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中国传媒大学 考试中心制作
高等数学期末复习题及答案
一.
单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
1、
设I

arctanxdx,则I
(A)　xarctanxl nx
2
1C;
(B)　xarctanxlnx
2
1C;
(C)　xarctanx
1
(D)　
2
C.
1x< br>答(A )
2、

1
2
(x1)C;
2< br>设函数f(x)在

0，

上连续，且I
1
s t
x
f(t)dx　(s0，t0)则I的值
s

0
s
　(A)　依赖于s，不依赖于t　　(B)　依赖于t和s

　(C)　依赖于 t，不依赖于s　　(D)　依赖于s、x和t
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）答( C )

3、
设I

sec
3< br>xdx,则I
11
(A)　ln|secxtanx|tanxsecxc< br>22
1
(B)　lnsecxtanxtanxsecxc

2
11
(C)　ln|secxtanx|tanxsecxc
22
11
(D)　ln|secxtanx|tanxsecxc
22
答( A )

4、
设f(x)有连续的导数，f(0)0，f
< br>(0)0，F(x)

(x
2
t
2
)f(t) dt，
0
x
且当x0时，F

(x)与x
k
是同 阶无穷小，则k等于
　(A)1　　　　(B)　2
　(C)　3　　　(D)　4
　 　　　　　　　　　　　　答（　　）
答( C )
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5、
若已知x0时，F (x)

(x
2
t
2
)f

(t) dt的导数与x
2
是等价无穷小，则f

(0)
0
x< br>1
(A)1　　　 (B)　
2
(C)　1　 (D)　
1
2
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

答( B )
6、
设f(x)在x0的某邻域内连续,且f(0)0,lim
f(x)
2 , 则点x0
x0
1cosx
(A)　是f(x)的极大值点　　　　　(B)　是 f(x)的极小值点

(C)　不是f(x)的驻点　　　　　　(D)　是f(x)的驻点但 不是极值点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)
答( Ｂ )
7、
函数f(x)

(2costcos3t)dt在 x
0
x

处必
3

　(A)　取极小值　　　( B)　取极大值
　(C)　不为极植　　　(D)　是单调的
　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　答（　　）
答( B )
8、
e
x
1
设I

x
dx,则I
e1
(A)　ln(e
x1)c　　(B)　ln(e
x
1)c;

(C)　2ln(e
x
1)xc;
(D)　x2ln(e
x
1)c.
答(C )
9、
设F(x)

x2

xe

sintdt
sintdt,则F(x)

　(A)　为正 常数　　　(B)　为负常数
　(C)　恒为零　　　　(D)　不为常数
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　答（　　）
答( C )



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10、 < br>　　设函数yf(x)在点x处可导,则它在x处关于自变量改变量
x的微分dy等于
(A)f(xx)f(x)　　　　　　　(B)f(x)f(xx)
(C)f

(x)x　　　　　　　　　　　(D)f

(x)
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　答(　)
答
(C)


11、

tanxsinx
的值为
3
x0
x
11A．0；B．　C．　D．．

b2
　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim
答( C )
12、
设　lim
xa
f(x)f(a)
1,则点xa
(xa)
2

(A)　是f(x)的极大值点　　　　　　　(B)是f( x)的极小值点
(C)　是f(x)的驻点,但不是极值点,　　(D)不是f(x)的驻点
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)
答( A )
13、
设函数f(x)在

a，b

上连续，且f(x) 0，
则函数F(x)

f(t)dt

a
xx
b
1
dt在(a，b)内零点的个数必为
f(t)

　(A)　0　　 (B)1　
　(C)　2　　 (D)　无穷多
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
答( B )
14、
设f(x)在

a，a

上连续，则f(x)为 奇函数是积分

f(x)dx0的
a
a
　(A)　必要条件　　 (B)　充分条件
　(C)　充分必要条件 (D)　既不是充分也不是必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
答( B )


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15、
函数f (x)在xx
0
的某邻域有定义且f

(x
0
)0,f

(x
0
)0则在xx
0
处f(x)(　　)
(A)　必有极大值　　　　　　　　　　　　 　(B)　必有极小值
(C)　可能 取得极大值也可能不取得极大值　　　(D)　必不取得极值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　答　(　　)
答
(C)

16、

设I

lnxdx 则I
1

(A)　c;　　( B)　xlnxc
x
1
(C)　xlnxxc　　(D)　(lnx)
2
c
2
答( C )

17、
确定定积分

cosxdx
0

　(A)　0　　(B)1　
　(C)　2　　(D)　4

　　　　　　　　　　答（　　）
答( C )

二.
填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分 ）

e
sin2x
e
sinx
，x0

　在x 0处连续则a_____________
1、
设f(x)

x

a，　　　　x0
填:
1


sinxe
2ax
1
，当x0

, 在x0处连续，则a___________ .
2、
f(x)

x

x0

a　　　　　，当
填 :
1
< br>cosx
cosx
是f(x)的一个原函数,
则

f(x) dx
___________.
x
x

f(x)
c osx
dx
cosx
d(
cosx
)





xxx

1cosx
2
填
　()c

2x
3、
已知

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4、
设f(x)的一个原函数为

sinx
,则

xf

(x)dx
______________。
x

xf

(x)dx

xd[f(x)]xf(x)

f(x)dx
sinx
c
x
xcosxsinxsinx
　　 c

xx
sinx
　　　　 cosx 2c
x
sinx
故应填:cosx2c.
x
　　　　 xf(x)

,则f'

(2x)dx
________________________. 5、
设f(x)连续可导


11


f'(2x )dxf'(2x)d(2x)f(2x)c





22

填:
　　f(2x)c.


1
2
x,则x
2
f

(x)dx
_____ 。 6、
设f(x)的一个原函数为sin

222

xf (x)dxxd[f'(x)]xf

(x)

2xf
< br>(x)dx

　　　　 x
2
f

(x)2

xf(x)

f(x)d x


　　　　 x
2
f

(x)2xf(x)2sinxc
　　　　 x
2
(sinx)2xcosx2sinxc
故应填:
xsinx2xcosx2sinxc.

7、
设f(x)dx(x)c,其中(x)具有任意次导数,则


2



f
(n)
(n)
(x)dx< br>______________.
填:

8、
(x)c.


1
1
x
2
ln(x1x
2
)d x________________

填:
0

9、
d
dx

b
a

sin(x2
1)dx__________________，其中a和b都是常数．
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填:
0

10、
设f(x)在

0，

上连续，且f(t)dt x(1cosx) , 则f(

x
0

)___________

2
填:
1


2
11、
设f

(x)在
0，1

上连续，f

(1)0，且f(1)f(0) 2，则　xf

(x)dx___________


1
0
填:
2

12、
设f(x)

x1，x0
，则

f(x)dx______________ _

2
1

x　，x0
1
填:
5

6
13、
定积分
填:

aa
a
2
x
2
dx__________________ ___


2
a

2
14、
函数yx 2
x
的极小值点是______________

填:

1

ln2
t
2
sinu

du
dy

x

0
15、
设


　则____________________
u
dx

ycost，(t0)

填:

tsint

2
2sint
三.计算题

2 2cosx
，x0

1、
设f(x)


问a为何值时，f(x)在x0处连续．
x

ae
x
　　　，x 0

解：当f(00)f(00)f(0)时，f(x)在x0处连续

f(00)limf(x)lim
x00x00
22cosx

x
sin
x
2
1

2sin


2
2lim
x
2
x00
x
lim
x00
x
2

f(00)a，f(0)a

所以a1时，f(x)在x0处连续

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
x
2
2x, x0
2、设
f(x)

求常数
a , b
使得
f(x)
在
x0
连续且可导。

axb, x0
解

f(x)
在
x0
处连续

limf(x)limf(x)f(0)

x0

x0



limf(x)lim( x
2
x)0
x0

x0

limf(x) lim(axb)b

x0

x0

f(0) b

0bb
即
b0


f(x)
在
x0
处可导

f
''

(0)f

(0)



f
'
f(0h)f(0)

(0)li m
h
lim
ahbb
a
h0

h0< br>
h
f
'
)lim
f(0h)f(0)
hlim
h
2
2hb
lim
h
2
2h

(0
h0

h0

h
h0

h

lim(h2)2
h0


a2

< br>当
a2
，
b0
时，
f(x)
在
x0< br>处连续且可导

3、
设　y

sin(cos
2
x)



cos(sin
2
x)
，求y

．

解
y

sin2x

cos(cos
2
x)cos(sin
2
x)sin(cos
2
x)sin(sin
2
x)


　sin2 xcos(cos
2
xsin
2
x)sin2xcos(cos2 x)


4、
设　y
3
x1x
2
，求y

．

解
1
y


1< br>(x1x
2
)

2
3
(1
x
2
)
1
3
3
1x
2
3

( x1x)

(1x
2
)
1
2


第 7 页 共 18 页
(

b0)

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5、
求极限　lim
lntan4x
.

x0
lntan3x
4
sec
2
4x

解 原式lim
tan4x
x0
3
sec
2
3x
tan3x
4sin6x
　　　lim

3
x0
sin8x
46x
　　　lim

x0
38x
　　　1

6、
求函数yx的极值

解
1
x
函数定义域(0，)

1lnx
1
x
x

x
2
令y

0得　xe
y


当0xe时　　y

0
当ex时　　　　y

0

1
e

故函数当xe时有极大值y(e)e

7、
求


dx
x
2
2xx
2
.

(解 法一):原式

dx
x
2
1(1x)
2
　令 1xcost　　dxsintdt



sintdt< br>dt

(1cos)

4(si
2
n
2
t
)
2

t
2
sint
1t1

4
t
2
cscd()1cot


< br>2222
11cost1t
co
3
tc

2s int62
11cost11cost
3
12x12x
3
2
()c

()c.

2sint6sint
2x6x
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
t

t
d(cot)



22






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(解法二):令x
11
dx
2
dt

t
t
原式

< br>
1
2
1
2


tdt

2t1
2t11
dt

2t1
1
2t1dt
2

dt

2t1


1
4

2t1d(2t1)
1
4

d(2t1)
2t1

3
11
(2t1)
2

62
2t1C



1

2x


6
< br>x

3
2

1

2x


2

x

1
2
C

8、
求
解

cos2x
dx

22
cosxsinx

cos2x
dx

22< br>cosxsinx


cos
2
xsin
2
x
dx

22
cosxsinx


csc< br>2
xdx

sec
2
xdx

cotxtanxc.



9、
求
解

dx
.

32
x(x1)
原式
< br>x
2
dx
32
　　令xt　　dt3xdx

332
x(x1)

1dt1

111

 dt


22


3
t(t1)
3

tt1
(t1)


1

1

1x
3
11


lntln1tc
 lnc.

33
3

1t

33
1 x1x


第 9 页 共 18 页

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2
1
2
x(4x)
10、
求　
解

3
dx.

令(4x
2
)
2
u　　x
2
4u
2
　2xdx2udu

原式 

(4u
2
)u
2
du
　　
< br>(u4u)du


42
1

1
5
4
3
uuc

53
53
14
2
2
2
2
(4x)(4x)c.

53
也可令x=2sint或x=2cost做,分数可对应给.

11、
求
解

cos
4
xx
sin
4
22
dx.

2
sinx

cos
4xx
sin
4
22
dx

2
sinx
xxxxxx
sin
4
2sin
2
cos
2
2sin
2
cos
2
222222
dx

sin
2
x



cos
4
xx 1
sin
2
)
2
(sinx)
2
222


dx

2
sinx
1


csc
2
xdx

dx

2
1
cotxxc.

2
(cos
2

12、
求
解

dx
.

4x
4
原式



dx

22
(2x)(2x)
111
()dx

4

2x
2
2x
2



11
ln
4
22
2x1x
ar ctanc.

2x422
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13、
求
解

dx
.

(x
2
2)(x
2
3)
dx

(x
2
2)(x
2
3)

1

11




2
dx
2
dx


5

x2x3



14、
求
解
11x21x
lnarctanc.

5
22x2533

cosx
dx.

2cos2x



cosx
dx

2 cos2x
d(sinx)
32sinx
2

1
2
d(sinx)
3
2
sinx
2



12
arcsin(sinx)c.

3
2
1x
dx

3
x1
15、求
解


1x
dx

3
x1


(
3
x)
3
1
3
x1
x
1
3
dx




(x
2
3
1)dx

3
5
3
4
33
xxxc.

54




第 11 页 共 18 页

中国传媒大学
2
16、
求cos2xcos3xdx.

考试中心制作

解

cos


2
2xcos3xdx

1cos4x
cos3xdx

2
11
sin3x

(cosxcos7x)dx

64
111
sin3xsinxsin7xc.

6428


17、
求
解

x lnxdx.


2
3
x lnxdx

lnxd(x
2
)

3
3
2
3
2
x
2
lnx

x
2
d(lnx)
( 分部积分 )
33
3
2
3
21
x
2
lnx

x
2
dx

3 3x
22
x
2
lnx

x
2
dx33

33
24
x
2
lnxx
2
C
39


18、
计算
解
1
31

0
1
dx．

xx
e e
e
x
原式

2x
dx

0
e1
1
x1
en

arcta
0


en

arcta


4
第 12 页 共 18 页

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19、
求

2
2
dx
(x2x4)
2

1
3
2
1

．
解
原式
dx

(x1)3

2

3

(x13tan)t

2
1
6



3
0

3sec
2
t
(3tan
2
t3)
2
3
dt


1
6
3sec
2
t


dt

3
2
0
3
(3sect)
2

1



6
costdt

3
0





20、
计算积分

1
sint

3
0
1

6


6

2
0
x1

dx．
(x1)(x3)
解
原式
2
1xx1< br>dx

0
(x1)(x3)

1
(x1)( x3)
dx

1
1
1
111
2
11< br>)dx

()dx



(< br>2
0
x1x32
1
x1x3

1
 
1


ln(x1)(x3)

l n(x1)(x3)


2

0

2< br>
1

ln32ln2







21、
求
12

3x
2
(1x)
2
3
2
1
dx．

第 13 页 共 18 页

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解
令　xtant

原式



costs ect

dt

3
4




sint

3
lnsecttant

3

44



1
(32)ln2(3)ln1(2)

2
5
22、
计算积分

解
3
dx
．

2
xx2
原式



5
3
dx

(x2)(x1)
1
5
11
()dx


3
3x2x1
5
1



lnx2lnx1

3

3
1

ln2

3


23、
求积分

4

0
1cos
2
x
dx．

1cos2x

2
1cosx
解
原式

4
dx

2
0
2cosx

1
2



4
(secx1)dx

2
0
1
xx)

(tan
2





24、
计算

4
0



4
0

1



28


sin
4
xdx．

第 14 页 共 18 页

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解
1
原式

4
(1cos2x)
2
dx

4
0

1

31




4

2cos2xcos4x

dx


4
0

22







25、
计算
解


2
0


1

31

xsin2xsin4x

< br>
4

28

0
3

1


324

4

sin
5
xcos3
xdx．

原式



2
0
sin
5
xcos
2
xcosxdx


2
sin
5
x(1sin
2
x)cosxdx
0



2
(sin
5
xsin
7
x)cosxdx

0



2
(sin
5
xsin
7
x)d(sinx)

0
1
1


sin
6
xsin
8
8< br>
6












x



0

2
1

24

第 15 页 共 18 页

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
1
，x0

2

1e
x
, 求　f(x1)dx．
26、
设f(x)



0

1
，x0


1x
解


f(x1)dx 令tx1xt1,dxdt0
2


f(t)dt
1
0
1
< br>
f(t)dt

f(t)dt
1
0
0
1
11
dt

0
1t
dt
1
1e
t
tt
0
1ee
1
1


d td(1t)
t

10
1e1t
0
e
t


(1)dt[ln|1t|]
1
0
t
 1
1e
00
1


dt

d(1e
t
)ln2
t
11
1e
t0
[t]0
1
[ln|1e|]
1
ln2
1


0(1)[ln2ln(1e
1
)]ln2
1ln (1e
1
)


27、

设函数f(x)具 有连续导数，又曲线yf(x)通过原点0，且它在原点0处的切线

斜率等于1，试求：　 　lim
x0
x
0
f(t)dt

xsinx
．
解
由题意知，f(0)0，f

(0)1，则

f(t)dt

lim

lim
0
x0
x
xsinx
f(x)

x0
sinxxcosx
f

(x)

x0
2cosxxsinx
11

f

(0)

22

lim





第 16 页 共 18 页

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x
t
2
(arcsin)dt

0
2
28、
求：　　

lim．
x
x0

tsintdt
0
x
(arcsin)
2
2
（ 洛必达法则） 解 原式=
　　lim
x0
xsinx
1
x2
2arcsin
2
x
2
1
4
（ 洛必达法则）
　　lim
x0
sinxxcosx
x
2

　　( 先求出 lim
　　lim
x0
x0
sin xxcosx
arcsin
1
2
x
2
1
4（ 洛必达法则）
　　lim
x0
cosxxsinxcosx
1
2
x
2
1
4

　　lim
x0
2cosxxsinx
1

1
　　
2


24

29、
求曲线y
解
1
1
x
4
2
1 )


x


2
cosxdx的长度.

y


cosxdx


2
x
x





costdt
2
在[

y


2
,x]上，cost
要有意义必须
cost0


2
x

2

cosx,


所求曲线的弧长
第 17 页 共 18 页

中国传媒大学
s



2
< br>1y

2
dx


2

2
1cosxdx

2



2
2
2co
x
0
sdx42
x
2
2 2
sin

4.

0

四、证明题

1、
证明:当 x1 时,恒等式 2arctanxarcsin
2x
1x
2
0
证明: 设f(x)2arctanxarcsin
2x
1x
2
，

则f(x)在[11,]连续,在(11,)可导.
且f

(x)21
1x
2

2(1x
2
)2x2x
1(
2x
2
(1x
2
)
2
1x
2
)

　　　
2
1x
2

2
1x
2
0
则在[11,]上,f(x)C,即f(x)f(0)0

故当x1时，2arctanxarcsin
2x
1x
2
0


2、
证明：函数F(x)

x
0< br>ln(t1t
2
)dt为偶函数．

解
x(， )

　F(x)

x
0
ln(t1t
2
)dt　 (令tu即ut)



x
0
ln(u1u
2
)(du))



x
0
ln(1u
2
u)du




x
2
0
ln(u1u)du


F(x)


　F(x)为偶函数

第 18 页 共 18 页
考试中心制作
成立.

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高等数学期末复习题及答案
一.
单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
1、
设I

arctanxdx,则I
(A)　xarctanxl nx
2
1C;
(B)　xarctanxlnx
2
1C;
(C)　xarctanx
1
(D)　
2
C.
1x< br>答(A )
2、

1
2
(x1)C;
2< br>设函数f(x)在

0，

上连续，且I
1
s t
x
f(t)dx　(s0，t0)则I的值
s

0
s
　(A)　依赖于s，不依赖于t　　(B)　依赖于t和s

　(C)　依赖于 t，不依赖于s　　(D)　依赖于s、x和t
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）答( C )

3、
设I

sec
3< br>xdx,则I
11
(A)　ln|secxtanx|tanxsecxc< br>22
1
(B)　lnsecxtanxtanxsecxc

2
11
(C)　ln|secxtanx|tanxsecxc
22
11
(D)　ln|secxtanx|tanxsecxc
22
答( A )

4、
设f(x)有连续的导数，f(0)0，f
< br>(0)0，F(x)

(x
2
t
2
)f(t) dt，
0
x
且当x0时，F

(x)与x
k
是同 阶无穷小，则k等于
　(A)1　　　　(B)　2
　(C)　3　　　(D)　4
　 　　　　　　　　　　　　答（　　）
答( C )
第 1 页 共 18 页

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5、
若已知x0时，F (x)

(x
2
t
2
)f

(t) dt的导数与x
2
是等价无穷小，则f

(0)
0
x< br>1
(A)1　　　 (B)　
2
(C)　1　 (D)　
1
2
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

答( B )
6、
设f(x)在x0的某邻域内连续,且f(0)0,lim
f(x)
2 , 则点x0
x0
1cosx
(A)　是f(x)的极大值点　　　　　(B)　是 f(x)的极小值点

(C)　不是f(x)的驻点　　　　　　(D)　是f(x)的驻点但 不是极值点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)
答( Ｂ )
7、
函数f(x)

(2costcos3t)dt在 x
0
x

处必
3

　(A)　取极小值　　　( B)　取极大值
　(C)　不为极植　　　(D)　是单调的
　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　答（　　）
答( B )
8、
e
x
1
设I

x
dx,则I
e1
(A)　ln(e
x1)c　　(B)　ln(e
x
1)c;

(C)　2ln(e
x
1)xc;
(D)　x2ln(e
x
1)c.
答(C )
9、
设F(x)

x2

xe

sintdt
sintdt,则F(x)

　(A)　为正 常数　　　(B)　为负常数
　(C)　恒为零　　　　(D)　不为常数
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　答（　　）
答( C )



第 2 页 共 18 页

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10、 < br>　　设函数yf(x)在点x处可导,则它在x处关于自变量改变量
x的微分dy等于
(A)f(xx)f(x)　　　　　　　(B)f(x)f(xx)
(C)f

(x)x　　　　　　　　　　　(D)f

(x)
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　答(　)
答
(C)


11、

tanxsinx
的值为
3
x0
x
11A．0；B．　C．　D．．

b2
　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim
答( C )
12、
设　lim
xa
f(x)f(a)
1,则点xa
(xa)
2

(A)　是f(x)的极大值点　　　　　　　(B)是f( x)的极小值点
(C)　是f(x)的驻点,但不是极值点,　　(D)不是f(x)的驻点
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)
答( A )
13、
设函数f(x)在

a，b

上连续，且f(x) 0，
则函数F(x)

f(t)dt

a
xx
b
1
dt在(a，b)内零点的个数必为
f(t)

　(A)　0　　 (B)1　
　(C)　2　　 (D)　无穷多
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
答( B )
14、
设f(x)在

a，a

上连续，则f(x)为 奇函数是积分

f(x)dx0的
a
a
　(A)　必要条件　　 (B)　充分条件
　(C)　充分必要条件 (D)　既不是充分也不是必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
答( B )


第 3 页 共 18 页

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15、
函数f (x)在xx
0
的某邻域有定义且f

(x
0
)0,f

(x
0
)0则在xx
0
处f(x)(　　)
(A)　必有极大值　　　　　　　　　　　　 　(B)　必有极小值
(C)　可能 取得极大值也可能不取得极大值　　　(D)　必不取得极值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　答　(　　)
答
(C)

16、

设I

lnxdx 则I
1

(A)　c;　　( B)　xlnxc
x
1
(C)　xlnxxc　　(D)　(lnx)
2
c
2
答( C )

17、
确定定积分

cosxdx
0

　(A)　0　　(B)1　
　(C)　2　　(D)　4

　　　　　　　　　　答（　　）
答( C )

二.
填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分 ）

e
sin2x
e
sinx
，x0

　在x 0处连续则a_____________
1、
设f(x)

x

a，　　　　x0
填:
1


sinxe
2ax
1
，当x0

, 在x0处连续，则a___________ .
2、
f(x)

x

x0

a　　　　　，当
填 :
1
< br>cosx
cosx
是f(x)的一个原函数,
则

f(x) dx
___________.
x
x

f(x)
c osx
dx
cosx
d(
cosx
)





xxx

1cosx
2
填
　()c

2x
3、
已知

第 4 页 共 18 页

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4、
设f(x)的一个原函数为

sinx
,则

xf

(x)dx
______________。
x

xf

(x)dx

xd[f(x)]xf(x)

f(x)dx
sinx
c
x
xcosxsinxsinx
　　 c

xx
sinx
　　　　 cosx 2c
x
sinx
故应填:cosx2c.
x
　　　　 xf(x)

,则f'

(2x)dx
________________________. 5、
设f(x)连续可导


11


f'(2x )dxf'(2x)d(2x)f(2x)c





22

填:
　　f(2x)c.


1
2
x,则x
2
f

(x)dx
_____ 。 6、
设f(x)的一个原函数为sin

222

xf (x)dxxd[f'(x)]xf

(x)

2xf
< br>(x)dx

　　　　 x
2
f

(x)2

xf(x)

f(x)d x


　　　　 x
2
f

(x)2xf(x)2sinxc
　　　　 x
2
(sinx)2xcosx2sinxc
故应填:
xsinx2xcosx2sinxc.

7、
设f(x)dx(x)c,其中(x)具有任意次导数,则


2



f
(n)
(n)
(x)dx< br>______________.
填:

8、
(x)c.


1
1
x
2
ln(x1x
2
)d x________________

填:
0

9、
d
dx

b
a

sin(x2
1)dx__________________，其中a和b都是常数．
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填:
0

10、
设f(x)在

0，

上连续，且f(t)dt x(1cosx) , 则f(

x
0

)___________

2
填:
1


2
11、
设f

(x)在
0，1

上连续，f

(1)0，且f(1)f(0) 2，则　xf

(x)dx___________


1
0
填:
2

12、
设f(x)

x1，x0
，则

f(x)dx______________ _

2
1

x　，x0
1
填:
5

6
13、
定积分
填:

aa
a
2
x
2
dx__________________ ___


2
a

2
14、
函数yx 2
x
的极小值点是______________

填:

1

ln2
t
2
sinu

du
dy

x

0
15、
设


　则____________________
u
dx

ycost，(t0)

填:

tsint

2
2sint
三.计算题

2 2cosx
，x0

1、
设f(x)


问a为何值时，f(x)在x0处连续．
x

ae
x
　　　，x 0

解：当f(00)f(00)f(0)时，f(x)在x0处连续

f(00)limf(x)lim
x00x00
22cosx

x
sin
x
2
1

2sin


2
2lim
x
2
x00
x
lim
x00
x
2

f(00)a，f(0)a

所以a1时，f(x)在x0处连续

第 6 页 共 18 页

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
x
2
2x, x0
2、设
f(x)

求常数
a , b
使得
f(x)
在
x0
连续且可导。

axb, x0
解

f(x)
在
x0
处连续

limf(x)limf(x)f(0)

x0

x0



limf(x)lim( x
2
x)0
x0

x0

limf(x) lim(axb)b

x0

x0

f(0) b

0bb
即
b0


f(x)
在
x0
处可导

f
''

(0)f

(0)



f
'
f(0h)f(0)

(0)li m
h
lim
ahbb
a
h0

h0< br>
h
f
'
)lim
f(0h)f(0)
hlim
h
2
2hb
lim
h
2
2h

(0
h0

h0

h
h0

h

lim(h2)2
h0


a2

< br>当
a2
，
b0
时，
f(x)
在
x0< br>处连续且可导

3、
设　y

sin(cos
2
x)



cos(sin
2
x)
，求y

．

解
y

sin2x

cos(cos
2
x)cos(sin
2
x)sin(cos
2
x)sin(sin
2
x)


　sin2 xcos(cos
2
xsin
2
x)sin2xcos(cos2 x)


4、
设　y
3
x1x
2
，求y

．

解
1
y


1< br>(x1x
2
)

2
3
(1
x
2
)
1
3
3
1x
2
3

( x1x)

(1x
2
)
1
2


第 7 页 共 18 页
(

b0)

中国传媒大学 考试中心制作
5、
求极限　lim
lntan4x
.

x0
lntan3x
4
sec
2
4x

解 原式lim
tan4x
x0
3
sec
2
3x
tan3x
4sin6x
　　　lim

3
x0
sin8x
46x
　　　lim

x0
38x
　　　1

6、
求函数yx的极值

解
1
x
函数定义域(0，)

1lnx
1
x
x

x
2
令y

0得　xe
y


当0xe时　　y

0
当ex时　　　　y

0

1
e

故函数当xe时有极大值y(e)e

7、
求


dx
x
2
2xx
2
.

(解 法一):原式

dx
x
2
1(1x)
2
　令 1xcost　　dxsintdt



sintdt< br>dt

(1cos)

4(si
2
n
2
t
)
2

t
2
sint
1t1

4
t
2
cscd()1cot


< br>2222
11cost1t
co
3
tc

2s int62
11cost11cost
3
12x12x
3
2
()c

()c.

2sint6sint
2x6x
第 8 页 共 18 页


t

t
d(cot)



22






中国传媒大学 考试中心制作
(解法二):令x
11
dx
2
dt

t
t
原式

< br>
1
2
1
2


tdt

2t1
2t11
dt

2t1
1
2t1dt
2

dt

2t1


1
4

2t1d(2t1)
1
4

d(2t1)
2t1

3
11
(2t1)
2

62
2t1C



1

2x


6
< br>x

3
2

1

2x


2

x

1
2
C

8、
求
解

cos2x
dx

22
cosxsinx

cos2x
dx

22< br>cosxsinx


cos
2
xsin
2
x
dx

22
cosxsinx


csc< br>2
xdx

sec
2
xdx

cotxtanxc.



9、
求
解

dx
.

32
x(x1)
原式
< br>x
2
dx
32
　　令xt　　dt3xdx

332
x(x1)

1dt1

111

 dt


22


3
t(t1)
3

tt1
(t1)


1

1

1x
3
11


lntln1tc
 lnc.

33
3

1t

33
1 x1x


第 9 页 共 18 页

中国传媒大学 考试中心制作
2
1
2
x(4x)
10、
求　
解

3
dx.

令(4x
2
)
2
u　　x
2
4u
2
　2xdx2udu

原式 

(4u
2
)u
2
du
　　
< br>(u4u)du


42
1

1
5
4
3
uuc

53
53
14
2
2
2
2
(4x)(4x)c.

53
也可令x=2sint或x=2cost做,分数可对应给.

11、
求
解

cos
4
xx
sin
4
22
dx.

2
sinx

cos
4xx
sin
4
22
dx

2
sinx
xxxxxx
sin
4
2sin
2
cos
2
2sin
2
cos
2
222222
dx

sin
2
x



cos
4
xx 1
sin
2
)
2
(sinx)
2
222


dx

2
sinx
1


csc
2
xdx

dx

2
1
cotxxc.

2
(cos
2

12、
求
解

dx
.

4x
4
原式



dx

22
(2x)(2x)
111
()dx

4

2x
2
2x
2



11
ln
4
22
2x1x
ar ctanc.

2x422
第 10 页 共 18 页

中国传媒大学 考试中心制作
13、
求
解

dx
.

(x
2
2)(x
2
3)
dx

(x
2
2)(x
2
3)

1

11




2
dx
2
dx


5

x2x3



14、
求
解
11x21x
lnarctanc.

5
22x2533

cosx
dx.

2cos2x



cosx
dx

2 cos2x
d(sinx)
32sinx
2

1
2
d(sinx)
3
2
sinx
2



12
arcsin(sinx)c.

3
2
1x
dx

3
x1
15、求
解


1x
dx

3
x1


(
3
x)
3
1
3
x1
x
1
3
dx




(x
2
3
1)dx

3
5
3
4
33
xxxc.

54




第 11 页 共 18 页

中国传媒大学
2
16、
求cos2xcos3xdx.

考试中心制作

解

cos


2
2xcos3xdx

1cos4x
cos3xdx

2
11
sin3x

(cosxcos7x)dx

64
111
sin3xsinxsin7xc.

6428


17、
求
解

x lnxdx.


2
3
x lnxdx

lnxd(x
2
)

3
3
2
3
2
x
2
lnx

x
2
d(lnx)
( 分部积分 )
33
3
2
3
21
x
2
lnx

x
2
dx

3 3x
22
x
2
lnx

x
2
dx33

33
24
x
2
lnxx
2
C
39


18、
计算
解
1
31

0
1
dx．

xx
e e
e
x
原式

2x
dx

0
e1
1
x1
en

arcta
0


en

arcta


4
第 12 页 共 18 页

中国传媒大学 考试中心制作
19、
求

2
2
dx
(x2x4)
2

1
3
2
1

．
解
原式
dx

(x1)3

2

3

(x13tan)t

2
1
6



3
0

3sec
2
t
(3tan
2
t3)
2
3
dt


1
6
3sec
2
t


dt

3
2
0
3
(3sect)
2

1



6
costdt

3
0





20、
计算积分

1
sint

3
0
1

6


6

2
0
x1

dx．
(x1)(x3)
解
原式
2
1xx1< br>dx

0
(x1)(x3)

1
(x1)( x3)
dx

1
1
1
111
2
11< br>)dx

()dx



(< br>2
0
x1x32
1
x1x3

1
 
1


ln(x1)(x3)

l n(x1)(x3)


2

0

2< br>
1

ln32ln2







21、
求
12

3x
2
(1x)
2
3
2
1
dx．

第 13 页 共 18 页

中国传媒大学 考试中心制作
解
令　xtant

原式



costs ect

dt

3
4




sint

3
lnsecttant

3

44



1
(32)ln2(3)ln1(2)

2
5
22、
计算积分

解
3
dx
．

2
xx2
原式



5
3
dx

(x2)(x1)
1
5
11
()dx


3
3x2x1
5
1



lnx2lnx1

3

3
1

ln2

3


23、
求积分

4

0
1cos
2
x
dx．

1cos2x

2
1cosx
解
原式

4
dx

2
0
2cosx

1
2



4
(secx1)dx

2
0
1
xx)

(tan
2





24、
计算

4
0



4
0

1



28


sin
4
xdx．

第 14 页 共 18 页

中国传媒大学 考试中心制作
解
1
原式

4
(1cos2x)
2
dx

4
0

1

31




4

2cos2xcos4x

dx


4
0

22







25、
计算
解


2
0


1

31

xsin2xsin4x

< br>
4

28

0
3

1


324

4

sin
5
xcos3
xdx．

原式



2
0
sin
5
xcos
2
xcosxdx


2
sin
5
x(1sin
2
x)cosxdx
0



2
(sin
5
xsin
7
x)cosxdx

0



2
(sin
5
xsin
7
x)d(sinx)

0
1
1


sin
6
xsin
8
8< br>
6












x



0

2
1

24

第 15 页 共 18 页

中国传媒大学 考试中心制作

1
，x0

2

1e
x
, 求　f(x1)dx．
26、
设f(x)



0

1
，x0


1x
解


f(x1)dx 令tx1xt1,dxdt0
2


f(t)dt
1
0
1
< br>
f(t)dt

f(t)dt
1
0
0
1
11
dt

0
1t
dt
1
1e
t
tt
0
1ee
1
1


d td(1t)
t

10
1e1t
0
e
t


(1)dt[ln|1t|]
1
0
t
 1
1e
00
1


dt

d(1e
t
)ln2
t
11
1e
t0
[t]0
1
[ln|1e|]
1
ln2
1


0(1)[ln2ln(1e
1
)]ln2
1ln (1e
1
)


27、

设函数f(x)具 有连续导数，又曲线yf(x)通过原点0，且它在原点0处的切线

斜率等于1，试求：　 　lim
x0
x
0
f(t)dt

xsinx
．
解
由题意知，f(0)0，f

(0)1，则

f(t)dt

lim

lim
0
x0
x
xsinx
f(x)

x0
sinxxcosx
f

(x)

x0
2cosxxsinx
11

f

(0)

22

lim





第 16 页 共 18 页

中国传媒大学 考试中心制作
x
t
2
(arcsin)dt

0
2
28、
求：　　

lim．
x
x0

tsintdt
0
x
(arcsin)
2
2
（ 洛必达法则） 解 原式=
　　lim
x0
xsinx
1
x2
2arcsin
2
x
2
1
4
（ 洛必达法则）
　　lim
x0
sinxxcosx
x
2

　　( 先求出 lim
　　lim
x0
x0
sin xxcosx
arcsin
1
2
x
2
1
4（ 洛必达法则）
　　lim
x0
cosxxsinxcosx
1
2
x
2
1
4

　　lim
x0
2cosxxsinx
1

1
　　
2


24

29、
求曲线y
解
1
1
x
4
2
1 )


x


2
cosxdx的长度.

y


cosxdx


2
x
x





costdt
2
在[

y


2
,x]上，cost
要有意义必须
cost0


2
x

2

cosx,


所求曲线的弧长
第 17 页 共 18 页

中国传媒大学
s



2
< br>1y

2
dx


2

2
1cosxdx

2



2
2
2co
x
0
sdx42
x
2
2 2
sin

4.

0

四、证明题

1、
证明:当 x1 时,恒等式 2arctanxarcsin
2x
1x
2
0
证明: 设f(x)2arctanxarcsin
2x
1x
2
，

则f(x)在[11,]连续,在(11,)可导.
且f

(x)21
1x
2

2(1x
2
)2x2x
1(
2x
2
(1x
2
)
2
1x
2
)

　　　
2
1x
2

2
1x
2
0
则在[11,]上,f(x)C,即f(x)f(0)0

故当x1时，2arctanxarcsin
2x
1x
2
0


2、
证明：函数F(x)

x
0< br>ln(t1t
2
)dt为偶函数．

解
x(， )

　F(x)

x
0
ln(t1t
2
)dt　 (令tu即ut)



x
0
ln(u1u
2
)(du))



x
0
ln(1u
2
u)du




x
2
0
ln(u1u)du


F(x)


　F(x)为偶函数

第 18 页 共 18 页
考试中心制作
成立.