中考时间2020具体时间-2013北京高考语文

《工程数学》期末复习题库

工程数学（本）模拟试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设
A,B
为
n
阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）．
A．
ABBA
B．
ABAB

C．
(AB)
1
A
1
B
1
D．
(AB)
1
A
1
B
1


x
1
x
2
a
1

2．方程组

x
2
x
3
a
2
相容的充 分必要条件是( )，其中
a
i
0
，
(i1,2,3)
．

x

1
x
3
a
3
A．
a
1
a
2
a
3
0
B．
a
1
a
2
a
3
0

C．
a
1
a
2
a
3
0
D．
a
1
a
2
a
3
0

3．下列命题中不正确的是（ ）．
A．A与
A

有相同的特征多项式
（

IA）XO< br>的非零解向量必是A对应于

的特征向量 B．若

是A的特征值，则
C．若

=0是A的一个特征值，则
AXO
必有非零解
D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量
4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．设
x
1
,x
2
,

,x
n
是来自正 态总体
N(5,1)
的样本，则检验假设
H
0
:


5
采用统计量U
=（ ）．
x5
x5
A． B．
5
15
x5
x5
C． D．
1
1n

二、填空题（每小题3分，共15分）
112
1x
2
2
，则
A0
的根是 ． 1．设
A1
2x
2
14
2．设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础
解系含有 个解向量．
3．设互不相容，且，则 ．
4．设随机变量X ~ B（n，p），则E（X）= ．

第 1 页 共 78 页

1
n
5．若样本
x
1
,x
2
,

,x
n
来自总体
X~N(0,1)
，且
x

x
i
，则
x~
．
n
i1

三、计算题（每小题16分，共64分）
< br>100


，求
(AA

)
1
．
111
1．设矩阵
A




101


2．求下列线性方程组的通解．

2x< br>1
4x
2
5x
3
3x
4
5


3x
1
6x
2
5x
3
2x4
5


4x8x15x11x15
234

1
3．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X < 7）；（2）使P（X < a）=0.9
成立的常数a ． (已知
(1.0)0.8413
，
( 1.28)0.9
，
(2.0)0.9773
)．
4．从 正态总体N（

，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得
x
= 2.5，求

的置信度为99%的置信区间.(已知
u
0.995
2.576
)

四、证明题（本题6分）
4．设n阶矩阵A满足
(AI)(AI)0
，则A为可逆矩阵．

工程数学（本）11春模拟试卷
参考解答

一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．A 2．B 3．D 4．A 5．C
二、填空题（每小题3分，共15分）
1
1．1，-1，2，-2 2．3 3．0 4．np 5．
N(0,)

n
三、（每小题16分，共64分）
1．解：由矩阵乘法和转置运算得
0

0

11
< br>1

1

1



01101

AA





01



10


1






1
利用初等行变换得
1

1
1

3

2
………6分


1

2

2


第 2 页 共 78 页

0

1
0




0


01
0
1
1
2
1
1
0
1


120


01
 
0
0
1
0
0
1
1
0
10


11


2
1
2


201


………16分
011
即
(AA

)
1





112


7 -2．解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即

24535

24535


3652512010




48151115

00555



12010

12010



00555



00111< br>


00555

00000

 

x
1
2x
2
x
4
方程组的一般解 为：

，其中
x
2
，
x
4
是自由未知量． ……8分
xx1
4

3
令
x
2
 x
4
0
，得方程组的一个特解
X
0
(0，0，，10)

．
方程组的导出组的一般解为：

x
1
2 x
2
x
4
，其中
x
2
，
x
4< br>是自由未知量．

xx
4

3
令
x< br>2
1
，
x
4
0
，得导出组的解向量
X< br>1
(2，，10，0)

；
令
x
2
0
，
x
4
1
，得导出组的解向量
X
2
( 1，0，1，1)

． ……13分
所以方程组的通解为：
XX
0
k
1
X
1k
2
X
2
(0，0，，10)

k
1< br>(2，，10，0)

k
2
(1，0，1，1)

，
其中
k
1
，
k
2
是任意实数． ……16分
X3
13X373
)
=
P(12)
3．解：（1）P（1< X < 7）=
P(
222
2
=
(2)(1)
= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186 ……8分
X3a3a3
)
=
()
= 0.9 （2）因为 P（X < a）=
P(
222
a3
1.28
，a = 3 +
21.28
= 5.56 ……16分 所以
2
4．解：已知

2
，n = 625，且
u
因为
x
= 2.5，

0.01
，
1

u
x


n
~
N(0,1)
……5分

2

2
0.995
，
u
1 
2.576



2
1
n
2 .576
2
625
0.206
……10分
所以置信度为99%的

的置信区间为：

第 3 页 共 78 页

[xu

2
1
n
,xu


2
1n
][2.294,2.706]
. ……16分
四、（本题6分）
证明： 因为
(AI)(AI)A
2< br>I0
，即
A
2
I
．
所以，A为可逆矩阵． ……6分



《工程数学》综合练习
一、单项选择题
1．设
A,B
都是n阶方阵，则下列命题正确的是( )．
A．
ABAB
B．
(AB)
2
A
2
2ABB
2

C．
ABBA
D．若
ABO
，则
AO
或
BO

正确答案：A

1

1

0
< br>2


,

1

,

2

,

3

的秩是（ ）．
0
2．向量组




0




0




3




7


A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
正确答案： B
3．
n
元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．
A.
r(A)r(Ab)
B. 不是行满秩矩阵
C. D.
正确答案：A
4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球
都是红球的概率是（ ）．
6339
A. B. C. D.
252025
10
正确答案：D
5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是

无偏估计．
111
A.
x
1
x
2
x
3
B.
x
1
x
2
x
3

555
113222
C.
x
1
x
2
x
3
D.
x
1
x
2
x
3

555555
正确答案： C
6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立．
A.
AA
1
I
B.
A

A

C.
A

A
1
D.
A
1
A


第 4 页 共 78 页

正确答案：B

37

7．


（ ）．
45


74


74

A.

B.



53


53


75

75

C.

D.

43


43

正确答案：D
8．若（ ）成立，则元线性方程组
AXO
有唯一解．
A. B.
AO

C. D.
A
的行向量线性相关
正确答案：A
9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．
A.
AB
或
ABU
B.
P(AB)0
或
P(AB)1

C.
AB
且
ABU
D.
P(AB)0
且
P(AB)1

1
正确答案：C
10．对来自正态总体
则下列各式中（ ）不是统计量．
A.
X
B.
（未知）的一个 样本
1
3
，记
X

X
i
，
3< br>i1

X
i1
3
i

1
3
1
3
2
C.

(X
i


)
D.

(X
i
X)
2

3
i1
3
i1
正确答案： C

二、填空题
1．设
A,B
均为3阶方阵，
A2,B3< br>，则
3A

B
1

．
应该填写：-18
2．设
A
为n阶方阵，若存在数和非零n维向量
X
，使得 ，则称为
A
的特征值．
应该填写：
AX

X

12

0
3．设随机变量
X~

，则a = ．

0.20.5a

应该填写：0.3
4．设为随机变量，已知
D(X)3
，此时 ．
应该填写：27
5．设

ˆ
是未知参数

的一个无偏估计量，则有 ．
ˆ
)

应该填写：
E(


第 5 页 共 78 页

6．设
A,B
均为3阶方阵 ，
A6,B3
，则
(A

B
1
)
3

．
应该填写：8
7．设
A
为n阶方阵，若存在数和非零n维向量
X
，使得 ，则称
X
为
A
相应于特征值的特征向量．
应该填写：
AX

X

8．若
P(A)0.8,P(AB)0.5
，则
P(AB)
．
应该填写：0.3
9．如果随机变量的期望
E(X)2
，
E(X
2
)9
，那么
D(2X)
．
应该填写：20
10．不含未知参数的样本函数称为 ．
应该填写：统计量

三、计算题
1．设矩阵
解：利用初等行变换得

，且有，求
X
．


即
由矩阵乘法和转置运算得



2．求线性方程组

x
1
3x
2
x
3
x
4
1

2x7x2xx2

1234



x
1
4x
2
3x
3< br>2x
4
1


2x
1
4x
2
8x
3
2x
4
2

第 6 页 共 78 页

的全部解．
解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

13111

13111


2721 2

01010





< br>143

01230

21


2482202640


13111

131 11


01010

01010







00220
< br>00220




方程组的一般解为：
令
（其中为自由未知量）
=0，得到方程的一个特解
X
0
(1000)

.

x
1
5x
4

方程组相应的齐方程的一般解为 ：

x
2
x
4
（其中为自由未知量）
< br>xx
4

3
令=1，得到方程的一个基础解系
X
1
(5111)

.
于是，方程组的全部解为：
X X
0
kX
1
（其中
k
为任意常数）
3．设
X~N(3,4)
，试求: (1)
P(5X9)
；(2)
P(X7)
．
（已知
(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987
）
53X393X3
)P(13)
解：(1)
P(5X9)P(
2222

(3)(1)0.99870.84130.1574

X373
)
(2)
P(X7)P(
22
X3X3
2)1P(2)

P(
22

1(2)10.97720.0228

4．据资料 分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度
X~N(32.5,1.21)
，今从这批砖中
随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg／cm
2
）的平均值为31.12，问这批砖的 抗
断强度是否合格（）．
解： 零假设．由于已知，故选取样本函数

已知

由已知条件
，经计算得
，
，



第 7 页 共 78 页

故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。

110

200


,B

05 0

，求
A
1
B
．
121
5．设矩阵
A



23


2

005


解：利用初等行变换得

1 10100

110

121010



011


23001


2

043
100

110

11



01011110




 

001641


00

1




0


0

4
即
A
1



5


6
1

10531



01641

0043
00

110



201


1
0

0531


1641


010
31

31



41


由矩阵乘法得

431
200

8155


050

< br>
10155


531

A< br>1
B



41

20 5


6



005



12

6．当取何值时，线性方程组

x
1
x
2
2x
3
x
4
2


2x
1
x
2
7x
3
3x< br>4
6

9x7x4xx

1
234
1
有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

11212

11 212


217



01115

3610


1

1


974

022210

19


48

11212

109

< br>
0111510


0111510
< br>



00

1

0

1


00

000

由 此可知当

1时，方程组无解。当

1时，方程组有解。
此时齐次方程组化为

第 8 页 共 78 页


x
1
9x
3
4x
4




x
2
11x
3
5x
4
分别令及，得齐次方程组的一个基础解系


X
1

91110

,X
2


4 501


令，得非齐次方程组的一个特解


X
0


81000


由此得原方程组的全部解为
（其中为任意常数）
7．设，试求：(1)；(2)
P(5X7)
．
（已知
(1)0. 8413,(2)0.9772,(3)0.9987
）
解：(1)


(2)





8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产 品里随机取出9个，
测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为
0.06< br>2
，试找出滚珠直径均值
的置信度为0.95的置信区间．
，故选取样本函数
x


U~N(0,1)


n
已知
x15.1
，经计算得

0.06
0.02

39
滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为
[xu
0.975
解 ：由于已知

u
0.975
9
]

1.9 6
，故此置信区间为
[15.0608,15.1392
,xu
0.975

9
]
，又由已知条件

四、证明题
1．设
A,B
是
n
阶对称矩阵，试证：
AB
也是对称矩阵 ．
证明：
A,B
是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知

(AB)

A

B


已知
A,B
是对称矩阵，故有
A

A,B

B
， 即

(AB)

AB

由此可知
AB
也是对称矩阵，证毕．
2．设n阶矩阵A满足
(AI)(AI)0
，则A为可逆矩阵．

第 9 页 共 78 页

证明： 因为
(AI)(AI)A
2
I0
，即
A
2
I

所以，A为可逆矩阵．
3．设向量组

1,

2
,

3
线性无关，令

1

1
2

2
，

2
3

2
2

3
，

3
4

3


1
，
证明向量组

1
,

2
,

3
线性无关。
证明：设k
1

1
k
2

2
k
3

3
0
，即

k
1
(

1
2

2
)k
2
( 3

2
2

3
)k
3
(4

3


1
)0


(k
1
k
3
)

1
(2k
1
3k
2
)

2
(2k
2
4k
3
)

3
0


k
1
k< br>3
0

因为

1
,

2
,

3
线性无关，所以

2k
1
3k
2
0


2k4k0
3

2
解得k
1
=0, k
2
=0, k
3
=0，从而

1
,
< br>2
,

3
线性无关．
4．设随机事件,相互独立，试证：
A,B
也相互独立．
证明：
P( AB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B)(1P(A))


P(A)P(B)

所以
A,B
也相互独立．证毕．
5．设,为随机事件，试证：
证明：由事件的关系可知

而，故由概率的性质可知


今天的活动就到这里，大家还有什么问题，请随时与我们联系。谢谢大家参与这次
活动。再见！



【工程数学】形成性考核册试题及答案

工程数学作业（一）

第2章 矩阵
（一）单项选择题
⒈设，则（D ）．
A. 4 B. －4 C. 6 D. －6
⒉若，则（A ）．

第 10 页 共 78 页

A. B. －1 C.
中元素
D. 1
（C ）． ⒊乘积矩阵
A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）．
A.
C.
⒌设
A.
C.
B.
D.
均为阶方阵，且
B.
D.


，则下列等式正确的是（D ）．


⒍下列结论正确的是（ A）．
A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵
B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵
C. 若
D. 若
⒎矩阵
A.
C.
均为阶非零矩阵，则
均为阶非零矩阵，则
也是非零矩阵

的伴随矩阵为（ C）．
B.
D.


⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）．
A. B. C. D.
⒐设
A.
C.
⒑设
A.
C.

均为阶可逆矩阵，则（D ）．
B.
D.
均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．
B.
D.


（二）填空题（每小题2分，共20分）
⒈ 7 ．
⒉
⒊若为
是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．
矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵．

第 11 页 共 78 页

⒋二阶矩阵

15


01

．

⒌设
⒍设
⒎设
均为3阶矩阵，且
均为3阶矩阵 ，且
，则
，则
，则

063


51 8



72 ．
－3 ．
⒏若为正交矩阵，则 0 ．
⒐矩阵的秩为 2 ．
⒑设是两个可逆矩阵，则

A
1

1
O

OA
1

．
2

（三）解答题（每小题8分，共48分）
⒈设，求⑴；⑵
；⑸；⑹．
答案：
AB


03
66

1716


18



AC


04



2A3C


37


A5B


2622


120


AB


77


2312

< br>
(AB)

C


5621
< br>
15180




⒉设，求
解：< br>ACBC(AB)C


024


114



201



32 1

6410






002



2210


⒊已知，求满足方程
解：






X
1
2
(3AB)
1


4
3< br>2
1



832


5
2

252

1






1

7115




711
2
5




222
< br>

第 12 页 共 78 页
；⑶
．
．
；⑷

中的

⒋写出4阶行列式

中元素的代数余子式，并求其值．
020120
答案：
a
41(1)
41
4360

a
2
42
(1)
4
13645

253053
⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ．
解：（1）

122100

22100
2

r
2
r
1
02

1

A|I




212010

2 r
1
10

3

1




2r
1
r
2
1


< br>r
3



0362




2r
2



r
3



036
3
2

221001




063201




0 092


22


1
3
r
2< br>

121

1

102
3
0< br>




2r
3
r
1

100
99

9

r
3



012
2
3

1
0




2r
3



r
2

10
21
9

2


001
3

2
3
1



0

00
9



9

2
1
92
99




9

21
9


99



122


999

A
1


21
99

2



21
9




9

2

99




2262617

1000

（2）
A
1


1752013



(过 程略) (3)
1
1100




 1021

A


0110



4153




0011

< br> ⒍求矩阵的秩．

第 13 页 共 78 页
2
3
0


10


21


< /p>

011011

rr

1
12

0
r
1
r
3
101100

2rr
14




0012101
113201

0
解：

1011011


0110111

r
3
r
4



0001110


< br>0000000

R(A)3


1

1


1


2
1

1

0110111

rr
24




0001110


111221
< br>0
011011

110111


0011 10


001110

01101


（四）证明题（每小题4分，共12分）
⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．
证明：
(AA')'A'(A')'A'AAA'

是对称矩阵
⒏若是阶方阵，且


，试证

或．
证明：

是阶方阵，且
2


AA

AA

AI1

或
A1



⒐若是正交矩阵，试证
证明：

是正交矩阵





即

也是正交矩阵．
A
1
A



(A

)1
(A
1
)
1
A(A

)


是正交矩阵
工程数学作业（第二次）
(满分100分)

第3章 线性方程组
（一）单项选择题(每小题2分，共16分)
⒈用消元法得
A.
C.
的解为（C ）．


B.
D.
（B ）． ⒉线性方程组
A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

第 14 页 共 78 页

⒊向量组的秩为（ A）．
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
⒋设向量组为，则（B ）是极大无关组．
A.
⒌与
（D）．
A. 秩
C. 秩
B. C. D.
分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则
秩
秩
B. 秩
D. 秩
秩
秩


⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．
A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解
⒎以下结论正确的是（D ）．
A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线
性表出．
A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量
C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量
9．设A，Ｂ为
n
阶矩阵，

既是Ａ又是Ｂ的 特征值，
x
既是Ａ又是Ｂ的属于

的特征向
量，则结论（ ）成立．
Ａ．

是AB的特征值 Ｂ．

是A+B的特征值
Ｃ．

是A－B的特征值 Ｄ．
x
是A+B的属于

的特征向量
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为
n
阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．
Ａ．
ABBA
Ｂ．
(AB)

AB
Ｃ．
PAP
1
B
Ｄ．
PAP

B

（二）填空题(每小题2分，共16分)
⒈当 １ 时，齐次线性方程组有非零解．
⒉向量组
⒊向量组
⒋设齐次线性方程组
组有 无穷多 解，且系数列向量
⒌向量组
线性 相关 ．
的秩是 ３ ．
的系数行列式，则这个方程
是线性 相关 的．
的极大线性无关组是

1
,

2
．

第 15 页 共 78 页

⒍向量组
⒎设线性方程组
的秩与矩阵
中有5个未知量，且秩
的秩 相同 ．
，则其基础解系中线性无关的解
的基础解系为，
向量有 ２ 个．
⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且
则的通解为
X
0
k
1
X
1
k
2
X
2
．
9．若

是Ａ的特征值，则

是方程

IA0
的根．
10．若矩阵Ａ满足
A
1
A

，则称Ａ为正交矩阵．
（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)
1．用消元法解线性方程组

解：

13216

3rr

13
12

381

012r
1
r
3
50
rr
14

 A




214112

05

14132

01

10192348

10
3r
4
r
3
1

01 7818


1
r

01
r
4
3
3
2





00 3312

00

005613

00
10042124

42rr

10
1
1

0101546

15r
4
4
r2

01
r
4
rr
43

< br>11





0011
004


3

0001

00216

3rr

1
21

5r
2
r
3
7818

r
1
r
4< br>
0



0810

348

0
0192348

17818


0273990


0101226

2 348

19rr

10042124

31
7r
3
r
2
818

5r
3
r
4

0101546


< br>
001114

4


613

0001133

02


x
1
 2
01




方程组解为


x
2
1


01


x
3
1


13


x
4
3
19
7
1
50
0
1
0
２．设有线性方程组

为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
2

11

2
rr

1

1



111

12



r

r1
r
3
2

1
r
3
A

1

1

1

1

 0

11





2


111

01

1
2
1

3



11





1

1

2
 
2
r
3

r


0
< br>11

(1

)

2

00(2

)(1

)(1

)(1
< br>)

解：］

当

1
且

2
时，
R(A)R(A)3
，方程组有唯一解
当

1
时，
R(A)R(A)1
，方程组有无穷多解
第 16 页 共 78 页

３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

解：向量能否由向 量组

1
,

2
,

3
线性表出 ，当且仅当方程组

1
x
1


2
x2


3
x
3


有解

2358

1

7563

0< br>


这里
A


1
,

2
,

3
,





1

0037


321 10

0
037

1341



010117


00571

R(A)R(A)

方程组无解

不能由向量

1
,< br>
2
,

3
线性表出
４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

311

1

1

1739

0
< br>

0
解：


1
,
2
,

3
,

4


2806



3933

0< br>

41336


0
31
10
0
0
1
0
0
0
1

2

18



0

0



该向量组线性相关
５．求齐次线性方程组

的一个基础解系．
解：

1312

5rr

131
12

5 123

r
1
r
3

0143
3 rr
4


1
A




11125

0143

3504
 
0143
5
2


3
r
2
r
1

10

14
14

r
2
r
3
7

r
2
r
4

0143


7

0

00


10

0

00
1



2
7



0


3


第 17 页 共 78 页


0
5
0
5

1< br>r

1

0
5
0

2
14

1

2
31

1
2



1
1
14

1

1
1
2
rr


1
14

r

14

3


r
4



01
3
2


3

r
3


1
3
2


1

2
r
3



r
2



01
3
0




000
14
3

0
1





000
14



000
14
1


0000




0000
< br>


0000




x
1

5
x
3

5


14< br>


14


方程组的一般解为

x
3
3


2

14
x< br>3
令
x
3
1
，得基础解系




14





x
4
0

0




1


６．求下列线性方程组的全部解．

解：

91

152311

3
311


5
r

2
r
1
r
rr

152
7

A

31425

12



1

5

r
r
3

1

r
4
0142728




14
2
r

10
r
2r
3
2
r
4

2
2
7

190417





014



014
728
00

536 11



2

02841456



00

0000


109
7

1
2
1




1

14

r
x
7
x
1
x
2




134
1

01
11
0
72
2



方程组一般解为


92


0000





x
2

1
x
3

1
x
4
2

00000


72

令
x
3
k
1
，x
4
k
2
，这里
k
1
，
k
2
为任意常数，得方程组通解



7
k
1

7


1


x
1

9
1

2
k
2
1
< br>

9


2


1
< br>

x
2





1< br>k
1


1


1

< br>2

1
k
2
2

k
1
k
2







x
3


x


72

k


7
1



2

0




0

4


1



k


0

1


0


2




７．试证：任一４维向量



a
1
,a< br>2
,a
3
,a
4


都可由向量组


1





1
< br>1

1

0


1



1


，

，

1

1

2

3


，

4




0



0

0


0



1



0




1

1


线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．
第 18 页 共 78 页
1


28

0< br>

0




1

0

0

0

< br>0

1

0

0

证明：< br>
1




2


1




3


2




4


3




0

0

1

0

 
000

1

任一４维向量可唯一表示为

a
1


1

0

0
0


a


0

1

0

0

2


a
1

a
2

a
3
< br>a
4

a
1

1
a
2(

2


1
)a
3
(

3


2
)a
4
(

4


3
)


a
3

0

0

1

0




0

0

0

1


a
4

(a
1
a
2
)

1
(a
2
a
3
)
2
(a
3
a
4
)

3
a
4

4

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程
组只有零解．
证明：设
AXB
为含
n
个未知量的线性方程组
该方程组有解，即
R(A)R(A)n

从而
AXB
有唯一解当且仅当
R(A)n

而相应齐次 线性方程组
AX0
只有零解的充分必要条件是
R(A)n



AXB
有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组
A X0
只有零解
1
9．设

是可逆矩阵Ａ的特征值，且

0
，试证：是矩阵
A
1
的特征值．

证明：


是可逆矩阵Ａ的特征值


存在向量

，使
A




I

(A
1
A)

A
1
(A

)A
1
(

)

A
1




1

A
1







1
是矩阵
A
1
的特征值

222< br>10．用配方法将二次型
fx
1
2
x
2

x
3
x
4
2x
1
x
2
2x2
x
4
2x
2
x
3
2x
3
x
4
化为标准型．
即
解：
2222
f(x
1
x
2
)
2
x
3
x
4
2x
2
x
4
2x
2
x
3
2x
3< br>x
4
(x
1
x
2
)
2
x3
2x
3
(x
2
x
4
)x
4
2x
2
x
4

2

(x
1< br>x
2
)
2
(x
3
x
2
x< br>4
)
2
x
2

令
y
1
x
1
x
2
，
y
2
x
3
x
2
x
4
，
y
3
x
2
，
x
4
y
4


x
1
y
1< br>y
3


xy
3
即

2

xyyy
234

3


x
4
y
4
22
则将二次型化为标准型
fy
1
2
y
2

y
3
工程数学作业（第三次）
(满分100分)
第4章 随机事件与概率
（一）单项选择题
⒈为两个事件，则（ B）成立．
A. B.

第 19 页 共 78 页

C. D.
⒉如果（ C）成立，则事件与互为对立事件．
A. B.
C. 且 D. 与互为对立事件
⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖
的概率为（D ）．
A. B. C. D.
4. 对于事件，命题（C ）是正确的．
A. 如果互不相容，则互不相容
B. 如果，则
C. 如果对立，则对立
D. 如果相容，则相容
⒌某随机试验的成功率为
p (0p1)
,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）．
A.
(1p)
3
B.
1p
3
C.
3(1p)
D.
(1p)
3
p(1p)
2
p
2
(1p)

6.设随机变量，且，则参数与分别是（A ）．
A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2
7.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A ）．
A.
C.
B.
D.


8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．
A. B.
C. D.
，分布函数为


，当（C ）时，有



，则对任意的区间，9.设连续型随机变 量的密度函数为
则
P(aXb)
（ D）．
A.
C.
10.设
A.
C.
B.
D.
为随机变量，
B.
D.
．
（二）填空题
⒈从数 字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概
率为．
2.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ，
2
5

第 20 页 共 78 页

3.
0.3 ．
为两个事件，且
相互独立，且
，则
，则
，则当事件
P
A

．
4. 已知
5. 若事件
6. 已知
1P
．
，则
pqpq
．
相互独立时，
x0

0

0x1
．

x

1x1

0.65 ，
0.3 ．
7.设随机变量
8.若
9.若
，则
，则
，则的分布函数
6 ．
2(3)
．
10.称为二维随机变量的 协方差 ．
（三）解答题
1.设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：
⑴ 中至少有一个发生；
⑵ 中只有一个发生；
⑶ 中至多有一个发生；
⑷ 中至少有两个发生；
⑸ 中不多于两个发生；
⑹ 中只有发生．
解:(1)
ABC
(2)
ABCABCABC
(3)
ABCABCABCABC

(4)
ABACBC
(5)
ABC
(6)
ABC

2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：
⑴ 2球恰好同色；
⑵ 2球中至少有1红球．
解:设
A
=“2球恰好同色”，
B
=“2球中至少有1红球” P(A)
22
C
3
C
2
2
C
5< br>112
C
3
C
2
C
3
312639< br>

P(B)

2
1051010
C
5
3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工 序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则
此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加 工，第二道工序的次品率是
3%，求加工出来的零件是正品的概率．
解：设
A
i

“第i道工序出正品”（i=1,2）
P( A
1
A
2
)P(A
1
)P(A
2
|A< br>1
)(10.02)(10.03)0.9506

4. 市场供应的 热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、
丙厂产品的合格率分别 为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．
解：设
A
1
产品由甲厂生产

A
2
产品由乙厂生产

A
3
产品由丙厂生产

B产品合格

P(B) P(A
1
)P(B|A
1
)P(A
2
)P(B|A2
)P(A
3
)P(B|A
3
)


0.50.90.30.850.20.800.865

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计
次数的概率分布．

第 21 页 共 78 页

解：
P(X1)P

P(X2)(1P)P

P(X3)(1P)
2
P

…………
P(Xk)(1P)
k1
P

…………
故X的概率分布是
23k

1

p(1p) p(1p)
2
p(1p)
k1
p



6.设随机变量的概率分布为

试求
解：
． P(X4)P(X0)P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)0.10. 150.20.30.120.87

P(2X5)P(X2)P(X3 )P(X4)P(X5)0.20.30.120.10.72

P(X3)1P(X3)10.30.7

7.设随机变量具有概率密度

试求
1
解：
P(X)
2
．

12

f(x)dx

1
2
0
2xdx< br>1
2
2
x
0

1
1
4
1< br>
4

15

16
1
P(X2)4

2
1
4
f(x)dx

2
1< br>2xdxx
4
1
8. 设
1
，求
2
3
1
0
．

2

3
解：
E(X)

xf(x)d x

x2xdxx
3
0
2
41
1
x
0


0
42
121
D(X)E(X< br>2
)[E(x)]
2
()
2


2318
9. 设
X~N(1,0.6
2
)
，计算⑴；⑵< br>E(X)
2


xf(x)dx
2

1
x
2
2xdx
．
解：
P(0.2X1.8) P(1.33
P(X0)P(
X1
1.33)(1.33)( 1.33)2(1.33)120.908210.8164

0.2
X1
1.67)1(1.67)10.95250.0475

0.6
10.设是独立同分布的随机变量，已知，设

第 22 页 共 78 页

，求
1
解：
E(X)E(
n
．
1
i1

X)
n
E(X
i1
n
1
X
2
X
n
)[E(X
1
)E(X
2
) E(X
n
)]

n

n




1
n
11
D(X) D(X
i
)
2
D(X
1
X
2
 X
n
)
2
[D(X
1
)D(X
2
) D(X
n
)]

n
i1
nn
11


2
n

2


2

n
n
1
n


工程数学作业（第四次）


第6章 统计推断
（一）单项选择题
⒈设是来自正态总体
量．
A.
⒉设
是
A.
C.

（二）填空题
1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．
2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩
估计法 和 最大似然估计 两种方法．
3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．
4 ．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性
x

0
水平检验， 需选取统计量
U
．

n
5．假设检验中的显著性水平

（三）解答题
1．设对总体得到一个容量为10的样本值
4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0
试分别计算样本均值和样本方差．
为事件
|x

0
|u
（u为临界值）发生的概率．
B. C. D.
（



（均未知）的样本，则（A）是统计
是来自正态总体
B.
D.
均未知）的样本，则统计量（D）不
的无偏估计．

第 23 页 共 78 页

1
10
1
解：
x

x
i
363.6

10
i1
10

1
10
1
2

s(xx)25.92.87

8

i
101
i1
9
2

2．设总体的概率密度函数为

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数．
解：提示教材第214页例3
2x1
1

1
n
矩估计：
E(X)

x(

1)xdx
< br>x

x
i
,

ˆ

0
1x
2

n
i1
1

最大似然估计： L(x
1
,x
2
,,x
n
;

)

(

1)x
i

(1

)
n
(x
1
x
2
x
n
)

n
dlnLn
lnLnln(

1)


lnx
i
,

lnx
i
0
，< br>
ˆ

d

1
i1i1
i1< br>n
n
n

lnx
i1
n
1

i
3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：
108.5 109.0 110.0 110.5 112.0
测量值可以认为是服从正态分布的， 求与的估计值．并在⑴；⑵
未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间．
1
5
1
5
22
ˆ
x

x
i
 110


ˆ
s
解：


(x
i
x)1.875

5
i1
51
i1

（1）当时，由1－α＝0.95，
(

)10.975
查表得：

1.96

2
故所求置信区间为：< br>[x


n
,x


n
][ 108.6,111.4]

（2）当

2
未知时，用
s
2
替代

2
，查t (4, 0.05 ) ，得

2.776

ss
,x

][108.3,111.7]
故所求置信区间为：
[x

nn
4．设某产品的性能指标服从正态分布，从 历史资料已知，抽查10个样
品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立．
x

0
17203
解：
|U|||||0.237
，

n410
43.1 62

由
(

)10.975
，查表得：

1.96

2
因为
|U|0.237
> 1.96 ，所以拒绝
H
0



第 24 页 共 78 页

5．某零件长度服 从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽
取8个样品，测得的长度为（单位 ：cm）：
20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5
问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．
解：由已知条件可求得：
x20.0125

s
2
0.067

1
x

0
20.0125200.035
|T|||||0.1365

0.259
sn0.2598

t(n1,0.05)t(9,0.05)2.62
∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H
0

即用新材料做的零件平均长度没有变化。

中央广播电视大学工程数学复习题


工程数学复习题（一）
2014年12月
一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分



第 25 页 共 78 页

二、填空题(每小题3分，共15分}

三、计算题{每小题16分，共64分)

四、证明题(本题6分}


第 26 页 共 78 页

答案


第 27 页 共 78 页

第 28 页 共 78 页

工程数学复习题（二）
2014年12月
一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分

二、填
空题(每小题3分，共15
分)

第 29 页 共 78 页

三、计算题{每小题16分，共64分)
四、
证明题(本题6分}

第 30 页 共 78 页

答案


第 31 页 共 78 页

第 32 页 共 78 页

工程数学复习题（三）
一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分


第 33 页 共 78 页
2014年12月

二、填空题(每小题3分，共15分}
三、
计算题{每小题16分，共64分)

四、证明题(本题6分}


第 34 页 共 78 页

答案

第 35 页 共 78 页

第 36 页 共 78 页

工程数学复习题（四）
2014年12月
一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分



第 37 页 共 78 页

二、填空题(每小题3分，共15分}

三、计算题{每小题16分，共64分)

四、证明题(本题6分}

答案

第 38 页 共 78 页

第 39 页 共 78 页

电大工程数学试题及答案

第 40 页 共 78 页

第 41 页 共 78 页

第 42 页 共 78 页

第 43 页 共 78 页

2018电大工程数学(本)期末复习辅导

一、单项选择题

第 44 页 共 78 页

1.若
0001
00a0
0200
1 00a
=1
，则
a=
（
1
）．
2
1
103

中元素
c
23
=
（10）．

4

521

1
1
⒋设
A,B
均为
n
阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是
(AB)BA
）．
⒊乘积矩阵

⒌设

1

2< br>A,B
均为
n
阶方阵，
k0
且
k1
，则 下列等式正确的是（D ）．D.
kA(k)
n
A

A
是正交矩阵则
A
1
也是正交矩阵）．

13

53

⒎矩阵

的伴随矩阵为（ C.

21

）．
25

⒏方阵
A
可逆的充分必要条件是（
A0
）
⒍下列结论正确的是（A. 若
A,B,C
均为
n
阶可逆矩阵，则< br>(ACB

)
1

（D ）．
111
D.
(B)

CA

⒑设
A,B,C
均为
n
阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．
222
A.
(AB)A2ABB

⒐设

x
1
2x
2
4x
3
1

x
1



为（C.
[11,2,2]

）． ⒈用消元法得

x
2< br>x
3
0
的解

x
2


x
3
2

x
3




x
1
2x
2
3x
3
2

⒉线性方程组

x
1
x
3
6
（ 有唯一解）．

3x3x4
23


1

0

0

1

3


⒊向量组
0,1,0,2,0
的秩为（ 3）．



0




0




1




1




4



1
 
0

1

1


1
< br>0

0

1

⒋设向量组为

1

,

2


,

3

,

4


，则（

1
,

2
,

3
）是极大无关组． 
0

1

1

1



0

1

0

1

⒌
A
与
A
分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增 广矩阵，若这个方程组无解，则D. 秩
(A)
秩
(A)1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解
⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组

1
,

2
向量
9．设A， Ｂ为
n
阶矩阵，

既是Ａ又是Ｂ的特征值，
x
既是Ａ又是Ｂ 的属于

的特征向量，则结论（ A ）成立．
Ａ．

是AB的特征值
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为
n
阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．
PAP
⒈
1
,,

s
线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个
B

A,B
为两个事件，则（ B）成立． B.
(AB)BA


第 45 页 共 78 页

⒉如果（ C）成立，则事件
C.
A
与
B
互为对立事件．
AB
且
ABU

．
30.7
2
0.3
） ⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ D.
4. 对于事件
A,B
，命题（C ）是正确的．
C. 如果
A,B
对立，则
A,B
对立
p(0p1)
,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D. ⒌某随机试验的成功率 为
(1p)
3
p(1p)
2
p
2
(1p )

6.设随机变量
7.设
X~B(n,p)
，且
E( X)4.8,D(X)0.96
，则参数
n
与
p
分别是（6, 0.8）．
）． A.
f(x)
为连续型随机变量
X
的密度函 数，则对任意的
a,b(ab)
，
E(X)
（A



xf(x)dx

8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．



sinx,0x
B.
f(x)

2


其它

0,
9.设连续型随机变量
X
的密度函数为
f(x)
，分布函数为
F(x )
，则对任意的区间
(a,b)
，则
P(aXb)

D.

b
a
f(x)dx
）．
X
为随机变量，
E(X)

,D(X)

2
，当（C ） 时，有
E(Y)
10.设

1.A是
34
矩阵，B是52
矩阵，当C为（ B
24
）矩阵时，乘积
AC

B

有意义。
2.设A,B是n阶方阵，则下列命题正确的是（ A
ABAB
）
3．设
A,B
为
n
阶矩阵，则下列等式成立的是（A．
ABBA
）．
1
0,D(Y)1
．C.
Y
X



35

75

4.


（ D ）

 

47


43

5．若
A
是对称矩阵，则等式（B.
A

A
）成立．

x
1
x
2
a
1

6．方程组
x
2
x
3
a
2
相容的充分必要条件是( B．
a
1
a
2
a
3
0
)，其中
a
i
0
，

x

1
x
3
a
3
7. n元线性方程组AX=b有接的充分必要条件是（ A r(A)=r(Ab) ）

1

2

1
=( D )时有无穷多解。
8.若线性方程组的增广矩阵A

,则当


2
214

9. 若（ A 秩（A）=n ）成立时，n元线性方程组AX=0有唯一解

1

1
0

2


，

1

，

2

，

3

的秩是（ B 3 ）
0
10.向量组




0




0




3




7


11. 向量组
1

,

2

,

3
,

4

的极大线性无关组是
（0,0,0）（1,0,0）（ 1,2,0）（1,2,3）
（ A

2
，

3
，

4
） 12．下列命题中不正确的是（ D．A的特征向量的线性组
合仍为A的特征向量 ）．

第 46 页 共 78 页

13．若事件
A
与
B
互斥，则下列等式中正确的是（ A． ）．
14．设
x
1
,x
2
,

,xn
是来自正态总体
N(5,1)
的样本，则检验假设
H
0
:


5
采用统计量U =
（C．
x5
1n
15. 若条件（ C.
AB
且
ABU
）成立，则随机事件
A
，
B
互为对立事件．
1
16. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和是4”的概率（ C ）
12
17. 袋中 有3个红球2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都是
9
红球的概率是（ D ）
25
1
3
2
18．对来自正态总体
X ~N(

,

)
（

未知）的一个样本
X
1
,X
2
,X
3
，记
X

X< br>i
，
3
i1
1
3
则下列各式中（ C.

(X
i


)
2
）不是统计量．
3
i1
）．
19. 对单个正态总体
N(
,

2
)
的假设检验问题中，T检验法解决的问题是（ B 未知方差，
检验均值）
⒈设
x
1
,
⒉设
x
1
,
x
2
,,x
n
是来自正态总体
N(

,

2
)
（

,

2
均未知）的样本，则（
x
1
）是统计量．
x
2
,x3
是来自正态总体
N(

,

2
)
（

,

2
均未知）的样本，则统计量（D）不是

的无偏估计．
D.
⒉
x
1
x
2
x
3

111
11x
是关于
x
的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2
111
A
为
34
矩阵，
B
为
25< br>矩阵，切乘积
AC

B

有意义，则
C
为 5×4 矩阵．
5

11


15


4.二阶矩阵
A


01

．
< br>01



12


120


063


0,B
⒌设
A4
，则
(AB)


518


314





34
⒊若
⒍设
⒎设
A,B
均为3阶矩阵，且
AB3
，则
2AB
72
A,B
均为3阶矩阵，且
A1,B3
，则
3(A

B
1
)
2

－3 ．

1a

⒏若
A

为正交矩阵，则
a
0 ．
01


212


的秩为 2 。
02
⒐矩阵
4



033



第 47 页 共 78 页

⒑设
A
1
,A
2
是两个可逆矩阵，则

A
1

O

O

A
2


1

A
1
1



O
O< br>
．
1

A
2


x
1
x
2
0
⒈当


１ 时，齐次线性方程组

有非零解．

xx0
2

1
⒉向量组

1< br>

0,0,0

,

2

1,1,1

线性 相关 ．
⒊向量组

1,2 ,3

,

1,2,0

,

1,0,0

,

0,0,0

的秩是 3
⒋设齐次线 性方程组

1
x
1
解，且系数列向量

1
,

2
⒌向量组

1


2
x
2


3
x
3
0
的系数行列式

1

2

3
0
，则这个方程组有 无穷多
,

3
是线性 相关 的．

< br>1,0

,

2


0,1
,

3


0,0

的极大线性无关组是
1
,

2
．
,,

s
的秩与矩阵


1
,

2
,,

s

的秩 相同 ．
AXb
有解，
X
0
是它的一个特解，且
AX0
的基础解系为
X
1
,X
2
，则
AXb
的通解
⒍向量组

1
,

2
⒎设线性方程组
AX0
中有5个未知量，且秩
(A)3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．
⒏设线性方程组
为X
0
k
1
X
1
k
2
X
2
．
A
1
A

，则称Ａ为正交矩阵．
9． 若

是Ａ的特征值，则

是方程

IA0
的根 ．
10．若矩阵Ａ满足
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数 ，则这个三位数是偶数的概率为25.
2.已知
P(A)0.3,P(B)0.5
，则当事件
A,B
互不相容时，
P(AB)
0.8 ，
P(AB)

0.3 ．
3.
A,B
为两 个事件，且
BA
，则
P(AB)
P

A
< br>．
P(AB)P(AB),P(A)p
，则
P(B)
1P
．
P(AB)

4. 已知
5. 若事件
A,B
相互独立 ，且
P(A)p,P(B)q
，则
P(AB)
pqpq
．
6. 已知
P(A)0.3,P(B)0.5
，则当事件
A,B相互独立时，
P(AB)
0.65 ，
0.3 ． x0

0

7.设随机变量
X~U(0,1)
，则< br>X
的分布函数
F(x)

x0x1
．
1x1

X~B(20,0.3)
，则
E(X)
6 ．
2
9.若
X~N(

,

)
，则P(X

3

)
2(3)
．
8.若
10.
E[(XE(X))(YE(Y))]
称为二维随机变量
(X,Y )
的 协方差 ．
1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．
2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计
两种方法．
3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．
x
2
, ,x
n
是来自正态总体
N(

,

2
)
（

2
已知）的样本值，按给定的显著性水平

检验
x

0
．
H
0
:


< br>0
;H
1
:



0
，需选取统计 量
U

n
5.
假设检验中的显著性水平

为事 件
|x

0
|u
（u为临界值）发生的概率。
4．设
x
1
,

第 48 页 共 78 页

112
1x
2
2
，则
A0< br>的根是
1，-1，2，-2
． 1．设
A1
2x
2
14
2．设
A,B
均为3阶方阵，
A6,B3
，则
(A

B
1
)
3

8．
3. 设
A,B
均为3阶方阵，
A2,B3
则
3A

B
1
=-18_.
4. 设
A,B
均为3阶方阵，
A B3
则
2AB
1
=_-8__.
5．设4元线性方程组AX =B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系
含有3 个解向量．
6 ．设
A
为n阶方阵，若存在数和非零n维向量
X
，使得
AX
X
，则称
X
为
A
相应于
特征值的特征向量 ．
7．设
A,B
互不相容，且
P(A)0
，则
P( BA)
0
8.
P(A)0.8,P(AB)0.5,P(AB)_____.
0.3
9．设随机变量X ~ B（n，p），则E（X）= np．
1
1
n10．若样本
x
1
,x
2
,

,x
n
来自总体
X~N(0,1)
，且
x

x
i
，则
x~

N(0,)
．
n
n
i1

2
1
n
11．设
x
1
,x
2
,

,x
n
来自总体
X~N(

,

)
的一个样本，且
x

x
i
，则
D(x)=
n
n
i1
2
12．若
P(A)0.8,P(A B)0.5
，则
P(AB)
0.3．
13．如果随机变量
X< br>的期望
E(X)2
，
E(X
2
)9
，那么
D(2X)
20．
14. 设X为随机变量，且D(X)=3,则D(3X-2)=_27
15．不含未知参数的样本函数称为 统计量．
12

0
16. 若
X

则a=_0.3_


0.20.5a

ˆ
)

. 17. 设

ˆ
是

的一个无偏估计，则_
E(


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三、计算题

12

11

54

⒈设A

求⑴
AB
；⑵
AC
；⑶
2A3C
；⑷
A5B
；
,B,C

43

31

，
35

⑸
AB
；
⑹
(AB)

C
．
答案：
AB 


03

66

1716

AC2A3C


18

04

37


2622
77

5621



A5B< br>
AB(AB)C

2312

15180


120


114


121

103


，求
ACBC
．
,B,C

321
⒉设
A



012

211


02


0


114


024




6410

解：
ACB C(AB)C

321



2210


201


0

02



310

102


,B
< br>111

，求满足方程
3A2XB
中的
X
．
121
⒊已知
A



< br>342


211


解：

3A2XB

3

41

2

832


11

5

1




X(3AB)

25 2



1
222


7115< br>7115




222


⒋写出4阶行列式
1020
1436

0253
3110中元素
a
41
,a
42
的代数余子式，并求其值．
0 20120
答案：
a
41
(1)
41
4360
a
42
(1)
42
13645

253053
⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

1234

2

12

2312


； ⑶ ⑴

212

； ⑵


1111


221


1026

解：（1）

1

1


1


1
000

100


．
110


111


第 50 页 共 78 页


1

A|I




2


2



1


0


0


1
r
2
3
1
r
3
9
2
1
2
21
20
10
1
2
3
2
2
3
1
2
9

0
1
0

10
2rr
2

2r
1

r
3
0


1


0

1

0

0


0


1< br>
9


0
1
0
2
3
1< br>
3
2

9

2
0

< br>1
r
2
r
1
3

2r
2
r
3
36210



0
< br>
063201





122< br>

999
100

2r
3
r
1
212

2r
3
r
2


010

999

001
221



999


22100
3
0
2

1
3
62
92
2
3
1
2

0

0


1



A
1

1

9

2



9

2

9

2
9
1
9
2

9
2

9

2




9

1

9


（2）
A
1
00

2262617

1

175

1120130
1
(过程略) (3)
A




1

011021


153

01

4

0
0

0



0


1


1

1
⒍求矩阵< br>

1


2

1

1< br>

1


2
011011

10 1100


的秩．
012101


1132 01

1

1

0110111

r
2
r
4






0001110


111221

0
011011

110111


001110


001110



rr

1< br>12

0
r
1
r
3
101100

2r
1
r
4






0012101


113201

0
解：

1011011


0110111

r
3
r
4




0001110



0000000

R(A)3



1．用消元法解线性方程组

x
13x
2
2x
3
x
4
6

3x 8xx5x0

1234



2x
1
x
2
4x
3
x
4
12


x
1
4x
2
x
3
3x
42
解：

13216

3rr

13216

3rr

1
1221

3 81

0
2r
1
r
3
5r
2r
3
50017818
rrrr
1414





A



214112

05810

0
< br>1413201348

0
0192348
< br>17818


0273990


010 1226


第 51 页 共 78 页

10 192348

1
1

0
r
3
17 818

3




003312
0

005613

0

10 042124

42rr

1
1
1

0101546

15r
4
4
r
2
0
r
4
rr
43
11





0011

04

 
00013

0

3r
4
r
3
1

0
r
4
2


0192348

19rr

10042124
31

0101546

7r
3
r
2< br>17818

5r
3
r
4







00110114

4

05613

0001133

000 2


x
1
2

1001




方程组解为

x
2
1

0101


x
3
1


0013


x
4
3
２．设有线性方程组


11

x

1


1

1

y







2

11

z

 



为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
2

11

2

rr

1

1



111

12



r
1
r
3



r
2

1
r
3
A

1

1
1

1

0

11< br>




223


111

01

1

1



11




解：］
2

1

1


2
r
3< br>
r


0

11

( 1

)

2

00(2

)(1

)(1

)(1

)


当

1
且

2
时，
R(A)R(A) 3
，方程组有唯一解
当

1
时，
R(A)R(A)1
，方程组有无穷多解
３．判断向量

能否由向量组

1
,

2
,

3
线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

8

2

3

5


 3

7

5

6


,

1


,

2

,

3






< br>7

1

0

3

 

10

3

2

1

解：向量

能否由向量组

1
,
< br>2
,

3
线性表出，当且仅当方程组

1
x
1


2
x
2


3
x
3


有解

2358

1< br>
7563

0



这里
A


1
,

2
,
3
,





1
0037



32110

0
0 37

1341



010117


00571

R(A)R(A)


方程组无解



不能由向量

1
,

2< br>,

3
线性表出
４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

1
 
3

1

1


1
 
7

3

9



1


2

,

2


8

,

3


0

,

4


6


< br>393

3



4


13


3


6



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