聊城考试信息网-支行行长岗位职责

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三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：
1e
x
xe
x
1．求极限
lim
.
x0
xsinx
xxx
1e
x
xe
x
(1 e
x
xe
x
)

eexe
1
.< br> 解：
lim

lim

lim
x0
x0x0
2x
2< br>xsinx
(x
2
)



arccosx ,x0
2. 已知
f(x)

在
x
= 0处可导，求常数
a,b
.
x0


axb,
解：因为
f
(
x
)在
x
= 0处可导必连续，所以
limf(x)limf(x)f(0)


x0x0

得 b

2

x0
又因为
f
(
x
)在
x
= 0处可导，所以
lim
f(x)f(0)
存在

x
a rccosx

1
2
limlim1
＋
2
x0
＋
x0
x
1x


(axb)
2
a,  a1f

(0 ).lim
－
x0
x
3.
设方程xye
解：
xyy'
x
2
y
2
e
22
arctany
x
确定y是x的函数,求y'与y
.
arctan
y
x

1y'xy
< br>
y
2
x
2
1()
x
arctan
y
x
化简得(xyy')x
2
y
2
e
x y
y'
xy
(y'xy)

又y(1y')(xy)(xy)(1y')2(xy'y)

(xy)
2
(xy)
2
2(x
2
y
2
)
将y '代入上式化简得 y
(xy)
2


f(t)


xe
试求A(t)使dyA(t)dx
. 4.
设f(t)可微且f

(t)0若

2


ycosf(t)
解：
dysinf
2
(t)2f(t)f' (t)2f(t)sinf
2
(t)

A(t)＝
dx
e
f(t)
f'(t)e
f(t)
2f(t)sinf2
(t)
dx

dy
e
f(t)
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xlnx
dx
.
2
x
xlnxlnx
解：


dxlnx

x
2
dx

x
2
1
＝lnx

lnxd


x
lnx1

＝lnx

2
dx

x
x
lnx1

＝lnx＋C

xx
5. 求

6.
设F(x)

e
t
dt,试求：( 1)F(x)的极值;(2)曲线yF(x)的拐点的横坐标

0
2
x
2
解： (1)F'(x)[

e
t
dt]'e
x
2x令0x0
0
4
x
2
24
Fx)2(14x
4
)e
x
,F20
x0是F(x)的极小值点,F(x)的极小值为F(0)0.

(2)又Fx)2(14x
4
)e
x
令0x
1
< br>1
2
1
2
时,
时,
Fx)0,
Fx) 0,
Fx)0,
4
1
2
,x
2

1
2
当-x
当-
当
1
2
1
2
x


x时,
曲线yF(x)拐点的横坐标为x
x
2
sinx
dx
. 7．计算

1
1x
2
1
1
2
.
2
1
x11x
2
sinx
dx

dx< br> 解：

1
1x
2
1
1x
2
1


(1
11
1
)dx

1x
2< br>1
22arctanx
0
2

2


四、应用题（每小题8分，共16分）：
1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆截面的面积为5m
2
. 问底宽
x
为多少时才能使截
面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
解：设截面的周长为 l , 已知
lx2y

x
2

1分
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截面的面积为
xy
故
lx

x5

x
3分
()
2
5
,即
y
22x8
40< br>
x10
4

x
,x(0,

)

4分
40
6分
4

因为
l'1


4

1020
，
令
l'0
得驻点< br>x
,l
22
xx
又因为
l0
，驻点唯一，故极 小值点就是最小值点. 7分
所以截面积的底宽为
x
8分
2. 求抛物线
y4xx
2
3
及其在点
(0,3)
和
(3,0)
处的切线所围成的图形的面积 .
解：
40
才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省.
4

y'
x0
(42x)
x0
4,y '
x3
2
2分
所以抛物线y4xx
2
3
在点
(0,3)
和
(3,0)< br>处的切线方程分别为
y4x3,y2x6
2分
3
且这两条切线的交点为
(,3)
，则所求图形的面积为
2
S

(4x34xx3)dx

3
(2x 64xx
2
3)dx
2
3
2
0
2
3
9
8分
4
五、证明题（5分）：
证明：当
x
> 1时，
ln(1x)x
.

lnx1x
证明 令
f(t)tlnt
， 1分
f(t)
在区间
[x,1x]
上满足拉格朗日中值定理，于是在(x,1x)
中存在至少一点

，使得
f
< br>(

)ln

1
(x1)ln(x1)xlnx

x1x
即
(x1)ln(x1)xlnxln

1
2分
而
1x

1x
，又因为
ln
10
，所以
(x1)ln(x1)xlnx
，
即
ln(1x)x

.（
x
> 1） 2分
lnx1x
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或
令y(1x)ln(1x)xlnx
，则
y'ln(1x)lnxl n
三．计算题（每小题7分，共42分）
1x
0(x1)

x
2

1x1



. 2．求极限
lim

1ln(1x)

x
. １. 求极限
lim

x
x0
e1
x0
x

3. 设方程
eycosx
确定
y
为
x
的函数，求
4. 设函数
f(x)
在

,

内可导，并且
xy2
dy
.
dx
d
lnx
f( t)dtx
，求
f

(x)
。

1
dx
xx
dx
.
2
2x
2
2
5. 求不定积分

arccosxdx
. 6. 求 定积分

x(1x)e
x
1x(1x)e
x
1

1x1



limlim
三．１.
lim

x

x2
x0
e1
x0x 0
xx(e1)x

12xe
x
2e
x
1
lim

lim
x0x0
2x22
2．
lim1ln(1x)

x0< br>
2
x
lim

1ln(1x)

x 0
12ln(1x)

ln(1x)x
e
2
.
3. 解：方程两边同时对
x
求导得
e
xy
(yxy< br>
)2yy

sinx

dyye
xy
sinx
y


故.
dxxe
xy
2y
4. 解：因
d
lnx
11
2x
f(x)e
，故，即。因此 < br>f(t)dtf(lnx)f(lnx)x

1
dxxx
f< br>
(x)2e
2x

5. 解：

arccosx dxxarccosx

2
x
1x
2
dxxarc cosx1x
2
C

222
xxx
xx
2
ln6
.
dxdx dx02dx
ln(2x
2
)|
0
6. 解：
< br>2222

2
2x
2
2x
2
2x
0
2x
2.求由曲线
yx
，
y
21
，
y2
所围平面图形的面积
S
；并求该平面图形绕
y
轴旋转一周所得的旋转
x
体的体积
V
. (8分)
解：所求平面图形的面积
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S

旋转体的体积
1
0
ydy

2
1
12
3
2
2
dyy
2
|
1< br>lny|ln2

01
y33
111
2
1
V


(y)dy


()
2
dy

y
2
|
1
|
1
< br>
0
01
y2y2
1
2
2
(cosx)sinx
1
1.计算求
lim

3
x0
x
2.求

1
0
x1x
2
arcsinxdx.< br>
三、解答下列各题 (每小题6分, 共 18分)

1
x0

1x
1、设
f(x)< br>
1e
，研究
f(x)
在点
x0
处的左、右连续 性
.



0 x0
2、 设
yy(x)
由方程
xye
2
xy
所确定，求
y
.

34
'
3、设
f(x)(x1)(x2)( x3)(x4)
，求
f'(1)
及
f'(3)
.

四、解答下列各题 (每小题7分, 共28分)
1、确定
ye(x-2)
的单调区间
.

2x2
lim(13x)
2、求极限
　
x0
2
sinx
.
3、计算


e
x
1dx
.

4、计算
sin

lnx

dx
.

五、解答下列各题 ( 7+10分, 共 17 分)
x
2
2xl nx
在
[4,1]
上的最大值与最小值
.
1. 求
f(x)
2
七、解答题 (本题 6分)
2
已知
f< br>
x

的一个原函数为
lnx
，则试求：
xf'
x

dx
.


六、证明题 (本题 7分)
试用你所学过的高等数学知识证明：当
0x

2
时 ，
tanxx
1
3
x
.
3
f(x)dxf (0)
，证明：在

0,1

内至少五.证明题.设函数
f (x)
在

0,1

上连续，在

0,1

内可导，且
2
存在一点
c
，使得
f

( c)0
。
求微分方程
yye
的通解
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''2x

1
1
2

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1．写出方程
y

2y

3yx
的待定特解的形式（
y
*
axb
）
2.求方程
y
4ycos2x
的通解。（
yc
1
cos2xc< br>2
sin2x
3.求微分方程
x

(t)2x

(t)5x(t)0
的通解.
解：特征方程为：
r2r50
(2’)
解得：
r
1
12i,r
2
12i
(4’)
故所求的通解为：
x(t)e(C
1
cos2t C
2
sin2t)
(6’)
t
1
xsin2x
）
4
2
4.设
yy (x)
满足方程
y

3y

2y2e
x< br>，且其图形在点
(0,1)
与曲线
yx
2
x1
相切，求
函数
y(x)
。

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