在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A(0，2)，O(0，0)， D(t，0)(t>0)三点，M
是线段AD上的动点，l
1
，l
2
是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中l
1
交y轴于点E，
l
2< br>交圆C于P，Q两点．
(1)若t＝PQ＝6，求直线l
2
的方程；
(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．
答案：(1)4x－3y－4＝0.；(2)
15
.
2
解析：(1 )由题意可知，圆C的直径为AD，所以圆C方程为(x－3)
2
＋(y－1)
2＝10.1分
（2k－1）
2
2
4
设l
2
方 程为y＝k(x－1)，则＋3＝10，解得k
1
＝0，k
2
＝.3分 2
3
1＋k
当k＝0时，直线l
1
与y轴无交点，不合题意，舍 去.4分
4
所以k＝
，此时直线l
2
的方程为4x－3y－4＝0.6分 < br>3
xy
(2)设M(x，y)，由点M在线段AD上，得＋＝1，即2x＋ty－2t＝ 0.
t2
42
20
x－

＋

y＋
≥.8分 由AM≤2BM，得


3

3

9
42
20
x－

＋

y＋

＝至多有一个公共点， 由AD位置知，直线AD和圆


3

3

9
22
22
故

8
－
8
t


33

25
16－10316＋103
≥
，解得t≤
或t≥.10分
31111
4＋t
2
因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，所以t＝4.11分
所以，圆C方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝5.
① 当直线l
2
：x＝1时，直线l
1
的方程为y＝0，此时，S
△EPQ
＝2；12分
②当直线l
2
的斜率存在时，设l
2的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
1
1
0，

.所以B E＝则l
1
的方程为y＝－(x－1)，点E


k
k
圆心C到l
2
的距离为
11
故S
△
EPQ< br>＝BE·PQ＝
22
因为




|k＋1 |
.所以PQ＝2
1＋k
2
1
1＋
2
·2
k
1
1＋
2
.
k
4k
2
－2k＋4
.14分
1＋k
2
4215
.
2
－＋4≥
kk2

|k＋1|

2
5－

＝2

1＋k
2

4k
2
－2k＋4
＝
1＋k
2
4k
2
－2k＋4
＝
k
2
1515
<2，所以( S
△
EPQ
)
min
＝.16分
22

专题16
例题
答案：22.
11
解法1设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S
△
ABC
＝AB·BCsinB ＝×
22
AB
2
＋BC
2
－AC
2
4＋ x
2
－（2x）
2
4－x
2
2x1－cosB，根据余弦定 理得cosB＝＝＝
，
4x4x
2AB·BC
2
代入上式得：S< br>△
ABC
＝
x
4－x
2
2
1－（）＝
4x
128－（x
2
－12）
2
，
16

2x＋x>2，
由三角形三边关系有


x＋2>2x
2 2－2故当x＝23时，S
△
ABC
取得最大值22.
解法2以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(－
1， 0)，B(1，0)，C(x，y)，由AC＝2BC得（x＋1）
2
＋y
2
＝2·（x－1）
2
＋y
2
，
化简得x
2
＋y< br>2
－6x＋1＝0，即(x－3)
2
＋y
2
＝8，于是点C的 轨迹是以D(3，0)为圆心，
1
22为半径的圆，所以点C到AB的距离的最大值为半径22 ，故S
△
ABC
的最大值为S＝
2
×2×|y
C
| ≤22.
变式联想
变式1
20
－
，4

.
答案：


3

解析：依题意，PA
2
＝ PO
2
－1
2
，PB
2
＝PO
1
2
－2
2
，因为PB＝2PA，所以PB
2
＝4PA
2
，
所以PO
1
2
－4＝4(PO
2
－1
2
) ，可得PO
1
2
＝4PO
2
，设P(x，y)，可得(x－4
2
)＋y
2
＝4(x
2
＋y
2
)
464 48
化简得(x＋)
2
＋y
2
＝.所以满足条件的点P在以(－，0)为圆心，
为半径的圆上，又因为
3933
4
|－－b|
3
8
点P在直线x＋3y－b＝0上，且恰有两个点，所以直线和圆应该相交，所以<
，
1＋3
3
20
解得－3
变式2
答案：0.
解析：设P(x，y)，
PA
＝k，则
PB

（x＋2）
2
＋y
2
＝k，整理得 < br>（x－4）
2
＋y
2
(1－k
2
)x
2＋(1－k
2
)y
2
＋(4＋8k
2
)x＋4－16k
2
＝0，又P是圆C上的任意一点，故k≠1，圆
4＋8k
2
4－1 6k
2
2
C的一般方程为x＋y＋8x＋2by＋b＝0，因此2b＝0，＝8，＝b
，解得b＝
1－k
2
1－k
2
222
0.
串讲激活
串讲1
答案：4.
11
解法1由A(0，1)，C( t，0)，得l：y＝－x＋1，D(x，－x＋1)．又AD≤2BD，
tt
故
2
x
2
x＋
2
≤
t2
x38
（x－1）
2
＋（1－）
2
，化简得(3＋< br>2
)x
2
－(8＋)x＋8≥0对任意x恒成立，
ttt
8 3
则(8＋)
2
－4×8×(3＋
2
)≤0，化简得t
2< br>－4t＋1≥0，解得t≥2＋3或0tt
因此最小正整数t的值为4.
解法2设D(x，y)，当AD＝2BD时，有x
2
＋(y－1)
2
＝4[(x－1)
2
＋y
2]，化简得
4181
(x－)
2
＋(y＋)
2
＝.直 线AC的方程为y＝－x＋1，即x＋ty－t＝0.因为AD≤2BD，
339t
41|－t－t|
33
418
所以直线AC与圆(x－)
2
＋(y＋ )
2
＝相切或相离，故≥
339
t
2
＋1
8
，即t
2
－4t＋1≥0，
9
解得t≤2－3或t≥2＋3，所以最小正整数t的值为4.
串讲2
答案：5.
解析：设x轴上一定点Q(m，0)，记PM∶PQ＝λ，P(x，y)，由PM ∶PQ＝λ得(x－10)
2
＋y
2
＝λ
2
[(x－m)< br>2
＋y
2
]，化简得(λ
2
－1)x
2
＋( λ
2
－1)y
2
＋(20－2mλ
2
)x＋(λ
2
m
2
－100)＝0，因为
x
2
＋y
2
＝ 25，所以
20－2mλ
2
＝0，


51
< br>100－λ
2
m
2
解得m＝
，λ＝2，所以PM∶PQ＝2， 从而PN＋
PM＝PN＋PQ≥QN
22
＝25，
2

< br>λ－1
＝5.
新题在线
答案：(1)居住在点P处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内．
1
(2)(
，1)
16
解析：设商场A，B的面积分别为S
1
，S
2
，点P到A，B的距离分别为d
1
，d
2
，则S
2

＝λS
1
，m
1
＝k
S
1
S
2
2
，m
2
＝k
2
，k为常 数，k>0.
d
1
d
2
(1)在△PAB中，AB＝10，PA＝ 15，∠PAB＝60°，由余弦定理，得d
2
2
＝PB
2
＝AB< br>2
＋
1
PA
2
－2AB·PAcos60°＝10
2
＋15
2
－2×10×15×＝175.
2
又d
1
2
＝PA
2
＝225，此时，m
1
－m
2
＝k< br>S
1
S
2
S
1
λS
1
1
λ
1
2
－k
2
＝k
2
－k
2
＝kS
1
(
2
－
2
)，将λ＝
，
d
1< br>d
2
d
1
d
2
d
1
d
2< br>2
11
－)．
225350
d
1
2
＝22 5，d
2
2
＝175代入，得m
1
－m
2
＝kS< br>1
(
因为kS
1
>0，所以m
1
>m
2.即居住在点P处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区
域”内．
(2)解法1以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的

平面直角坐标系，则A(0，0)，
B(10，0)，设P(x，y)，
由m1
2
得，k
S
1
S
2
22
2
2
，将S
2
＝λS
1
代入，得d
2
<λd
1
.
d
1
d
2
代入坐标，得( x－10)
2
＋y
2
<λ(x
2
＋y
2
) ，
化简得(1－λ)x
2
＋(1－λ)y
2
－20x＋100<0.
10
22
10λ
2
因为0<λ<1，配方得(x－)＋y<()，
1－λ1－λ
1010λ
所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是圆心为C (
，0)，半径为r
1
＝的圆
1－λ1－λ
的内部．
与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是圆心为B(10，0)，半径为r
2
＝ 2的圆的内部及
圆周．
1010λ
由题设，圆B内含于圆C，即BC<|r
1
－r
2
|.因为0＜λ＜1，所以－10<－2，
1－λ1－λ
11
整理得4λ－5λ＋1<0，解得
<λ<1.所以，所求λ的取值范围是(
，1) ．
1616
解法2要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引
区域”，
则当d
2≤2时，不等式m
1
2
恒成立．由m
1
2
，得k
S
1
S
2
λS
1
22
2
2
＝k
2
，化简得λd
1
>d
2< br>.
d
1
d
2
d
2
此时，“当d
2
≤2时，不等式m
1
2
恒成立”可转化为“当d
2≤2时，不等式λd
1
2
>d
2
2
恒成立”．
所以当d
2
≤2时，不等式恒成立，因为点P在以点B为圆心，2为半径的圆的内部，且AB＝10，所以8＝AB－2≤PA≤AB＋2＝12.欲使得不等于λPA>2恒成立，则有8λ>2，

11
解得λ>
，又0<λ<1，所以λ的取值范围是(，1)．
1616


____________________________ ____________________________________________
_ __________________________________________________ _____________________
________________________ ______________________________________________