主持-建筑合同范本

高次方程的解法
王亚庆
有很多中学生一谈起高次方程，就好比 见天书一样。其实高次方程没什么难的，学数学
应该学会举一反三。我们知道初中学了一元二次方程，有 些学生只把二次方程的求根公式记
住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。其实学数学应该学 会理解，注重理解，
而不在于死记公式。比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是 一元二
次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：
1、配方法（二次方程 是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解
有很多学生对一方法根本就不懂。因为 我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，
一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。其实二 次方程的求根公式就是用配方法导出来的，
配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的 一个方法。如果能够彻底理解
这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程
ax
2
+bx+c=0，
我们知道可用配平方（ 完全平方公式）法配成缺
x
的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通少一次项系数的二次 方程，即配成关于
过直接开平方法解出此方程。那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举 一反
三，三次方程
ax
3
+bx
2
+cx+d=0
是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该
是配立方法了。通过研究对于某些特殊的三次方程 是可以通过配立方法来求解的，为什么说
是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有 三个带未知数
x
的项，这
样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数 也同时去掉。所以对于某特殊
的三次方程也适用于配方法的。比如说
x
3
3< br>+6x
2
+12x+9=0
，通过配立方法，可以化成完全
立方的形式
（x+2）+1=0，
这样就可以解得该方程有一实根
X=-3
，所以我们学 了二次
方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次
方程可以通过配四次方法来解……）。所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。对于某
些特殊的高 次方程也应该会解。
2、因式分解法：这种方法适合一些根为整数的方程。可以解一些特殊的二次方程 。比
如说方程
x
2
+x-2=0
，可以分解因式为
（x+2 ）(x-1)=0
，那可以解得
X
1
=-2，X
2
=1。
同样我们应该考虑二次以上次数的方程也有可能适用此法。比如说一元三次方程
x
3
+18x
2
+72x+64=0
，仔细观察这个方程，发现该方程的三次 项和常数项可以组合，用立
方和公式公解，
18x
2
+72x
这一部 分可以提取公因式
x
，那么这两个代数式分解之后有公
因式
（x+4）
，那么又可以提取公因式
（x+4）
，从而求出该一元三次方程的根。
综上所述， 二次方程的某些方法，是可以推广到某些特殊的高次方程上面的。学了二次

方程，如果会 举一反三，对某些高次方程应该轻而易举就会解出来的。
其实不论二次方程的配平方法或者是因式分解 法，其主旨思想都是降次，把二次降为一
次就解出来了。实际上解高次方程的主旨思想也是降次，如果是 三次的就想办法降为一次的
或两次的。关键是怎么降次，降次的方法，下面通过举例说一下某些特殊高次 方程的几种解
法。

1、换元法：
例如四次方程
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0
，可以分成
(x+2)(x+3)
和
(x+1) (x+4)
两个因式，
然后这两个因式分别乘出，得到
（x
2
+5x+6）(x
2
+5x+4)+1=0
， 设
x
2
+5x=y
，代入方程，得：
（y+6）(y+4)+1 =0，
2
最后整理得，
y
然后代入
x
2
+10y +25=0
，解得
y
1
=y
2
=-5
，
+5x=y
，得
x
2
+5x=-5
，
再解这个二次方程，即可求出原方程的四个实数根。
2、配方法：
例如四次方程< br>x
4
+6x
3
+13x
2
+12x+4=0
，这个方程如果不仔细看，好像是看着很乱，
找不到求解的头绪，其实如果试用配方法解，应该是很容易 的。先通过配平方法将三次项式
系数化掉，
即
（x
2
+3x）2
+4x
2
+12x+4=0
，
+3x）
2
+4（x
2
+3x）+4=0
，
然后观察正好后面的系数比和括号里的一样，
即
（x
2
这样就可以 用换元法，把四次方程化成二次方程，最后求出原方程的根。通过这个例
子我们可以看出，对于某些最高 次数为合数的N次方程，不仅可以考虑使用配N次方的方法，
也可以考虑使用配N的因数次方的方法。例 如四次方程可以考虑配平方的方法，六次方程可
以考虑配二次方或者是三次方的方法，九次方程可以考虑 配三次方的方法等等……。
3、因式分解法：
例如解三次方程
x
3
+x
2
+3x+27=0
，可以分解因式为
（x+3）(x
2
-3x+9)+x(x+3)=0
，
提取公式因 式
(x+3)
，得
（x+3）(x
然后就通过解
x
2
2
-2x+9)=0
，
-2x+9=0、x+3=0
这两个方程，

解原方程只有一个实根
x=-3
。
以上这些解高次方程的方 法仔细想一下，都来自于解二次方程的方法。所以学数学应该
学会举一反三。
下面出几道题供学生练习参考
解下列方程：
1、
（x+1) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+9=0
2、
x
3、
x
4
3
+8x
2
-4x-32=0
+2x
3
-x
2
+2x+1=0
+6x
2
+11x+6=0
4、
x











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