黄山市人事考试网-【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案:小学数学教学工作总结

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概率论与数理统计计算题（含答案）

计算题
1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。现作不放回抽样，接连取
2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1
只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。
1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全
部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，
求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

1(1x)e
x
, x0
3.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)

，试求：（1）密度函数
0, x0

f(x)
；（2）
P(X1)，
P(X2)
。
1
4.二维随机变量
(X,Y)
只能取下列数组中的值：
(0,0),(1,1),(1,),(2,0)
，且取这
3
1115
些组值的概率分别为
,,,
。求这二维随机变量分布律，并写出关于
X
和
312612
关于
Y
的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事
件的概率：（ 1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）
其中有人精通英语。
6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。在
使用者中，假定有 90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。
如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？
7.设随机变量
X
的密度函数为
f(x )Ae
|x|
,xR
，试求：（1）常数
A
；（2）
P(0X1)
。
8. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为
求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y的分布律．
9．已知
A B
，
P(A)0.36
，
P(B)0.79
，求
P( A)
,
P(AB)
,
P(BA)
。
10．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总
产量的70%，10%，20%，成品中次品的百分比分别为2%，3%，5%，求检测的次品，
是甲车间生产的概率。
1

11．确定常数
C
，使得
P(Xk)
并求
P( X1.2)
。
2C
(k0,1,2,3)
成为某个随机变量
X
的分布律，
3
k
12．设
X~N(1,16),(0.5)0 .6915,(1)0.8413
，求
P(X3)
。
13．设球体的直径
X
服从
(2,5)
上的均匀分布,求体积
Y
的概率密度。
14．已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布:
甲
X 1
X Y 1 4
Y
3 112
3 536 736
6 736 1736
6 14
乙
4
14
512

分别求出 X、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。

15. 设随机变量
X
，
Y
的联合分布如下图，求以下随机变量的分布律：

X Y 1 2 3

0 0 0.1 0

1 0.3 0.2 0

2 0.1 0.1 0.2

16. 已知
AB
，
P(A)0.2
， P(B)0.6
，求
P(A+B)
,
P(AB)
，
P(AB)
。
17.设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一零件，各个车间的产量分别占总
产量的10%，50%，40%，成品中次品的百分比分别为4%，2%，3%，求检测为次品， 是丙车间生产的概率。
C
18.确定常数
C
，使得
P(X k)
k
(k0,1,2,3)
成为某个随机变量
X
的分布律， 2
并求
P(X2.5)
。
19. 设随机变量
X
，
Y
的联合分布如下图，求以下随机变量的分布律：
Y X
-2
1
2
-1
0.1
0.2
0
0.2
0.1
4
0
0

（1）
X2Y
, （2）

X
.
Y
2 0.1 0.1 0.2
20 .设
X~N(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332
，求 P(X2)
。
（1）P(A),P(B),(2)P(AB),(3)P(AB)
21. 设
AB
,P(A)0.4,P(B)0.6,求：
22. 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5。从中同时取出3个球，
记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。
23. 某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙
厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求：
（1）该产品的次品率；
（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品来自甲厂的概率。 24.设连续型随机变量
X
的分布函数为
F(x)ABarctanx x

求：（1）常数A和B；（2）
X
落入（-1，1）的概率；（ 3）
X
的密度函数
f(x)

25. 设
A,B
是两个事件，已知
P(A)0.5
，
P(B)0.7
，
P(AB )0.8
，试求
P(AB)
及
P(BA).

26. 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号
•
和

，由于通信受到干扰，当发
出
•
时，分别以概率0.8和0.2收到
•
和

，同样，当发出信号

时，收
报台分别以0.9和0.1的概率收到

和。
求(1) 收报台收到信号
•
的概率；(2) 当收到
•
时，发出
•
的概率。

a(1x), 0x1
27. 已知某商店经销商品的利润率
X
的密度函数为
f(x)

，

0, 其他
求（1）常数
a
；（2）D(X)
1
28. 设随机变量
X,Y
独立同分布，且
X: B(1,)
，记随机变量
ZXY
，求
Z
的
4
分布律

29．袋内放有2个伍分的，3个贰分的和5个壹分的钱币，任取其中5个，求钱额总数超过一角的概率。
3

30．某人有一笔资金，他投入基金的概率为
0.58
，购买股票的概率为
0.28
，两项
投资都做的概率为
0.19
，求：
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
31．已知1班有6名男生，4名女生；2班有8名男生，6名女生。求下列事件
的概率：
（1）随机抽1个班，再从该班中随机选一学生，该生是男生；
（2）合并两个班，从中随机选一学生，该生是男生。
32．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为
2:1
，货车中途停车修理的概率
为
0.02
，客车为 0.01
。今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
33．一口袋有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。
从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字
X
的分布律与分布函数。
0
 34．设随机变量
X
的分布函数为
F(x)

x

1(1x)e
x0
x0
，求：
（1）
P(X 1)
，（2）
P(X2)
，（3）
X
的密度函数。
35 ．某人上班所需的时间
X:N(30,100)
（单位：min）,已知上班时间为8：30，
他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到
一次的概率。
36．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，
4 000]（单位：t）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销
售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益
最大。

37. 假定某工厂甲，乙，丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的
45%,35%,20%
。若各车间的次品率依次为
4%,2%,5%
，现在从待出厂产品中检
查出1个次品，试判断它是由丙车间生产的概率。
38．甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ, η表示)的分布律如表1,表2所
示. 试比较甲乙两射手的技术.
4

1
39．两个相互独立的事件
A
与
B
，
A
与
B
都不发生的概率为，
A
发生
B
不发
9
生的概率与
A
不发生
B
发生的概率相等，求
P(A),P(B)。
40．设二维随机变量
(X,Y)
的联合密度函数为


ke
(3x4y)
, x0,y0
，
f(x,y)


0 其他
求( 1)系数
k
；（2）
P(0X1,0Y2)
；（3）证明
X
与
Y
相互独立。
41．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）
X
服从正态分布
N(72,

2
)
，且96分以上的考生占考生总数的
2.3%
，试求考生的外语成绩在60
至84分之间的概率。（ 
(1)0.8413,

(2)0.9772
）
42 ．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，
4000]（单位：t ）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销
售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益
最大。


x

,
43. 设随机变量X的概率密度为
f(x) 
2

0,


0x2;
其他.

试求：（1）
E(X),D(X)
；（2）
D(23X)
；（3）
P

0X1

。

四、综合题
5

1
1.设随机变量
X,Y
独立同分布，且
X:B(1,)
，（1）记随机变量
ZXY，求
Z
4
的分布律；（2）记随机变量
Umax(X,Y)
，求
U
的分布律。

2(1x), 0x1
2.某商店经销商品的利润率
X
的密度函数为
f(x)

，求
E(X) ，
0, 其他

D(X)
。
3. 某人上班路上所需时间
X:N(30,100)
（单位：min），已知上班时间是8:30，
他每天7:50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周(以5天计)最多迟到一次
的概率。
4. 设随机变量
X
的分布函数是
x1,

0 ,

0.3,1x0,


F(x)

0 .5,0x1,


0.71x2,

x2.


1,
(1) 求随机变量
X
的分布律; (2)若随机变量
YX
2
, 求
E

Y

。
5. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随
机地到达，试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时需要等待的概率。
6. 设随机变量
X,Y
的联合分布如右表且
X,Y
相互独立，求
a,b
的值.

7. 已知二维随机变量
(X,Y)
联合分布律为
（1）求数
a
；
Y X 1 2 4
（2）证明：
X
与
Y
不相互独立。

-1 124 324 224

a

0 224 424

2 224 324 124

8.一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，
而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现以
A,B,C
分别记投一次四面体出现
X
Y
1
3
0
16
13
1
118
a
2
19
b
6

红、白、黑颜色朝下的事件，证明：
A,B,C
两两独立，而
A,B,C
不相互独立。

e
x,
9-.设二维随机变量
(X,Y)
的概率密度为
f(x,y)


0,
求:(1)随机变量X的边缘概率密度;
0yx,
其他,

(2)概率P{X+Y≤1}。
1
5
10. 司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数为λ=的指
数分布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ；（2）若该司机
一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的
分布律，并求P{Y≥1}.

五、证明题
1.设
A,B
为任意随机事件，证明：
P(AUB)P(A)P(B)P(AB)
。
2.某次大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药物。
在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而未使用者中也有5人检验结果
呈阳性。试证明：如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使
用违禁药品的概率超过90%。
3.
若事件A,B独立，证明事件A,B独立。


4e
2(xy)
, x0,y0
4. 设二维随机变量（X，Y）具有密度函数
f(x,y)



0, 其他

证明：X与Y是否相互独立。
5．设随机变量
XN(0,1)
，
(x)
是其分布函数，证明
(x)1(x)
。
6. 设事件
AB
发生，则事件
C
一定发生，证明P(A)P(B)P(C)1
。
7. 若随机变量
X
服从N(

,

2
)
，试证
Y
X

服从
N(0,1)
。

六、分析题

1. 随机抽样谢村和杨村的半年收入分别如下（万元）：
X
P
100 0 0 0 0
Y 5 10 20 30 35

15 15 15 15 15
P 15 15 15 15 15
试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。

2.（8分）已知随机变量(X,Y)甲、乙两种情形的联合分布:
7

X Y 2 5
X Y 2 5

2 14 14
2 13 16

5 14 14
5 16 13

分别求出 X、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。

3. 随机抽样谢村和杨村的月收入分别如下（万元）：

X 50 0 0 0 0
Y 2 8 10 12 18

P 15 15 15 15 15
P 15 15 15 15 15

试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。

七、应用题
1
1. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从

 的指数分布，
5
x

1

1
5
 e,x0
其密度函数为
f(x)

5
，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他

0,其他

就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中只有一次未等到服务的概率。
2. 某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若
一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金，已知该市人员一年内
发生生大人身事故的概率为0.005（假设每人发生事故是相互独立的），现有5000
人参加此项保险，求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40
万元的概率是多少？
(注：(0.25)0.5987,(0.45)0. 6736,(0.75)0.7734,(1.0025)0.8419）
3. 设随机变量
X
服从参数

1
的指数分布，即
X
～
E (1)
，现在对
X
进行3次独
立观测，求：（1）
X
的观测值大于1的概率；（2）至少有2次观测值大于1的
概率．
4. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量。设一个学生
无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.75，0.2。若学
校共有1000名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，
求有1名家长来参加会议的学生数不多于777的概率.
8

（注：
(0.25)0.5987,(0.45) 0.6736,(0.75)0.7734,(1.97)0.9756.
）

三、计算题
2
C
4
2
1、解：设A表示取到的都是合格品，则
P(A)
2


C
6
5
11
2!C
4
C
2
8
设B表示取到的一个合格品一个次品，则
P(B)

2
C
6
15
设C表示至少有是一个合格品，则
P(C)P(A)P(B)
2814


51515

2、解：设A，B，C表示产品来自甲乙丙三个工厂，D表示抽到次品，则有以下概率
P(A)0.2,P( B)0.3,P(C)0.5P(D|A)0.05,P(D|B)0.04,P(D|C)0.02

由全概率公式，得
P(D)0.20.050.30.040.50.020.032

由贝叶斯公式，得
P(A|D)
0.20.0550.30.0460.5 0.035
P(B|D)

P(C|D)

0.032160.032160.03216

xe
x
x0
3、解：（1）
f(x)F

(x)



0 x0
9

（2）
P(X1)1P(X1)1F(1)
（3）
P(X2)F(2)1(12)
4、解：由已知可得联合分布律为：

Y
X
1

1 0
X
3
P
1
1

-1 0
2
，
e
1
2

13e
2
e
1

1

4
0

1

3
2

5

12
6
12
0
2
1

0
3
5

12
0

1

1

Y
0

3

1

1

5

P

3
412

12
C
2
C
3
3
5、解：设A表示恰好有一位精通英语，则
P(A)

3
C 5
5
12
C
3
C
2
3
设B表示恰好有2位精通英语，则
P(B)


3
C
5
10
设C表示有人精通英语，则
P(C)P(A)P(B)
339


51010
51


900180
6、解：设A表示服用违禁药，B表示检查呈阳性，则有以下概率
P(A)0.1,P(B|A)0.9,P(B|A)
由全概率公式，得
P (B)0.10.90.9
由贝叶斯公式，得
P(A|B)
119


180200
0.10.918


1 9
19
200
0
x

0
7、解：（1）
Q1



f(x)dx

Aedx 
1
Ae
x
dx2A

A
1

2
（2）
P(0X1)
1
x
11
edx(1)


0
22e
8、解：由已知可得X的边缘分布律为：
X
P
由已知可得X+Y的分布律为
X+Y

0

0.6

0

10
1

0.4

1

2

1

P

9. 解：
0.2

0.2

0.5

0.1

(1)
P(A)1P(A)10.360.64
， .
(2)
P(AB)P()0
，
P(BA)P(B)P( A)0.43
。
10. 解：设事件
A,B,C
分别为甲乙丙车间生产的产品，事件
D
{次品}，
由全概率公式得：
P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D |C)

0.70.020.10.030.20.05=2.7%

由贝叶斯公式得：
P(AD)
11.解：由条件得：
2C(
P( AD)
P(A)P(DA)
14


P(D)P(D)27
111127
；
)1
，则
C
1392780
2721
且
P(X1.2)=P(X0)P(X1)
(1)0.9
.
803
12.解：
P(X3)1P(X3)1P(3X3)

1P(
31X131
)
1[(1)(0.5) ]1(1)1(0.5)0.4672

444
13. 解：由于直径
X
服从
[2,5]
上均匀分布,所以其概率密度函数为

1

,x[2,5]
.
f
X
(x)

3


0,其它
而两随机变量有
y
1
3
6

x
，则其反函数为
xh(y)()
13
y
13
，
6

'
且其导数的绝对值为
h(y)=(
由性质得
Y
的概率密度
2
1323
)y
， 9

4

125


16
13
(),y[,]

36

f
Y
(y)

9

y
2

0,其它


14.解：情形甲、乙中，X、Y的边缘分布都分别为：

Y 1 4
X 3 6

P 13 23
P 13 23
11

甲、乙两种情形的联合分布不同，但X、Y的边缘分布却相同，因此他们的关系是：联合分
布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。

15. 解:
(X,Y)
的分布律列出下表：
P
(X,Y)
X-Y
XY
0
(0,1)
-1
0
0.1
(0,2)
-2
0
0
(0,3)
-3
0
0.3
(1,1)
0
1
-2
0.1
0.2
(1,2)
-1
2
-1
0.4
0
(1,3)
-2
3
0
0.4
0.1
(2,1)
1
2
0.1
(2,2)
0
4
1
0.1
0.2
(2,3)
-1
6
所以，（1）
XY
的分布律为：
X-Y -3
P

（2）
XY
的分布律为：
XY 0
P

16. 解：因为
AB

0.1
1
0.3
0
2
0.3
3
0
4
0.1
6
0.2
(1)
P(A+B)P(B)0.6
，
(2)
P(AB)P()0
，
P(AB)=P(BA)P(B)P(A)0.4
。
17. 解：设事件
A,B,C
分别为甲乙丙车间生产的产品，事件
D
{次品}，
由全概率公式得：
P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P( D|C)
0.10.040.50.020.40.03=2.6%

由贝叶斯公式得：
P(CD)
P(CD)P(C)P(DC)6


P(D)P(D)13
18.解：由条件得：
C(
11118
)1
，则
C
；
124815
1814
且
P(X2.5)1P(X3)1 
81515
P
(X,Y)
2X+Y
XY
0.1
(-1,-2)
-4
12
0.2
(-1,1)
-1
-1
0.1
(-1,2)
0
-12
0.2
(0,-2)
-2
0
0.1
(0,1)
1
0
0.1
(0,2)
2
0
0
(4,-2)
6
-2
0
(4,1)
9
4
0.2
(4,2)
10
2
19.解:
(X,Y)
的分布律, 列出下表：
………… (4分)
所以，（1）
X2Y
的分布律为：
X+2Y -4 -2 -1

0
12
1 2 6 9 10

P

0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0 0.2
（2）
XY
的分布律为：
XY -2 -1
P

20.解：
0 0.2
-12
0.1
0
0.4
12
0.1
2
0.2
4
0 P(X2)1P(X2)1P(2X2)
1P(
21X1 21
)

222
1[(1. 5)(0.5)]1(1.5)1(0.5)0.3753

（）1P(A)1-P(A)1-0.40.6P(B)1-P(B)1-0.60.4
21. 解：
(2)P(AB)P(B)0.6

(3)P(AB )P(B-A)P(B)-P(BA)P(B)-P(A)0.6-0.40.2

2
11
C
3
2
3
C
4
6
,
P{X4}
3
,P{X5}
3
,
22. 解： P{X3}
3

C
5
10
C
5
10C
5
10
于是X的分布律为
3 4 5
X

P

136

101010

23.解：用B表示产品是次品，A
1
表示甲厂的产品，A
2
表示乙厂的产品，A
3
表示丙厂的产品。
（1）
P(B)P(A
1)P(B|A
1
)P(A
2
)P(B|A
2
)P( A
3
)P(B|A
3
)

0.50.010.30.020.20.050.021
。
（2）
P(A
1
B)
P(A
1
B)
P(A
1
)P(BA
1
)
0.50.01
24%
，
P(B)P(B)0.021


AB0
1
1

2
24. 解：(1)由
F()0
，
F()1
有：

解之有：
A
，
B



2
 AB1
2
(2)
P(1X1)F(1)F(1)
1
1
(3)
f(x)F

(x)


(1x
2
)
2
25.解：因为
P(AB)P(A)P(B)P(AB)
，
所以
P(AB)P(A)P(B)

P(AB)
0.50.70.80.4

于是，
P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)

0.50.40.1

13

P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)0.70.40.3
.
26.解：记
B
{收到信号
•
}，
A
{发出信号
•
}
(1)
P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

0.60.80.40.10.480.040.52

(2)
P(A|B)
P(A)P(B|A)0.60.812

.

P(B)0.5213
27.解：(1)Q

1
11
f(x)dx

a(1x)dxa(xx
2
)|1
a1a2
0
0
22
1
111
(2)E(X)

xf(x)dx

2x(1x) dx2(x
2
x
3
)|
1

0
0
233

1
111
E(X
2
)

2x
2
(1x)dx2(x
3
 x
4
)|
1
0

0
346
11
2
1
D(X)X
2
- E
2
(X)=-（）=
638

X
P
28.解：由题可以得X,Y的分布列为

1 0 X 1

14 34 P 14

Z的可能取值为0,1,2，且X与Y相互独立，所以
P(Z=0)=P(X=0，Y=0)= P(X=0)P(Y=0)=
0
34
339


4416
P(Z=1)=P(X=0，Y=1)+ P(X=1，Y=0)= P(X=0)P(Y=1)+ P(X=1)P(Y=0)
31316


444416
111
P(Z=2)=P(X=1，Y=1)= P(X=1)P(Y=1)=


4416
=
分布律为：
X
P

29．解：设
A={取5个钱币钱额超过壹角}
，于是有
nC
10
。
由题意可知，当取两个5分币，其余的三个可以任取，其种数为：

232212122323
C
2
C
3
C
2
C
3
C
5
C
2
C
3
C
5C
2
C
5
C
2
C
8
5
0
916
1
616
2
116

而当取一个5分币，2分币至少要取2个，其种数为：
131122

C
2
C
3
C
5
C
2
C
3
C
5

因此有利于事件
A
的基本事件总数：
14

23131122

mC
2
C
8
C
2
C
3
C
5
C 2
C
3
C
5
126

故
P(A)
1261


5
C
10
2
30．解：记
A某人的资金投入基金
，
B某人的资金投入股票
，
则
P（A）=0.58，P（B）=0.28，P（AB）=0.19


P（AB）0.19
0.327
；
P（A ）0.58
P（AB）0.19
（2）
P（AB）=0.678
。
P（B）0.28
（1）
P（BA）=

31．解：（1）记
B该生是男生，A
1
取自1班，A
2
取自2班
，
已知
P（BA
1
）=
所以，
P(B)

68
，（PBA
2
）=
，
1014

161841
P(A)P(BA)
。


ii
21021470
（2）
P（B）=
14 7


2412
BBA
1
UBA
2
。 32．解：记
B 中途停车修理，A
1
=货车，A
2
客车
，则


P（A
1
）P（BA
1
）
由贝叶斯公式有
P

（A
1
B）=
P（A
1
）P（BA
1
）+P（A
2
）P（BA
2
）
2
0.023

0.8
。
21
0.020.01
33
33. 解：依题意
X
可能取的值为-3，1，2，则
111
P（X=-3）=，（PX=1），（PX=2）

326

31
X
的分布律为
X:

11



32
2


1

，

6


15


0

1


3
（x）=

分布函数为 F

5

6

1

x3
3x1
。
1x2
x2
1
34. 解：（1）
P(X1)F(1)1(11)e12e
1
；
2
（2）
P(X2)1P(X2)1F(2)3e

（3）由分布函数
F(x)
与密度函数
f(x)
的关系，可得在
f (x)
的一切连续点处有


xe
x
f(x)F(x )
，因此
f(x)


0
`
x0
其他
。

35. 解：（1）由题意知某人路上所花时间超过40 min，他就迟到了，因此所求概率为 P(X40)1

(
4030
)1

(1 )10.84130.1587

10
（2）记
Y
为5天中某人迟到的次数，则
Y
服从
n5,p0.1 587
的二项分布，5天中最多
迟到一次的概率为

5

5

P(Y1)

(0.1587)
0
(0.8 413)
5


0.1587(0.8413)
4
0 .819


0

1

36. 解：设随机变量
Y
表示平均收益（单位：万元），进货量为
a
t
，


3X(aX)xa

Y

3axa

则
E(Y)

a
2000
(4xa)
4000
11
dx
 3adx

a
20002000

1
(2a
2
14000a8000000)
。
2000
2'
要使得平均收益
E(Y)
最大，所以令
(2 a14000a8000000)0
，得
a3500
t
。

37．解：设
A
1
,A
2
,A
3
分别表示 “产品为甲，乙，丙车间生产的”，
，则
A
1
,A
2
,A
3
构成一个完备事件组。
B
表示“产品为次品”
依题意，有
P(A
1
)45%, P(A
2
)35%,P(A
3
)20%

16

P(B|A
1
)4%,P(B|A
2
)2%,P(B |A
3
)5%

由贝叶斯定理，有
P(A
3
|B)
P(A
3
)P(B|A
3
) 
P(A)P(B|A)
ii
i1
3

2

7
38．解：
E（

）10.420.130.52.1

E（

）10.120.630.32.2

乙的技术好


39.
P(AB)

1

，
P(AB)
9



P(AB)




A
与
B
相互独立，
A
与 B
，
A
与
B
，
A
与
B
都相互独立
由
P(AB)P(A)P(B)P(A)(1P(B))

P(AB)P(A)P(B)(1P(A))P(B)
得

P(A)P(B)


又由
P(AB)P(A)P(B)(1P(A))(1P(B)) 
1
得
9
P(A)P(B)

2

3

40. 解： (1) 由联合密度函数的性质，得
1




f(x,y)dxdy

0


0
ke
(3x4y)
dxdyk

e
0

3x
dx

e
4y
dx
0

k
3x

4y

k
e e

00
1212
k12


（2）
P(0X1,0Y2)12

1
0 e
3x
dx

e
4y
dx

0
2
e

3x
1
0
e
4y
2
0
(1e
3
)(1e
8
)


3x4y

dy x0

3e
3x
x0


0
12e
（3）
f
X
(x)

f(x,y)dy





0 x0


0 x0


3x4y


dx y0

4e
4y
y0


0
12e

f
Y
(y)
f(x,y)dx




0 y0


0 y0

f(x,y)f
X
(x)f
Y
(y)
X
与 Y
相互独立。
41. 解：本题中
u72,

未知，
17

由
P(X96)0.023
，得

(
则
X:N(72,12) 。
2
24

)0.977
，查表得
24

2,
即

12
。
P(60X84)

(
84726072
)

()

1212



(1)

(1)0.6826

42. 解：设随机变量
Y
表示平均收益（单位：万元），进货量为
a
t
，

3X(aX)xa

Y

3axa

4000
11
则
E(Y)

(4xa)dx

3adx
2000a
20002000
1
(2a
2
14000a 8000000)
。
2000
a
要使得平均收益
E(Y)
最大，所以令
(2a14000a8000000)0
，
X
P
2'
0

1

4
1

3
4

得
a3500
t
。
43、解：(1)E(X)=
 


xf(x)dx
=

x
02
0
2
x4
dx=
2
3
E(X
2
)
=

x
2
f(x)dx
=

x
2


x
dx= 2
2
42

D(X)=
E(X
2
)
- [E(X)]
2
=2-
()
2
=
39
2
（2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9

= 2
9
11
x1
(3)P{0
f(x)dx

dx

00
24
四、综合题
1、解：

0

2

1

961

P

16

16

16

Z

U
P

0

9

16
2

7

16
18

2、解：
E(X)
1
2

xf(x)dx(2x2x)dx



0
31
1
E(X
2
)

x
2
f(x )dx

(2x
2
2x
3
)dx

0
6
111
D(X)E(X
2
)[E(X)] 2


6 918
1
3、解：（1）因为上班时间服从
X:N(30,100)
，所以迟到的概率为
P(X40)1F(40)1(
4030
)1 (1)0.1587

10
（2）设一周内迟到次数为Y，则 Y:B(5,0.1587)
，至多迟到一次的概率为

P(Y1)P(Y1)P(Y0)

50.15870.8413
4
0.8413
5
0.819

4、解：
X
P

Y
P

1

0.3

0

0.2

1

0.2

2

0.3

0

0.2

1

0.5

4

0.3

E(Y)0.510.341.7

1
1
2

xf(x)dx( 2x2x)dx



0
3
1
1
22
E(X)

xf(x)dx

(2x
2
2x
3
)dx

0
6
111
D(X)E(X
2
)[E(X)]
2


69182、解：
E(X)

5、解：设甲乙到达时刻分别记为X,Y，则如果有船需要等待，X,Y应该满足
|XY|6

24
2
18
2
7

所以有船需要等待的概率为
P(A)
24
2
16
y

19
24
6
o
6
24
x

6.解：由于右表是
X,Y
的联合分布律，故
ab
1

3
又
X,Y
相互独立，所以
p
ij
p
i g
p
gj
，
p
12
p
1g
p
g2
，
即

7. 解：
（1）
a
满足
33
11112
=(a)
, 联立解得:
a,b

1831899

p
ij
1
，得
a
i1j1
61

； 244
（2）
p
1•

1113
,
p
•2

,
p
12
p
1•
p
•2 
42424

即不满足
p
ij
p
i•
p
•j
, 所以
X
与
Y
不相互独立。
8.证明：由题意知，
P(A)P(B)P(C)
容易验证:
11
，
P(AB)P(BC)P(CA)

24
111
P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C),P(AC)P(A)P (C)
，
444
所以
A,B,C
两两独立；
但是，
P(ABC)
11
P(A)P(B)P(C),

48
所以
A,B,C
不相互独立。
9、解：（1）
f
X
(x)



f(x,y)dy



当
x0时，f
X
(x)

f (x,y)dy=

e
x
dyxe
x

0
x

xe
x
x0
当x0时，f X
(x)0
,
f
X
(x)



0 x0
（2）
P(XY1)
xy1

f(x,y)dxdy
xy1
0yx
1 2

e
x
dxdy



dy

0
0.51y
y
edx1 e2e

x1

x

1

1
11
5
x

1
x

e,x0
e
5
dxe
5
10、解：(1)
f(x)

5
, P{X>10}=

10
5

0,x0


10
e
 2

20

(2) P{Y≥1}=1-
P
2
(0)
=1-
C
2
(e)(1e)2e
五、证明题
1-
020222
e
4

证明：
QAUBAU (BA)AU(BAB)
且
AI(BAB),BAB

P(AUB)P(A)P(BAB)P(A)P(B)P(AB)

2-证明：设
A{服用违禁药品}，B{药检是阳性}.
则根据已知有
P(A)0.1,P(B|A)0.9,P(B|A)
由全概率公式得，
5
,

900
P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.10.90.9
由贝叶斯公式，得

P(A|B)
5
0.095

900
P(A)P(B|A)0.10.9
0.94740.9

P(B)0.095
因此，如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率达
94.74%，超过90%。
PAB）P(B-AB)P(B)-P(AB)
,
QA,B独立，所以P(AB)P(A)P(B)
3
证明：（
P（AB）P(B-AB)P(B)-P(AB)P(B)-P(A)P(B)
P(B)( 1P(A))P(B)P(A)

由事件相互独立的定义可知事件A,B独立。


2(xy)2x2y2x

f(x,y)dy4e dy4eedy2e,x0




0

0
4.
证明：f
X
(x)





0, ,其它

2e
2y
,y0
同理可得：f
Y
(y)



0,其它
易见，f(x,y)f
X
(x) f
Y
(y),x,y,因此X与Y相互独立

5. 证明：
Q

:N(0,1) 

的密度函数为f(x)
1
e
2


x
2
2
,
f( x)f(x)

( x)




x
x

f(t) dt

f(u)du

x

ut
x
f(u)du1

f(u)du1(x)

6. 证明：由概率基本性质，因为
ABC
,有
P(AB)P(C)
.
21

考虑到
P(A)P(AB)P(AB),P(B)P(AB)P(AB)
，（
以及
P(AB)P(AB)P(AB)1P(AB)

有
P(A)P(B)P(C)[P(AB)P(AB)][P(AB)P(AB) ]P(AB)

P(AB)P(AB)P(AB)1P(AB)1

7证明：对任何实数
y
，
________
____
_ ________
______
P{Yy}P{X

y
 }



因而
Y
服从
N(0,1)


y


1
e

2

(t

)
2
2

2
dt

y

1
S
2
eds

2


2
六
．分析题
1. 解：数学期望和方差分别为：
11
E(X)

x
i
p
i
100...020 55
11
E(X
2
)

x
i
2 p
i
100
2
...02000

55
D(X)E(X
2
)(E(X))
2
1600
11
E(Y)

y
i
p
i
5... 3520

55
11
E(Y
2
)

x
i
2
p
i
5
2
...35
2 530

55
D(Y)E(Y
2
)(E(Y))
2
130

由计算结果知道：
E(X)E(Y)
，
D(X)D(Y)
，而中位数

X
0,

Y
20
,因此，
尽管两个村的平均半年收入相同，但杨村贫富差距更小，共同富裕程度更高。

2.解：情形甲、乙中，X、Y的边缘分布都分别为：

X 2 5 Y 2 5

P 12 12 P 12 12

甲、乙两种情形的联合分布不同，但X、Y的边缘分布却相同，因此他们的关系是：联
合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。

3.解：数学期望和方差分别为：
11
E(X)

x
i
p
i
50...010

55
11
E (X
2
)

x
i
2
p
i
50
2
...0500

55
22

D(X)E(X
2
)(E(X))
2
400

11
E(Y)

y
i
p
i
2...18 10

55
11
E(Y
2
)

x
i
2
p
i
2
2
...18
2
 127.2

55

D(Y)E(Y)(E(Y))27.2

由计算结果知道：
E(X)E(Y)
，
D(X)D(Y)
，而中位数

X
0,

Y
10
,因此，
尽管两个村的平均月收入相同，但杨村贫富差距更小，共同富裕程度更高。

七、应用题
22
1
的
5
指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
1. 解（1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从


P

X 10




10
1

5
ed xe
2
；
5
x
（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从
n5,pe
2
的二项分
布，所求概率为

1224224

P(Y1)C
5
e(1e)5e(1e)

2. 解：设 X为一年内发生重大人身事故的人数，
则X～B（5000，0.005), np=25,np(1-p)= 24.875
近似地，

一年的收益为 0.016*5000-2X=80-2X 万元

X25
~N

0,1

4.9875
由题可得：
P

20802X40

P

20X 30


2025X253025

P



4.98754.98754.9875


3025 
2025





4.9875

4.9875



1.0025



1.0025

2

1. 0025

10.6839
23


e
x
,x0
3. 解：（1）
X
的概率密度为
f(x)

，
x0

0,

P(X1)

1
f(x)dx
e
x
dxe
x
1

1
 e
1
；
（2）用
Y
表示3次独立观测中
X
观测值大于1的次数，则
Y
～
B(3,e
1
)
，
212313
P(Y2)P(Y2)P(Y3)C
3
(e) (1e
1
)
1
C
3
(e)(1e
1)
0

3e
2
(1e
1
)e
3
3e
2
2e
3
．
4.解：以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数, 则 Y~b(1000,0.75),
则E(Y)=np= 750,D(Y)=np(1-p)=187.5
由棣莫弗－拉普拉斯定理知, 只有1名家长来参加会议的学生数不多于777的概率为


Y75077775 0

P{X777}P



187.5187.5 

Y750

= P

1.9718 
(1.97)0.9756

187.5


24

概率论与数理统计计算题（含答案）

计算题
1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。现作不放回抽样，接连取
2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1
只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。
1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的
20%，30 %，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全
部成品中抽取一件，（1 ）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，
求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

1(1x)e
x
, x0
3.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)

，试求：（1）密度函数
0, x0

f(x)
；（2）
P(X1)，
P(X2)
。
1
4.二维随机变量
(X,Y)
只能取下列数组中的值：
(0,0),(1,1),(1,),(2,0)
，且取这
3
1115
些组值的概率分别为
,,,
。求这二维随机变量分布律，并写出关于
X
和
312612
关于
Y
的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事
件的概率：（ 1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）
其中有人精通英语。
6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。在
使用者中，假定有 90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。
如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？
7.设随机变量
X
的密度函数为
f(x )Ae
|x|
,xR
，试求：（1）常数
A
；（2）
P(0X1)
。
8. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为
求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y的分布律．
9．已知
A B
，
P(A)0.36
，
P(B)0.79
，求
P( A)
,
P(AB)
,
P(BA)
。
10．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总
产量的70%，10%，20%，成品中次品的百分比分别为2%，3%，5%，求检测的次品，
是甲车间生产的概率。
1

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【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

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2020年08月04日 01:13

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20%，30 %，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全
部成品中抽取一件，（1 ）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，
求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

1(1x)e
x
, x0
3.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)

，试求：（1）密度函数
0, x0

f(x)
；（2）
P(X1)，
P(X2)
。
1
4.二维随机变量
(X,Y)
只能取下列数组中的值：
(0,0),(1,1),(1,),(2,0)
，且取这
3
1115
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5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事
件的概率：（ 1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）
其中有人精通英语。
6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。在
使用者中，假定有 90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。
如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？
7.设随机变量
X
的密度函数为
f(x )Ae
|x|
,xR
，试求：（1）常数
A
；（2）
P(0X1)
。
8. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为
求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y的分布律．
9．已知
A B
，
P(A)0.36
，
P(B)0.79
，求
P( A)
,
P(AB)
,
P(BA)
。
10．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总
产量的70%，10%，20%，成品中次品的百分比分别为2%，3%，5%，求检测的次品，
是甲车间生产的概率。
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