冯浩男-同学会方案

三次方程的求解与复数的产生
复数出现及其强大的力量和无与伦比的美丽无疑是数学史上最具神奇色彩的事件之
一。
绝大多 数教科书都是按一种方便的历史虚构来引入复数。如为了使
x10
这样的二
次方程 有解才引入的复数。但无论是历史上还是今天，并不存在这种需要，例如可以将
2
x
2
10
看成抛物线
yx
2
与直线
y1
的交 点，而这显然并不必要一定是相交的。
而迫使人们考虑复数的是三次方程的求解，这倒确实和一元二次方程求解公式紧密相
联的。 < br>我们知道对于
axbxc0
当
b4ac0
时有求根公式
22
bb
2
4ac
，于是激发起人们对三次方程求根公式的寻 找热情。1545年意大利数
x
2a
学家卡丹诺在其《大术》一书中，基于三次方程
x
3
3px2q
给出了如下的求根公式：
x
3qp
2
q
3

3
qp
2
q< br>3
。
需要指出的是一般的三次方程都可以化成这种形式。下面我们追随的是韦达的做法：
bbx
3
bx
2
cxd0,
令
xt
（ 你知道是什么吗）
33
b

b

b

则有

t

b

t

(t) d

3

3

3

32
12
b
3
2
2
b
3
bc
2
t tbtbbtbtctd

327393
32
b
2
2b
3
bcb
2
2b
2
bc
3
ttctdt(c)td

32733273
3
b
2
2b
2
bc
,2qd
即所要形式。 令
3pc
3273
接下来韦达有做法（比卡丹诺晚40年）是把
x3px2q 0
再做一次变换，
3
p

p

p

令
xt
有

t

3p

t

2q0

t

t

t

3
p
2
p
3
3p
2
3pt2 q0
展开得
t3pt3
3t
3
t
3
1 3

p
3
即
t
3
2q0
，即
(t
3
)
2
2qt
3
p
3
 0

t
3
2q4q
2
4p
3
qq
2
p
3
所以
t
2
3
所以
t 
3
qq
2
p
3
，
3
所以当
tqq
2
p
3
时
p3
p
3
23
xt
qqp
3
3
qq
2
p
3

3
qq
2p
3

t
qq
2
p
3
当当t
3
qq
2
p
3
时可以得到同样的结果。
卡丹诺的作法如下：
x
3
3px2q
中令
x st
代入得：
s
3
3s
2
t3st
2t
3
3p(st)2q
也就是
s
3
3st( st)t
3
3p(st)2q

33
如果
st p,st2q
，则
x
为三次方程的根(消去
s
或
t)将
s
p
代入得：
t
p
3
t
3< br>2q0
。以下同上法。
t
3
这个公式出现大约30年后，意大利数学家庞贝利看出它有一些奇怪的悖论式的地方：
32
当
pq
时，会出现今天我们所说的复数。他考虑了
x15x4
。按照卡丹 诺的公式有
3
另一方面通过观察该方程有解
x4
，庞贝利忽发“奇想”，< br>x
3
2111
3
2111
。
33
如果
21112n1,21112n1
，说不定会给出
x4
。当然为了使
此法可行，他必须假设两个复数
Aaia
与
Bb ib
的加法需要服从一个似乎合情合理
的法则：
AB(ai)
，a(bi)bab(ia)
其
b
次，如果真有一个
n
使
3
21112n1
，他就必须去计算
2n1
，为 此他可以象通常代数中把括号

3
乘开，于是
(aia)(bib) abi(abab)(1)
2
ab
利用
(1)
2
1

所以
AB(abab)(abab)1
，这个法则证明了 他的“奇想”胜利，他能够证明

212111
，换成现在的语言就是3
211i2i,
3
211i2i
。

3
尽管复数本身仍然神秘，然而庞贝利的工作证实了复数有完全实际的应用。关于人们
2 3