br>2
．
15．若
f(x)2x1x

1
0f(x)dx
，则
f(x)

f(x)2x
c
x
lnylnxc
．
4
1x
2
4
．
16．微分方程
xy

y0
的通解为
y
三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共4 8分）．
11
)
．
x0
x
2
xsinx
sinxxsinxx
lim
解：原式=
lim
2

3
x0
xsinx
x0
x
1
x
2< br>cosx1
2

1

limli m
x0x0
3x
2
3x
2
6
17．求极限lim(
d
2
y
18．设
yarctanxln(xx e)
，求
2
．
dx
22
解：
y


11


2
22
1x
xe

y


2x2x


22
223< br>(1x)
(xe)
1
3
2

2
xt

d
33
所确定，求
y
19．设函数
yy(x)
由参数方程

2
t
dx
2s

ysed s

1

dy
2t
dx
2
tet 解：
dtdt
dy
d
2
ye
t
t
e



dx
dx
2
t
2

第 3 页 共 6 页
．
t1

20．求曲线
yxe
x
的凹 凸区间与拐点．
解：
y

(1x)e
x
y

(x2)e
x

令
y

0
得：
x2

所以：函数
f(x)
在区间
(,2)
上是凸函数；在
(2,)
上是凹函数，
拐点为
(2,2e
2
)

21．计算不定积分
1

x(23lnx)
dx
．
解：原式=
111
d(23lnx)ln23lnxc


3(23lnx)3
22．计算广义积分

2
1
x4 x
2
1
dx
．
解：令
x2sint

x1t

4x
2
2costdx2costdt


6
;x2t

2


111
原式=


2
2costdt

2
dt

2
6
sint
6
2sint2cost
1

lncottcsct
2
解：令
x


2< br>6
1
ln(23)

2
x1t1x2t
1

2
1
1
2
11
dx
2
dt
tt
原式=

1
2
1
1
11
4
2
tt
(
1
111
2
)dtdtln(2t4t1)
1
2

2
t2
4t1
2



1
ln(2
2
3

)
4
0
23．计算定积分

ln(1x)dx
．
第 4 页 共 6 页

解：令
xtxt
2
dxdt
2


x0,t0
2

x4,t

2
2
t
2
dt
原式=

ln(1t )dttln(1t)

00
1t
222
0
=
4ln3ln33ln3

dy
24．求微分方程
xy e
x
,

x0

满足初始条件
y
x1
0
的特解．
dx
2
1
11
1
解：y


2
y
2
e
x

xx
1

p(x)
2
x
1
1
q(x)
2
e
x

x


p(x )dx

p(x)dx
cq(x)e

dx

通解为：
ye




11
1
dx
1
1
2

x
2
dx

< br>ye

c

2
e
x
e
xdx

e
x
x


1

1

e
x

c

x


1


1
1
xx
c eedx


2

x


又
y
x1
0
，
c1

所以：
ye

1


x
1
x


1


四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共1 4分）．
25．过原点（0，0）作曲线
ye
的切线，求该切线与曲线
y e
和
y
轴所围图形的面积，
并求该图形绕
x
轴旋转一周所 得的旋转体的体积．
解：如图：
切线方程为：
yex

面积
S
xx
11
x
edxee1


0
22
1
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体积
V





< br>1
0

(e
x
)
2
dx

e
2

1
3

6
e
2


2

26．设
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，
ab
，且
f(x
若
F(x
)0
。
)
试证明
F(x)
在

a,b

内有且仅有一个实根。
证明：
F(x)在

a,b

上连 续，且F(a)

x
a
()ftdt

()ftdt

x
b

b
a
1
dx0

f(x)

F(b)

b
a
f(x)dx0(f(x)0)

所以：
F(x)
在

a,b

内有一个实根；
又因为
F

(x)f(x)
1
0

f(x)
所以
F(x)在

a,b

上单调增

所以：
F(x)
在

a,b

内有且仅有一个实根。
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