关于爱心的歌曲-手抄报中秋节

《高等数学（二）》期末复习题
一、选择题
1、若向量
b
与向量
a(2,1,2)
平行，且满足
ab18
，则< br>b
（ ）
（A）
(4,2,4)
（B）
(2，4,4)

（C）
(4,2,4)
（D）
(4,4,2)
.
2、在空间直角坐标系中，方程组


x
2
y
2
z0
代表的图形为 ( )

z1
（A）直线 (B) 抛物线 （C） 圆 (D)圆柱面
3、设
I

(x
2
y
2
)dxdy
，其中区域
D
由
x
2
y
2
a
2
所围成，则
I
（
D
(A)

2

a
24
2

a
0
d


0
ardr

a
(B)

0
d


0
a
2
ad r2

a
4

(C)

2
d


a
0
r
2
dr
2
3

a
3
(D)

2

0
d


a
0
r
2
rdr
1< br>0
2

a
4

4、 设
L为：x1,0 y
3
2
的弧段
，则

L
6ds
（ ）

（A）9 (B) 6 （C）3 (D)
3
2


5、级数

(1)
n
1
n
的敛散性为 （ ）
n1
（A） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定
n
6、二重积分定义式
 
f(x,y)d

lim

f(

i
,

i
)

i
中的

代表的是（ ）
D

0
i1
（A）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对
7、设
f(x,y)
为连续函数，则二次 积分

11x
0
dx

0
f(x,y)dy等于 ( )
（A）

1
dy

1 x
f(x,y)dx
(B)

11y
000
dy

0
f(x,y)dx

(C)
< br>1x
0
dy

1
0
f(x,y)dx
(D)

1
dy

1
00
f(x,y)dx

8、方程
2zx
2
y
2
表示的二次曲面是 ( )
（A）抛物面 （B）柱面 （C）圆锥面 （D） 椭球面
）

9、二元 函数
zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
可微是其在该点偏导数存在的（ ）.
（A） 必要条件 （B） 充分条件 （C） 充要条件 （D） 无关条件
10、设平面曲线L为下半圆周
y1x
2
,
则曲线积分

L
(x
2
y
2
)ds
( )
(A)
0
(B)
2

(C)

(D)
4


11、若级数

a
n1
n

n
收敛，则下列结论错误的是 （ ）
(A)

2a
n1

收敛 (B)

(a
n1

n
2)
收敛 (C)
n100

a

n
收敛 (D)

3a
n1

n
收敛
12、二重积分的值与 （ ）
（A）函数f及变量x,y有关； (B) 区域D及变量x,y无关；
（C）函数f及区域D有关； (D) 函数f无关，区域D有关。
13、已知
ab
且
a(1,2,1),b(x,4,2),
则
x
= ( )
（A） -2 （B） 2 （C） -3 （D）3



z
2
x
2
y< br>2
14、在空间直角坐标系中，方程组

代表的图形为( )
y1

（A）抛物线 (B) 双曲线 （C）圆 (D) 直线
15、设
zarctan(xy)
，则
z
= （ ）
y
11
1
sec
2
(xy)
(A) (B) （C） (D)
22
2
2
1(xy)1(x y)
1(xy)
1(xy)
16、二重积分
（A）
(C)

dy

0
x
0
11
y
2
f(x,y)dx
交换积分次序为 ( )
y
2
0< br>
1
0
dx

f(x,y)dy
(B)

1
0
dx

f(x,y)dy
< br>0
x
2
0
1

1
0
dx

f(x,y)dy
(D)

dx

0
1
f(x,y)dy

17 、若已知级数

u
n1

n
收敛，
S
n
是它的前
n
项之和，则此级数的和是（ ）
（A）
S
n
(B)
u
n
(C)
limS
n
(D)
limu
n

n
n
18、设
L
为 圆周：
xy16
，则曲线积分
I
22

2xyds< br>的值为（ ）
Ñ
L

（A）
1
(B) 2 （C）
1
(D)

0


二、填空题
1、
lim< br>x0
y0
xy
1xy1


2、二元函数
zsin(2x3y)
，则
z


x
3、积分
I
x
2
y
2
4
x
e

2
y
2
d

的值为

4、若
a,b
为互相垂直的单位向量， 则
ab
5、交换积分次序




1
0
dx

x
2
0
f(x,y)dy

6、级数

(
n1

11
)
的和是
2
n
3
n
7、
lim
y0
24xy


x0
xy
8、二元函数
zsin(2x3y)
，则
1
z


y
x
x
2
9、设
f(x,y)
连续，交换积分次 序
10、设曲线
L
：
xya

222
dx

f(x,y)dy

，则
Ñ
(2sinx3ycosx)ds

0
L
11、若级数

(u
n1
n
1)
收敛，则
limu
n


n
22
12、若
f(xy,xy)xy
则
f(x,y)

13、
lim
y0
11xy


x0
xy

14、已知
ab
且
a(1,1,3),b(0,x,1),
则x =
1 5、设
zln(x
3
y
3
),
则
dz
(1,1)



16、设
f(x,y)
连续，交换积分次序

1
0
dy

y
y
2
f(x,y)dx


17、
级数

u
n
s,则级数

(u
n
u
n1
)的和是

n1n1
2
18、设
L
为圆周：
xyR
， 则曲线积分
I

三、解答题
22

xsinyds
的值为
Ñ
L
1、（本题满分12分）求曲面
ze2xy3
在点
(1,2,0)
处的切平面方程。
z
2、（本题满分12分）计算二重积分

e
D
x
y
dxdy
，其中
D
由
y
轴 及开口向右的抛物线
y
2
x
和直线
y1
围成的平面区域。
3、（ 本题满分12分）求函数
uln(2x3y4z)
的全微分
du
。 < br>2

x
2
y
,(x,y)(0,0)

4 、（本题满分12分）证明：函数
f(x,y)

x
4
y
2
在点（0，0）的两个

0,(x,y)(0,0)

偏导数 存在，但函数
f(x,y)
在点（0，0）处不连续。
5、（本题满分10分）用比 较法判别级数

(
2n1
)
n1
2

n
n
的敛散性。
6、（本题满分12分）求球面
xyz14
在点
(1,2,3)
处的法线方程。
7、（本题满分12分）计算
I
22
22
D{(x,y)1xy4}
。
(xy)d xdy
，其中

22
D

xt
uur

8、（本题满分12分）力
F

x,y,x

的作用 下，质点从
(0,0,0)
点沿
L

y2t
移至

2

zt
uur
(1,2,1)
点，求力F
所做的功
W
。
9、（本题满分12分）计算函数
uxsin(yz)
的全微分。
10、（本题满分10分）求级数
1
的和。

n(n1)
n1
222

11、（本题满分12分）求球面
xyz14
在点
(1,2,3)
处的切平面方程。

（xxyy ）
12、（本题满分12分）设
zln
,求
x
13、（本题满分 12分）求
22
zz
y
。
xy

(1x
D
2
y
2
)dxdy
，其中
D
是由
yx
，
y0
，
x
2
y
2
1

在第一象限内所围成的区域。

x0

14、 （本题满分12分）一质点沿曲线

yt
从点(0,0,0)移动到点(0,1,1 )，求在此过程中，

zt
2




4
力
F1xiyjk
所作的功
W
。
15、（本题满分10分）判别级数


1
nsin
的敛散性。

n
n1

《高等数学（二）》期末复习题答案
一、选择题
1、A 2、C 3、D 4、A 5、B 6、D 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B
12、C 13、B 14、B 15、B 16、A 17、C 18、D

二、填空题
1、 2 ；2、
2cos(2x3y)
；3、

(e1)
； 4、 0 ；5、
4

1
0
dy

1
y
f(x,y)dx
；
1y
31
6、

7、

； 8、
3cos(2x3y)
；9、

dy

f(x,y)dx
；10、 0 ；
0y
24
11、 -1 ； 12、
xy
13、

133
； 14、 3 ；15、
dxdy
；
222

16、

1
0
dx

x
x
f(x,y)dy
；17、
2Su
1
；18、 0
三、解答题
1、（本题满分12分）
解：设
F(x,y,z)ze2xy3

z

z
则
F
x
2y
，
F
y
2x
，
F
z
1e


对应的切平面法向量
n(F
x
,F
y
,F< br>z
)
(1,2,0)

代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0）
则切平面方程：
4(x1)2(y2)0(z0)0

或
2xy40

2、（本题满分12分）
解 ：

e
D
x
y
dxdy

dy

edx

00
1y
2
x
y




ye

dy
0


0
1
x
y
y
2


(ye
y
y)dy

0
1

y
y
2

y


yee
< br>
2

0

1

1

2
3、（本题满分12分）
解：因为
u2u3u8z

， ，
222
x2x3y4zy2x3y4zz2x3y4z
du
uuudxdydz

xyz
238z
dxdydz

222
2x3y4z2x3y4z2x3y4z
所以
du
4、（本题满分12 分）
解：
f
x
(0,0)lim
x0
f(0x ,0)f(0,0)0
lim0

x0
xx
同理
f
y
(0,0)0

所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。

x
2
kx
2
k


lim
2
f(x,y)
lim
42
x0
x k
2
x
4
ykx
1k
x0
limf(x, y)
不存在
x0
y0
因此函数在（0，0）点不连续

5、（本题满分10分）
解：
(

n
n< br>n1
)()
n
()
n
，
2n12n2
而
1
n
()
是收敛的等比级数



n1
2

原级数收敛


6、（本题满分12分）
解：设
F(x,y,z)xyz14

则
F
x
2x
，
F
y
2y
，
F
z
2z


222
对应的法向量
n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,3)

代入
(1,2,3)
可得法向量：（2，4，6）
则法线方程：
x1y2z3


123
7、（本题满分12分）
解：
I

0
2

d



2


d


1
2
1
2
2
4

41

15


2
8、（本题满分12分）
W

Fds

L




L
xdxydyxdz



1
0
1
tdt4tdt 2t
2
dt



(2t
2
3t)dt

0
5


6
9、（本题满分12分）


Qu

x
sinyz
，
u
y
xzcosyz

u
z
xycosyz


duu

x
dxu
y
dyu
z
dz



sin(yz)dxxzcos(yz)dyxycos(yz)dz


10、（本题满分10分）
解：
Q
111


n(n1)nn1
111
...

1223n(n1)
S
n

11111
(1)() ...()

223nn1
1
1

n1
1
)1

n1
limS
n
lim(1
n

n
所以级数

1
的和为1

n1
n(n1)

11、（本题满分12分）
解：设
F(x,y,z)xyz14

则
F
x
2x
，
F
y
2y
，
F
z
2z


222
对应的切平面法向量
n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,3)

代入
(1,2,3)
可得法向量：（2，4，6）
则切平面方程：
2(x1)4(y2)6(z3)0

或
x2y3z140

12、（本题满分12分）
解：因为
z2xyzx2y

2
；

x
xxyy
2
y
x
2
xyy
2
zz2x
2
xyxy2y
2
所以
xy2

22
xy
xxyy
13、（本题满分12分）
解：令

x

cos




，则
D

(

,

)0

 ,0

1

，
4


y

sin


22
4
0
1
所以
2

(1xy)dxdy

d


0(1

)

d


D

1 6

14、（本题满分12分）
W

Fds
L





L
1
1x
4< br>dxydydz


(t2t)dt
0
1
0



tdt


1

2
15、（本题满分10分）
解： 设
u
n
nsin
1

n
sin
于是
limu
n
lim
nn 
1
n
1
n
10

故

u
n1

n
发散。