这是我应该做的作文-中学生上网调查报告

直线与圆
A组——大题保分练
1．已知圆
O
：
x
＋
y
＝4交
y
轴正半轴于点
A
，点B
，
C
是圆
O
上异于点
A
的两个动点． (1)若
B
与
A
关于原点
O
对称，直线
AC< br>和直线
BC
分别交直线
y
＝4于点
M
，
N< br>，求线段
22
MN
长度的最小值；
(2)若直线
AC
和直线
AB
的斜率之积为1，求证：直线
BC
与
x
轴垂直 ．
解：(1)由题意，直线
AC
和直线
BC
的斜率一定存在且不为 0，且
A
(0,2)，
B
(0，－2)，
AC
⊥
B C
.
1
设直线
AC
的斜率为
k
，则直线
BC
的斜率为－，
k
1
所以直线
AC
的方程为
y
＝
kx
＋2，直线
BC
的方程为
y
＝－
x
－2，
k

2

故它们与直线
y
＝4的 交点分别为
M

，4

，
N
(－6
k,< br>4)．
k

2

3

所以
MN
＝

6
k
＋

≥43，当且仅当
k
＝±时取等号，所以线段
MN
长度的最小值为
k

3
< br>43.
(2)证明：易知直线
AC
和直线
AB
的斜率一定存 在且不为0，设直线
AC
的方程为
y
＝
kx
1
＋2 ，则直线
AB
的方程为
y
＝
x
＋2.
k


y
＝
kx
＋2，
由

22

x
＋
y
＝4


2

4
k
2
，
解得
C

－

1＋
k－
k
2
1＋
k
2

，同理可得
B
－
4
k
2
，

1＋
k
 
k
2
－
2
1＋
k

.

因为
B
，
C
两点的横坐标相等，所以
BC
⊥
x
轴．
2．已知圆
x
＋
y
－4
x
＋2
y
－3＝0和圆外一点
M
(4，－8)．
(1)过
M
作直线交圆于
A
，
B
两点，若|
AB
|＝4，求 直线
AB
的方程；
(2)过
M
作圆的切线，切点分别为
C
，
D
，求切线长及
CD
所在直线的方程．
解：(1)圆即(
x
－2)＋(
y
＋1)＝8，
圆心为
P
(2，－1)，半径
r
＝22.
①若割线斜率存 在，设
AB
：
y
＋8＝
k
(
x
－4)，
即
kx
－
y
－4
k
－8＝0，设
AB的中点为
N
，
|2
k
＋1－4
k
－8||2
k
＋7|
则|
PN
|＝＝，
k
2
＋1< br>k
2
＋1
由|
PN
|＋

2
22< br>2

|
AB
|

2
＝
r
2
，得
k
＝－
45
，

28

2

AB
：45
x
＋28
y
＋44＝0.

②若割线斜率不存在，
AB
：
x
＝4，
代入圆方程得
y
＋2
y
－3＝0，
y
1
＝ 1，
y
2
＝－3符合题意．
综上，直线
AB
的方程为45
x
＋28
y
＋44＝0或
x
＝4.
(2)切线长为|
PM
|－
r
＝4＋49－8＝35.
以
PM
为直径的圆的方程为
(
x
－2)(
x－4)＋(
y
＋1)(
y
＋8)＝0，
即
x
＋
y
－6
x
＋9
y
＋16＝0.
又已知圆的方程 为
x
＋
y
－4
x
＋2
y
－3＝0，
两式相减，得2
x
－7
y
－19＝0，
所以直线
CD
的方程为2
x
－7
y
－19＝0.
3．已知直线
l
：4
x
＋3
y
＋10＝0，半径为 2的圆
C
与
l
相切，圆心
C
在
x
轴上且在 直线
22
22
22
2
l
的右上方．
(1)求圆
C
的方程；
(2)过点
M
(1,0)的直线与 圆
C
交于
A
，
B
两点(
A
在
x< br>轴上方)，问在
x
轴正半轴上是否存
在定点
N
，使得
x
轴平分∠
ANB
？若存在，请求出点
N
的坐标；若不存在，请说明 理由．
5

解：(1)设圆心
C
(
a,
0)< br>
a
>－

，
2

则
|4a
＋10|
＝2⇒
a
＝0或
a
＝－5(舍去)． 5
22
所以圆
C
的方程为
x
＋
y
＝4 .
(2)当直线
AB
⊥
x
轴时，
x
轴平分∠ANB
.
当直线
AB
的斜率存在时，设直线
AB
的方 程为
y
＝
k
(
x
－1)，
N
(
t ,
0)，
A
(
x
1
，
y
1
)，< br>B
(
x
2
，
y
2
)，

x
＋
y
＝4，

由



y＝
kx
－
22
，
2

得(
k
＋1)
x
－2
kx
＋
k
－4＝0，
2
2 222
2
kk
－4
y
1
y
2
所以
x
1
＋
x
2
＝
2
，
x
1
x
2
＝
2
.若
x
轴平分∠
ANB
，则k
AN
＝－
k
BN
⇒＋＝0⇒
k
＋1
k
＋1
x
1
－
tx
2
－
t
kx< br>1
－
x
1
－
t
kx
2
－
＋
x
2
－
t
＝0⇒2
x
1
x
2－(
t
＋1)(
x
1
＋
x
2
)＋2< br>t
＝0⇒
k
2
－
k
2
＋1
－
2
k
2
2
t
＋
k
＋1
＋
2t
＝0⇒
t
＝4，
所以当点
N
为(4,0)时，能使 得∠
ANM
＝∠
BNM
总成立．
4．在平面直角坐标系
x Oy
中，已知圆
C
1
：(
x
＋3)＋(
y
－1)＝4和圆
C
2
：(
x
－4)＋(
y
－5)＝ 4.
(1)若直线
l
过点
A
(4,0)，且被圆
C
1
截得的弦长为23，求直线
l
的方程；
(2)设
P
为 平面上的点，满足：存在过点
P
的无穷多对互相垂直的直线
l
1
和< br>l
2
，它们分
2
222

别与圆C
1
和
C
2
相交，且直线
l
1
被圆< br>C
1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦长相等，求所有
满足条件的点
P
的坐标．
解：(1)由于直线
x
＝4与圆
C
1
不相交，
∴ 直线
l
的斜率存在，设直线
l
的方程为
y
＝
k(
x
－4)，圆
C
1
的圆心到直线
l
的距离为
d
.
∵
l
被圆
C
1
截得的弦长为23，
∴
d
＝ 2－
2
3
2
＝1.
|－1－7
k
|
又由点到直线的距离公式得
d
＝，
2
1＋
k
7
∴
k
(24
k
＋7)＝0， 解得
k
＝0或
k
＝－，
24
∴直线
l
的 方程为
y
＝0或7
x
＋24
y
－28＝0.
(2)设点
P
(
a
，
b
)满足条件，
由 题意分析可得直线
l
1
，
l
2
的斜率均存在且不为0， < br>1
不妨设直线
l
1
的方程为
y
－
b
＝
k
(
x
－
a
)，则直线
l
2
的 方程为
y
－
b
＝－(
x
－
a
)．
k
∵圆
C
1
和圆
C
2
的半径相等，且直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被 圆
C
2
截得的弦长相
等，
∴圆
C
1
的圆 心到直线
l
1
的距离和圆
C
2
的圆心到直线
l2
的距离相等，
即

5＋
1

k
| 1－
k
－3－
a
－
b
|

1＋
k
2
＝
－
a
－
b



，
1
1＋
2
k
整理得|1＋3
k
＋
ak－
b
|＝|5
k
＋4－
a
－
bk
|.
∴1＋3
k
＋
ak
－
b
＝±(5
k
＋4－
a
－
bk
)，
即(
a
＋
b－2)
k
＝
b
－
a
＋3或(
a
－b
＋8)
k
＝
a
＋
b
－5.
∵
k
的取值有无穷多个，


a
＋
b
－2 ＝0，
∴



b
－
a
＋3＝0



a
－
b
＋8＝0，
或

< br>
a
＋
b
－5＝0.


5
a＝，


2
解得

1
b
＝－


2

3
a
＝－，


2或

13
b
＝


2
，


1

313

5
故这样的点只可能是点
P
1

，－

或点
P
2
－，.
2

22

2

B组——大题增分练
1.如图，已知以点
A
(－1,2)为圆心的圆与直线
l
1
：
x
＋2
y
＋7＝0
相切．过点B
(－2,0)的动直线
l
与圆
A
相交于
M
，
N
两点，
Q
是
MN
的
中点，直线
l
与
l
1
相交于点
P
.
(1)求圆
A
的方程；
(2)当
MN
＝219时，求直线
l
的方程．
解：(1)设圆
A
的半径为
r
.
由于圆
A
与直线
l
1
：
x
＋2
y
＋7＝0相切，
|－1＋4＋7|
∴
r
＝＝25.
5
∴圆
A的方程为(
x
＋1)＋(
y
－2)＝20.
(2)①当直线< br>l
与
x
轴垂直时，易知
x
＝－2符合题意；
②当直 线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y
＝
k(
x
＋2)．
即
kx
－
y
＋2
k
＝0.
连结
AQ
，则
AQ
⊥
MN
.
∵
MN
＝219，
∴
AQ
＝20－19＝1，
则由
AQ
＝
|
k
－2|
22
k
2
＋1
＝1，
3
得
k
＝，∴直线
l
：3
x
－4
y
＋6＝0.
4
故直线
l
的方程为
x
＝－2或3
x
－4
y
＋6＝0.
2．已知点
P
(2,2)，圆
C
：
x
＋
y
－8
y
＝0，过点
P
的动直线
l
与圆
C
交于
A
，
B
两点，线
段
AB
的中点为
M
，
O为坐标原点．
(1)求
M
的轨迹方程；
(2)当
OP
＝
OM
时，求证：△
POM
的面积为定值．
解：(1)圆
C
的方程可化为
x
＋(
y
－4)＝16，
所以圆心为
C
(0,4)，半径为4.
―→―→
设
M(
x
，
y
)，则
CM
＝(
x
，
y
－4)，
MP
＝(2－
x,
2－
y
)．
―→―→
由题设知
CM
·
MP
＝0，
故
x
(2－
x
)＋(
y
－4)(2－
y
)＝0，
即(
x
－1)＋(
y
－3)＝2.
由于点
P
在圆
C
的内部，
所以
M
的轨迹 方程是(
x
－1)＋(
y
－3)＝2.
22
22
22
22

(2)证明：由(1) 可知
M
的轨迹是以点
N
(1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于< br>OP
＝
OM
，故
O
在线段
PM
的垂直平分线 上，
又
P
在圆
N
上，从而
ON
⊥
PM< br>.
1
因为
ON
的斜率为3，所以
PM
的斜率为－，
3
18
故
PM
的方程为
y
＝－
x
＋.
33
410
又
OM
＝
OP
＝22，
O
到
l
的距离
d
为，
5
410
22所以
PM
＝2
OP
－
d
＝，
5
11 6
所以△
POM
的面积为
S
△
POM
＝
P M
·
d
＝.
25
3.如图，已知位于
y
轴左侧的 圆
C
与
y
轴相切于点(0,1)，且被
x
轴
分成的 两段弧长之比为2∶1，过点
H
(0，
t
)的直线
l
与圆< br>C
相交于
M
，
N
两点，且以
MN
为直径的圆 恰好经过坐标原点
O
.
(1)求圆
C
的方程；
(2)当
t
＝1时，求直线
l
的方程；
(3)求直线
OM
的斜率
k
的取值范围．
解：(1)因为 位于
y
轴左侧的圆
C
与
y
轴相切于点(0,1)，所以圆心
C
在直线
y
＝1上．
又圆
C
与
x
轴的交点分别为
A
，
B
，由圆
C
被
x
轴 分成的两段弧长之比为2∶1，得∠
ACB
2π
＝.
3
所以
CA
＝
CB
＝2，圆心
C
的坐标为(－2,1)．
所以圆
C
的方程为(
x
＋2)＋(
y
－1)＝4.
(2)当
t
＝1时，由题意知直线
l
的斜率存在，设直线
l
的方程为
y
＝
mx
＋1.


y
＝
mx
＋1，
由

2

x
＋＋

22
22
y
－
2
＝4，

消去
y
，
得(
m
＋1)
x
＋4
x
＝0，


x
＝0，
解得


y
＝1


－4
x
＝


m
＋1
，
或

m
－4
m
＋1
y
＝


m< br>＋1
.
2
2
2
2



－ 4
m
－4
m
＋1

，
N
(0,1)． 不 妨令
M

2
，
2
m
＋1

m
＋1

因为以
MN
为直径的圆恰好经过
O
( 0,0)，

m
2
－4
m
＋1
― →―→

－4
m
－4
m
＋1

所以
OM
·
ON
＝

2
，
2
·(0,1)＝
2
＝0，解得
m
＝2±3，
m
＋1

m
＋1

m
＋1

故所求直线
l
的方程为< br>y
＝(2＋3)
x
＋1或
y
＝(2－3)
x
＋1.
(3)设直线
OM
的方程为
y
＝
kx
，
|－2
k
－1|3
由题意，知≤2，解得
k
≤.
2
4
1＋
k
134
同理得－≤，解得
k
≤－或k
>0.
k
43
由(2)知，
k
＝0也满足题意．
4

3

所以
k
的取值范围是
－∞，－

∪

0，

.
3
< br>4

4．已知过点
A
(－1,0)的动直线
l
与圆
C
：
x
＋(
y
－3)＝4相交于
P
、Q
两点，
M
是
PQ
中点，
l
与直线
m
：
x
＋3
y
＋6＝0相交于
N
.
(1) 求证：当
l
与
m
垂直时，
l
必过圆心
C
；
(2)当
PQ
＝23时，求直线
l
的方程；
―→―→(3)探索
AM
·
AN
是否与直线
l
的倾斜角有关，若 无关，请求出其值；若有关，请说明
理由．
解：(1)∵
l
与
m
垂直，
1
且
k
m
＝－，∴
k
l
＝3，
3
故直线
l
方程为
y
＝3(
x
＋1)，即3
x
－
y
＋3＝0.
∵圆心坐标(0,3)满足直线
l
方程，
∴当
l
与
m
垂直时，
l
必过圆心
C
.
(2)①当直线
l
与
x
轴垂直时， 易知
x
＝－1符合题意．
②当直线
l
与
x
轴不垂直时，
设直线
l
的方程为
y
＝
k
(
x
＋1)，即
kx
－
y
＋
k
＝0，
∵
PQ
＝23，∴
CM
＝4－3＝1，
|－
k< br>＋3|4
则由
CM
＝＝1，得
k
＝，
3
k
2
＋1
∴直线
l
：4
x
－3
y
＋4＝0.
故直线
l
的方程为
x
＝－1或4
x
－3
y
＋4＝0.
―→―→―→―→―→
(3)∵
CM
⊥
MN
，∴
AM
·
AN
＝(
AC
＋
CM
)·
AN
＝
―→―→―→―→―→―→
AC
·
AN
＋
CM
·
AN
＝
AC
·
AN
.
22
2

5

当
l
与
x
轴垂直时，易得
N

－1，－

，
3

5

―→

―→
则
AN
＝

0，－

，又
AC
＝(1,3)，
3

―→―→―→―→
∴
AM
·
AN
＝
AC·
AN
＝－5.
当
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y
＝
k
(
x
＋1)，

，< br>
y
＝
kx
＋
则由


x
＋3
y
＋6＝0，


得
N


－3
k
－6
，
－5
k

，


1＋3
k
1＋3
k

－5
k

― →

－5
，
则
AN
＝

，

1＋3
k
1＋3
k

―→―→―→―→
－5－15
k
∴
AM
·
AN
＝
AC
·
AN< br>＝＋＝－5.
1＋3
k
1＋3
k
―→―→
综上所述 ，
AM
·
AN
与直线
l
的斜率无关，
―→―→
且
AM
·
AN
＝－5.