描写烟花的作文-投资策划方案

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设
limf(x)k
,那么点x=a是f(x)的( ).
xa
①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对
2.设f(x)在点x=a处可导,那么
lim
h0
f (ah)f(a2h)

( ).
h
1
f

(a)

3
①
3f

(a)
②
2f

(a)
③
f

(a)
④
3.设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为( ).
①(-1,1) ②





,

③(0,+∞) ④(-∞,+∞)
22

4.设
lim
xa
f(x)f(a)
1
,那么f(x)在a处( ).
2
(xa)
①导数存在,但
f

(a)0
②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在
5.已知
limf(x)0
及( ),则
limf(x)g(x)0
.
xx
0
xx
0
①g(x)为任意函数时 ②当g(x)为有界函数时
③仅当
limg(x)0
时 ④仅当
limg(x)
存在时
xx
0
xx
0
二 填空题(每小题5分,共15分)
xsinx

____________.
x
xsinx
1
x3
2.
lim(1)
____________. x
x
1.
lim
3.
f(x)sinx
2
,那么左导数
f


(0)
____________,右导数
f


(0)
____________.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1.
lim(
x1
11
)

lnxx1
xe
t
d
2
y
2.

,求
2

t
dx

yte
d
2
y
3.
yln(x1x)
,求dy和
2
.
dx
24.由方程
e
xy
xy0
确定隐函数y=f(x) ,求
dy
.
dx
5.设
x
1
1,x
n
1
x
n1
,求
limx
n
.
x 
1x
n1

6.
lim(3xaxbxc)2< br>,求常数a,b.
x
2
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
lim
x
f(x)f(x)lim0
,证明:存在

(,)
,使
x
xx

f(

)

0
.
2.若函数f(x)在[ a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有
f

(x)M
,M是常数 ,则
lim
3.证明函数
ysin











x
f(x)
0
.
x
2
1
在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
x
答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.②
二 填空题(每小题5分,共15分)
xsinx

__1_ .
x
xsinx
1< br>x3
2.
lim(1)
__e_.
x
x
1.
lim
3.
f(x)sinx
2
,那么左导数
f< br>

(0)
__-1__,右导数
f


(0)
__1__.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1,lim(
x1
11
)
lnxx1
1
111(x1)lnxx1
x

解:lim()limlimlim
x1
lnx
x1
(x1)
x1
xlnxx1x 1
x1
(x1)lnx
lnx
x
1
lim< br>x1
lnx11


xe
t
d
2
y
2.

,求
2

t
dx
< br>yte
解:
dydydt1
(e
t
te
t
)
t
(t1)
dxdtdxe
ddy

()
2
dy
dtdx
1

t
dx
dx
2
e
dt
2
d
2
y
3.
yln(x 1x)
,求dy和
2
.
dx
解:dydln(x1x2
)
1
x1x
2
11x
(dxd(1x< br>2
))(dxdx)
222
x1xx1x1x

1
dx,
2
1x
d
2
yd111x
[] 2x
dx
2
dx
1x
2
2
(1x< br>2
)
3
(1x
2
)
3
xy
d( x1x
2
)
4.由方程
exy0
确定隐函数y=f(x) ,求
dy
.
dx
解:方程两边求微分得
d(e
xyxy)0,即de
xy
dxy
e
xy
(dxdy) ydxxdy
dyye
xy
所以,
xy
dxex5.设
x
1
1,x
n
1

x
n1
,求
limx
n
.
x
1x
n1

证明： 先证{x
n
} 单调增加.显然x
2
x
1
，设nk时成立，即x
k
x
k1
，
当nk1时，x
k1
x
k
(1 

x
k
x
)（1
k1
)
1x< br>k
1x
k1
x
k
(1x
k1
)x
k1
(1x
k
)x
k
x
k1
 0,所以{x
n
}单调增加；
(1x
k
)(1x
k1
)(1x
k
)(1x
k1
)

x
n 1
2,所以由单调增加有界数列必有极限得{x
n
}收敛.
1x
n1
显然x
n
1
limx
n
x
n
令limx
n
a,则limx
n1
lim(1)1
n 0
n0n0n0
1x
n
1limx
n
n0即 a1
a1515
,得a(a舍去).
1a22
2
6.
lim(3xaxbxc)2
,求常数a,b.
x解:显然a0,lim(3xax
2
bxc)
x
lim< br>3xax
2
bxc
(3xax
2
bxc)(3x ax
2
bxc)
2
x
bc


2
3xaxbxc
xx
2lim
2
lim
x 
9xax
2
bxc
x
c
9xaxbx
3a
所以,9a0,2,得a9,b3.
b
3a
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
lim
x
f(x)f(x)
lim0
,证明:存在
< br>(,)
,使
x
xx

f(

)

0
.
证明:因为lim
x
f(x)
0,所以对0<

1,存在X0,使得当xX时 ,有
x
f(x)


成立,即x

f(x) x

,
x
故x(

1)f(x)xx(

1)0,取bX,所以当xb时
有f(x)x0,特别的f(b)0.同理可 得存在a0,使得f(a)0.
而f(x)在(,)上连续,所以在闭区间[a,b]连续 ,
从而F(x)f(x)x在[a,b]上连续,而F(a)0,F(b)0,
所以由 闭区间上连续函数性质(零点存在定理)得
存在

(,),使得F(

)f(

)

0.

2 .若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有
f

(x) M
,M是常数,则
lim
x
f(x)
0
.
x
2
证明:因为f(x)在区间(a,)满足f

(x)M,所以满 足李普希兹条件,
即:对任意的x
1
,x
2
(a,),有f( x
1
)f(x
2
)Mx
1
x
2
.< br>令ba,则x(a,),有f(x)f(b)Mxb成立.
我们知lim
f(b)f(x)f(x)f(b)
0,故要证lim0,只需证lim0.
x
x
2
x
x
2
x
x
2
xb时,对任意给定的

0,要使
f(x)f(b)Mxb
MxM b2Mf(x)f(b)


2222
xxxxx
2M2 M
只需x即可,令Xmax{b,},

f(x)f(b)


成立
x
2
f(x)f(b)
即lim0,所以得证.
x
x
2
1
3.证明函数
ysin
在(c,1)内 一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
x
则当xX时,

证明:设0 cx,x
0
<1,对任意的

0,要使
sin
111 111
sin2cos()sin()
xx
0
2x2x
0< br>2x2x
0
xx
0
xx
0
xx
0xx
0
)sin()2

,
2
2xx
0
2xx
0
2xx
0
c
22
2cos(

只需xx
0
c

,令

c

,
所以 对任意的

0,存在

c
2
0,当xx
0


时,
111
有sinsin

成立,故ysin在(c,1)(c0)上是一致连续的.
xx
0x

x
n
1
2n

2n


22
11
sinsin1(1)2

x
n
x
n

x
n

x
n
< br>
,x
n
1

,n为正整数,

4n< br>2

2


2
0,(n)

4

x
n



时,所以对小于2的任意
0,不能找到一致连续定义中的

,使得当x
n
sin11
sin


x
n
x
n