黑暗中的舞者影评-挂职干部心得体会

2020中考数学 三轮冲刺 二次函数创新题型（含答案）
1. 如图①，抛物线y ＝ax
2
＋bx＋5与x轴交于A(10，0)，与y轴交于B，过抛物线上
点C(4 ，8)作CD⊥x轴于点D，连接OC、AB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将△O CD沿x轴以一个单位每秒的速度向右平移，记时间为t(0≤t≤6)，在△OCD
运动过程中，CD 与AB交于点E，OC与AB交于点F，记y为△CEF与△ADE的面积之
和．求y关于t的函数关系 式，并求y的最小值；
(3)如图②，M为AC的中点，点N的坐标为(n，0)，试在线段OC上找 一点P，使得
∠MPN＝∠COA，若这样的点P有两个，求n的取值范围．

图① 图②
第1题图
解：（1）
由题意得抛物线的解析式为
y＝ax
2
＋bx＋5.
将点A、C的坐标代入得：



100a＋10b＋5＝0

，

16a＋4b＋5＝8

5
a＝－
24
解得，
19
b＝
12



519
∴抛物线的解 析式为y＝－
x
2
＋
x＋5；
2412
（2）
如解图①，将x＝0代入抛物线解析式中得y＝5，则B(0，5)，
第1题解图①


OB1OD1
∵tan∠BAO＝＝，tan∠OCD＝＝，
OA2DC2
∴∠BAO＝∠OCD，
又∵∠CEF＝∠DEA，
∴∠CFE＝∠EDA＝90°，
1
∵AD＝6－t，tan∠EAD＝，
2
1
∴DE＝3－
t，
2
11
∴CE＝8－(3－
t)＝5＋t，
22
∴CF＝CE·cos∠ECF＝CE·
25
＝25＋
t， < br>5
5

∴y＝
AD·DE＋CF·EF＝
×
AD
2
＋×
CF
2
＝×
(6－t)
2
＋×
( 25＋t)
2
，即y
22222222225
3
＝
t
2
－2t＋14，
10

b10
当t＝－＝时，y有最小值，
2a3
3101032
此时y＝×(
)
2
－2×＋14＝，
10333
32
∴y的最小值为；
3
（3）
如解图②，
在Rt△ODC中，OC＝OD
2
＋DC
2
＝45，
∵在 Rt△CDA中，AD＝6，DC＝8，由勾股定理得AC＝CD
2
＋AD
2
＝10，
∴AC＝OA，
第1题解图②


∴∠COA＝∠OCA.
∵M是CA的中点，
1
∴MC＝
AC＝5.
2
∵∠MPN＝∠COA，∠COA＋∠ONP＝∠MPN＋∠CPM，
∴∠ONP＝∠CPM，
∴△CPM∽△ONP，
∴
OPON
＝，
CMCP
设OP＝x，则PC＝45－x，
xn
∴＝，
5
45－x
整理得：x
2
－45x＋5n＝0，
∵符合条件的点P有两个，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴b
2
－4ac＝(－45)
2
－4×5n＞0，∴n＜4，
又∵点N在原点的右侧，∴n的取值范围是0＜n＜4.

3
2. 如图，抛物线y＝－x
2
＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)、 B(5，0)，直线y＝－
x＋
4
3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上 方抛物线上一个动点，过P作
PE⊥x轴交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
9
(2)当m＝
时，在抛物线的对称轴上找一点 G，使PG＋GB最小，求点G的坐标；
2
(3)若E′是点E关于直线PC的对称点，是否 存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，说明理由．

第2题图

解：（1）
把点A(－1，0)、B(5，0)的坐标代入y＝ －x
2
＋bx＋c，


－1－b＋c＝0
得

，

－25 ＋5b＋c＝0


b＝4

解得

，

c＝5

∴抛物线的解析式为y＝－x
2
＋4x＋5；
（2）
∵y＝－x
2
＋4x＋5＝－(x－2)
2
＋9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
911
当x＝m＝时，y＝－x
2
＋4x＋5＝，
24
911
∴P(，
)，
24

第2题解图①
如解图①，点A与点B关于直线x＝2对称，连接PA交直线x＝2于点G，连 接BG，
此时PG＋GB最小，设直线PA的解析式为y＝kx＋n，
911
把点P(，
)、A(－1，0)的坐标代入y＝kx＋n，
24911


2
k＋n＝
4
得

，


－k＋n＝0

解得

，
1

n＝
2
11
∴直线PA的解析式为y＝
x＋
，
22
113
∵当x＝2时，y＝
x＋
＝，
222
3
∴点G的坐标为(2，
)．
2
（3）
存 在．如解图②，连接PE′，设P的坐标为(x，－x
2
＋4x＋5)(－1＜x＜5)，则E 的
3
坐标为(x，－
x＋3)，
4
1
k＝
2

第2题解图②
31 9
∴PE＝|－x
2
＋4x＋5－(－
x＋3)|＝|－x
2
＋
x＋2|，
44
3
当x＝0时，y＝－
x＋3＝3，则C的坐标为(0，3)，
4
∵CE＝
35
x
2
＋；3－（－
x＋3）]
2
＝|
x|，
44
∵点E′是点E关于直线PC的对称点，
∴PE＝PE′，∠EPC＝∠E′PC，
CE′＝CE，
∵PE∥CE′，
∴∠E′CP＝∠EPC，
∴∠E′CP＝∠E′PC，
∴E′P＝E′C，
∴PE＝CE，
∴|－x
2
＋
195
x＋2|＝|x|，
44
195
即－x
2
＋
x＋2＝±x，
441951
当－x
2
＋
x＋2＝x时，解得x
1
＝－，x
2
＝4，
442
111
此时P点坐标为(－，
)或(4，5)；
24
195
当－x
2
＋
x＋2＝－x时，解得x
1
＝3－11 ，x
2
＝3＋11(舍去)，此时P点坐标为(3－
44
11，211－3) ，
当点E与点C重合时，点E关于PC的对称点E′与E重合，此时点P在y轴上，其坐
标为 (0，5)，
111
综上所述，符合条件的点P为(－，
)、(4，5)、(3－1 1，211－3)或(0，5)．
24

3. 在平面直角坐标系xOy中，抛 物线y＝a(x＋1)(x－3)与x轴交于A、B两点，点A
在点B的左侧，抛物线的顶点为P，规定 ：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G
区域”(不包含边界)．
(1)如果该抛物线经过( 1，3)，求a的值，并指出此时“G区域”有________个整数点；
(整数点就是横纵坐标均为 整数的点)
(2)求抛物线y＝a(x＋1)(x－3)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；
(3)在(2)的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，直接写出a的取值范围．


第3题图 备用图
解：（1）
∵抛物线y＝a(x＋1)(x－3)经过(1，3)，
∴3＝a(1＋1)(1－3)，
3
解得a＝－
.
4
6；
3
【解法提示】
∵当y＝－
(x＋1)(x－3) ＝0时，解得x
1
＝－1，x
2
＝3，点A在点B的左
4
侧 ，

∴A(－1，0)，B(3，0)，
39
∵当x＝0时，y＝－
(x＋1)(x－3)＝
，
44
∴(0，1)、(0，2)两个整数点在“G区域”；
3
∵当x＝1时，y＝－
(x＋1)(x－3)＝3，
4
∴(1，1)、(1，2)两个整数点在“G区域”；
39
∵当x＝2时，y＝－
(x＋1)(x－3)＝
，
44
∴(2，1)、(2，2)两个整数点在“G区域”．
综上所述，此时“G区域”有6个整数点．
（2）
∵y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x－1)
2
－4a，
∴顶点P的坐标为(1，－4a)；
（3）
∵当x＝0时，y＝a(x＋1)(x－3)＝－3a，
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，－3a)，
当a<0时，如解图①所示，
< br>
2<－4a≤3
21
此时有

，解得－≤a<－；
32

1<－3a≤2

当a>0时，如解图②所示，


－3≤－4a<－2
12
此时有

，解得
23

－2≤－3a<－1

2
综上所述，在(2)的 条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为－≤
3
112
a<－或
223

图1 图2
第3题解图
4. 已知抛物线y＝ax
2
＋bx＋c经过A(－1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图①，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当 点P运动到什么位置时，四
边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
(3)如图②， 设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那
么在直线DE上是否存在一点 G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若
不存在，请说明理由．

第4题图
（1）
抛物线的解析式为y＝－x
2
＋x＋2；
（2）
设P(t，－t
2
＋t＋2)，四边形ABPC的面积是S，连接PO，过点 P作PD⊥CO于
点D，作PM⊥OB于点M，如解图①，由题意得，

第4题解图①
1
∵S
△
ACO
＝
AO·CO＝1，
2
1
S
△
PCO
＝CO·PD＝t，
2
1
S
△
PBO
＝PM·OB＝－t
2
＋t＋2，
2
∴S＝S
△
ACO
＋S
△
PCO
＋S
△
PBO
＝1＋t－t
2
＋t＋2＝－t
2
＋2t＋3＝－( t－1)
2
＋4，
∵抛物线开口向下，
∴t＝1时，S有最大值，最大值为4，
故P运动到点(1，2)时，四边形ABPC的面积最大；
（3）
存在．
1919
∵y＝－x
2
＋x＋2＝－(x－
)
2
＋，∴M( ，
)，
2424
设直线AM的表达式为y＝kx＋m(k≠0)，由题意得
3
91
k＝

2

4
＝
2
k＋ m

，解得，
3


0＝－k＋m
m＝
2



33
即y＝
x＋
，
22
∵C与A关于直线DE对称，
∴如解图②，AM与DE的交点即为使△CMG的周长值最小的点G.

第4题解图②
∵A(－1，0)，C(0，2)，
∴OA＝1，OC＝2，AC＝5，
∵D是AC的中点，
∴AD＝
51
，D(－，1)，
22
∵∠CAO＝∠EAD，∠AOC＝∠ADE，
∴△ACO∽△AED，
∴
ACAO5153
＝，即＝，∴AE＝，∴E(，0)，
AEADAE2 2
5
2
31
设DE的解析式为y＝k′x＋n(k′≠0)，则

0＝
2
k′＋n

k′＝－
2

1
，解得

3
，

1＝－
2
k′＋n

n＝
4
13
∴DE的解析式为y＝－
x＋
，
24

y＝
2
x＋
2

x＝－
8
联立

，解得

，
1315

y＝－
2x＋
4

y＝
16
315
故点G的坐标为(－，
)．
816
5. 如图，抛物线y＝x
2
＋bx＋c过点A(3，0)， B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物
线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点 A重合)，过点P作
PD∥y轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标，
333

若不存在，请说 明理由．


第5题图 备用图
解：（1）
∵抛物线y＝x
2
＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，

9＋3b＋c＝0

b＝－4

∴

，解得

，

1＋b＋c＝0c＝3

∴抛物线的解 析式为y＝x
2
－4x＋3；
（2）
令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，
则直线AC的解析式为y＝－x＋3，
设点P(x，x
2
－4x＋3)，
∵PD∥y轴，
∴点D(x，－x＋3)，
∴PD＝(－x＋3)－(x
2
－4x＋3)
＝－x
2
＋3x
39
＝－(x－
)
2
＋，
24

∵a＝－1<0，
39
∴当x＝时，线段PD的长度有最大值，最大值为；
24
（3）
存在．
由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB，
∴MA＝MB，
当M、B、C不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得，
|MA－MC|＝|MB－MC|当M、B、C三点共线时，
|MA－MC|＝|MB－MC|＝BC，
∴|MA－MC|≤BC，即当点M在BC的延长线上时，
|MA－MC|最大，最大值即为BC的长度，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵B(1，0)，C(0，3)，


k＋b＝0
∴

，

b＝3


k＝－3

解得

，


b＝3
∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3，
∴当x＝2时，y＝－3×2＋3＝－3，
∴点M(2，－3)，
即抛物线对称轴上存在点M(2，－3)，使|MA－MC|最大．
6. 如图①，抛物线y ＝－x
2
＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，
连 接BC.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交
x轴于点E.

图① 图②
第6题图
(1)求抛物线的表达式；
(2)当P在y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l ，垂足为F.当点P运动到
何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐 标；
(3)如图②，当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB.请问△PBC的面< br>积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明
理由．
解：（1）
由于抛物线y＝－x
2
＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(4 ，0)，
∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x
2
＋3x＋4；
（2）
对于抛物线y＝－x
2
＋3x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴C(0，4)，
∵B(4，0)，
∴OC＝OB＝4，
设P点的坐标为(t，－t
2
＋3t＋4)，
则CF＝t，PF＝|－t< br>2
＋3t＋4－4|＝|－t
2
＋3t|，
如果以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，则CF＝PF，
即t＝|－t
2
＋3t|，
当t＝－t
2
＋3t时，解得 t
1
＝0(舍去)，t
2
＝2，
此时，－t
2
＋3t＋4＝－2
2
＋3×2＋4＝6，
∴P的坐标为(2，6)；
当－t＝－t
2
＋3t时，解得t
3< br>＝0(舍去)，t
4
＝4，
此时，－t
2
＋3t＋4＝－4
2
＋3×4＋4＝0，
∴P的坐标为(4，0)．
∴P点的坐标为(2，6)或(4，0)；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，代入点B(4，0)和点C(0，4)得：


4k＋m＝0

k＝－1

， 解得

，

m＝4

m＝4


∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
设P点坐标为(n，－n
2
＋3n＋4)，
∵点G在直线BC上，
∴G(n，－n＋4)，
∵点P在直线BC上方抛物线上运动，
∴PG＝－n
2
＋3n＋4－(－n＋4)＝－n
2
＋4n， 1111
∵S
△
PBC
＝S
△
PGC
＋S△
PGB
＝
PG·OE＋PG·BE＝PG×OB＝
×(－n
2
＋4n)×4＝－2(n－
2222
2)
2
＋8，
∵－2＜0，0＜n＜4，
∴当n＝2时，S
△
PBC
有最大值为8，此时P点的坐标为(2，6)．
7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c与y轴交于点C，其 顶点记为M，
自变量x＝－1和x＝5对应的函数值相等．若点M在直线l∶y＝－12x＋16上，点
(3，－4)在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
7
(2)设y＝ ax
2
＋bx＋c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A(－，
2
0)，试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小(不必证明)，并写出相应的P点横坐标x的取值范围；
(3)直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点(点Q不与M重合)．设Q< br>点坐标为(t，n)，过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S
表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．
解：（1）
∵自变量x＝－1和x＝5对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∵点M在直线l：y＝－12x＋16上，
∴y
M
＝－8，
该抛物线的解析式为y＝a(x－2)
2
－8，
将(3，－4)代入得a－8＝－4，解得a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4(x－2)< br>2
－8，整理得y＝4x
2
－16x＋8；
（2）
由抛物线 的解析式y＝4x
2
－16x＋8得，点C的坐标为(0，8)，顶点M的坐标为(2，
－8)，
7
∵点A(－，0)，
2
16
∴直线AC的解析式为y＝
x＋8，
7
设点P的坐标为(x，4x
2
－16x＋8)，
令y＝0，即4 x
2
－16x＋8＝0，解得x
1
＝2＋2，x
2
＝2－2 (舍去)，
∴x>2＋2，
又∵∠PCO为锐角，
∴y<8，
令y＝8，即4x
2
－16x＋8＝8，
解得x
1
＝0(舍去)，x
2
＝4，
∴2＋2若∠PCO＝∠ACO，

则点P关于y轴的对称点P′(－x，4x
2
－16x＋8)在直线AC上，
16
∴－
x＋8＝4x
2
－16x＋8，
7
24
解得x
1
＝0(舍去)，x
2
＝
，
7
24
综上可知，当2＋27
24
当x＝时，∠PCO＝∠ACO；
7
24
当
∠ACO；
7

y＝－12x＋16

（3）
解方程组

，求得B点坐标为(－1 ，28)，
2
－16x＋8

y＝4x

∴直线BM的解 析式为y＝－12x＋16，
4
令y＝0，解得x＝，
3
∵Q为线段BM上一动点，且不与点M重合，
∴Q(t，－12t＋16)(－1≤t<2)，
1
①当－1≤t<0时，S＝(－t)×(－12t＋16＋8)＝6t
2
－12t＝6(t－1)
2
－6，
2
∵－1≤t<0，
∴当t＝－1时，S
最大
＝18；
41
②当0t(－12t＋16＋8)＝－6t
2
＋ 12t＝－6(t－1)
2
＋6，
32
4
∵03
∴当t＝1时，S
最大
＝6；
41112
③当
2
－4t＝6(t－
)
2
－，
32233
4
∵
3
∴此时S无最大值．
综上所述，当t＝－1时，S有最大值，最大值为18.
1
8. 如图，已知抛物线y＝－
x
2
＋bx＋c与x轴交于点B， E两点，与y轴交于点A，
2
OB＝8，tan∠ABD＝1，动点C从原点O开始沿OA方向 以每秒1个单位长度移
动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C，D同时出< br>发，当动点D到达原点O时，点C，D停止运动．

第8题图
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t 为何值时，△CED的面积
最大？最大面积是多少？
(3)当△CED的面积最大时，在抛物 线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等
于△CED的最大面积，若存在，直接写出P点的 坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）
∵OB＝8，tan∠ABD＝1，
∴OA＝OB＝8，
∴A(0，8)，B(8，0)．
1
把点A(0，8)，B(8，0)代入y＝－
x
2
＋bx＋c，
2
c＝8




b＝3
得
< br>1
2
，解得

，

c＝8
－×8＋8b＋ c＝0



2
1
∴抛物线解析式为y＝－
x2
＋3x＋8；
2
1
（2）
令y＝0时，有－
x2
＋3x＋8＝0，
2
解得x
1
＝－2，x
2
＝8，
∴E(－2，0)，
∴BE＝10，
1
∵S
△
CED
＝
DE·OC，
2
11
∴S＝
t(10－t)＝－t
2
＋5t，
22
1125
∴S与t的函数解析式为S＝－
t
2
＋5t＝－
(t－5)
2
＋
(0≤t≤8)，
222
25
∴当t＝5时，△CED的面积最大，最大面积为；
2