心里难受的句子-易经全文及译文

详细一元三次方程
ax
3
bx
2
cxd0< br>的解法
先把方程
ax
3
bx
2
cxd0< br>化为
x
3
pxq0
的形式：
令
xy
b
，则原式变成
3a
a(y
b3
bb
)b(y)
2
c(y)d0

3a 3a3a
by
2
b
2
yb
3
2byb
2< br>b
2
a(y
2
)b(y)c(y)d0

32
a3a
9a
3a
3a27a
3
b
2< br>b
3
2b
2
b
3
bc
2
ayby ybyycyd0

3a3a3a
27a
2
9a
2
32
b
2
2b
3
bc
ay(c)y (d)0

2
3a3a
27a
3
cb
2< br>d2b
3
bc
y(
2
)y()0
a
3a
a
27a
3
3a
2
3
cb2
d2b
3
bc

如此一来二次项就不見了，化成
y pyq0
，其中
p
2
，
q
。
a3a
a
27a
3
3a
2
3
--------- ------------------
对方程
y
3
pyq0
直接利用卡尔丹诺公式：
y< br>1

3

qqpqqp
()
2
()3

3
()
2
()
3

223 223
qqpqqp
()
2
()
3


2

3
()
2
()
3

2232 23
qqpqqp
()
2
()
3



3
()
2
()
3

223223
y
2



3

y
3


2

3

其中

13i
。
qp
23
中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。

( )
2
()
3
是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有 三个实根，且其

附：
方程
y
3
pyq0
（2）求根公式的推导过程：
不妨设p、q均不为零，令
yuv
（3）
代入（2）得，
u
3
v
3
(uv)(3uvp) q0
（4）
p
选择u、v，使得
3uvp0
，即
uv
（5）
3
33
代入（4）得，
uvq
（6）
p
3
将（5）式两边立方得，
uv
（7）
27联立（6）、（7）两式，得关于
u
3
、
v
3
的方程组 ：

u
3
v
3
q
p

3
　，且uv

p

33
uv
3

27

33
p
3
0
的两根
u
3
、
v
3
。于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程
tqt

27
2
4p
3
q

q

p

2
设

q
，
D



，
T
，
27
2< br>4

2

3

又记
u
3
的一个立方根为
u
1
，则另两个立方根为
u
2


1
u
1
，
u
3


2
u
1
，其中

1
、

2
为1的两
2 3
个立方虚根。
以下分三种情形讨论：
1）若

0
， 即
D0
，则
u
3
、
v
3
均为实数，可求 得
u
3
TD
，
u
3
TD
。 取
u
1

3
TD
，
v
1

3
TD
，
p
，
3
p
即
u< br>1
、
v
1
；
u
2
、
v
3< br>；
u
3
、
v
2
，也就是满足
u
1< br>v
1
u
2
v
3
u
3
v
2

3
T
2
D
，
3
在
y u
i
v
j
，

i,j1,2,3

组成的九个数中，有且只有下面三组满足
uv
于是方程（2）的根为，，，
这时 方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，
这里的根式及
同理，可求得
都是在实数意义下的。
。取

， 2）若，即D＝0时，可求得

方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。


p

q

p

3）若< br>
0
，即D＜0时，因为



0
， p＜0，

0
，

3

2

3

则
u
3
、
v
3
均为虚数 ，求出
u
3
、
v
3
，并用三角式表示，就有
其中T ，都是实数，

，，
323

∴
同理，
其中，且
取，，
则




显然，当且仅当取，；，；，
这三组时才满足，
于是方程（2）得三个实根为，，，
具体表示出来就为：



其中
∴ 当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：
令，，，
，
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，


2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，

， ，
3）当时，方程有三个实根，


，